初中数学 08 二元一次方程组、消元法

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二元一次方程组的概念

二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。例如，\(x + y = 5\)，\(2x - 3y = 8\)等都是二元一次方程，一般形式可以写成\(ax + by = c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，\(a\neq0\)，\(b\neq0\)）。

二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了二元一次方程组。比如\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - 3y = 8\end{cases}\)就是一个二元一次方程组。

列二元一次方程组解应用题的步骤

审：认真审题，理解题意，找出题目中的已知量、未知量以及它们之间的等量关系。

设：设出两个未知数，通常用\(x\)、\(y\)表示，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。例如，若题目涉及两种物品的数量和价格问题，可设这两种物品的数量分别为\(x\)、\(y\)。

列：根据找出的等量关系，列出二元一次方程组。比如，已知甲、乙两种水果，甲水果单价为\(5\)元/斤，乙水果单价为\(3\)元/斤，买\(10\)斤水果共花费\(34\)元，设买甲水果\(x\)斤，买乙水果\(y\)斤，根据“总重量为\(10\)斤”可得\(x + y = 10\)，根据“总花费为\(34\)元”可得\(5x + 3y = 34\)，从而列出方程组\(\begin{cases}x + y = 10 \\ 5x + 3y = 34\end{cases}\)。

解：运用消元法等方法解这个二元一次方程组，求出未知数的值。

验：把求得的未知数的值代入原方程组进行检验，看是否满足每个方程，同时还要检验所得结果是否符合实际题意。

答：写出答案，回答题目所问的问题。

消元法解二元一次方程组

代入消元法：

基本思路：将方程组中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

步骤示例：对于方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - 3y = 8\end{cases}\)，由方程\(x + y = 5\)可得\(x = 5 - y\)，将\(x = 5 - y\)代入方程\(2x - 3y = 8\)，得到\(2(5 - y) - 3y = 8\)，展开括号得\(10 - 2y - 3y = 8\)，移项合并同类项得\(-5y = -2\)，解得\(y=\frac{2}{5}\)。把\(y=\frac{2}{5}\)代入\(x = 5 - y\)，可得\(x = 5 - \frac{2}{5}=\frac{23}{5}\)。所以方程组的解为\(\begin{cases}x=\frac{23}{5} \\ y=\frac{2}{5}\end{cases}\)。

加减消元法：

基本思路：当方程组中两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求解。

步骤示例：对于方程组\(\begin{cases}3x + 2y = 11 \\ 5x - 2y = 13\end{cases}\)，观察发现两个方程中\(y\)的系数互为相反数，将这两个方程相加，可得\((3x + 2y)+(5x - 2y)=11 + 13\)，即\(8x = 24\)，解得\(x = 3\)。把\(x = 3\)代入\(3x + 2y = 11\)，得到\(3×3 + 2y = 11\)，解得\(y = 1\)。所以方程组的解为\(\begin{cases}x = 3 \\ y = 1\end{cases}\)。

二元一次方程组及其解法是初中数学方程部分的重要内容，通过消元法将二元问题转化为一元问题来解决，不仅体现了化归的数学思想，而且在解决实际生活中的多种问题，如调配问题、行程问题等方面都有着广泛的应用，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力有着重要作用。