初中数学 03 二次根式、重二次根式的化简

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一、二次根式的应用

1. 化简类

例1：化简\(\sqrt{48}\)

分析：将被开方数分解因数，\(48 = 16×3\)，其中\(16\)是完全平方数。

解答：\(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=\sqrt{16}\times\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

例2：化简\(\sqrt{75}+\sqrt{27}\)

分析：分别化简两个二次根式，再相加。\(75 = 25×3\)，\(27 = 9×3\)。

解答：\(\sqrt{75}+\sqrt{27}=\sqrt{25\times3}+\sqrt{9\times3}=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}\)

例3：化简\(\sqrt{\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{1}{6}}\)

分析：先将分母有理化，\(\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\)，

\(\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)。

解答：\(\sqrt{\frac{2}{3}}-\sqrt{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{2\sqrt{6}- \sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}\)

例4：化简\(\sqrt{18x^{3}y^{2}}\)（\(x\geq0,y\geq0\)）

分析：把被开方数分解因数，\(18x^{3}y^{2}=9x^{2}y^{2}\cdot2x\)。

解答：\(\sqrt{18x^{3}y^{2}}=\sqrt{9x^{2}y^{2}\cdot2x}=3xy\sqrt{2x}\)

例5：化简\(\sqrt{(a - b)^{2}}\)（\(a < b\)）

分析：根据根式的性质\(\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert\)，当\(a < b\)时，\(a - b<0\)。

解答：\(\sqrt{(a - b)^{2}}=\vert a - b\vert=b - a\)

例6：化简\(\sqrt{45a^{4}b^{3}c^{2}}\)（\(a\geq0,b\geq0,c\geq0\)）

分析：将被开方数分解因数，\(45a^{4}b^{3}c^{2}=9a^{4}b^{2}c^{2}\cdot5b\)。

解答：\(\sqrt{45a^{4}b^{3}c^{2}}=\sqrt{9a^{4}b^{2}c^{2}\cdot5b}=3a^{2}bc\sqrt{5b}\)

例7：化简\(\sqrt{288x^{7}y^{5}}\)（\(x\geq0,y\geq0\)）

分析：\(288x^{7}y^{5}=144x^{6}y^{4}\cdot2xy\)。

解答：\(\sqrt{288x^{7}y^{5}}=\sqrt{144x^{6}y^{4}\cdot2xy}=12x^{3}y^{2}\sqrt{2xy}\)

例8：化简\(\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}\)（\(a\neq0,b\neq0\)）

分析：先通分，再化简。\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}\)。

解答：\(\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b^{2}+a^{2}}{a^{2}b^{2}}}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\vert ab\vert}\)

例9：化简\(\sqrt{50x^{3}- 32x}\)（\(x\geq0\)）

分析：先提取公因式，再化简。\(50x^{3}-32x = 2x(25x^{2}-16)\)。

解答：\(\sqrt{50x^{3}-32x}=\sqrt{2x(25x^{2}-16)}\)

\(=\sqrt{2x(5x + 4)(5x - 4)}=\sqrt{2x}\cdot\sqrt{(5x + 4)(5x - 4)}\)

例10：化简\(\sqrt{98m^{2}n - 162n^{3}}\)（\(m\geq0,n\geq0\)）

分析：提取公因式\(2n\)后化简。\(98m^{2}n - 162n^{3}=2n(49m^{2}-81n^{2})\)。

解答：\(\sqrt{98m^{2}n - 162n^{3}}=\sqrt{2n(49m^{2}-81n^{2})}\)

\(=\sqrt{2n(7m + 9n)(7m - 9n)}=\sqrt{2n}\cdot\sqrt{(7m + 9n)(7m - 9n)}\)

2. 计算类

例11：计算\((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})\)

分析：利用平方差公式\((a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}\)。

解答：\((\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}=3 - 2 = 1\)

例12：计算\((\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}\)

分析：利用完全平方公式\((a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}\)。

解答：\((\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{5})^{2}+2\sqrt{5}\times\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}=5 + 2\sqrt{15}+3=8 + 2\sqrt{15}\)

例13：计算\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)

分析：先分母有理化，\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1\)，\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)。

解答：\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}+1+\sqrt{3}-\sqrt{2}=1+\sqrt{3}\)

例14：计算\((\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{3}+1)^{2}\)

分析：分别利用平方差公式和完全平方公式计算。

解答：\((\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{3}+1)^{2}\）

\(=(\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{5})^{2}-((\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{3}+1)=7 - 5-(3 + 2\sqrt{3}+1)=-2 - 2\sqrt{3}\)

例15：计算\(\sqrt{18}-\sqrt{\frac{9}{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}+(\sqrt{3}-2)^{0}\)

分析：分别化简各项，任何非零数的\(0\)次方为\(1\)。

解答：\(\sqrt{18}-\sqrt{\frac{9}{2}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{\sqrt{3}}+(\sqrt{3}-2)^{0}\)

\(=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}-(1 + \sqrt{2})+1=\frac{3\sqrt{2}}{2}-1 - \sqrt{2}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

例16：计算\((\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})-(\sqrt{2}-1)^{2}\)

分析：利用平方差公式和完全平方公式。

解答：\((\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{3})-(\sqrt{2}-1)^{2}\)

\(=(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{3})^{2}-((\sqrt{2})^{2}-2\sqrt{2}+1)=6 - 3-(2 - 2\sqrt{2}+1)=2\sqrt{2}\)

例17：计算\(\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}+(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)\)

分析：先化简分子，再利用平方差公式。

解答：\(\frac{\sqrt{32}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}}+(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)\)

\(=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+((\sqrt{5})^{2}-1^{2})=2 + 5 - 1 = 6\)

例18：计算\(\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}(\sqrt{6}-\sqrt{3})\)

分析：先分别展开括号，再计算。

解答：\(\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}(\sqrt{6}-\sqrt{3})=2+\sqrt{6}-6 + 3\sqrt{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\)

例19：计算\((\sqrt{12}-\sqrt{27})\div\sqrt{3}+(\sqrt{3}-1)^{2}\)

分析：先将括号内的式子化简，再计算除法和完全平方。

解答：\((\sqrt{12}-\sqrt{27})\div\sqrt{3}+(\sqrt{3}-1)^{2}\)

\(=(2\sqrt{3}-3\sqrt{3})\div\sqrt{3}+(3 - 2\sqrt{3}+1)\)

\(=(-\sqrt{3})\div\sqrt{3}+4 - 2\sqrt{3}=-1 + 4 - 2\sqrt{3}=3 - 2\sqrt{3}\)

例20：计算\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\)

分析：先分母有理化，再进行计算。

解答：\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}\)

\(=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-\sqrt{2}\)

3. 求值类

例21：已知\(x = \sqrt{3}+1\)，\(y=\sqrt{3}-1\)，求\(x^{2}-y^{2}\)的值。

分析：先利用平方差公式\(x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)\)，再代入\(x\)、\(y\)的值。

解答：\(x + y=\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1 = 2\sqrt{3}\)，\(x - y=\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)=2\)，所以

\(x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)=2\sqrt{3}\times2 = 4\sqrt{3}\)

例22：已知\(a=\sqrt{5}-2\)，求\(a^{2}+4a + 4\)的值。

分析：先将式子变形为完全平方形式\((a + 2)^{2}\)，再代入\(a\)的值。

解答：\(a + 2=\sqrt{5}-2 + 2=\sqrt{5}\)，所以\(a^{2}+4a + 4=(a + 2)^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5\)

例23：若\(x=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\)，求\(x^{2}-2x + 1\)的值。

分析：先将\(x\)分母有理化得\(x=\sqrt{2}+1\)，再将式子变形为\((x - 1)^{2}\)，代入\(x\)的值。

解答：\(x - 1=\sqrt{2}+1-1=\sqrt{2}\)，所以\(x^{2}-2x + 1=(x - 1)^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2\)

例24：已知\(a = \sqrt{7}+2\)，\(b=\sqrt{7}-2\)，求\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)的值。

分析：先通分\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\)，再分别求出\(a^{2}\)、\(b^{2}\)和\(ab\)的值代入。

解答：\(a^{2}=(\sqrt{7}+2)^{2}=7 + 4\sqrt{7}+4 = 11 + 4\sqrt{7}\)

\(b^{2}=(\sqrt{7}-2)^{2}=7 - 4\sqrt{7}+4 = 11 - 4\sqrt{7}\)，\(ab=(\sqrt{7}+2)(\sqrt{7}-2)=7 - 4 = 3\)

\(a^{2}+b^{2}=11 + 4\sqrt{7}+11 - 4\sqrt{7}=22\)，所以

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac{22}{3}\)

例25：已知\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)，\(y=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的值。

分析：先通分\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y + x}{xy}\)，再代入\(x\)、\(y\)的值。

解答：\(x + y=\sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=2\sqrt{3}\)，

\(xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3 - 2 = 1\)，所以

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y + x}{xy}=2\sqrt{3}\)

二、重二次根式

重二次根式是指形如\(\sqrt{a\pm\sqrt{b}}\)（其中\(a\)、\(b\)为有理数，\(b>0\)且\(\sqrt{b}\)为无理数）的式子。

例如\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)、\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\)等都是常见的重二次根式。

1、配方法

原理：利用完全平方公式\((m \pm n)^2 = m^2 \pm 2mn + n^2\)，将被开方数凑成完全平方式的形式，然后再进行开方化简。

步骤及示例：

对于\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)，分析\(5 + 2\sqrt{6}\)能否凑成完全平方式。

我们可以把\(5\)拆分为\(3 + 2\)，此时发现\(2\sqrt{6} = 2\times\sqrt{3}\times\sqrt{2}\)，而\(3 = (\sqrt{3})^2\)，\(2 = (\sqrt{2})^2\)，那么

\(5 + 2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2 + 2\times\sqrt{3}\times\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\)，根据完全平方公式，它等于\((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\)。

所以\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}=\sqrt{3} + \sqrt{2}\)。

2、平方法

原理：先对重二次根式进行平方运算，化简得到一个较简单的式子，再对化简后的结果开方还原（注意要判断开方后的正负性），从而达到化简的目的。

步骤及示例：

以\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\)为例，设\(x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\)，则\(x^2 = 7 - 4\sqrt{3}\)。

对\(7 - 4\sqrt{3}\)进行变形，将\(7\)拆分为\(4 + 3\)，可得\(7 - 4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 - 2\times 2\times\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2=(2 - \sqrt{3})^2\)。

即\(x^2=(2 - \sqrt{3})^2\)，因为\(x=\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}>0\)，所以\(x = 2 - \sqrt{3}\)，也就是\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}\)。

3、含有分母的重二次根式化简

示例：化简\(\frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}\)。

步骤：先化简分母中的重二次根式，\(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\)，将\(3 + 2\sqrt{2}\)凑成完全平方式，

\(3 + 2\sqrt{2}=(\sqrt{2})^2 + 2\times\sqrt{2}\times 1 + 1^2 = (\sqrt{2} + 1)^2\)，则

\(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2}=\sqrt{2} + 1\)。

所以\(\frac{1}{\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\)，再对这个分母有理化，分子分母同乘\(\sqrt{2} - 1\)，得到\(\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}=\sqrt{2} - 1\)。

4、多个重二次根式的化简

示例：化简\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}\)。

步骤：分别化简两个重二次根式。

对于\(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\)，先对\(2 + \sqrt{3}\)进行变形，

\(2 + \sqrt{3}=\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{3})^2 + 2\times\sqrt{3}\times 1 + 1^2}{2}=\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}\)，则

\(\sqrt{2 + \sqrt{3}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{2}}=\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)。

同理，对于\(\sqrt{2 - \sqrt{3}}\)，

\(2 - \sqrt{3}=\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}=\frac{(\sqrt{3})^2 - 2\times\sqrt{3}\times 1 + 1^2}{2}=\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}\)，

\(\sqrt{2 - \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\)。

所以\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{2 - \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}=\sqrt{6}\)。

5、化简的重要性及应用

重二次根式的化简在数学学习中有着重要意义，它可以使复杂的根式表达式变得简洁明了，便于后续进行运算、求值以及在几何、方程等数学问题中的应用。例如在解一些含有根式的方程时，可能会出现重二次根式，通过化简它能更顺利地求出方程的解；在几何计算中，涉及到一些边长或角度关系用根式表示时，化简重二次根式有助于得到更直观准确的结果。