初中数学 08 二元一次方程组、消元法

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一、定义与基本形式

1. 定义

含有两个未知数（如\(x\)、\(y\)），且每个方程中未知数的最高次数都是1的整式方程组，称为二元一次方程组。

例如：

\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\x - y = 1\end{cases}\)

2. 一般形式

\(\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}\)

其中\(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\)、\(a_2\)、\(b_2\)、\(c_2\)为常数，且\(a_1\)与\(b_1\)、\(a_2\)与\(b_2\)不同时为0。

二、解法：消元法

核心思想是通过“消元”将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，主要有代入消元法和加减消元法。

（一）代入消元法

步骤：用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程求解。

例1：解方程组

\(\begin{cases}x + y = 5 \quad (1)\\2x - y = 4 \quad (2)\end{cases}\)

1. 由(1)得：\(x = 5 - y\)

2. 将\(x = 5 - y\)代入(2)：

\(2(5 - y) - y = 4 \quad \Rightarrow \quad 10 - 2y - y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 2\)

3. 将\(y = 2\)代入\(x = 5 - y\)，得\(x = 3\)

解为：\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\)

（二）加减消元法

步骤：通过方程两边相加或相减消去一个未知数。

例2：解方程组

\(\begin{cases}3x + 2y = 12 \quad (1)\\2x + 3y = 13 \quad (2)\end{cases}\)

1. 消去\(x\)：(1)×2，(2)×3，得

\(\begin{cases}6x + 4y = 24 \quad (3)\\6x + 9y = 39 \quad (4)\end{cases}\)

2. (4)-(3)：\(5y = 15 \quad \Rightarrow \quad y = 3\)

3. 将\(y = 3\)代入(1)：\(3x + 6 = 12 \quad \Rightarrow \quad x = 2\)

解为：\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)

三、方程组解的情况：唯一性与几何意义

对于方程组\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)，解的情况由系数比例决定：

1. 唯一解

条件：\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)（两直线斜率不同，相交于一点）。

例如：例1、例2均为唯一解。

2. 无解

条件：\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)（两直线平行，无交点）。

例：\(\begin{cases} 2x + 4y = 5 \\ x + 2y = 3 \end{cases}\)，因\(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \neq \frac{5}{3}\)，无解。

3. 无穷多解

条件：\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)（两直线重合，所有点都是解）。

例：\(\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases}\)，因\(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3}\)，有无穷多解。

四、实际应用：经典问题模型

（一）行程问题（相遇与追及）

例3：甲、乙两人相距36km，相向而行，若甲比乙早出发2h，则他们在乙出发2.5h后相遇；若乙比甲早出发2h，则在甲出发3h后相遇。求甲、乙的速度。

设：甲速度为\(x\) km/h，乙速度为\(y\) km/h。

列方程：

\(\begin{cases}(2 + 2.5)x + 2.5y = 36 \\3x + (2 + 3)y = 36\end{cases}\)

化简：

\(\begin{cases}4.5x + 2.5y = 36 \\3x + 5y = 36\end{cases}\)

求解：用加减消元法，解得\(\begin{cases} x = 6 \\ y = 3.6 \end{cases}\)

答：甲速度6km/h，乙速度3.6km/h。

（二）工程问题

例4：一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需12天完成。现甲先做若干天，乙再加入合作，共用14天完成。求甲先做了多少天？

设：甲先做\(x\)天，甲、乙合作\(y\)天。

工程总量视为1，甲效率\(\frac{1}{20}\)，乙效率\(\frac{1}{12}\)。

列方程：

\(\begin{cases}x + y = 14 \\\frac{x}{20} + \left(\frac{1}{20} + \frac{1}{12}\right)y = 1\end{cases}\)

求解：解得\(\begin{cases} x = 5 \\ y = 9 \end{cases}\)

答：甲先做了5天。

（三）利润与价格问题

例5：某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价20元，售价25元；乙商品每件进价30元，售价40元。若购进两种商品共100件，总进价2800元，求购进甲、乙商品各多少件？

设：购进甲商品\(x\)件，乙商品\(y\)件。

列方程：

\(\begin{cases}x + y = 100 \\20x + 30y = 2800\end{cases}\)

求解：解得\(\begin{cases} x = 20 \\ y = 80 \end{cases}\)

答：购进甲商品20件，乙商品80件。

五、拓展：含字母系数的二元一次方程组

形如\(\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}\)（\(a,b,c,d,e,f\)为字母系数），解的情况同样通过系数比例判断：

唯一解：\(\frac{a}{d} \neq \frac{b}{e}\)

无解：\(\frac{a}{d} = \frac{b}{e} \neq \frac{c}{f}\)

无穷多解：\(\frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f}\)

例6：若方程组\(\begin{cases} mx + y = 3 \\ 2x + ny = 4 \end{cases}\)有无穷多解，求\(m\)、\(n\)的值。

解：需满足\(\frac{m}{2} = \frac{1}{n} = \frac{3}{4}\)，解得\(m = \frac{3}{2}\)，\(n = \frac{4}{3}\)。

六、注意事项

1. 消元技巧：

代入法适用于某个方程中未知数系数为1或-1的情况（如\(x = 2y + 1\)）；

加减法适用于系数成倍数关系的方程（如\(3x + 2y = 5\)与\(6x - 2y = 4\)）。

2. 检验解：将求得的解代入原方程组，验证两边是否相等。

3. 实际问题建模：找准等量关系（如“总路程=速度×时间”“总费用=单价×数量”）。

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