函数的定义域：Df

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在函数的学习中，定义域是核心基础概念之一，它直接决定了函数的“有效输入范围”——即当自变量取哪些值时，函数表达式有意义（如避免分母为0、根号下为负数、对数真数非正等）。只有明确了定义域，才能进一步研究函数的单调性、奇偶性、值域等性质。

一、什么是函数的定义域？

函数的定义域，指的是使函数表达式有意义的自变量的所有取值集合，通常用集合或区间表示（如\(\{x|x>2\}\)或\((2,+\infty)\)）。

对于函数\(y=f(x)\)，定义域是“\(x\)的取值范围”，需满足以下两类规则：

1. 基本数学规则：避免无意义的运算，例如：

分母不能为0；

偶次根号（如\(\sqrt{\cdot}\)、\(\sqrt[4]{\cdot}\)）下的表达式非负（≥0）；

对数（如\(\log_a x\)、\(\ln x\)）的真数必须为正（>0），且底数\(a>0\)且\(a≠1\)；

正切函数\(\tan x\)的自变量\(x≠\frac{\pi}{2}+k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），余切函数\(\cot x\)的自变量\(x≠k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）；

反三角函数（如\(\arcsin x\)、\(\arccos x\)）的自变量\(x\in[-1,1]\)。

2. 实际问题规则：若函数对应实际场景（如面积、人数、时间），需结合实际意义限制自变量（如时间不能为负、人数为正整数）。

二、定义域的核心求解方法

求解定义域的本质是“列不等式（组）→解不等式（组）→表示结果”，具体步骤如下：

1. 分析表达式结构：识别函数中是否包含分母、偶次根号、对数、三角函数等“受限结构”；

2. 列限制条件：针对每个受限结构，列出使该结构有意义的不等式（如分母≠0、根号下≥0）；

3. 解不等式（组）：通过代数运算（如移项、通分、因式分解）求解不等式组，得到自变量的取值范围；

4. 表示结果：用集合或区间表示定义域（优先用区间，更简洁）。

关键原则：若函数由多个“受限部分”组成（如\(f(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\ln(2-x)}\)），需同时满足所有限制条件，最终取各条件的“交集”。

例题1：一次函数（无受限结构）求函数\(f(x)=2x+3\)的定义域。

解析：一次函数（整式）对所有实数\(x\)均有意义，无限制条件。

定义域：\(\mathbb{R}\)（或\((-\infty,+\infty)\)）。

例题2：分式函数（分母≠0）求函数\(f(x)=\frac{1}{x-5}\)的定义域。

解析：分母不能为0，限制条件：\(x-5≠0\)→\(x≠5\)。

定义域：\((-\infty,5)\cup(5,+\infty)\)。

例题3：偶次根式函数（根号下≥0）求函数\(f(x)=\sqrt{3x-6}\)的定义域。

解析：偶次根号下非负，限制条件：\(3x-6≥0\)→\(3x≥6\)→\(x≥2\)。

定义域：\([2,+\infty)\)。

例题4：奇次根式函数（无额外限制）求函数\(f(x)=\sqrt[3]{2x+1}\)的定义域。

解析：奇次根号（如\(\sqrt[3]{\cdot}\)、\(\sqrt[5]{\cdot}\)）对任意实数均有意义（负数的奇次方根为负数），无限制条件。

定义域：\(\mathbb{R}\)（或\((-\infty,+\infty)\)）。

例题5：对数函数（真数>0，底数>0且≠1）求函数\(f(x)=\log_2(4x-8)\)的定义域。

解析：对数的真数>0，限制条件：\(4x-8>0\)→\(4x>8\)→\(x>2\)（底数2>0且≠1，已满足）。

定义域：\((2,+\infty)\)。

例题6：自然对数函数（\(\ln x\)即\(\log_e x\)）求函数\(f(x)=\ln(1-x)\)的定义域。

解析：自然对数的真数>0，限制条件：\(1-x>0\)→\(x<1\)。

定义域：\((-\infty,1)\)。

例题7：正切函数（\(\tan x\)的周期限制）求函数\(f(x)=\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)的定义域。

解析：正切函数\(\tan\theta\)的\(\theta≠\frac{\pi}{2}+k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)），令\(\theta=x+\frac{\pi}{4}\)，则限制条件：

\(x+\frac{\pi}{4}≠\frac{\pi}{2}+k\pi\)→\(x≠\frac{\pi}{4}+k\pi\)（\(k\in\mathbb{Z}\)）。

定义域：\(\left\{x|x≠\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}\)。

例题8：反正弦函数（\(\arcsin x\)的范围限制）求函数\(f(x)=\arcsin(2x-1)\)的定义域。

解析：\(\arcsin t\)的自变量\(t\in[-1,1]\)，令\(t=2x-1\)，限制条件：

\(-1≤2x-1≤1\)→\(0≤2x≤2\)→\(0≤x≤1\)。

定义域：\([0,1]\)。

例题9：反余弦函数（\(\arccos x\)的范围限制）求函数\(f(x)=\arccos\left(\frac{x}{3}\right)\)的定义域。

解析：\(\arccos t\)的自变量\(t\in[-1,1]\)，令\(t=\frac{x}{3}\)，限制条件：

\(-1≤\frac{x}{3}≤1\)→\(-3≤x≤3\)。

定义域：\([-3,3]\)。

例题10：分式+偶次根式（综合1）求函数\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-3}\)的定义域。

解析：需同时满足“根号下≥0”和“分母≠0”，列不等式组：

\(\begin{cases}x+2≥0\\x-3≠0\end{cases}\)→\(\begin{cases}x≥-2\\x≠3\end{cases}\)。

定义域：\([-2,3)\cup(3,+\infty)\)。

例题11：偶次根式+对数（综合2）求函数\(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)}\)的定义域。

解析：需同时满足“根号下≥0”和“对数真数>0”，列不等式组：

\(\begin{cases}\log_{\frac{1}{2}}(x-1)≥0\\x-1>0\end{cases}\)

对数真数>0：\(x-1>0\)→\(x>1\)；

对数≥0：\(\log_{\frac{1}{2}}t≥0\)（底数\(\frac{1}{2}\in(0,1)\)，对数函数单调递减）→\(t≤1\)（即\(x-1≤1\)→\(x≤2\)）。

联立得：\(1<x≤2\)。

定义域：\((1,2]\)。

例题12：分式+对数（综合3）求函数\(f(x)=\frac{1}{\ln(x+2)-\ln(x-1)}\)的定义域。

解析：需满足“分母≠0”“对数真数>0”，列不等式组：

\(\begin{cases}x+2>0\\x-1>0\\\ln(x+2)-\ln(x-1)≠0\end{cases}\)

真数>0：\(x+2>0\)→\(x>-2\)；\(x-1>0\)→\(x>1\)（取交集\(x>1\)）；

分母≠0：\(\ln\left(\frac{x+2}{x-1}\right)≠0\)→\(\frac{x+2}{x-1}≠1\)（因\(\ln1=0\)）→\(x+2≠x-1\)（恒成立，无额外限制）。

联立得：\(x>1\)。

定义域：\((1,+\infty)\)。

例题13：多重根式（根号套根号）求函数\(f(x)=\sqrt{\sqrt{x-1}-2}\)的定义域。

解析：从“最内层根号”向外分析，需满足所有根号下≥0：

1. 内层根号：\(x-1≥0\)→\(x≥1\)；

2. 外层根号：\(\sqrt{x-1}-2≥0\)→\(\sqrt{x-1}≥2\)→\(x-1≥4\)→\(x≥5\)。

联立取交集：\(x≥5\)。

定义域：\([5,+\infty)\)。

例题14：分式+正切函数（综合4）求函数\(f(x)=\frac{\tan x}{x}\)的定义域。

解析：需满足“分母≠0”和“正切有意义”，列不等式组：

\(\begin{cases}x≠0\\x≠\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbb{Z})\end{cases}\)。

定义域：\(\left\{x|x≠0且x≠\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\}\)。

例题15：实际问题（面积函数）用长为10m的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为\(x\)（m），面积为\(S\)（m²），求\(S\)关于\(x\)的函数的定义域。

解析：先列函数关系，再结合实际意义限制：

矩形周长=10→另一边长为\(\frac{10-2x}{2}=5-x\)；

面积\(S=x(5-x)\)；

实际意义：边长为正数→\(x>0\)且\(5-x>0\)→\(0<x<5\)。

定义域：\((0,5)\)。

例题16：指数函数（无额外限制）求函数\(f(x)=2^{3x-1}+5^x\)的定义域。

解析：指数函数\(a^x\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）对任意实数\(x\)均有意义，无限制条件。

定义域：\(\mathbb{R}\)（或\((-\infty,+\infty)\)）。

例题17：分式+反正弦（综合5）求函数\(f(x)=\frac{\arcsin(3x)}{1-x}\)的定义域。

解析：需满足“反正弦范围”和“分母≠0”，列不等式组：

\(\begin{cases}-1≤3x≤1\\1-x≠0\end{cases}\)→\(\begin{cases}-\frac{1}{3}≤x≤\frac{1}{3}\\x≠1\end{cases}\)（\(x≠1\)与前一条件无冲突，取前一范围）。

定义域：\(\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]\)。

例题18：对数+偶次根式（综合6）求函数\(f(x)=\sqrt{x-2}+\log_3(5-x)\)的定义域。

解析：需满足“根号下≥0”和“对数真数>0”，列不等式组：

\(\begin{cases}x-2≥0\\5-x>0\end{cases}\)→\(\begin{cases}x≥2\\x<5\end{cases}\)。

定义域：\([2,5)\)。

例题19：复杂分式（分母含根式）求函数\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}-1}\)的定义域。

解析：需满足“分母≠0”和“根号下≥0”，列不等式组：

\(\begin{cases}4-x^2≥0\\\sqrt{4-x^2}-1≠0\end{cases}\)

根号下≥0：\(4-x^2≥0\)→\(x^2≤4\)→\(-2≤x≤2\)；

分母≠0：\(\sqrt{4-x^2}≠1\)→\(4-x^2≠1\)→\(x^2≠3\)→\(x≠\sqrt{3}\)且\(x≠-\sqrt{3}\)。

联立得：\(-2≤x≤2\)且\(x≠\pm\sqrt{3}\)。

定义域：\([-2,-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3},\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},2]\)。

例题20：实际问题（人数函数）某班有50名学生，现组织捐书活动，每人至少捐1本，最多捐5本，设捐书的人数为\(x\)，捐书总数为\(y\)，求\(y\)关于\(x\)的函数的定义域。

解析：先列函数关系，再结合实际意义（人数为正整数）：

捐书总数\(y\)的范围：\(x×1≤y≤x×5\)（但题目仅需\(x\)的范围）；

实际意义：人数\(x\)为正整数，且\(x≤50\)（总人数50）→\(1≤x≤50\)且\(x\in\mathbb{N}^*\)（正整数）。

定义域：\(\{1,2,3,\dots,50\}\)。

通过以上例题可总结：求解定义域的关键是“不遗漏任何受限结构”，并准确联立不等式组。只要熟练掌握各类结构的限制条件，无论表达式多复杂，都能逐步拆解求解。

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