隐函数：F(x, y) = 0

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一、隐函数的核心概念

在函数关系中，我们常见的“显函数”形式为 y = f(x)（如y = 2x + 3、y = sinx），即因变量y被明确表示为自变量x的表达式。而隐函数则是指变量x和y的关系通过一个方程 F(x, y) = 0 间接确定，无法直接将y分离为x的单独表达式（或分离过程极复杂）。

例如方程 \(x^2 + y^2 = 1\)（单位圆方程），它确定了x与y的对应关系：对于x ∈ (-1, 1)，每个x对应两个y值（\(y = \sqrt{1 - x^2}\) 和 \(y = -\sqrt{1 - x^2}\)），这两个显函数共同构成了方程 \(x^2 + y^2 = 1\) 所确定的隐函数。

1. 隐函数的严格定义：

设 \( D \subseteq \mathbb{R} \)（实数集），若存在一个函数 \( y = f(x) \)（\( x \in D \)），使得对于所有 \( x \in D \)，都有 \( F(x, f(x)) = 0 \) 恒成立，则称 \( y = f(x) \) 是由方程 \( F(x, y) = 0 \) 所确定的隐函数。

关键点1：隐函数并非“方程本身”，而是“方程所确定的 \( x \) 与 \( y \) 的函数关系”。

例如方程 \( x^2 + y^2 = 1 \) 本身不是隐函数，但它能确定两个隐函数：\( y = \sqrt{1 - x^2} \)（上半圆，\( x \in [-1, 1] \)）和 \( y = -\sqrt{1 - x^2} \)（下半圆，\( x \in [-1, 1] \)）。

关键点2：并非所有方程 \( F(x, y) = 0 \) 都能确定隐函数。

例如 \( x^2 + y^2 = -1 \)（无实数解）、\( x^2 + 2y^2 + 3 = 0 \)（无实数解），无法确定任何实数范围内的隐函数。

2. 隐函数与显函数的区别：

对比维度	显函数 \( y = f(x) \)	隐函数（由 \( F(x, y) = 0 \) 确定）
表达形式	因变量 \( y \) 被单独分离在等式一侧，如 \( y = x^3 - 2x \)	因变量 \( y \) 与自变量 \( x \) 混合在等式两侧，如 \( x^3 + y^3 = 3xy \)
函数关系唯一性	通常一个显函数对应唯一的 \( x \to y \) 映射（定义域内）	一个方程可能确定多个隐函数（如 \( x^2 + y^2 = 1 \) 对应上、下半圆两个隐函数）
求解难度	可直接代入 \( x \) 求 \( y \)，计算简单	需通过方程间接求解 \( y \)，部分方程甚至无法解出显式表达式（如 \( xy + \sin y = x \)）

显函数：\( y = \ln x + x^2 \)（直接用 \( x \) 表示 \( y \)，代入 \( x=1 \) 得 \( y=1 \)）；

隐函数：\( x^2 + y^2 = 4 \)（无法直接将 \( y \) 写成单一 \( x \) 的表达式，需分 \( y = \sqrt{4 - x^2} \) 和 \( y = -\sqrt{4 - x^2} \)，代入 \( x=0 \) 得 \( y=\pm2 \)）。

3. 隐函数的存在性与唯一性（隐函数定理）

并非所有方程 \( F(x, y) = 0 \) 都能确定隐函数，法国数学家柯西提出的“隐函数定理”给出了隐函数存在且唯一的严格条件，是理解隐函数的核心理论。

一元隐函数定理（核心）

设二元函数 \( F(x, y) \) 在点 \( P_0(x_0, y_0) \) 的某一邻域内满足以下条件：

1. 连续性：\( F(x, y) \) 及其一阶偏导数 \( F_x'(x, y) \)（对 \( x \) 的偏导数）、\( F_y'(x, y) \)（对 \( y \) 的偏导数）在该邻域内连续；

2. 初始条件：\( F(x_0, y_0) = 0 \)（点 \( P_0 \) 在方程 \( F(x, y) = 0 \) 所表示的曲线上）；

3. 偏导数非零：\( F_y'(x_0, y_0) \neq 0 \)（在点 \( P_0 \) 处，函数 \( F(x, y) \) 对 \( y \) 的变化率不为零）。

则存在唯一的函数 \( y = f(x) \)，满足：

定义域：点 \( x_0 \) 的某一邻域 \( U(x_0) \)；

初始值：\( f(x_0) = y_0 \)；

恒等性：对所有 \( x \in U(x_0) \)，有 \( F(x, f(x)) = 0 \)；

连续性：\( y = f(x) \) 在 \( U(x_0) \) 内连续，且具有连续的一阶导数（可导性）。

定理的直观理解（以 \( x^2 + y^2 = 1 \) 为例）

取点 \( P_0(0, 1) \)（在单位圆上，满足 \( F(0,1)=0 \)）：

\( F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 \)，其偏导数 \( F_x' = 2x \)、\( F_y' = 2y \) 在 \( P_0 \) 邻域内连续；

\( F_y'(0,1) = 2 \times 1 = 2 \neq 0 \)，满足定理条件；

因此在 \( x_0=0 \) 的邻域（如 \( x \in (-1,1) \)）内，存在唯一隐函数 \( y = \sqrt{1 - x^2} \)（上半圆）。

取点 \( P_1(1, 0) \)（在单位圆上，满足 \( F(1,0)=0 \)）：

\( F_y'(1,0) = 2 \times 0 = 0 \)，不满足定理条件；

此时在 \( x_0=1 \) 的邻域内，无法确定唯一隐函数（左侧邻域 \( x < 1 \) 对应 \( y = \pm\sqrt{1 - x^2} \) 两个值，不满足“唯一映射”）。

隐函数的存在性是“局部的”：即使方程在全局无法确定隐函数，在满足定理条件的局部点邻域内仍可能存在唯一隐函数；

偏导数 \( F_y'(x_0, y_0) = 0 \) 是“隐患”：此时可能不存在隐函数，或存在多个隐函数（如 \( x^2 + y^2 = 1 \) 在 \( (1,0) \) 点）。

二、隐函数的求导方法

隐函数大多无法解出显式表达式（如 \( x^3 + y^3 = 3xy \)），但可通过“隐函数求导法”直接计算其导数 \( \frac{dy}{dx} \)，核心思想是“等式两边同时对 \( x \) 求导，将 \( y \) 视为 \( x \) 的函数，利用复合函数求导法则处理含 \( y \) 的项”。

隐函数求导的步骤（以 \( F(x, y) = 0 \) 为例）：

第1步：等式两边对 \( x \) 求导：将方程 \( F(x, y) = 0 \) 左右两边同时对 \( x \) 求导，注意：

仅含 \( x \) 的项：按常规导数公式求导（如 \( \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \)）；

含 \( y \) 的项：将 \( y \) 视为 \( x \) 的函数 \( y = f(x) \)，按复合函数求导法则求导（如 \( \frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} \)，\( \frac{d}{dx}(\sin y) = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} \)）；

含 \( x \) 和 \( y \) 的混合项：按乘积法则或商数法则求导（如 \( \frac{d}{dx}(xy) = x \cdot \frac{dy}{dx} + y \cdot 1 \)）。

第2步：整理方程，解出 \( \frac{dy}{dx} \)：将求导后的方程中含 \( \frac{dy}{dx} \) 的项移到等式一侧，不含 \( \frac{dy}{dx} \) 的项移到另一侧，再通过代数变形解出 \( \frac{dy}{dx} \)（结果中可含 \( x \) 和 \( y \)）。

例题1：基础隐函数求导：已知方程 \(x^2 + y^2 = 25\) 确定隐函数 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

1. 两边对x求导：\(\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)\)；

2. 计算各项：\(2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0\)（\(y^2\) 对x求导用链式法则，先对y求导得2y，再乘 \(\frac{dy}{dx}\)）；

3. 解 \(\frac{dy}{dx}\)：\(2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x\) → \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)（y ≠ 0）。

例题2：含乘积项的隐函数求导：已知 \(xy + x - 2y = 3\) 确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

1. 两边对x求导：\(\frac{d}{dx}(xy) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(2y) = \frac{d}{dx}(3)\)；

2. 用乘积法则求 \(xy\) 的导数：\((x' \cdot y + x \cdot y') + 1 - 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 0\)，即 \(y + x \cdot \frac{dy}{dx} + 1 - 2 \cdot \frac{dy}{dx} = 0\)；

3. 整理含 \(\frac{dy}{dx}\) 的项：\(\frac{dy}{dx}(x - 2) = - (y + 1)\)；

4. 解得：\(\frac{dy}{dx} = \frac{ - (y + 1) }{x - 2} = \frac{y + 1}{2 - x}\)（x ≠ 2）。

例题3：含幂函数与常数项的隐函数求导：已知 \(x^3 + y^3 = 6xy\)（笛卡尔叶形线）确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

1. 两边对x求导：\(3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 6 \cdot (x' \cdot y + x \cdot y')\)；

2. 化简右边：\(3x^2 + 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \cdot \frac{dy}{dx}\)；

3. 移项整理：\(\frac{dy}{dx}(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2\)；

4. 约分并解得：\(\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\)（\(y^2 \neq 2x\)）。

例题4：含三角函数的隐函数求导：已知 \(\sin(x + y) = x\) 确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

1. 两边对x求导：\(\cos(x + y) \cdot \frac{d}{dx}(x + y) = 1\)（链式法则：先对 \(x + y\) 求导得 \(\cos(x + y)\)，再乘 \(x + y\) 对x的导数）；

2. 展开导数项：\(\cos(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = 1\)；

3. 解 \(\frac{dy}{dx}\)：\(1 + \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x + y)}\) → \(\frac{dy}{dx} = \sec(x + y) - 1\)（\(\cos(x + y) \neq 0\)）。

例题5：含指数函数的隐函数求导：已知 \(e^y + xy - e = 0\) 确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\) 及 \(x = 0\) 处的导数。

解：

1. 两边对x求导：\(e^y \cdot \frac{dy}{dx} + (y + x \cdot \frac{dy}{dx}) - 0 = 0\)（\(e^y\) 对x求导用链式法则，得 \(e^y \cdot \frac{dy}{dx}\)）；

2. 整理得：\(\frac{dy}{dx}(e^y + x) = -y\) → \(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{e^y + x}\)（\(e^y + x \neq 0\)）；

3. 求 \(x = 0\) 处的导数：将 \(x = 0\) 代入原方程，得 \(e^y - e = 0\) → \(y = 1\)；

代入导数公式：\(\frac{dy}{dx}\big|_{x=0,y=1} = -\frac{1}{e^1 + 0} = -\frac{1}{e}\)。

例题6：隐函数的二阶导数：已知 \(x^2 + y^2 = 1\) 确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)（二阶导数）。

解：

1. 先求一阶导数：由例题1得 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)；

2. 对一阶导数再对x求导（用商的导数法则）：

\(\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{ \frac{d}{dx}(x) \cdot y - x \cdot \frac{d}{dx}(y) }{y^2} = -\frac{1 \cdot y - x \cdot \frac{dy}{dx}}{y^2}\)；

3. 将 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\) 代入：

\(\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{ y - x \cdot (-\frac{x}{y}) }{y^2} = -\frac{ y + \frac{x^2}{y} }{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}\)；

4. 由原方程 \(x^2 + y^2 = 1\)，化简得：\(\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{y^3}\)（y ≠ 0）。

例题7：隐函数的切线方程（1）求方程 \(x^2 + y^2 = 25\) 在点 (3, 4) 处的切线方程。

解：

1. 先求该点的导数（切线斜率）：由例题1，\(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)；

2. 代入点 (3, 4)：斜率 \(k = \frac{dy}{dx}\big|_{(3,4)} = -\frac{3}{4}\)；

3. 用点斜式写切线方程：\(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\)；

4. 整理为标准式：\(3x + 4y - 25 = 0\)。

例题8：隐函数的切线方程（2）求方程 \(xy = 4\) 在点 (2, 2) 处的切线方程。

解：

1. 求导数：两边对x求导，\(y + x \cdot \frac{dy}{dx} = 0\) → \(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}\)；

2. 代入点 (2, 2)：斜率 \(k = -\frac{2}{2} = -1\)；

3. 切线方程：\(y - 2 = -1 \cdot (x - 2)\) → \(x + y - 4 = 0\)。

例题9：含分式的隐函数求导：已知 \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\)（x ≠ 0, y ≠ 0）确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

1. 先化简方程（两边乘xy消分母）：\(x^2 + y^2 = 2xy\) → \(x^2 - 2xy + y^2 = 0\) → \((x - y)^2 = 0\) → \(y = x\)；

2. 求导：\(\frac{dy}{dx} = 1\)（也可直接对原分式求导验证，结果一致）。

例题10：含对数函数的隐函数求导：已知 \(\ln(xy) = x + y\) 确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

1. 化简左边（对数性质）：\(\ln x + \ln y = x + y\)；

2. 两边对x求导：\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}\)；

3. 整理含 \(\frac{dy}{dx}\) 的项：\(\frac{dy}{dx}(\frac{1}{y} - 1) = 1 - \frac{1}{x}\)；

4. 通分并解得：\(\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{\frac{1}{y} - 1} = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{1 - y}{y}} = \frac{y(x - 1)}{x(1 - y)}\)（x ≠ 0, y ≠ 0, y ≠ 1）。

例题11：隐函数求导的定义域限制：已知 \(x^2 - y^2 = 1\)（双曲线）确定隐函数，求 \(\frac{dy}{dx}\) 并说明定义域。

解：

1. 求导：\(2x - 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0\) → \(\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}\)；

2. 定义域分析：原方程中 \(y^2 = x^2 - 1\) → \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\)，且 \(y \neq 0\)（因y=0时方程无意义）；

故导数的定义域为 \(x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\) 且 \(y \neq 0\)。

例题12：含平方根的隐函数求导：已知 \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{a}\)（a > 0，x ≥ 0，y ≥ 0）确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

1. 两边对x求导：\(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = 0\)（\(\sqrt{y} = y^{1/2}\)，求导用幂法则和链式法则）；

2. 整理得：\(\frac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}}\)；

3. 解得：\(\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = -\sqrt{\frac{y}{x}}\)（x > 0, y > 0）。

例题13：隐函数在特定点的二阶导数：已知 \(e^y = x + y\) 确定 \(y = y(x)\)，求 \(x = 0\) 处的二阶导数 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

解：

1. 求一阶导数：两边对x求导，\(e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}\) → \(\frac{dy}{dx}(e^y - 1) = 1\) → \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y - 1}\)；

2. 求二阶导数（对一阶导数再求导，用商的法则）：

\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{ - \frac{d}{dx}(e^y - 1) }{(e^y - 1)^2} = \frac{ - e^y \cdot \frac{dy}{dx} }{(e^y - 1)^2}\)；

3. 代入一阶导数 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y - 1}\)：

\(\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{ - e^y \cdot \frac{1}{e^y - 1} }{(e^y - 1)^2} = -\frac{e^y}{(e^y - 1)^3}\)；

4. 求 \(x = 0\) 处的值：原方程代入x=0，得 \(e^y = 0 + y\) → 唯一解 \(y = 0\)（因 \(e^y \geq 1\) 当y≥0，y<0时 \(e^y < 1\) 且y<0，仅y=0满足）；

代入二阶导数：\(\frac{d^2y}{dx^2}\big|_{x=0,y=0} = -\frac{e^0}{(e^0 - 1)^3}\)？此处发现分母为0，说明x=0处导数不存在（原方程在x=0附近仅y=0一个点，不满足隐函数存在定理的“邻域内连续”条件）。

例题14：隐函数与显函数的导数一致性验证：已知隐函数方程 \(y = 1 + xe^y\)，将其显化为 \(x = \frac{y - 1}{e^y}\)（x作为y的显函数），验证 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)（反函数导数关系）。

解：

1. 隐函数求 \(\frac{dy}{dx}\)：两边对x求导，\(\frac{dy}{dx} = 0 + e^y + x e^y \cdot \frac{dy}{dx}\) → \(\frac{dy}{dx}(1 - x e^y) = e^y\)；

由原方程 \(x e^y = y - 1\)，代入得 \(\frac{dy}{dx}(1 - (y - 1)) = e^y\) → \(\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{2 - y}\)（y ≠ 2）；

2. 显函数求 \(\frac{dx}{dy}\)：\(x = (y - 1)e^{-y}\)，求导得 \(\frac{dx}{dy} = e^{-y} + (y - 1)(-e^{-y}) = e^{-y}(1 - y + 1) = \frac{2 - y}{e^y}\)；

3. 验证：\(\frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{e^y}{2 - y} = \frac{dy}{dx}\)，与隐函数求导结果一致。

例题15：含三角函数乘积的隐函数求导：已知 \(\sin y + \cos(x + y) = 0\) 确定 \(y = y(x)\)，求 \(\frac{dy}{dx}\)。

解：

1. 两边对x求导：\(\cos y \cdot \frac{dy}{dx} - \sin(x + y) \cdot (1 + \frac{dy}{dx}) = 0\)；

2. 展开并整理：\(\frac{dy}{dx}[\cos y - \sin(x + y)] = \sin(x + y)\)；

3. 解得：\(\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x + y)}{\cos y - \sin(x + y)}\)（分母≠0）；

4. 由原方程 \(\sin y = -\cos(x + y) = \sin(x + y - \frac{\pi}{2})\)，可进一步化简，但导数结果无需显化，保留原式即可。

例题16：隐函数的切线斜率（无解情况）求方程 \(x^2 + y^2 = 0\) 在点 (0, 0) 处的切线斜率。

解：

1. 原方程仅有点 (0, 0) 满足，不满足“隐函数存在定理”中“邻域内连续且有解”的条件（邻域内无其他点满足方程）；

2. 尝试求导：\(2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0\) → \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}\)，在 (0,0) 处分母为0，斜率不存在，即该点无切线。

例题17：含参数的隐函数求导：已知方程 \(x^2 + ky^2 = 1\)（k为常数，k ≠ 0）确定隐函数，讨论k的取值对 \(\frac{dy}{dx}\) 的影响。

解：

1. 求导：\(2x + 2ky \cdot \frac{dy}{dx} = 0\) → \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{ky}\)（y ≠ 0）；

2. 讨论k的影响：

当k > 0时，方程为椭圆（k=1时为圆），x ∈ [-1, 1]，y ∈ [-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}]，导数符号由x和y的符号决定；

当k < 0时，方程为双曲线（k=-1时为等轴双曲线），x ∈ (-∞, -1] ∪ [1, +∞)，y ∈ R，导数符号同样由x和y的符号决定。

例题18：隐函数的三阶导数（简化计算）已知 \(xy = 1\) 确定 \(y = y(x)\)，求三阶导数 \(\frac{d^3y}{dx^3}\)。

解：

1. 显化简化：由 \(xy = 1\) 得 \(y = \frac{1}{x} = x^{-1}\)（虽显化，但可验证隐函数求导的一致性）；

2. 一阶导数：\(\frac{dy}{dx} = -x^{-2}\)；

3. 二阶导数：\(\frac{d^2y}{dx^2} = 2x^{-3}\)；

4. 三阶导数：\(\frac{d^3y}{dx^3} = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}\)；

5. 隐函数求导验证：原方程求导得 \(y + x \cdot \frac{dy}{dx} = 0\) → \(\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}\)，代入 \(y = 1/x\) 得 \(\frac{dy}{dx} = -1/x^2\)，与显化结果一致，后续求导也一致。

例题19：隐函数在切线平行于坐标轴时的点：已知 \(x^2 + 4y^2 = 4\)（椭圆），求其上切线平行于x轴或y轴的点。

解：

1. 求导数：\(2x + 8y \cdot \frac{dy}{dx} = 0\) → \(\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4y}\)（y ≠ 0）；

2. 切线平行于x轴：斜率为0 → \(\frac{dy}{dx} = 0\) → 分子x=0；

代入原方程：\(0 + 4y^2 = 4\) → y=±1，对应点 (0, 1)、(0, -1)；

3. 切线平行于y轴：斜率不存在（分母为0）→ y=0；

代入原方程：\(x^2 + 0 = 4\) → x=±2，对应点 (2, 0)、(-2, 0)。

例题20：隐函数的实际应用（相关变化率）一个半径为5m的圆形水池，水以2m³/min的速度注入，求水深h=3m时，水面上升的速度（提示：圆柱体积V = πr²h，此处r为水面半径，由隐函数 \(r^2 + (h - 5)^2 = 5^2\) 确定，因水池为半球形？修正：若为半球形水池，半径R=5m，水深h处的水面半径r满足 \(r^2 = 2Rh - h^2\)，体积 \(V = \pi h^2(R - \frac{h}{3})\)）。

解：

1. 确定体积公式：半球形水池体积 \(V = \pi h^2(5 - \frac{h}{3})\)（R=5）；

2. 相关变化率：V和h均为时间t的函数，两边对t求导：

\(\frac{dV}{dt} = \pi [ 2h(5 - \frac{h}{3}) \cdot \frac{dh}{dt} + h^2(-\frac{1}{3}) \cdot \frac{dh}{dt} ] = \pi \frac{dh}{dt} [10h - \frac{2h^2}{3} - \frac{h^2}{3}] = \pi \frac{dh}{dt} (10h - h^2)\)；

3. 代入已知条件：\(\frac{dV}{dt} = 2\) m³/min，h=3m，求 \(\frac{dh}{dt}\)：

\(2 = \pi \cdot \frac{dh}{dt} \cdot (10 \times 3 - 3^2) = \pi \cdot \frac{dh}{dt} \cdot 21\)；

4. 解得：\(\frac{dh}{dt} = \frac{2}{21\pi}\) m/min（约0.03 m/min）。

隐函数的核心是“方程确定变量关系”，求导的关键是“将y视为x的函数并应用链式法则”，导数结果可保留y（无需显化）。实际应用中，隐函数常与切线方程、相关变化率等结合，需注意隐函数存在的定义域限制（如分母不为0、三角函数有意义等），避免出现无意义的导数结果。