初中数学 05 整式乘法、整式除法、乘法公式、因式分解

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整式的乘法

同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即\(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。例如，\(2^3 \cdot 2^4 = 2^{3 + 4} = 2^7\)。

幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即\((a^m)^n = a^{mn}\)（\(m\)、\(n\)为正整数）。例如，\((3^2)^3 = 3^{2×3} = 3^6\)。

积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即\((ab)^n = a^n b^n\)（\(n\)为正整数）。例如，\((2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x^3\)。

单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。例如，\(3x^2y \cdot (-2xy^3) = [3×(-2)]×(x^2 \cdot x)×(y \cdot y^3) = -6x^3y^4\)。

单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即\(m(a + b + c) = ma + mb + mc\)。例如，\(2x(3x^2 - 4x + 5) = 2x \cdot 3x^2 - 2x \cdot 4x + 2x \cdot 5 = 6x^3 - 8x^2 + 10x\)。

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，\((x + 2)(x - 3) = x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6\)。

乘法公式

平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)。例如，\((3 + 2)(3 - 2) = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5\)。

完全平方公式：\((a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2\)。例如，\((x + 3)^2 = x^2 + 2×x×3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\)，\((2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2×2x×5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25\)。

整式的除法

同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即\(a^m ÷ a^n = a^{m - n}\)（\(a≠0\)，\(m\)、\(n\)为正整数，且\(m > n\)）。例如，\(a^5 ÷ a^3 = a^{5 - 3} = a^2\)。

单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。例如，\(6x^4y^3 ÷ 2x^2y = (6÷2)×(x^4 ÷ x^2)×(y^3 ÷ y) = 3x^2y^2\)。

多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即\((am + bm + cm) ÷ m = am ÷ m + bm ÷ m + cm ÷ m = a + b + c\)。例如，\((9x^3 - 6x^2 + 3x) ÷ 3x = 9x^3 ÷ 3x - 6x^2 ÷ 3x + 3x ÷ 3x = 3x^2 - 2x + 1\)。

因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。例如，\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，就是把多项式\(x^2 - 4\)因式分解了。

提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例如，\(6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\)，这里的公因式是\(3x\)。

公式法：运用平方差公式\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)和完全平方公式\(a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2\)来分解因式。例如，\(4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3)\)，\(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)。

十字相乘法：对于二次三项式\(ax^2 + bx + c\)（\(a≠0\)），如果能找到两个数\(p\)、\(q\)，使得\(pq = ac\)，且\(p + q = b\)，那么\(ax^2 + bx + c = (ax + p)(ax + q)\)。例如，\(x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\)，这里\(a = 1\)，\(p = 2\)，\(q = 3\)，满足\(pq = 2×3 = 6 = ac\)，\(p + q = 2 + 3 = 5 = b\)。

整式的乘除、乘法公式以及因式分解是初中数学中重要的代数基础知识，它们之间相互联系、相互依存，在代数式的化简求值、解方程、证明恒等式等方面都有广泛的应用，对于培养学生的代数运算能力和逻辑思维能力具有重要意义。