初中数学 09 一元一次不等式（组）

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一、一元一次不等式的定义与形式

定义：只含有一个未知数，未知数的次数为1，且两边都是整式的不等式，称为一元一次不等式。

标准式：\(ax + b > 0\)（或\(\geq\)、\(<\)、\(\leq\)），其中\(a \neq 0\)，\(a\)、\(b\)为常数。

示例：\(2x - 3 < 5\)，\(-\frac{1}{2}x + 1 \geq 0\)。

二、解一元一次不等式的步骤与性质

1. 不等式的基本性质（关键！）

性质1：若\(a > b\)，则\(a + c > b + c\)（两边加/减同一个数，不等号方向不变）。

性质2：若\(a > b\)且\(c > 0\)，则\(ac > bc\)（两边乘/除以同一个正数，不等号方向不变）。

性质3：若\(a > b\)且\(c < 0\)，则\(ac < bc\)（两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变）。

注意：性质3是解不等式与解方程的核心区别，乘除负数时必须翻转不等号！

2. 解一元一次不等式的步骤（类比一元一次方程，但需注意符号）

以\(3(x - 2) + 1 \leq 2x + 5\)为例：

1. 去括号：\(3x - 6 + 1 \leq 2x + 5\)，即\(3x - 5 \leq 2x + 5\)；

2. 移项：\(3x - 2x \leq 5 + 5\)（移项时符号规则与方程相同）；

3. 合并同类项：\(x \leq 10\)；

4. 系数化为1：此处系数为1，直接得解\(x \leq 10\)。

三、一元一次不等式的解集表示

1. 数轴表示法（直观呈现范围）

示例：\(x > 3\)（空心圆圈表示不包含3，向右射线）；\(x \leq -2\)（实心圆点表示包含-2，向左射线）。

规则：“>”“<”用空心圈，“≥”“≤”用实心点；大于向右，小于向左。

2. 区间表示法（简洁书写）

\(x > a\)：\((a, +\infty)\)；

\(x \leq b\)：\((-\infty, b]\)；

\(a < x \leq b\)：\((a, b]\)。

四、一元一次不等式组的解法

由几个一元一次不等式组成的不等式组，其解集是各个不等式解集的公共部分。

解题步骤

1. 分别解每个不等式，求出各自解集；

2. 在数轴上表示所有解集，找公共部分；

3. 写出不等式组的解集。

3. 常见不等式组的解集类型（设\(a < b\)）

不等式组解集数轴表示口诀
\(\begin{cases}x > a \\ x > b\end{cases}\)\(x > b\)两个解集向右，取较大同大取大
\(\begin{cases}x < a \\ x < b\end{cases}\)\(x < a\)两个解集向左，取较小同小取小
\(\begin{cases}x > a \\ x < b\end{cases}\)\(a < x < b\)中间重叠部分大小小大中间找
\(\begin{cases}x < a \\ x > b\end{cases}\)无解无重叠部分大大小小无解了

五、含字母系数的一元一次不等式（难点）

1. 题型特点

不等式中含有字母（如\(ax + b > 0\)，\(a\)、\(b\)为字母），需根据字母的取值范围讨论解集。

2. 解题关键

先将不等式化为标准形式：\(ax > -b\)；

分情况讨论系数\(a\)的符号：

若\(a > 0\)，则解集为\(x > -\frac{b}{a}\)；

若\(a < 0\)，则解集为\(x < -\frac{b}{a}\)（不等号方向改变）；

若\(a = 0\)，需看常数项：

若\(0 \cdot x > -b\)，即\(0 > -b\)，则当\(-b < 0\)（即\(b > 0\)）时，解集为全体实数；当\(-b \geq 0\)（即\(b \leq 0\)）时，无解。

3. 示例

解关于\(x\)的不等式：\(kx - 3 \geq 2x + k\)。

解：

移项得：\(kx - 2x \geq k + 3\)，

合并得：\((k - 2)x \geq k + 3\)。

当\(k - 2 > 0\)（即\(k > 2\)）时，\(x \geq \frac{k + 3}{k - 2}\)；

当\(k - 2 < 0\)（即\(k < 2\)）时，\(x \leq \frac{k + 3}{k - 2}\)（不等号翻转）；

当\(k - 2 = 0\)（即\(k = 2\)）时，左边为\(0 \cdot x\)，右边为\(5\)，即\(0 \geq 5\)，无解。

六、一元一次不等式（组）的实际应用

解题步骤

1. 设未知数，找出题目中的不等关系（关键词：“至少”“最多”“不超过”“不少于”等）；

2. 列不等式（组）；

3. 解不等式（组）；

4. 根据实际意义筛选解集（如人数为正整数）。

某商店进一批商品，每件成本50元，若按每件60元出售，可卖出800件；若每件提价1元，销量减少20件。为使利润不低于12000元，售价应定为多少？

解：

设售价为\(x\)元（\(x \geq 60\)），则每件利润为\((x - 50)\)元，销量为\(800 - 20(x - 60) = 2000 - 20x\)件。

利润不等式：\((x - 50)(2000 - 20x) \geq 12000\)，

化简：\(-20x^2 + 3000x - 100000 \geq 12000\)，即\(x^2 - 150x + 5600 \leq 0\)，

因式分解：\((x - 70)(x - 80) \leq 0\)，解集：\(70 \leq x \leq 80\)。

答：售价应定在70元到80元之间。

七、易错点总结

1. 符号错误：解不等式时，乘除负数忘记翻转不等号；

2. 解集表示混淆：数轴上空心/实心点用错，区间开闭括号写错；

3. 含参讨论遗漏：忽略系数为0的情况，或未分正负讨论；

4. 实际问题忽略题意：如解集需为整数、正数等，未筛选合理解。

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