初中数学 19 全等形、全等三角形

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全等形

定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形的形状和大小完全相同，其中重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。例如，两个完全一样的三角形纸片，将它们重合在一起时，对应的顶点、边和角都完全重合，这两个三角形纸片就是全等形。

全等三角形

定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形是特殊的全等形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。例如，在△ABC和△DEF中，如果△ABC与△DEF能够完全重合，那么可以表示为△ABC≌△DEF。

性质：

全等三角形的对应边相等。即若△ABC≌△DEF，则AB = DE，BC = EF，AC = DF。

全等三角形的对应角相等。即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

判定：

SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。即若AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，则△ABC≌△DEF。

ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。也就是说，当∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E时，△ABC≌△DEF。

AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。例如，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，则△ABC≌△DEF。

HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。在Rt△ABC和Rt△DEF中，如果AB = DE，AC = DF（或BC = EF），那么Rt△ABC≌Rt△DEF。

全等三角形的应用

证明线段相等：当要证明两条线段相等时，可以通过证明它们所在的两个三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等得出结论。例如，已知△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，可先证明△ABC≌△DEF（SAS），从而得到AC = DF。

证明角相等：同理，要证明两个角相等，可以证明它们所在的两个三角形全等，然后依据全等三角形的对应角相等来证明。比如，已知△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，证明△ABC≌△DEF（ASA）后，就有∠C = ∠F。

测量距离或长度：在实际生活中，全等三角形的性质可用于测量一些难以直接测量的距离或长度。例如，要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC并延长至D，使CD = AC，连接BC并延长至E，使CE = BC，连接DE。通过证明△ABC≌△DEC（SAS），得到AB = DE，从而测量出DE的长度就得到了A、B间的距离。

全等形与全等三角形是初中数学几何部分的重要基础内容，对于培养学生的逻辑推理能力、空间观念和几何直观等都有着重要的作用，并且为后续学习更复杂的几何知识奠定了基础。

一、全等三角形判定定理

1. 三边对应相等（SSS）的两个三角形全等，此结论是唯一无需涉及角的判定方法，可用于证明线段相等。  

2. 两边及其夹角对应相等（SAS）的两个三角形全等，“夹角”是关键，若为“两边及其中一边的对角”（SSA），则不能判定全等（反例：锐角三角形与钝角三角形可满足SSA但不全等）。  

3. 两角及其夹边对应相等（ASA）的两个三角形全等，夹边是两角公共边或关联边，可快速推导第三角相等。  

4. 两角及其中一角的对边对应相等（AAS）的两个三角形全等，本质是由三角形内角和为180°，将AAS转化为ASA。  

5. 直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等（HL）的两个直角三角形全等，HL是SSS的特殊形式（可通过勾股定理推导出第三边相等）。  

6. 若两个三角形有两组边对应相等，且其中一组对应边的对角是直角，则这两个三角形全等（本质是HL的拓展，避免SSA误区）。  

7. 若两个三角形有一组边和一组角对应相等，且另一组对应角均为直角/钝角，则这两个三角形全等（排除SSA中“一锐一钝”的反例）。  

8. 经过平移变换得到的两个三角形全等，平移不改变图形的形状和大小，对应边平行且相等、对应角相等。  

9. 经过轴对称变换得到的两个三角形全等，对称轴是对应点连线的垂直平分线，对应边、对应角相等，且有公共边/公共角时可直接作为全等条件。  

10. 经过旋转变换得到的两个三角形全等，旋转中心到对应点的距离相等（旋转半径），对应边的夹角等于旋转角。

二、全等三角形性质

11. 全等三角形的对应边相等，可直接用于证明两条线段相等（如：若△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF，AC=DF）。  

12. 全等三角形的对应角相等，可直接用于证明两个角相等（如：若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F）。  

13. 全等三角形的对应边上的高相等，可通过“面积法”推导（面积=1/2×底×高，底相等、面积相等则高相等）。  

14. 全等三角形的对应边上的中线相等，中线将对应边平分，结合SSS可证明中线所在的小三角形全等，进而推导线段相等。  

15. 全等三角形的对应角的平分线相等，角平分线将对应角平分，结合AAS可证明角平分线所在的小三角形全等，进而推导线段相等。  

16. 全等三角形的周长相等，周长是三边之和，对应边相等则周长相等（反之，周长相等的三角形不一定全等）。  

17. 全等三角形的面积相等，面积由底和高决定，对应底和对应高均相等则面积相等（反之，面积相等的三角形不一定全等）。  

18. 全等三角形的对应线段（如对应边上的中位线、对应角的外角平分线）均相等，本质是“对应元素相等”的延伸。  

19. 若两个三角形全等，则它们的外接圆半径相等（外接圆半径R=abc/(4S)，a、b、c为三边，S为面积，全等则a、b、c、S均相等，故R相等）。  

20. 若两个三角形全等，则它们的内切圆半径相等（内切圆半径r=S/r，r为半周长，全等则S、r均相等，故r相等）。

三、特殊三角形（等腰、等边、直角）与全等

21. 等腰三角形中，若顶角的平分线平分底边，则该平分线所在的两个三角形全等（SAS：顶角平分线=公共边，顶角一半=顶角一半，腰=腰）。  

22. 等腰三角形两腰上的高相等，可通过“HL”证明高所在的两个直角三角形全等（斜边=腰，直角=直角，对应角相等则AAS全等）。  

23. 等腰三角形两腰上的中线相等，可通过“SSS”证明中线所在的两个三角形全等（腰=腰，中线=中线，底边一半=底边一半）。  

24. 等边三角形中，任意一条高所在的两个三角形全等（HL：斜边=边，高=公共高；或SSS：边=边，高=高，底边一半=底边一半）。  

25. 若两个等边三角形有一条边对应相等，则这两个等边三角形全等（SSS：三边均相等，一条边相等则三边均相等）。  

26. 直角三角形中，若斜边上的中线将三角形分成两个三角形，则这两个三角形均为等腰三角形，且不全等（除非原直角三角形为等腰直角三角形）。  

27. 直角三角形中，若一条直角边和斜边上的高对应相等，则这两个直角三角形全等（先通过HL证明“高、另一条直角边、斜边的一部分”组成的小直角三角形全等，再推导原三角形全等）。  

28. 等腰直角三角形中，若斜边上的中线将三角形分成两个三角形，则这两个三角形全等且均为等腰直角三角形（中线=斜边一半，结合SAS可证全等）。  

29. 若两个等腰直角三角形的斜边对应相等，则这两个等腰直角三角形全等（斜边相等则直角边=斜边/√2也相等，SSS或SAS可证）。  

30. 含30°角的直角三角形中，若斜边对应相等，则这两个三角形全等（30°角对的直角边=斜边/2，斜边相等则直角边均相等，SSS可证）。  

31. 若两个直角三角形的斜边和一个锐角对应相等，则这两个直角三角形全等（AAS：斜边=斜边，锐角=锐角，直角=直角）。  

32. 若两个等腰三角形的顶角和腰对应相等，则这两个等腰三角形全等（SAS：腰=腰，顶角=顶角，腰=腰）。  

33. 若两个等腰三角形的底角和底边对应相等，则这两个等腰三角形全等（ASA：底角=底角，底边=底边，底角=底角）。  

34. 等边三角形中，任意一条角平分线所在的两个三角形全等（SAS：角平分线=公共边，60°/2=30°，边=边）。  

35. 直角三角形中，若两条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等（SAS：直角边=直角边，直角=直角，直角边=直角边）。

四、四边形与全等三角形

36. 平行四边形中，对角线将平行四边形分成两个全等的三角形（SSS：对边=对边，对角线=公共对角线）。  

37. 矩形中，两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，且相对的两个三角形全等（SAS：对边=对边，对角线一半=对角线一半，直角=直角）。  

38. 菱形中，两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形（HL：边=边，对角线一半=对角线一半，直角=直角）。  

39. 正方形中，两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形（SSS：对角线一半=对角线一半，边=边，边=边）。  

40. 等腰梯形中，对角线相等，且对角线所在的两个三角形（如△ABC和△DCB）全等（SSS：腰=腰，底边=底边，对角线=对角线）。  

41. 等腰梯形中，同一底上的两个底角相等，可通过“作高”构造两个全等的直角三角形（HL：腰=腰，高=高）。  

42. 任意四边形中，若一条对角线将其分成两个全等的三角形，则该四边形是平行四边形（对应边平行且相等，满足平行四边形判定）。

五、辅助线与全等三角形

43. 遇中点时，“倍长中线”可构造全等三角形（如延长中线AD至E，使DE=AD，则△ABD≌△ECD，SAS：BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE）。  

44. 遇角平分线时，“角平分线作垂线”可构造全等三角形（如过角平分线上一点作两边的垂线，则两条垂线相等，且两个直角三角形全等，HL：垂线=垂线，角平分线=公共边）。  

45. 遇线段和差时，“截长补短”可构造全等三角形（如要证AB=CD+EF，可在AB上截AG=CD，再证GB=EF，通过SAS/AAS证明△AGH≌△CDE）。  

46. 遇等腰三角形时，“作底边上的高”可构造两个全等的直角三角形（HL：腰=腰，高=公共高）。  

47. 遇含60°/90°角的三角形时，“补形法”可构造等边/等腰直角三角形，进而得到全等三角形（如将30°角的直角三角形补成等边三角形，得到全等的小三角形）。  

48. 遇旋转型图形时，“找旋转中心”可发现全等三角形（如△ABC绕点A旋转60°得到△ADE，则△ABC≌△ADE，对应边、对应角相等）。

六、全等三角形的综合应用

49. 若两个三角形分别与第三个三角形全等，则这两个三角形全等（全等的传递性，如△A≌△B，△B≌△C，则△A≌△C）。  

50. 若两个三角形全等，则它们的“对应衍生图形”也全等（如以对应边为边长作等边三角形，或以对应角为顶角作等腰三角形，则衍生的三角形全等）。

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