初中数学 06 分式：约分、通分、运算

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分式的基本概念

一般地，如果\(A\)、\(B\)（\(B≠0\)）表示两个整式，且\(A\div B\)可以写成\(\frac{A}{B}\)的形式，那么称\(\frac{A}{B}\)为分式，其中\(A\)叫做分式的分子，\(B\)叫做分式的分母。例如，\(\frac{x}{x + 1}\)、\(\frac{2}{x^{2}-1}\)等都是分式。

分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分的关键是找出分子分母的公因式。

确定公因式的方法：

当分子、分母都是单项式时，公因式是系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积。例如，对于分式\(\frac{6x^{2}y}{8xy^{2}}\)，系数\(6\)和\(8\)的最大公因数是\(2\)，相同字母\(x\)的最低次幂是\(x\)，\(y\)的最低次幂是\(y\)，所以公因式是\(2xy\)，约分后得到\(\frac{3x}{4y}\)。

当分子、分母中有多项式时，应先将多项式分解因式，再找出公因式。例如，对于分式\(\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x + 4}\)，分子分解因式为\((x + 2)(x - 2)\)，分母分解因式为\((x - 2)^{2}\)，公因式是\((x - 2)\)，约分后得到\(\frac{x + 2}{x - 2}\)。

分式的通分

定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。通分的关键是确定最简公分母。

确定最简公分母的方法：

取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。

取各分母中所有出现的字母或因式，相同字母或因式取最高次幂。例如，对于分式\(\frac{1}{x^{2}-1}\)和\(\frac{1}{x^{2}+2x + 1}\)，分母分别分解因式为\((x + 1)(x - 1)\)和\((x + 1)^{2}\)，最简公分母就是\((x + 1)^{2}(x - 1)\)。

分式的运算

分式的乘除法：

分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即\(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\)。例如，\(\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{2\times4}{3\times5}=\frac{8}{15}\)。

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即\(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\)。例如，\(\frac{2}{3}\div\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}\)。

分式的加减法：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即\(\frac{a}{b}\pm\frac{c}{b}=\frac{a\pm c}{b}\)。例如，\(\frac{2}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2 + 1}{5}=\frac{3}{5}\)。

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减，即\(\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pm bc}{bd}\)。例如，\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x + 1}=\frac{x + 1}{x(x + 1)}-\frac{x}{x(x + 1)}=\frac{x + 1 - x}{x(x + 1)}=\frac{1}{x(x + 1)}\)。