初中数学 05 整式乘法、整式除法、乘法公式、因式分解

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整式的乘法

同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即\(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。例如，\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7\)。

幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。例如，\((3^2)^3 = 3^{2×3} = 3^6\)。

积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)为正整数）。例如，\((2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3\)。

单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如，\(3x^2y \cdot (-2xy^3) = [3×(-2)]×(x^2 \cdot x)×(y \cdot y^3) = -6x^3y^4\)。

单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。例如，\(2x(3x^2 - 4x + 5) = 2x \cdot 3x^2 - 2x \cdot 4x + 2x \cdot 5 = 6x^3 - 8x^2 + 10x\)。

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，\((x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6\)。

乘法公式

平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。例如，\((3 + 2)(3 - 2) = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\)。

完全平方公式：\((a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2\)。例如，\((x + 3)^2 = x^2 + 2×x×3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)，\((2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2×2x×5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25\)。

整式的除法

同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即\(a^m ÷ a^n = a^{m - n}\)（\(a≠0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)）。例如，\(a^5 ÷ a^3 = a^{5 - 3} = a^2\)。

单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。例如，\(6x^4y^3 ÷ 2x^2y = (6÷2)×(x^4 ÷ x^2)×(y^3 ÷ y) = 3x^2y^2\)。

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即\((am + bm + cm) ÷ m = am ÷ m + bm ÷ m + cm ÷ m = a + b + c\)。例如，\((9x^3 - 6x^2 + 3x) ÷ 3x = 9x^3 ÷ 3x - 6x^2 ÷ 3x + 3x ÷ 3x = 3x^2 - 2x + 1\)。

因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。例如，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，就是把多项式\(x^2 - 4\)因式分解了。

提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例如，\(6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\)，这里的公因式是\(3x\)。

公式法：运用平方差公式\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)和完全平方公式\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)来分解因式。例如，\(4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3)\)，\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)。

十字相乘法：对于二次三项式\(ax^2 + bx + c\)（\(a≠0\)），如果能找到两个数\(p\)、\(q\)，使得\(pq = ac\)，且\(p + q = b\)，那么\(ax^2 + bx + c = (ax + p)(ax + q)\)。例如，\(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)，这里\(a = 1\)，\(p = 2\)，\(q = 3\)，满足\(pq = 2×3 = 6 = ac\)，\(p + q = 2 + 3 = 5 = b\)。

整式的乘除、乘法公式以及因式分解是初中数学中重要的代数基础知识，它们之间相互联系、相互依存，在代数式的化简求值、解方程、证明恒等式等方面都有广泛的应用，对于培养学生的代数运算能力和逻辑思维能力具有重要意义。

乘法公式1. 平方差公式

公式内容：\((a + b)(a - b)=a^2 - b^2\)。

根据多项式乘法法则，将\((a + b)(a - b)\)展开，得到\(a\times a - a\times b + a\times b - b\times b\)。

式子中\(-ab\)和\(ab\)相互抵消，最终结果为\(a^2 - b^2\)。

计算\((3x + 2y)(3x - 2y)\)。

在这里，\(a = 3x\)，\(b = 2y\)，根据平方差公式可得：\((3x)^2-(2y)^2 = 9x^2 - 4y^2\)。

用于简便计算，如计算\(99\times101\)。

可将其转化为\((100 - 1)(100 + 1)\)，此时\(a = 100\)，\(b = 1\)，根据公式得到\(100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 9999\)。

乘法公式2. 完全平方公式

公式内容：

\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)。

\((a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2\)。

推导过程（以\((a + b)^2\)为例）：

根据多项式乘法法则，\((a + b)^2=(a + b)(a + b)=a\times a + a\times b + a\times b + b\times b=a^2 + 2ab + b^2\)。

计算\((2x + 3y)^2\)。

这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，根据公式\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)可得：\((2x)^2 + 2\times(2x)\times(3y)+(3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2\)。

用于因式分解，如\(x^2 + 6x + 9\)。

可以发现它符合\((a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2\)的形式，其中\(a = x\)，\(b = 3\)，所以\(x^2 + 6x + 9=(x + 3)^2\)。

乘法公式3. 立方和与立方差公式

公式内容：

立方和公式：\((a + b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3\)。

立方差公式：\((a - b)(a^2 + ab + b^2)=a^3 - b^3\)。

推导过程（以立方和公式为例）：

根据多项式乘法法则展开\((a + b)(a^2 - ab + b^2)\)，得到\(a\times a^2 - a\times ab + a\times b^2 + b\times a^2 - b\times ab + b\times b^2\)。

整理可得\(a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3\)，中间项相互抵消后，结果为\(a^3 + b^3\)。

计算\((x + 2)(x^2 - 2x + 4)\)。

这里\(a = x\)，\(b = 2\)，根据立方和公式可得：\(x^3 + 2^3 = x^3 + 8\)。

用于化简式子，如\(8x^3 + 27\)。

可以写成\((2x)^3 + 3^3\)，根据立方和公式，进一步变形为\((2x + 3)((2x)^2 - 2x\times3 + 3^2)=(2x + 3)(4x^2 - 6x + 9)\)。

乘法公式4. 完全立方公式

公式内容：

\((a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)。

\((a - b)^3=a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)。

推导过程（以\((a + b)^3\)为例）：

\((a + b)^3=(a + b)(a + b)(a + b)\)，先计算\((a + b)(a + b)=a^2 + 2ab + b^2\)，然后再乘以\((a + b)\)，即\((a^2 + 2ab + b^2)(a + b)\)。

根据多项式乘法法则展开得到\(a^3 + 2a^2b + a b^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\)，整理后为\(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)。

计算\((3x + 1)^3\)。

这里\(a = 3x\)，\(b = 1\)，根据公式可得：\((3x)^3 + 3\times(3x)^2\times1 + 3\times(3x)\times1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1\)。

在解方程中有应用，如\(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0\)。

可发现左边式子符合\((a - b)^3=a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)的形式，其中\(a = x\)，\(b = 1\)，即\((x - 1)^3 = 0\)，解得\(x = 1\)。

因式分解1、提公因式法

原理：公因式是多项式各项都含有的公共的因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

步骤：

找出多项式各项系数的最大公因数。

例如，对于多项式\(6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy^3\)，系数\(6\)、\(-9\)、\(3\)的最大公因数是\(3\)。

确定各项中相同字母的最低次幂。在上述多项式中，\(x\)的最低次幂是\(x\)，\(y\)的最低次幂是\(y\)。

提取公因式。该多项式的公因式是\(3xy\)，提取后得到\(3xy(2x^2-3xy + y^2)\)。

应用场景：这是最基本的因式分解方法，当多项式各项有明显的公因式时优先使用。

例如，在化简式子\(4a^3b - 6a^2b^2\)或者解方程\(3x(x - 1)+2(x - 1)=0\)（可先提取公因式\((x - 1)\)）时会用到。

因式分解2、公式法

平方差公式：\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)

应用条件：当多项式是两项式，且这两项可以写成平方的形式，符号相反时适用。

示例：分解因式\(9x^2 - 16y^2\)，这里\(a = 3x\)，\(b = 4y\)，根据平方差公式可得\((3x + 4y)(3x - 4y)\)。

完全平方公式：\(a^2\pm2ab + b^2=(a\pm b)^2\)

应用条件：当多项式是三项式，其中两项是平方项（系数为正），且另一项是这两个平方项底数乘积的\(2\)倍（符号可正可负）时适用。

示例：

对于\(x^2 + 6x + 9\)，其中\(a = x\)，\(b = 3\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2\)的形式，所以\((x + 3)^2\)。

对于\(4x^2 - 12x + 9\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3\)，符合\(a^2-2ab + b^2\)的形式，分解为\((2x - 3)^2\)。

立方和公式：\((a + b)(a^2 - ab + b^2)=a^3 + b^3\)

立方差公式：\((a - b)(a^2 + ab + b^2)=a^3 - b^3\)

应用条件：当多项式是两项式，且这两项是立方的形式时考虑使用。

示例：

分解因式\(8x^3 + 27y^3\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，根据立方和公式可得\((2x + 3y)(4x^2-6xy + 9y^2)\)。

对于\(x^3 - 8\)，其中\(a = x\)，\(b = 2\)，根据立方差公式分解为\((x - 2)(x^2 + 2x + 4)\)。

完全立方公式：

\((a + b)^3=a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3=a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

应用条件：当多项式是四项式，且各项系数和次数符合完全立方公式的形式时使用。

示例：分解因式\(x^3 + 6x^2y + 12xy^2 + 8y^3\)，这里\(a = x\)，\(b = 2y\)，根据完全立方公式可得\((x + 2y)^3\)。

因式分解3、分组分解法

原理：通过将多项式适当分组，使每组都有公因式或者可以利用公式进行分解，然后再对整体进行分解。

步骤：

观察多项式的项数和各项的特点进行分组。

例如，对于多项式\(ax + ay + bx + by\)，可以分为两组\((ax + ay)\)和\((bx + by)\)。

对每组分别进行因式分解。\(ax + ay=a(x + y)\)，\(bx + by=b(x + y)\)。

提取组间公因式。得到\((a + b)(x + y)\)。

应用场景：当多项式的项数较多（一般大于三项），且直接提取公因式或用公式法不方便时使用。

例如，分解因式\(a^2 - ab + ac - bc\)，分组为\((a^2 - ab)+(ac - bc)=a(a - b)+c(a - b)=(a + c)(a - b)\)。

因式分解4、十字相乘法

二次三项式十字相乘法：

原理：对于二次三项式\(ax^2+bx + c\)（\(a\neq0\)），如果能找到两个数\(m\)、\(n\)，使得\(m + n = b\)，\(mn = ac\)，那么\(ax^2 + bx + c=(x + m)(x + n)\)。

步骤：

分解二次项系数\(a\)和常数项\(c\)。例如，对于\(2x^2 + 5x + 3\)，分解二次项系数\(2 = 1\times2\)，常数项\(3 = 1\times3\)。

尝试不同的组合，使得交叉相乘再相加的结果等于一次项系数。\(\begin{array}{c|c}1 & 1\\\hline2 & 3\end{array}\)，\(1\times3+2\times1 = 5\)，所以\(2x^2 + 5x + 3=(x + 1)(2x + 3)\)。

双十字相乘法（用于二元二次多项式）：

原理：对于形如\(ax^2 + bxy+cy^2+dx + ey + f\)的多项式，通过两次十字相乘来分解因式。

步骤（以\(x^2 + 3xy + 2y^2 + 2x + 5y + 3\)为例）：

先将含\(x\)的项和含\(y\)的二次项进行十字相乘。对于\(x^2 + 3xy + 2y^2\)，可分解为\((x + 2y)(x + y)\)。

然后将得到的式子与常数项以及含\(x\)、\(y\)的一次项进行第二次十字相乘。假设\((x + 2y + m)(x + y + n)\)，通过展开并对比系数来确定\(m\)和\(n\)的值，最终得到\((x + 2y + 1)(x + y + 3)\)。

应用场景：十字相乘法在分解二次三项式时非常高效，是初中数学中常用的方法之一，尤其在解方程（如一元二次方程）和化简代数式时经常用到。

因式分解5、添项、拆项法

原理：根据多项式的特点，在多项式中添加某些项或者将某些项拆开，使其能够利用已有的因式分解方法进行分解。

示例：分解因式\(x^4 + 4\)，可以添加\(4x^2\)和减去\(4x^2\)，得到\(x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2=(x^2 + 2)^2-(2x)^2\)，然后利用平方差公式分解为\((x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)\)。

应用场景：当多项式的形式比较特殊，无法直接用其他方法分解时可以尝试添项、拆项法。

因式分解6、待定系数法

原理：当我们知道一个多项式可以分解成某种形式，但不确定其中的系数时，可以先设出分解后的形式，然后通过比较系数来确定这些系数的值。

示例：已知多项式\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)可以分解为\((x - a)(x - b)(x - c)\)的形式，将其展开得到\(x^3-(a + b + c)x^2+(ab + ac + bc)x - abc\)。通过比较系数，\(a + b + c = 2\)，\(ab + ac + bc=-5\)，\(abc=-6\)，通过尝试不同的整数组合，可发现\(a = 1\)，\(b = -2\)，\(c = 3\)，所以\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6=(x - 1)(x + 2)(x - 3)\)。

应用场景：在分解一些复杂的多项式或者确定多项式分解后的具体形式时使用。