初中数学 01 数轴、相反数、绝对值、有理数四则运算

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数轴

定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，缺一不可。

作用：数轴可以直观地表示数的大小和相互关系。在数轴上，右边的数总比左边的数大。正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。例如，在数轴上表示出-3、-1.5、0、2、3.5等数，就可以清晰地看出它们的大小顺序。

数轴上的点与有理数的关系：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数，比如\(\sqrt{2}\)等无理数也可以用数轴上的点来表示。

相反数

定义：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。例如，2和-2互为相反数，0的相反数是0。

性质：互为相反数的两个数的和为0。即若a与b互为相反数，则a + b = 0；反之，若a + b = 0，则a与b互为相反数。

在数轴上的表示：互为相反数的两个数在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等。

绝对值

性质：

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。即当a>0时，|a| = a；当a<0时，|a| = -a；当a = 0时，|a| = 0。

绝对值具有非负性，即任何数的绝对值都大于等于0。

有理数的四则运算

加法：

法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。

运算律：加法交换律a + b = b + a；加法结合律(a + b) + c = a + (b + c)。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a - b = a + (-b)。

乘法：

法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。

运算律：乘法交换律ab = ba；乘法结合律(ab)c = a(bc)；乘法分配律a(b + c) = ab + ac。

除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b = a×\(\frac{1}{b}\)(b≠0)。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。

有理数混合运算的顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。同一级运算按照从左到右的顺序依次进行。

例如：

计算\(2×(-3)^2 - 4÷(-2) + (-1)^{2024}\)

解：先算乘方，\((-3)^2 = 9\)，\((-1)^{2024}=1\)

则原式\(= 2×9 - 4÷(-2) + 1\)

再算乘除，\(2×9 = 18\)，\(4÷(-2)=-2\)

则原式\(= 18 - (-2) + 1\)

最后算加减，\(18 - (-2) + 1 = 18 + 2 + 1 = 21\)

有理数的这些概念和运算规则是初中数学的基础，对于后续学习实数、代数式、方程等知识都有着重要的意义。

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