初中数学 09 不等式、解一元一次不等式组

不等式的概念

用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤、不等于≠）表示不等关系的式子叫做不等式。例如，\(3x + 5 > 10\)，\(2y - 1 ≤ 7\)等都是不等式。

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。如果\(a > b\)，那么\(a ± c > b ± c\)。例如，若\(x > 3\)，则\(x + 2 > 3 + 2\)，即\(x + 2 > 5\)。

性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。如果\(a > b\)，\(c > 0\)，那么\(ac > bc\)（或\(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\)）。例如，若\(2x > 6\)，两边同时除以\(2\)，得\(x > 3\)。

性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。如果\(a > b\)，\(c < 0\)，那么\(ac < bc\)（或\(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\)）。例如，若\(-3x > 9\)，两边同时除以\(-3\)，得\(x < -3\)。

定义：含有一个未知数，未知数的次数是\(1\)，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。例如，\(4x - 7 < 5\)，\(\frac{2}{3}y + 1 ≥ -2\)等都是一元一次不等式。

解法：与解一元一次方程类似，但要注意不等号的方向。

去分母，例如对于不等式\(\frac{x + 1}{2}-\frac{2x - 1}{3}>1\)，两边同时乘以\(6\)，得到\(3(x + 1)-2(2x - 1)>6\)。

去括号，上式去括号后为\(3x + 3 - 4x + 2 > 6\)。

移项，将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边，得到\(3x - 4x > 6 - 3 - 2\)。

合并同类项，得\(-x > 1\)。

系数化为\(1\)，两边同时除以\(-1\)，不等号方向改变，解得\(x < -1\)。

定义：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。例如，\(\begin{cases}x - 2 < 0 \\ 2x + 1 > 0\end{cases}\)就是一个一元一次不等式组。

解集：不等式组中几个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

解法：

分别求出不等式组中各个不等式的解集。例如，对于不等式组\(\begin{cases}x - 2 < 0 \\ 2x + 1 > 0\end{cases}\)，解不等式\(x - 2 < 0\)，得\(x < 2\)；解不等式\(2x + 1 > 0\)，得\(x > -\frac{1}{2}\)。

将各个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分。在数轴上表示\(x < 2\)和\(x > -\frac{1}{2}\)，可以看出公共部分是\(-\frac{1}{2} < x < 2\)，这就是不等式组的解集。

不等式及一元一次不等式组是初中数学中重要的内容，它在解决实际问题，如方案选择、利润最大化等方面有着广泛的应用，通过学习不等式，能够培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力。