初中数学 13 一次函数：$y = kx + b$（$k≠0$）

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一次函数的概念

一般地，形如$y = kx + b$（$k$，$b$是常数，$k≠0$）的函数，叫做一次函数。当$b = 0$时，$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$），此时函数叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。例如，$y = 2x + 1$是一次函数，$y = 3x$是正比例函数。

一次函数的图象

一次函数$y = kx + b$的图象是一条直线，我们称它为直线$y = kx + b$。通常取直线与坐标轴的两个交点来确定这条直线，当$x = 0$时，$y = b$，所以直线与$y$轴的交点坐标为$(0,b)$；当$y = 0$时，$kx + b = 0$，解得$x = -\frac{b}{k}$，所以直线与$x$轴的交点坐标为$(-\frac{b}{k},0)$。例如，对于一次函数$y = 2x - 4$，与$y$轴交点为$(0,-4)$，与$x$轴交点为$(2,0)$。

正比例函数$y = kx$的图象是经过原点$(0,0)$的一条直线。

一次函数的性质

当$k>0$时：

直线$y = kx + b$从左到右上升，$y$随$x$的增大而增大。

若$b>0$，直线经过一、二、三象限；若$b = 0$，直线经过一、三象限；若$b<0$，直线经过一、三、四象限。例如，$y = 3x + 2$的图象经过一、二、三象限，$y = 3x$的图象经过一、三象限，$y = 3x - 2$的图象经过一、三、四象限。

当$k<0$时：

直线$y = kx + b$从左到右下降，$y$随$x$的增大而减小。

若$b>0$，直线经过一、二、四象限；若$b = 0$，直线经过二、四象限；若$b<0$，直线经过二、三、四象限。例如，$y = -2x + 3$的图象经过一、二、四象限，$y = -2x$的图象经过二、四象限，$y = -2x - 3$的图象经过二、三、四象限。

一次函数图象的平移

一次函数图象的平移规律是“上加下减常数项，左加右减自变量”。具体来说，对于一次函数$y = kx + b$，向上平移$m$个单位长度得到$y = kx + b + m$；向下平移$m$个单位长度得到$y = kx + b - m$；向左平移$n$个单位长度得到$y = k(x + n)+b$；向右平移$n$个单位长度得到$y = k(x - n)+b$。例如，将$y = 2x + 1$向上平移$3$个单位长度得到$y = 2x + 4$，向右平移$2$个单位长度得到$y = 2(x - 2)+1 = 2x - 3$。

一次函数与方程、不等式的关系

一次函数$y = kx + b$与$x$轴交点的横坐标就是方程$kx + b = 0$的解。例如，$y = 3x - 6$与$x$轴交点为$(2,0)$，则$x = 2$是方程$3x - 6 = 0$的解。

当$y>0$时，$kx + b>0$；当$y<0$时，$kx + b<0$。从图象上看，$y = kx + b$的图象在$x$轴上方的部分对应的$x$的取值范围就是不等式$kx + b>0$的解集，图象在$x$轴下方的部分对应的$x$的取值范围就是不等式$kx + b<0$的解集。例如，对于$y = 2x - 4$，当$y>0$时，即$2x - 4>0$，解得$x>2$，从图象上看，直线$y = 2x - 4$在$x$轴上方时$x>2$。

一次函数的图像与性质是初中数学函数部分的重要基础内容，它在解决实际问题、数学建模以及与其他数学知识的综合应用中都有着广泛的应用，对于培养学生的函数思想、数形结合思想和数学应用能力具有重要意义。