平面几何：垂足三角形

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一、垂足三角形

在平面几何中，垂足三角形（Pedal Triangle） 是从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足依次连接形成的新三角形，是研究三角形内特殊点、特殊线段（如高、垂心）的重要工具。其定义、性质及特殊情况均与原三角形的结构紧密关联：

对任意一个锐角三角形（后续会说明钝角三角形的特殊情况）\(\triangle ABC\)，按以下步骤构造其垂足三角形：

1. 从顶点\(A\)向对边\(BC\)作垂线，垂足记为\(D\)；

2. 从顶点\(B\)向对边\(AC\)作垂线，垂足记为\(E\)；

3. 从顶点\(C\)向对边\(AB\)作垂线，垂足记为\(F\)；

4. 连接三个垂足\(D、E、F\)，得到的\(\triangle DEF\)即为原三角形\(\triangle ABC\)的垂足三角形。

需特别注意：

上述定义的前提是\(\triangle ABC\)为锐角三角形。若\(\triangle ABC\)为钝角三角形，钝角顶点处的高会落在对边的延长线上，此时三个垂足连接形成的三角形会“退化”到原三角形外部，称为旁垂足三角形；若为直角三角形，直角顶点的垂足与自身重合，垂足三角形会退化为一条线段（直角边的高）。

二、垂足三角形的性质

垂足三角形的性质与原三角形的垂心、高、外接圆等紧密相关，是其核心研究价值所在，主要包括以下8点：

1. 垂心是垂足三角形的内心

原三角形\(\triangle ABC\)的垂心（三条高的交点，记为\(H\)），恰好是其垂足三角形\(\triangle DEF\)的内心（三条角平分线的交点）。

原理：由于\(AD \perp BC\)、\(CE \perp AB\)，四边形\(AEHD\)的内角和为\(360^\circ\)，可得\(\angle EHD = 180^\circ - \angle A\)；同时，\(\angle EFD = 180^\circ - \angle A\)（同弧所对的圆周角互补），因此\(H\)到\(DE、EF、FD\)的距离相等，即\(H\)是\(\triangle DEF\)的内心。

2. 内角与原三角形内角的关系

垂足三角形的三个内角，与原三角形的内角存在固定互补关系：

\(\angle EDF = 180^\circ - 2\angle A\)

\(\angle DEF = 180^\circ - 2\angle B\)

\(\angle DFE = 180^\circ - 2\angle C\)

推导依据：利用原三角形的高形成的直角三角形（如\(\triangle ADB、\triangle ADC\)），结合圆周角定理（四点共圆）可得。

3. 边长与原三角形边长、外接圆半径的关系

设原三角形\(\triangle ABC\)的外接圆半径为\(R\)，则垂足三角形\(\triangle DEF\)的边长可表示为：

\(DE = BC \cdot \cos A = 2R \cdot \sin A \cdot \cos A = R \cdot \sin 2A\)

\(EF = AC \cdot \cos B = R \cdot \sin 2B\)

\(FD = AB \cdot \cos C = R \cdot \sin 2C\)

核心逻辑：原三角形边长\(BC = 2R \cdot \sin A\)（正弦定理），结合直角三角形中\(\cos A = \frac{DE}{BC}\)（由四点共圆性质推导），即可得出上述关系。

4. 面积与原三角形面积、外接圆半径的关系

垂足三角形\(\triangle DEF\)的面积\(S_{\triangle DEF}\)与原三角形\(\triangle ABC\)的面积\(S_{\triangle ABC}\)满足：

\( S_{\triangle DEF} = 2 \cdot S_{\triangle ABC} \cdot \cos A \cdot \cos B \cdot \cos C \)

推导思路：先通过边长公式（性质3）计算\(\triangle DEF\)的面积（海伦公式或正弦面积公式），再代入原三角形面积\(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = 2R^2 \sin A \sin B \sin C\)，化简后可得。

5. 四点共圆性质

垂足三角形的顶点与原三角形的顶点、垂心构成多组四点共圆，这是推导其他性质的关键：

例如：\(A、E、H、F\)四点共圆（因\(\angle AEH = \angle AFH = 90^\circ\)，同直径\(AH\)所对的圆周角为直角）；

同理：\(B、D、H、F\)四点共圆，\(C、D、H、E\)四点共圆。

6. 对原三角形边的“截距”关系

垂足\(D、E、F\)在原三角形的边上形成的线段（截距）满足：

在\(BC\)边上：\(BD = AB \cdot \cos B\)，\(DC = AC \cdot \cos C\)；

在\(AC\)边上：\(CE = BC \cdot \cos C\)，\(EA = AB \cdot \cos A\)；

在\(AB\)边上：\(AF = AC \cdot \cos A\)，\(FB = BC \cdot \cos B\)；

依据：在直角三角形（如\(\triangle ABD\)）中，邻边=斜边·余弦值。

7. 钝角三角形的特殊情况

若原三角形\(\triangle ABC\)为钝角三角形（设\(\angle A > 90^\circ\)），则：

钝角顶点\(A\)处的高\(AD\)落在\(BC\)的延长线上，垂足\(D\)在\(BC\)外侧；

此时\(\triangle DEF\)为“旁垂足三角形”，且\(\angle EDF = 2\angle A - 180^\circ\)（不再是\(180^\circ - 2\angle A\)），其他内角仍满足与原三角形锐角的互补关系。

8. 直角三角形的退化情况

若原三角形\(\triangle ABC\)为直角三角形（设\(\angle C = 90^\circ\)），则：

直角顶点\(C\)处的高与自身重合（垂足\(E、F\)分别在\(AC、BC\)上，\(D\)与\(C\)重合）；

垂足三角形\(\triangle DEF\)退化为线段\(EF\)（平行于\(AB\)，且为\(AB\)的中位线的一半）。

三、垂足三角形的重要应用

垂足三角形不仅是几何理论中的基础模型，还在实际问题和竞赛题中频繁出现，核心应用包括：

1. 证明“锐角三角形内最短的内接三角形是垂足三角形”

在锐角三角形\(\triangle ABC\)内部，任意作一个内接三角形（顶点分别在\(\triangle ABC\)的三边上），其周长的最小值即为垂足三角形的周长。这一结论可通过“对称点转化”或“费马原理”（类比光的反射最短路径）证明，是垂足三角形的经典应用。

2. 推导原三角形的垂心性质

利用垂足三角形的“垂心为内心”（性质1）和“四点共圆”（性质5），可快速证明原三角形垂心的其他性质，例如：

垂心到顶点的距离：\(AH = 2R \cdot \cos A\)（由四点共圆的直径与圆周角关系推导）；

垂心与顶点的连线平分垂足三角形的内角（因垂心是内心）。

3. 解决几何竞赛中的“路径最短”问题

例如：在锐角三角形地块内修一条三角形小路，要求小路的顶点分别在地块的三边上，且总长度最短，此时小路的形状即为垂足三角形。

总结

垂足三角形是连接原三角形“高、垂心、外接圆”与“内接三角形、最短路径”的关键桥梁，其核心价值在于：

1. 理论层面：揭示了三角形内特殊点（垂心）与特殊图形（内接三角形）的深层关联；

2. 应用层面：为解决“最短内接三角形周长”等实际问题提供了数学模型。

理解垂足三角形的性质时，需结合“直角三角形边角关系”“四点共圆”等基础几何知识，同时注意区分锐角、钝角、直角三角形中垂足三角形的不同形态。

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