初中数学 11 一元二次、三次、四次、五次方程、韦达定理

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一、一元二次方程

（一）一元二次方程的定义与一般形式

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，称为一元二次方程。其一般形式为：\(ax^2 + bx + c = 0\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数，且\(a \neq 0\)）。\(a\)称为二次项系数，\(b\)称为一次项系数，\(c\)称为常数项。当\(b = 0\)时，方程变为\(ax^2 + c = 0\)（缺一次项）；当\(c = 0\)时，方程变为\(ax^2 + bx = 0\)（缺常数项）。

（二）一元二次方程的解法

1. 直接开平方法：适用于形如\((x + m)^2 = n\)（\(n \geq 0\)）的方程。直接对等式两边开平方，得\(x + m = \pm\sqrt{n}\)，进而解得\(x = -m \pm\sqrt{n}\)。若\(n < 0\)，方程无实数根（在实数范围内）。

2. 配方法：通过配方将一般式化为\((x + m)^2 = n\)的形式，再用直接开平方法求解。步骤为：①把二次项系数化为1（方程两边同除以\(a\)）；②移项（将常数项移到等号右边）；③配方（在等号两边同时加上一次项系数一半的平方）；④用直接开平方法求解。

3. 公式法：对于一般形式\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），先计算判别式\(\Delta = b^2 - 4ac\)：

当\(\Delta > 0\)时，方程有两个不相等的实数根，根为\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)；

当\(\Delta = 0\)时，方程有两个相等的实数根，根为\(x = -\frac{b}{2a}\)；

当\(\Delta < 0\)时，方程无实数根（在复数范围内有两个共轭虚根）。

4. 因式分解法：将方程左边分解为两个一次因式的乘积，右边化为0，即\((x - x_1)(x - x_2) = 0\)，则\(x - x_1 = 0\)或\(x - x_2 = 0\)，进而解得\(x = x_1\)或\(x = x_2\)。

（三）一元二次方程的韦达定理

对于一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)），若其两个根为\(x_1\)和\(x_2\)，则根与系数的关系（韦达定理）为：

两根之和：\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)

两根之积：\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)

该定理可用于快速求解与根相关的代数式（如\(x_1^2 + x_2^2\)、\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\)），也可用于检验方程的根是否正确。

（四）一元二次方程的例题

1. 用直接开平方法解方程：\((x - 3)^2 = 16\)  

解：对等式两边开平方，得\(x - 3 = \pm 4\)。  

当\(x - 3 = 4\)时，\(x = 7\)；当\(x - 3 = -4\)时，\(x = -1\)。  

故方程的根为\(x_1 = 7\)，\(x_2 = -1\)。

2. 用配方法解方程：\(2x^2 - 4x - 1 = 0\)  

解：①将二次项系数化为1：\(x^2 - 2x - \frac{1}{2} = 0\)；  

②移项：\(x^2 - 2x = \frac{1}{2}\)；  

③配方：\(x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1\)，即\((x - 1)^2 = \frac{3}{2}\)；  

④开平方：\(x - 1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}\)；  

解得\(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2}\)，\(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2}\)。

3. 用公式法解方程：\(3x^2 + 2x - 5 = 0\)  

解：这里\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = -5\)。  

计算判别式\(\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-5) = 4 + 60 = 64 > 0\)；  

代入求根公式：\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \times 3} = \frac{-2 \pm 8}{6}\)；  

解得\(x_1 = \frac{-2 + 8}{6} = 1\)，\(x_2 = \frac{-2 - 8}{6} = -\frac{5}{3}\)。

4. 用因式分解法解方程：\(x^2 - 5x + 6 = 0\)  

解：将左边因式分解，得\((x - 2)(x - 3) = 0\)；  

则\(x - 2 = 0\)或\(x - 3 = 0\)；  

解得\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)。

5. 利用韦达定理求解：已知方程\(x^2 - 4x + k = 0\)的一个根为1，求另一个根及\(k\)的值。  

解：设方程的另一个根为\(x_2\)，根据韦达定理：  

两根之和：\(1 + x_2 = 4\)，解得\(x_2 = 3\)；  

两根之积：\(1 \times x_2 = k\)，即\(k = 3\)。  

故另一个根为3，\(k\)的值为3。

二、一元三次方程

（一）一元三次方程的定义与一般形式

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3的整式方程，称为一元三次方程。其一般形式为：\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)为常数，且\(a \neq 0\)）。通过变量替换\(x = y - \frac{b}{3a}\)，可消去二次项，将一般式化为简约形式（卡尔达诺形式）：\(y^3 + py + q = 0\)（其中\(p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}\)，\(q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\)），简约形式是求解三次方程的基础。

（二）一元三次方程的解法

1. 卡尔达诺公式法：针对简约形式\(y^3 + py + q = 0\)，先定义判别式\(\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3\)：

当\(\Delta > 0\)时，方程有一个实根和两个共轭复根，实根为\(y_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\Delta}}\)，复根可通过复数运算求得；

当\(\Delta = 0\)时，方程有三个实根（其中至少两个相等），根为\(y_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}\)，\(y_2 = y_3 = -\sqrt[3]{-\frac{q}{2}}\)；

当\(\Delta < 0\)时，方程有三个不相等的实根（不可约情形），需用三角函数或双曲函数表示，根为\(y_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3q}{2p}\sqrt{-\frac{3}{p}}\right) - \frac{2k\pi}{3}\right)\)（\(k = 0,1,2\)）。

2. 因式分解法：通过试根法（若方程有有理根\(\frac{m}{n}\)，则\(m\)是常数项\(d\)的约数，\(n\)是首项系数\(a\)的约数）找到一个有理根\(x_1\)，再将\((x - x_1)\)作为因式，用多项式除法或配方法将三次方程分解为\((x - x_1)(ax^2 + bx + c) = 0\)，进而转化为一元一次方程和一元二次方程求解。

3. 盛金公式法：直接针对一般形式\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)，定义盛金判别式\(S = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2\)，根据\(S\)的符号分类求解，步骤更清晰，避免了变量替换，在工程计算中应用较广。

（三）一元三次方程的韦达定理

对于一元三次方程\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)（\(a \neq 0\)），若其三个根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)，则根与系数的关系（韦达定理）为：

三根之和：\(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\)

两根积之和：\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}\)

三根之积：\(x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}\)

（四）一元三次方程的例题

1. 用试根法与因式分解解方程：\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)  

解：试根可知\(x = 1\)是方程的根（代入得\(1 - 6 + 11 - 6 = 0\)）；  

将方程分解为\((x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0\)；  

再分解二次因式：\((x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0\)；  

解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = 2\)，\(x_3 = 3\)。

2. 用卡尔达诺公式解方程（简约形式）：\(y^3 - 3y = 0\)  

解：此为简约形式，\(p = -3\)，\(q = 0\)；  

计算判别式\(\Delta = \left(\frac{0}{2}\right)^2 + \left(\frac{-3}{3}\right)^3 = 0 - 1 = -1 < 0\)（不可约情形）；  

代入三角函数形式根公式：\(y_k = 2\sqrt{-\frac{-3}{3}} \cos\left(\frac{1}{3}\arccos\left(\frac{3 \times 0}{2 \times (-3)}\sqrt{-\frac{3}{-3}}\right) - \frac{2k\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2k\pi}{3}\right)\)（\(k = 0,1,2\)）；  

分别计算：\(y_0 = 2\cos\frac{\pi}{2} = 0\)，\(y_1 = 2\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\)，\(y_2 = 2\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = -\sqrt{3}\)；  

故方程的根为\(y_1 = 0\)，\(y_2 = \sqrt{3}\)，\(y_3 = -\sqrt{3}\)。

3. 用盛金公式解方程：\(2x^3 - 5x^2 + 4x - 1 = 0\)  

解：这里\(a = 2\)，\(b = -5\)，\(c = 4\)，\(d = -1\)；  

计算盛金判别式

\(S = 18 \times 2 \times (-5) \times 4 \times (-1) - 4 \times (-5)^3 \times (-1) + (-5)^2 \times 4^2 - 4 \times 2 \times 4^3 - 27 \times 2^2 \times (-1)^2 \)

\(= 2400 - 500 + 400 - 512 - 108 = 1680 \neq 0\)；  

进一步计算\(A = b^2 - 3ac = 25 - 24 = 1\)，\(B = bc - 9ad = -20 + 18 = -2\)，\(C = c^2 - 3bd = 16 - 45 = -29\)；  

则\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{A} + \sqrt{B} + \sqrt{C}}{3a}\)（此处简化计算，实际需按盛金公式分步），最终解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = \frac{1}{2}\)，\(x_3 = 1\)（验证：代入方程\(2 \times 1^3 - 5 \times 1^2 + 4 \times 1 - 1 = 0\)，\(2 \times (\frac{1}{2})^3 - 5 \times (\frac{1}{2})^2 + 4 \times \frac{1}{2} - 1 = 0\)，均成立）。

4. 已知根构造三次方程：已知方程的三个根为2、-1、3，求对应的一元三次方程（首项系数为1）。  

解：设方程为\((x - 2)(x + 1)(x - 3) = 0\)；  

先计算\((x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2\)；  

再乘以\((x - 3)\)：\((x^2 - x - 2)(x - 3) = x^3 - 3x^2 - x^2 + 3x - 2x + 6 = x^3 - 4x^2 + x + 6\)；  

故方程为\(x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0\)

（用韦达定理验证：\(2 + (-1) + 3 = 4 = -\frac{-4}{1}\)，\(2 \times (-1) + 2 \times 3 + (-1) \times 3 = 1 = \frac{1}{1}\)，\(2 \times (-1) \times 3 = -6 = -\frac{6}{1}\)，符合）。

5. 利用韦达定理求代数式的值：已知\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)是方程\(x^3 - 2x^2 - 3x + 4 = 0\)的根，求\(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\)的值。  

解：根据韦达定理，\(x_1 + x_2 + x_3 = 2\)，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -3\)；  

由代数恒等式\(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)\)；  

代入得：\(2^2 - 2 \times (-3) = 4 + 6 = 10\)。

三、一元四次方程

（一）一元四次方程的定义与一般形式

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是4的整式方程，称为一元四次方程。其一般形式为：\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)为常数，且\(a \neq 0\)）。通过变量替换\(x = y - \frac{b}{4a}\)，可消去三次项，将一般式化为简约形式：\(y^4 + py^2 + qy + r = 0\)（其中\(p = \frac{8ac - 3b^2}{8a^2}\)，\(q = \frac{b^3 - 4abc + 8a^2d}{8a^3}\)，\(r = \frac{16ab^2c - 4b^4 - 64a^2bd + 256a^3e}{256a^4}\)），简约形式是求解四次方程的核心。

（二）一元四次方程的解法

1. 费拉里法：针对简约形式\(y^4 + py^2 + qy + r = 0\)，步骤如下：

①将方程变形为\((y^2 + \frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2 - qy - r\)；

②在等式两边加上\((y^2 + \frac{p}{2})z + \frac{z^2}{4}\)（\(z\)为待定量），使左边成为完全平方：\((y^2 + \frac{p}{2} + \frac{z}{2})^2 = y^2z + (\frac{pz}{2} - q)y + (\frac{p^2}{4} - r + \frac{z^2}{4})\)；

③令右边二次三项式的判别式为0（确保右边也是完全平方），得到关于\(z\)的三次方程（预解式）：\(z^3 + 2pz^2 + (p^2 - 4r)z - q^2 = 0\)；

④解预解式得到一个实根\(z_0\)，代入原变形等式，将四次方程分解为两个一元二次方程：\(y^2 + \frac{z_0}{2}y + (\frac{p}{2} + \frac{\sqrt{z_0^2 + 4pz_0 + 4p^2 - 16r}}{4}) = 0\)和\(y^2 - \frac{z_0}{2}y + (\frac{p}{2} - \frac{\sqrt{z_0^2 + 4pz_0 + 4p^2 - 16r}}{4}) = 0\)，进而求解。

2. 因式分解法：若四次方程可分解为两个二次因式的乘积，即\((ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) = 0\)，展开后与一般式比较系数，得到关于\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)、\(f\)的方程组，解方程组即可将四次方程转化为两个二次方程求解。该方法适用于系数较特殊的方程（如缺三次项或一次项的方程）。

3. 笛卡尔符号法则与试根法：先通过笛卡尔符号法则判断正、负实根的可能个数（系数序列中符号变化的次数为正实根个数的上限，且两者奇偶性相同；将\(x\)换为\(-x\)后系数序列符号变化次数为负实根个数的上限），再用试根法找到有理根，将四次方程分解为\((x - x_1)\)与三次多项式的乘积，进而转化为三次方程求解（后续步骤同三次方程解法）。

（三）一元四次方程的韦达定理

对于一元四次方程\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\)（\(a \neq 0\)），若其四个根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)，则根与系数的关系（韦达定理）为：

四根之和：\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}\)

三根积之和：\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{c}{a}\)

两根积之和：\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -\frac{d}{a}\)

四根之积：\(x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a}\)

（四）一元四次方程的例题

1. 用因式分解法解方程：\(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\)  

解：令\(y = x^2\)，方程变为\(y^2 - 5y + 4 = 0\)；  

因式分解二次方程：\((y - 1)(y - 4) = 0\)，解得\(y_1 = 1\)，\(y_2 = 4\)；  

回代\(y = x^2\)：当\(x^2 = 1\)时，\(x = \pm 1\)；当\(x^2 = 4\)时，\(x = \pm 2\)；  

故方程的根为\(x_1 = 1\)，\(x_2 = -1\)，\(x_3 = 2\)，\(x_4 = -2\)。

2. 用费拉里法解方程（简约形式）：\(y^4 - 2y^2 + 8y - 3 = 0\)  

解：①变形为\((y^2 - 1)^2 = 1 - 8y + 3 = 4 - 8y\)；  

②两边加\((y^2 - 1)z + \frac{z^2}{4}\)：\((y^2 - 1 + \frac{z}{2})^2 = y^2z + (\frac{-z}{2} + 8)y + (1 - 3 + \frac{z^2}{4}) = y^2z + (\frac{z}{2} - 8)y + (\frac{z^2}{4} - 2)\)；  

③令右边判别式为0：\((\frac{z}{2} - 8)^2 - 4 \times z \times (\frac{z^2}{4} - 2) = 0\)，化简得预解式\(z^3 + 2z^2 - 32z - 112 = 0\)；  

④试根得\(z = 4\)是预解式的根，代入原变形等式：\((y^2 - 1 + 2)^2 = 4y^2 + (2 - 8)y + (4 - 2)\)，即\((y^2 + 1)^2 = 4y^2 - 6y + 2\)；  

开平方得\(y^2 + 1 = \pm (2y - \sqrt{2})\)（此处简化，实际需确保右边非负），分解为两个二次方程：\(y^2 - 2y + 1 + \sqrt{2} = 0\)和\(y^2 + 2y + 1 - \sqrt{2} = 0\)；  

求解得根（过程略）：\(y_1 = 1 + \sqrt{\sqrt{2} - 0}\)（实际计算需用求根公式），最终回代得到原方程的根。

3. 用试根法与因式分解解方程：\(x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6 = 0\)  

解：试根得\(x = 1\)是根（代入得\(1 - 1 - 7 + 1 + 6 = 0\)），分解为\((x - 1)(x^3 - 7x - 6) = 0\)；  

对三次方程\(x^3 - 7x - 6 = 0\)试根，得\(x = -1\)是根，分解为\((x - 1)(x + 1)(x^2 - x - 6) = 0\)；  

再分解二次因式：\((x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 2) = 0\)；  

解得\(x_1 = 1\)，\(x_2 = -1\)，\(x_3 = 3\)，\(x_4 = -2\)。

4. 已知根构造四次方程：已知方程的四个根为1、-2、3、-4，求首项系数为2的一元四次方程。  

解：先构造首项系数为1的方程：\((x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) = 0\)；  

分组计算：\([(x - 1)(x + 4)][(x + 2)(x - 3)] = (x^2 + 3x - 4)(x^2 - x - 6)\)；  

展开得：\(x^4 - x^3 - 6x^2 + 3x^3 - 3x^2 - 18x - 4x^2 + 4x + 24 = x^4 + 2x^3 - 13x^2 - 14x + 24\)；  

首项系数变为2，方程两边乘2：\(2x^4 + 4x^3 - 26x^2 - 28x + 48 = 0\)（用韦达定理验证：四根之和\(1 - 2 + 3 - 4 = -2 = -\frac{4}{2}\)，符合）。

5. 利用韦达定理求代数式的值：已知\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)是方程\(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1 = 0\)的根，求\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4}\)的值。  

解：根据韦达定理，\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = 2\)，\(x_1x_2x_3x_4 = 1\)；  

由\(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4} = \frac{x_2x_3x_4 + x_1x_3x_4 + x_1x_2x_4 + x_1x_2x_3}{x_1x_2x_3x_4}\)；  

又由韦达定理，\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = 5\)；  

代入得：\(\frac{5}{1} = 5\)。

四、一元五次方程

（一）一元五次方程的定义与一般形式

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是5的整式方程，称为一元五次方程。其一般形式为：\(ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\)、\(f\)为常数，且\(a \neq 0\)）。与二次、三次、四次方程不同，一般形式的一元五次方程没有通用的代数解法（即无法通过有限次加、减、乘、除、乘方和开方运算表示根），这一结论由挪威数学家阿贝尔在1824年证明（阿贝尔定理），后法国数学家伽罗瓦通过群论进一步阐释：只有当五次方程的伽罗瓦群是可解群时，方程才有代数解法。

（二）一元五次方程的解法

1. 特殊类型五次方程的代数解法：

可约五次方程：若方程可分解为较低次数多项式（一次、二次、三次、四次）的乘积，可通过试根法找到有理根，再逐步分解因式，转化为低次方程求解。例如方程\(x^5 - x^4 - x + 1 = 0\)，可分解为\((x - 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0\)，进而求解。

缺项五次方程：如\(x^5 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)（缺四次项）、\(x^5 + ax + b = 0\)（仅含五次项、一次项和常数项），部分特殊缺项五次方程可通过变量替换或构造辅助方程转化为可解形式（如契尔恩豪森变换），但无通用规律。

2. 数值解法：对于一般不可解的五次方程，需用数值方法逼近根的近似值，常用方法包括：

二分法：适用于连续函数且两端函数值异号的区间，通过不断将区间二分，逐步缩小根的范围，精度可按需控制。

牛顿迭代法：已知根的近似值\(x_0\)，通过迭代公式\(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)（\(f'(x)\)为\(f(x)\)的导数）快速逼近根，收敛速度快，但对初始值选择敏感。

秦九韶算法（霍纳法则）：用于快速计算多项式值及导数，为数值解法提供高效的计算支持，尤其在计算机编程中广泛应用。

3. 三角函数/双曲函数解法：对于某些特殊结构的五次方程（如\(x^5 + px + q = 0\)的特定情形），可通过三角函数或双曲函数的恒等变换表示根，但适用范围极窄，且结果为超越函数形式，非代数解。

（三）一元五次方程的韦达定理

对于一元五次方程\(ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0\)（\(a \neq 0\)），若其五个根为\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)、\(x_5\)（在复数范围内，根据代数基本定理，五次方程必有5个根，重根按重数计算），则根与系数的关系（韦达定理）为：

五根之和：\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = -\frac{b}{a}\)

四根积之和：\(x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_1x_5 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_2x_5 + x_3x_4 + x_3x_5 + x_4x_5 = \frac{c}{a}\)

三根积之和：\(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_2x_5 + x_1x_3x_4 + x_1x_3x_5 + x_1x_4x_5 + x_2x_3x_4 + x_2x_3x_5 + x_2x_4x_5 + x_3x_4x_5 = -\frac{d}{a}\)

两根积之和：\(x_1x_2x_3x_4 + x_1x_2x_3x_5 + x_1x_2x_4x_5 + x_1x_3x_4x_5 + x_2x_3x_4x_5 = \frac{e}{a}\)

五根之积：\(x_1x_2x_3x_4x_5 = -\frac{f}{a}\)

（四）一元五次方程的例题

1. 可约五次方程（因式分解法）：\(x^5 - 5x^3 + 4x = 0\)  

解：提取公因式\(x\)：\(x(x^4 - 5x^2 + 4) = 0\)；  

对四次因式分解：\(x(x^2 - 1)(x^2 - 4) = 0\)；  

进一步分解为一次因式：\(x(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0\)；  

解得\(x_1 = 0\)，\(x_2 = 1\)，\(x_3 = -1\)，\(x_4 = 2\)，\(x_5 = -2\)。

2. 可约五次方程（试根法）：\(x^5 - 2x^4 - x^3 + 2x^2 - 24x + 48 = 0\)  

解：试根得\(x = 2\)是根（代入得\(32 - 32 - 8 + 8 - 48 + 48 = 0\)）；  

用多项式除法将方程分解为\((x - 2)(x^4 - x^2 - 24) = 0\)；  

对四次方程\(x^4 - x^2 - 24 = 0\)，令\(y = x^2\)，得\(y^2 - y - 24 = 0\)；  

求解二次方程：\(y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 96}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{97}}{2}\)；  

回代\(y = x^2\)，得\(x = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{97}}{2}}\)，\(x = \pm \sqrt{\frac{1 - \sqrt{97}}{2}}\)（后两个为虚根）；  

故方程的根为\(x_1 = 2\)，\(x_2 = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{97}}{2}}\)，\(x_3 = -\sqrt{\frac{1 + \sqrt{97}}{2}}\)，\(x_4 = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{97}}{2}}\)，\(x_5 = -\sqrt{\frac{1 - \sqrt{97}}{2}}\)。

3. 用牛顿迭代法求五次方程的实根近似值：求方程\(x^5 + x - 1 = 0\)的正实根（精确到0.001）  

解：令\(f(x) = x^5 + x - 1\)，\(f'(x) = 5x^4 + 1\)；  

①确定初始值：\(f(0) = -1\)，\(f(1) = 1\)，故根在\((0,1)\)内，取\(x_0 = 0.5\)；  

②迭代计算：  

\(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0.5 - \frac{0.5^5 + 0.5 - 1}{5 \times 0.5^4 + 1} = 0.5 - \frac{-0.46875}{1.3125} \approx 0.861\)；  

\(x_2 = 0.861 - \frac{0.861^5 + 0.861 - 1}{5 \times 0.861^4 + 1} \approx 0.861 - \frac{0.470}{3.527} \approx 0.721\)；  

\(x_3 \approx 0.721 - \frac{0.721^5 + 0.721 - 1}{5 \times 0.721^4 + 1} \approx 0.721 - \frac{0.073}{2.244} \approx 0.689\)；  

\(x_4 \approx 0.689 - \frac{0.689^5 + 0.689 - 1}{5 \times 0.689^4 + 1} \approx 0.689 - \frac{0.004}{1.947} \approx 0.687\)；  

\(x_5 \approx 0.687\)（与\(x_4\)差值小于0.001）；  

故方程的正实根近似值为\(0.687\)。

4. 已知根构造五次方程：已知方程的五个根为0、1、-1、i、-i（i为虚数单位），求首项系数为1的一元五次方程。  

解：构造方程为\(x(x - 1)(x + 1)(x - i)(x + i) = 0\)；  

分组计算：\(x[(x - 1)(x + 1)][(x - i)(x + i)] = x(x^2 - 1)(x^2 + 1)\)；  

展开得：\(x(x^4 - 1) = x^5 - x\)；  

故方程为\(x^5 - x = 0\)（用韦达定理验证：五根之和\(0 + 1 - 1 + i - i = 0 = -\frac{0}{1}\)，五根之积\(0 \times 1 \times (-1) \times i \times (-i) = 0 = -\frac{0}{1}\)，符合）。

5. 利用韦达定理求代数式的值：已知\(x_1\)、\(x_2\)、\(x_3\)、\(x_4\)、\(x_5\)是方程\(2x^5 - 3x^4 + x^3 - 5x^2 + 2x - 1 = 0\)的根，求\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5\)和\(x_1x_2x_3x_4x_5\)的值。  

解：根据韦达定理，对于方程\(ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0\)：  

五根之和：\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}\)；  

五根之积：\(x_1x_2x_3x_4x_5 = -\frac{f}{a} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}\)。

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