初中数学 19 全等形、全等三角形

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

全等形

定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。全等形的形状和大小完全相同，其中重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。例如，两个完全一样的三角形纸片，将它们重合在一起时，对应的顶点、边和角都完全重合，这两个三角形纸片就是全等形。

全等三角形

定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形是特殊的全等形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。例如，在△ABC和△DEF中，如果△ABC与△DEF能够完全重合，那么可以表示为△ABC≌△DEF。

性质：

全等三角形的对应边相等。即若△ABC≌△DEF，则AB = DE，BC = EF，AC = DF。

全等三角形的对应角相等。即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

判定：

SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。

SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。即若AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，则△ABC≌△DEF。

ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。也就是说，当∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E时，△ABC≌△DEF。

AAS（角角边）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。例如，∠A = ∠D，∠B = ∠E，BC = EF，则△ABC≌△DEF。

HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。在Rt△ABC和Rt△DEF中，如果AB = DE，AC = DF（或BC = EF），那么Rt△ABC≌Rt△DEF。

全等三角形的应用

证明线段相等：当要证明两条线段相等时，可以通过证明它们所在的两个三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等得出结论。例如，已知△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠E，BC = EF，可先证明△ABC≌△DEF（SAS），从而得到AC = DF。

证明角相等：同理，要证明两个角相等，可以证明它们所在的两个三角形全等，然后依据全等三角形的对应角相等来证明。比如，已知△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，AB = DE，∠B = ∠E，证明△ABC≌△DEF（ASA）后，就有∠C = ∠F。

测量距离或长度：在实际生活中，全等三角形的性质可用于测量一些难以直接测量的距离或长度。例如，要测量池塘两端A、B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC并延长至D，使CD = AC，连接BC并延长至E，使CE = BC，连接DE。通过证明△ABC≌△DEC（SAS），得到AB = DE，从而测量出DE的长度就得到了A、B间的距离。

全等形与全等三角形是初中数学几何部分的重要基础内容，对于培养学生的逻辑推理能力、空间观念和几何直观等都有着重要的作用，并且为后续学习更复杂的几何知识奠定了基础。