初中数学 23 圆：与圆有关的角、线、垂径定理

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与圆有关的角

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。例如，在圆\(O\)中，\(\angle AOB\)是圆心角，它所对的弧是\(\overset{\frown}{AB}\)，若\(\angle AOB = 60^{\circ}\)，则\(\overset{\frown}{AB}\)的度数也是\(60^{\circ}\)。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理指出，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。例如，在圆\(O\)中，\(\angle ACB\)是圆周角，\(\angle AOB\)是圆心角，且\(\angle AOB = 120^{\circ}\)，则\(\angle ACB = 60^{\circ}\)。由此可推导出同弧或等弧所对的圆周角相等。

圆内接四边形的对角互补：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。圆内接四边形的对角互补，即\(\angle A + \angle C = 180^{\circ}\)，\(\angle B + \angle D = 180^{\circ}\)。例如，在圆内接四边形\(ABCD\)中，若\(\angle A = 100^{\circ}\)，则\(\angle C = 80^{\circ}\)。

与圆有关的线

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。半径是圆的基本要素之一，圆的大小由半径决定。在同一个圆中，所有半径都相等。

直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径是圆中最长的弦，且直径等于半径的\(2\)倍，即\(d = 2r\)。

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦可以是直径，也可以是其他线段。例如，在圆\(O\)中，线段\(AB\)是弦，若\(AB\)经过圆心\(O\)，则\(AB\)是直径。

切线：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。切线的性质定理为：圆的切线垂直于过切点的半径。例如，直线\(l\)是圆\(O\)的切线，切点为\(A\)，则\(OA\perp l\)。切线的判定定理为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。例如，在圆\(O\)中，直径\(CD\perp\)弦\(AB\)，垂足为\(E\)，则\(AE = BE\)，\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}\)，\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。例如，若圆\(O\)中直径\(CD\)平分弦\(AB\)（\(AB\)不是直径），则\(CD\perp AB\)，且\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}\)，\(\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}\)。

这些与圆有关的角、线以及垂径定理等知识是初中数学圆这一章节的重要内容，它们在解决与圆相关的几何问题中有着广泛的应用，对于深入理解圆的性质和特点、培养学生的几何思维能力具有重要意义。