一、二次函数的定义与性质

一般地，形如\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)为常数）的函数，叫做二次函数，其中\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数，二次函数的图像是一条抛物线。

1、二次函数的表达式形式：

（1）一般式：\(y = ax^{2}+bx + c\)，适用于已知函数图像上的三个点的坐标等条件来确定函数解析式.

（2）顶点式：\(y = a(x - h)^{2}+k\)，其中\((h,k)\)为抛物线的顶点坐标，对称轴为\(x = h\)。当已知抛物线的顶点坐标和另一个点的坐标时，用顶点式来求解函数解析式较为简便.

（3）交点式：\(y = a(x - x_{1})(x - x_{2})\)，\(x_{1}\)、\(x_{2}\)为二次函数与\(x\)轴的两交点的横坐标，即一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)的两个根。当已知抛物线与\(x\)轴的两个交点坐标和另一个点的坐标时，可使用交点式来确定函数解析式.

2、二次函数的二次项系数\(a\)决定抛物线的开口方向和大小：

（1）开口方向：当\(a\gt0\)时，抛物线开口向上；当\(a\lt0\)时，抛物线开口向下；

（2）形态大小：\(\vert a\vert\)越大，抛物线的开口越小；\(\vert a\vert\)越小，抛物线的开口越大。

3、二次函数的对称轴：\(x = -\frac{b}{2a}\)

一次项系数\(b\)和二次项系数\(a\)共同决定对称轴的位置：

（1）当\(a\)与\(b\)同号时（即\(ab\gt0\)），对称轴在\(y\)轴左侧；

（2）当\(a\)与\(b\)异号时（即\(ab\lt0\)），对称轴在\(y\)轴右侧；

（3）当\(b = 0\)时，抛物线的对称轴是\(y\)轴（即直线\(x = 0\)）。

4、二次函数的顶点坐标：\((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^{2}}{4a})\)

（1）当\(-\frac{b}{2a}=0\)，即\(b = 0\)时，顶点在\(y\)轴上；

（2）当\(\Delta=b^{2}-4ac = 0\)时，顶点在\(x\)轴上 。

5、二次函数图像与\(y\)轴的交点：\((0, c)\)

（1）当\(c = 0\)时，图像过原点；

（2）当\(c\gt0\)时，图像与\(y\)轴正半轴相交；

（3）当\(c\lt0\)时，图像与\(y\)轴负半轴相交。

6、二次函数图像与\(x\)轴的交点：由判别式\(\Delta = b^{2}-4ac\)决定

（1）当\(\Delta\gt0\)时，抛物线与\(x\)轴有\(2\)个交点，交点坐标为\((\frac{-b + \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0)\)和\((\frac{-b - \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},0)\)；

（2）当\(\Delta = 0\)时，抛物线与\(x\)轴有\(1\)个交点，交点坐标为\((-\frac{b}{2a},0)\)；

（3）当\(\Delta\lt0\)时，抛物线与\(x\)轴没有交点 。

7、二次函数的的增减性（单调性、升降性） ：

（1）当\(a\gt0\)时，在对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)左侧，即\(x\lt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；在对称轴右侧，即\(x\gt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。

（2）当\(a\lt0\)时，在对称轴左侧，即\(x\lt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；在对称轴右侧，即\(x\gt -\frac{b}{2a}\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。

8、二次函数的最值（最大值与最小值） ：

（1）当\(a\gt0\)时，函数在\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最小值\(y_{min}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，此时函数的值域是\(\left\{y\vert y\geq\frac{4ac - b^{2}}{4a}\right\}\)。

（2）当\(a\lt0\)时，函数在\(x = -\frac{b}{2a}\)处取得最大值\(y_{max}=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，此时函数的值域是\(\left\{y\vert y\leq\frac{4ac - b^{2}}{4a}\right\}\) 。

9、二次函数的奇偶性：

（1）当\(b = 0\)时，二次函数\(y = ax^{2}+c\)是偶函数，其图像关于\(y\)轴对称；

（2）当\(b\neq0\)时，二次函数是非奇非偶函数.

二、二次函数在闭区间上的最值

1、二次函数在闭区间上的最值-定轴定区间

原理：对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)，当对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)是固定的，给定的区间\([m,n]\)也是固定的，根据对称轴与区间的位置关系来确定函数的最值。

情况一：对称轴在区间左侧（\(-\frac{b}{2a}<m\)）

当\(a>0\)时，函数开口向上，在区间\([m,n]\)上单调递增，所以最小值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最大值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)；

当\(a<0\)时，函数开口向下，在区间\([m,n]\)上单调递减，所以最大值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最小值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

例如，对于二次函数\(y = x^{2} - 2x + 3\)，在闭区间\([1,3]\)上，\(a = 1\)，\(b = -2\)，对称轴\(x = -\frac{-2}{2\times1} = 1\)，刚好在闭区间\([1,3]\)的左侧，函数在该区间单调递增，则\(y_{min}=f(1)=1^{2} - 2\times1 + 3 = 2\)，\(y_{max}=f(3)=3^{2} - 2\times3 + 3 = 6\)。

例如，对于二次函数\(y = -2x^{2} + 3x - 1\)在闭区间\([0,1]\)上，\(a = -2\)，\(b = 3\)，对称轴\(x = -\frac{3}{2\times(-2)}=\frac{3}{4}\)在闭区间左侧，函数在该区间单调递减，则\(y_{max}=f(0)=-2\times0^{2} + 3\times0 - 1 = -1\)，\(y_{min}=f(1)=-2\times1^{2} + 3\times1 - 1 = 0\)。

情况二：对称轴在区间右侧（\(-\frac{b}{2a}>n\)）

当\(a>0\)时，函数在区间\([m,n]\)上单调递减，最大值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最小值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)；

当\(a<0\)时，函数在区间\([m,n]\)上单调递增，最小值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最大值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

例如，对于二次函数\(y = -x^{2} + 4x - 3\)（这里\(a = -1\)，取其相反数使其满足\(a > 0\)便于对比说明，实际解题按原函数分析即可）在闭区间\([3,4]\)上，对称轴\(x = -\frac{4}{2\times(-1)} = 2\)在闭区间右侧，函数在该区间单调递减，则\(y_{min}=f(4)=-4^{2} + 4\times4 - 3 = -3\)，\(y_{max}=f(3)=-3^{2} + 4\times3 - 3 = 0\)。

例如，对于二次函数\(y = -x^{2} - 2x + 4\)在闭区间\([-2,-1]\)上，\(a = -1\)，\(b = -2\)，对称轴\(x = -\frac{-2}{2\times(-1)} = -1\)在闭区间右侧，函数在该区间单调递增，则\(y_{max}=f(-1)=-(-1)^{2} - 2\times(-1) + 4 = 5\)，\(y_{min}=f(-2)=-(-2)^{2} - 2\times(-2) + 4 = 4\)。 

情况三：对称轴在区间内（\(m\leq-\frac{b}{2a}\leq n\)）

当\(a>0\)时，函数开口向上，在对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)处取得最小值\(y(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)。然后比较区间端点值\(y(m)\)和\(y(n)\)的大小，较大者为最大值。

当\(a<0\)时，函数开口向下，在对称轴处取得最大值\(y(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，比较\(y(m)\)和\(y(n)\)的大小，较小者为最小值。

举例：求函数\(y = 2x^{2}-4x - 3\)在区间\([-1,3]\)上的最值。对称轴为\(x =-\frac{-4}{2\times2}=1\)，\(a = 2>0\)，开口向上，对称轴在区间\([-1,3]\)内。最小值为\(y(1)=2\times1^{2}-4\times1 - 3=-5\)，\(y(-1)=2\times(-1)^{2}-4\times(-1)-3 = 3\)，\(y(3)=2\times3^{2}-4\times3 - 3 = 3\)，最大值为\(3\)。

比如，二次函数\(y = 2x^{2} - 4x + 1\)在闭区间\([0,2]\)上，\(a = 2\)，\(b = -4\)，对称轴\(x = -\frac{-4}{2\times2} = 1\)在区间\([0,2]\)内，\(f(1)=2\times1^{2} - 4\times1 + 1 = -1\)，\(f(0)=2\times0^{2} - 4\times0 + 1 = 1\)，\(f(2)=2\times2^{2} - 4\times2 + 1 = 1\)，所以\(y_{min} = -1\)，\(y_{max} = 1\)。

比如，二次函数\(y = -3x^{2} + 6x + 2\)在闭区间\([-1,2]\)上，\(a = -3\)，\(b = 6\)，对称轴\(x = -\frac{6}{2\times(-3)} = 1\)在区间\([-1,2]\)内，\(f(1)=-3\times1^{2} + 6\times1 + 2 = 5\)，\(f(-1)=-3\times(-1)^{2} + 6\times(-1) + 2 = -7\)，\(f(2)=-3\times2^{2} + 6\times2 + 2 = 2\)，所以\(y_{max} = 5\)，\(y_{min} = -7\)。

2、二次函数在闭区间上的最值-动轴定区间

原理：二次函数的对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)是变化的（例如函数含有参数），而区间\([m,n]\)是固定的。需要根据对称轴的位置变化来讨论函数在区间上的最值。

情况一：对称轴在区间左侧（\(-\frac{b}{2a}<m\)）且\(a>0\)（开口向上）

函数在区间\([m,n]\)上单调递增，最小值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最大值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况二：对称轴在区间左侧（\(-\frac{b}{2a}<m\)）且\(a<0\)（开口向下）

函数在区间\([m,n]\)上单调递减，最大值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最小值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况三：对称轴在区间右侧（\(-\frac{b}{2a}>n\)）且\(a>0\)（开口向上）

函数在区间\([m,n]\)上单调递减，最大值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最小值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况四：对称轴在区间右侧（\(-\frac{b}{2a}>n\)）且\(a<0\)（开口向下）

函数在区间\([m,n]\)上单调递增，最小值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最大值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况五：对称轴在区间内（\(m\leq-\frac{b}{2a}\leq n\)）且\(a>0\)（开口向上）

最小值为\(y(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，比较\(y(m)\)和\(y(n)\)大小确定最大值。

情况六：对称轴在区间内（\(m\leq-\frac{b}{2a}\leq n\)）且\(a<0\)（开口向下）

最大值为\(y(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，比较\(y(m)\)和\(y(n)\)大小确定最小值。

举例：求函数\(y = x^{2}-2ax + 1\)在区间\([0,2]\)上的最值（\(a\)为参数）。

对称轴为\(x = a\)。

当\(a<0\)时，开口向上，函数在\([0,2]\)上单调递增，最小值为\(y(0)=1\)，最大值为\(y(2)=4 - 4a + 1 = 5 - 4a\)；

当\(0\leq a\leq2\)时，最小值为\(y(a)=1 - a^{2}\)，比较\(y(0)=1\)和\(y(2)=5 - 4a\)大小确定最大值；

当\(a>2\)时，开口向上，函数在\([0,2]\)上单调递减，最大值为\(y(0)=1\)，最小值为\(y(2)=5 - 4a\)。

3、二次函数在闭区间上的最值-定轴动区间

原理：二次函数的对称轴\(x =-\frac{b}{2a}\)是固定的，而区间\([m,n]\)是变化的（例如区间端点含有参数）。要根据区间与对称轴的相对位置来讨论函数的最值。

情况一：区间在对称轴左侧（\(n<-\frac{b}{2a}\)）且\(a>0\)（开口向上）

函数在区间\([m,n]\)上单调递减，最大值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最小值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况二：区间在对称轴左侧（\(n<-\frac{b}{2a}\)）且\(a<0\)（开口向下）

函数在区间\([m,n]\)上单调递增，最小值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最大值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况三：区间在对称轴右侧（\(m>-\frac{b}{2a}\)）且\(a>0\)（开口向上）

函数在区间\([m,n]\)上单调递增，最小值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最大值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况四：区间在对称轴右侧（\(m>-\frac{b}{2a}\)）且\(a<0\)（开口向下）

函数在区间\([m,n]\)上单调递减，最大值为\(y(m)=am^{2}+bm + c\)，最小值为\(y(n)=an^{2}+bn + c\)。

情况五：区间包含对称轴（\(m\leq-\frac{b}{2a}\leq n\)）且\(a>0\)（开口向上）

最小值为\(y(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，比较\(y(m)\)和\(y(n)\)大小确定最大值。

情况六：区间包含对称轴（\(m\leq-\frac{b}{2a}\leq n\)）且\(a<0\)（开口向下）

最大值为\(y(-\frac{b}{2a})=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\)，比较\(y(m)\)和\(y(n)\)大小确定最小值。

举例：求函数\(y = 2x^{2}-4x - 3\)在区间\([k,k + 2]\)（\(k\)为参数）上的最值。

对称轴为\(x = 1\)。

当\(k + 2<1\)，即\(k < - 1\)时，函数在\([k,k + 2]\)上单调递减，最大值为\(y(k)=2k^{2}-4k - 3\)，最小值为\(y(k + 2)=2(k + 2)^{2}-4(k + 2)-3 = 2k^{2}+4k - 3\)；

当\(k\leq1\leq k + 2\)，即\(-1\leq k\leq1\)时，最小值为\(y(1)=-5\)，比较\(y(k)\)和\(y(k + 2)\)大小确定最大值；

当\(k>1\)时，函数在\([k,k + 2]\)上单调递增，最小值为\(y(k)=2k^{2}-4k - 3\)，最大值为\(y(k + 2)=2k^{2}+4k - 3\)。

三、二次函数的根的分布问题

二次函数的一般形式为 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)），其图像是抛物线。

根的分布问题本质是“抛物线与x轴的交点（即方程 \( f(x)=0 \) 的实根）落在指定区间内”的条件分析。需先明确核心分析工具：  

（1）判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \)：决定是否有实根（\( \Delta \geq 0 \) 有实根，\( \Delta > 0 \) 有两个不等实根，\( \Delta = 0 \) 有两个相等实根）；  

（2）开口方向 \( a \)：\( a > 0 \) 抛物线开口向上，\( a < 0 \) 开口向下；  

（3）对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \)：决定抛物线的“中心轴”位置，影响根的对称分布；  

（4）区间端点函数值 \( f(m)、f(n) \)（\( m < n \) 为区间端点）：反映抛物线在区间边界的“高低”，辅助判断交点是否在区间内；  

（5）韦达定理（根与系数关系）：若根为 \( x_1、x_2 \)，则 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)，\( x_1x_2 = \frac{c}{a} \)，可辅助分析根的和、积与区间的关系。  

根的分布问题1、两根均在区间 \( (m, n) \) 内（“内夹型”）方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个不等实根 \( x_1、x_2 \)，且满足 \( m < x_1 < x_2 < n \)（注意：若两根相等，需额外加“判别式 \( \Delta = 0 \)”，且对称轴对应的函数值为0）。

图像特征（以 \( a > 0 \) 为例）：抛物线开口向上，与x轴有两个交点，且两个交点均在区间 \( (m, n) \) 内部。此时需满足4个核心条件：  

（1）首先有两个实根，故 判别式 \( \Delta > 0 \)（若允许等根则 \( \Delta \geq 0 \)）；  

（2）抛物线在区间两端“高于x轴”（因开口向上，若区间端点在交点外侧，函数值必为正），故 \( f(m) > 0 \) 且 \( f(n) > 0 \)；  

（3）对称轴需在区间 \( (m, n) \) 内（否则两根会偏向区间一侧，无法同时在内部），故 \( m < -\frac{b}{2a} < n \)。

代数条件（分开口方向）：

当 \( a > 0 \) 时：\( \begin{cases} \Delta > 0 \\ f(m) > 0 \\ f(n) > 0 \\ m < -\frac{b}{2a} < n \end{cases} \)  

当 \( a < 0 \) 时（开口向下，区间端点函数值需为负）：\( \begin{cases} \Delta > 0 \\ f(m) < 0 \\ f(n) < 0 \\ m < -\frac{b}{2a} < n \end{cases} \)  

示例：若 \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)，判断是否存在 \( m=0、n=4 \)，使两根在 \( (0,4) \) 内。  

解：\( a=1>0 \)，\( \Delta = (-2)^2 - 4×1×(-3) = 16 > 0 \)；\( f(0) = -3 < 0 \)（不满足 \( f(m) > 0 \)），故两根不在 \( (0,4) \) 内（实际根为 \( x=-1 \) 和 \( x=3 \)，\( x=-1 \) 在区间外）。

根的分布问题2、两根均在区间 \( (-\infty, m] \) 或 \( [n, +\infty) \) 内（“外离型”）方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个不等实根 \( x_1、x_2 \)，且满足 \( x_1 \leq x_2 \leq m \)（“均在 \( [n, +\infty) \)”类似，仅需调整对称轴和端点函数值方向）。

图像特征（以 \( a > 0 \)、“均在 \( (-\infty, m] \)”为例）：抛物线开口向上，两个交点均在区间 \( (-\infty, m] \) 左侧（或端点）。需满足3个核心条件：  

（1）有实根，故 \( \Delta \geq 0 \)；  

（2）对称轴在 \( m \) 的左侧（确保两根整体偏左），故 \( -\frac{b}{2a} \leq m \)；  

（3）区间端点 \( m \) 处的函数值非负（开口向上，若 \( m \) 在对称轴右侧，函数值必覆盖两根外侧，需为正以保证交点在左侧），故 \( f(m) \geq 0 \)。

代数条件（分开口方向和区间）：

情况1：两根均在 \( (-\infty, m] \) 内  

\( a > 0 \) 时：\( \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ -\frac{b}{2a} \leq m \\ f(m) \geq 0 \end{cases} \)  

\( a < 0 \) 时（开口向下，端点函数值需非正）：\( \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ -\frac{b}{2a} \leq m \\ f(m) \leq 0 \end{cases} \)  

情况2：两根均在 \( [n, +\infty) \) 内  

\( a > 0 \) 时：\( \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ -\frac{b}{2a} \geq n \\ f(n) \geq 0 \end{cases} \)  

\( a < 0 \) 时：\( \begin{cases} \Delta \geq 0 \\ -\frac{b}{2a} \geq n \\ f(n) \leq 0 \end{cases} \)  

示例：若 \( f(x) = 2x^2 + 4x - 6 \)，求 \( m \) 的范围，使两根均在 \( (-\infty, m] \) 内。  

解：\( a=2>0 \)，\( \Delta = 16 + 48 = 64 \geq 0 \)；对称轴 \( x = -\frac{4}{2×2} = -1 \)，故需 \( -1 \leq m \)；\( f(m) = 2m^2 + 4m - 6 \geq 0 \)，解得 \( m \geq 1 \) 或 \( m \leq -3 \)。结合 \( -1 \leq m \)，最终 \( m \geq 1 \)（实际根为 \( x=1 \) 和 \( x=-3 \)，当 \( m \geq 1 \) 时，两根均 ≤ m）。

根的分布问题3、一根在区间 \( (m, n) \) 内，另一根在区间 \( (p, q) \) 内（“区间分离型”，且 \( (m, n) \) 与 \( (p, q) \) 无交集）方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有两个不等实根，且 \( x_1 \in (m, n) \)，\( x_2 \in (p, q) \)（例如 \( n < p \)，即两个区间左、右分离）。

图像特征（以 \( a > 0 \)、\( n < p \) 为例）：抛物线开口向上，一个交点在 \( (m, n) \) 内，另一个在 \( (p, q) \) 内。核心逻辑是“区间端点函数值异号”——因抛物线连续，若区间两端函数值一正一负，必存在一个交点在区间内。  

需满足：\( f(m) \cdot f(n) < 0 \)（保证 \( (m, n) \) 内有一根）且 \( f(p) \cdot f(q) < 0 \)（保证 \( (p, q) \) 内有一根）。  

注：无需额外加判别式，因“两端异号”已隐含 \( \Delta > 0 \)，若区间端点为根，可将“<”改为“≤”。

代数条件（与开口方向无关，仅需端点异号）：

无论 \( a > 0 \) 还是 \( a < 0 \)，只需满足“两个区间各自的端点函数值异号”：  \( f(m) \cdot f(n) < 0 \) 且 \( f(p) \cdot f(q) < 0 \)（若允许根在区间端点，改为“≤0”）。

示例：若 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，判断根是否分别在 \( (0,1) \) 和 \( (2,3) \) 内。  

解：\( f(0)=2 \)，\( f(1)=0 \)，故 \( f(0) \cdot f(1) = 0 \)（说明 \( x=1 \) 是根，在 \( (0,1] \) 内）；\( f(2)=0 \)，\( f(3)=2 \)，故 \( f(2) \cdot f(3) = 0 \)（说明 \( x=2 \) 是根，在 \( [2,3) \) 内）。因此两根分别在 \( (0,1] \) 和 \( [2,3) \) 内，符合“区间分离”的要求。

根的分布问题4、一根在区间 \( (m, n) \) 内，另一根等于 \( m \) 或 \( n \)（“端点含根型”）方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 有一根为 \( m \)（或 \( n \)），另一根在 \( (m, n) \) 内（例如 \( x_1 = m \)，\( x_2 \in (m, n) \)）。

图像特征：抛物线过点 \( (m, 0) \)（即 \( f(m)=0 \)），另一交点在 \( (m, n) \) 内。需满足两个条件：  

（1）端点为根：\( f(m) = 0 \)；  

（2）另一根在 \( (m, n) \) 内：可通过“韦达定理求另一根”或“区间端点函数值异号”判断。  

方法1（韦达定理）：设另一根为 \( x_2 \)，则 \( x_2 = -\frac{b}{a} - m \)（由 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)），故需 \( m < x_2 < n \)；  

方法2（函数值）：因 \( f(m)=0 \)，只需保证 \( f(n) \) 与抛物线开口方向“异向”（例如 \( a > 0 \) 时，\( f(n) > 0 \) 则另一根在 \( (m, n) \) 内）。

代数条件：

以“\( x_1 = m \)，\( x_2 \in (m, n) \)”为例：  \( \begin{cases} f(m) = 0 \\ m < -\frac{b}{a} - m < n \end{cases} \)（韦达定理法），或 \( \begin{cases} f(m) = 0 \\ f(n) \cdot a > 0 \end{cases} \)（函数值法，因 \( a > 0 \) 时 \( f(n) > 0 \)，\( a < 0 \) 时 \( f(n) < 0 \)，故乘积为正）。

示例：若 \( f(x) = x^2 - (k+1)x + k \)，已知一根为1，另一根在 \( (1, 3) \) 内，求 \( k \) 的范围。  

解：\( f(1) = 1 - (k+1) + k = 0 \)（确认1是根）；另一根 \( x_2 = k \)（由韦达定理 \( x_1x_2 = k \)，故 \( x_2 = k \)）；需 \( 1 < k < 3 \)，故 \( k \in (1, 3) \)。

四、二次函数的恒成立问题

二次函数的恒成立问题，核心是“函数值 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 在指定区间内（或全体实数域）始终满足 \( f(x) > 0 \)、\( f(x) \geq 0 \)、\( f(x) < 0 \) 或 \( f(x) \leq 0 \)”，需结合“开口方向”和“函数最值”分析——因二次函数在区间内的最值必在“顶点”或“区间端点”处取得（若区间为全体实数，最值仅在顶点处）。

以下按“区间类型”（全体实数、闭区间、开区间）分类讲解，均以“\( f(x) > 0 \) 恒成立”为例，其他不等号（\( \geq、<、\leq \)）可类比推导。

恒成立问题1. 在全体实数域 \( \mathbb{R} \) 上恒成立（“无界区间恒成立”）对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，均有 \( ax^2 + bx + c > 0 \)（或 \( \geq 0、< 0、\leq 0 \)）。

图像特征与条件推导：

二次函数在全体实数上的图像是“无限延伸的抛物线”，要使函数值始终为正，需满足两个核心条件：  

（1）抛物线开口向上（若开口向下，x趋向±∞时函数值趋向-∞，无法恒正），即 \( a > 0 \)；  

（2）抛物线与x轴无交点（若有交点，交点处函数值为0，不满足“>0”；若允许“≥0”，则可相切，即交点处函数值为0），即 \( \Delta < 0 \)（若为“\( f(x) \geq 0 \) 恒成立”，则 \( \Delta \leq 0 \)）。

不同不等号的恒成立条件：

\( f(x) > 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：\( \begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases} \)  

\( f(x) \geq 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：\( \begin{cases} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases} \)  

\( f(x) < 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：\( \begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases} \)  

\( f(x) \leq 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：\( \begin{cases} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{cases} \)  

特殊情况：一次函数的“伪装”

若 \( a = 0 \)，则 \( f(x) = bx + c \) 是一次函数（或常数函数），此时“恒成立”条件需单独分析：  

若 \( f(x) > 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：需 \( b = 0 \) 且 \( c > 0 \)（一次函数若斜率不为0，x趋向±∞时函数值必趋向±∞，无法恒正）；  

若 \( f(x) < 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立：需 \( b = 0 \) 且 \( c < 0 \)。

示例：若 \( (k-1)x^2 + 2x + 1 > 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 恒成立，求 \( k \) 的范围。  

解：分两种情况：  

1. 若 \( k-1 = 0 \)（即 \( k=1 \)）：函数变为 \( 2x + 1 \)，是一次函数，x趋向-∞时函数值趋向-∞，不满足恒正；  

2. 若 \( k-1 \neq 0 \)（即二次函数）：需 \( \begin{cases} k-1 > 0 \\ \Delta = 2^2 - 4(k-1)×1 < 0 \end{cases} \)，解得 \( k > 2 \)。  

综上，\( k \in (2, +\infty) \)。

恒成立问题2. 在闭区间 \( [m, n] \) 上恒成立（“有界区间恒成立”）对任意 \( x \in [m, n] \)，均有 \( f(x) > 0 \)（或 \( \geq 0、< 0、\leq 0 \)）。

核心逻辑：二次函数在闭区间上的最值仅在“对称轴”或“区间端点”处取得，因此“恒成立”等价于“区间内的所有函数值满足不等号”，即“区间内的最值满足不等号”——例如：  

若 \( f(x) > 0 \) 在 \( [m, n] \) 上恒成立，则需 \( f(x) \) 在 \( [m, n] \) 上的最小值 \( > 0 \)；  

若 \( f(x) < 0 \) 在 \( [m, n] \) 上恒成立，则需 \( f(x) \) 在 \( [m, n] \) 上的最大值 \( < 0 \)。  

因此，关键是先判断“对称轴是否在区间内”，进而确定最值的位置。分情况推导（以 \( a > 0 \)，\( f(x) > 0 \) 在 \( [m, n] \) 上恒成立为例）：

（1）\( a > 0 \) 时，抛物线开口向上，最小值在“离对称轴最近的点”处取得，分两种情况：  

对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \leq m \)（对称轴在区间左侧）：  函数在 \( [m, n] \) 上单调递增，最小值在左端点 \( m \) 处，故需 \( f(m) > 0 \)；  

对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \geq n \)（对称轴在区间右侧）：  函数在 \( [m, n] \) 上单调递减，最小值在右端点 \( n \) 处，故需 \( f(n) > 0 \)；  

对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \in (m, n) \)（对称轴在区间内）：  函数在区间内先减后增，最小值在顶点处（即对称轴对应的函数值），故需 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) > 0 \)（顶点纵坐标为 \( \frac{4ac - b^2}{4a} \)，故也可写为 \( \frac{4ac - b^2}{4a} > 0 \)）。

其他情况类比（以 \( a < 0 \)，\( f(x) < 0 \) 在 \( [m, n] \) 上恒成立为例）：

（2）\( a < 0 \) 时，抛物线开口向下，最大值在“离对称轴最近的点”处取得：  

对称轴 \( \leq m \)：函数在 \( [m, n] \) 上单调递减，最大值在 \( m \) 处，需 \( f(m) < 0 \)；  

对称轴 \( \geq n \)：函数在 \( [m, n] \) 上单调递增，最大值在 \( n \) 处，需 \( f(n) < 0 \)；  

对称轴 \( \in (m, n) \)：函数在区间内先增后减，最大值在顶点处，需 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) < 0 \)。

示例：若 \( f(x) = x^2 - 2x + 2 > k \) 在 \( [0, 3] \) 上恒成立，求 \( k \) 的范围。  

解：原不等式等价于 \( x^2 - 2x + (2 - k) > 0 \) 在 \( [0, 3] \) 上恒成立，设 \( g(x) = x^2 - 2x + (2 - k) \)（\( a=1>0 \)）。  

对称轴 \( x = 1 \in [0, 3] \)，故最小值在顶点处：\( g(1) = 1 - 2 + (2 - k) = 1 - k \)。  

需 \( 1 - k > 0 \)，即 \( k < 1 \)，故 \( k \in (-\infty, 1) \)。

恒成立问题3. 在开区间 \( (m, n) \) 上恒成立（“开区间恒成立”）对任意 \( x \in (m, n) \)，均有 \( f(x) > 0 \)（或 \( \geq 0、< 0、\leq 0 \)）。

与闭区间的区别：开区间不含端点，因此需分“对称轴是否在区间内”，且需验证“区间端点的极限趋势”（若区间端点为无穷，需验证x趋向±∞时的函数值）。

分情况推导（以 \( a > 0 \)，\( f(x) > 0 \) 在 \( (m, n) \) 上恒成立为例）：

（1）若 \( (m, n) = (-\infty, +\infty) \)：即“全体实数恒成立”，条件同前（\( a > 0 \) 且 \( \Delta < 0 \)）；  

（2）若 \( (m, n) = (m, +\infty) \)（右开区间）：  

对称轴 \( \leq m \)：函数在 \( (m, +\infty) \) 上单调递增，需 \( \lim_{x \to m^+} f(x) \geq 0 \)（因x趋近于m时函数值不小于0，且单调递增，后续均大于0），即 \( f(m) \geq 0 \)；  

对称轴 \( > m \)：函数在 \( (m, -\frac{b}{2a}) \) 递减、\( (-\frac{b}{2a}, +\infty) \) 递增，最小值在顶点处，需 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) > 0 \)（顶点处函数值正，且x趋向+∞时，\( a > 0 \) 故函数值趋向+∞，满足恒正）；  

（3）若 \( (m, n) = (-\infty, n) \)（左开区间）：  

对称轴 \( \geq n \)：函数在 \( (-\infty, n) \) 上单调递减，需 \( \lim_{x \to n^-} f(x) \geq 0 \)，即 \( f(n) \geq 0 \)；  

对称轴 \( < n \)：函数在 \( (-\infty, -\frac{b}{2a}) \) 递减、\( (-\frac{b}{2a}, n) \) 递增，最小值在顶点处，需 \( f\left(-\frac{b}{2a}\right) > 0 \)；  

（4）若 \( (m, n) \) 是有限开区间（如 \( (1, 3) \)）：  与闭区间类似，但需注意：若对称轴在区间内，仍需顶点处函数值>0；若对称轴在区间外，需“趋近于端点时的函数值≥0”（因开区间不含端点，端点处函数值可为0，但区间内需正）。例如 \( a > 0 \) 且对称轴 \( \leq m \)，需 \( f(m) \geq 0 \)（x趋近于m+时函数值≥0，且单调递增，区间内均正）。

示例：若 \( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 > 0 \) 在 \( (1, +\infty) \) 上恒成立，验证是否成立。  

解：\( a=2>0 \)，对称轴 \( x = 1 \)（即 \( \leq m=1 \)）；\( f(1) = 2 - 4 + 1 = -1 < 0 \)，故 \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1 < 0 \)，即x趋近于1+时函数值为负，不满足恒成立（实际x=1.5时，\( f(1.5)=4.5 - 6 + 1 = -0.5 < 0 \)）。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

• 对数均值不等式
• 伯努利不等式：\( (1 + x)^n \geq 1 + nx \)
• 函数的恒成立、存在性问题
• 不等式的缩放
• 基于函数单调性的不等式缩放
• 基于函数凹凸性的不等式缩放
• 函数同构问题：形式统一，单调性搭桥
• 映射、函数：\( f: A \to B \)
• 函数的定义域：Df
• 函数的值域：Rf
• 函数的解析式：f(x)
• 抽象函数：定义域、值域、解析式
• 分段函数：定义域、值域、单调性
• 复合函数： y = f[g(x)]
• 反函数：严格单调函数
• 隐函数：F(x, y) = 0
• 函数的有界性：\( |f(x)| \leq M \)
• 函数的单调性：增函数、减函数
• 函数的奇偶性：奇函数、偶函数
• 函数的周期性：\( f(x + T) = f(x) \)
• 类周期性：\(f(x+T)=f(x)+g(x)\)
• 函数的对称性：自对称、互对称
• 函数的凹凸性：凹函数、凸函数
• 图象平移、对称、翻折、缩放、旋转
• 函数的极值、函数的最值
• 二次函数：最值、根的分布、恒成立问题
• 三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
• 幂函数： \(y = x^a\)
• 对勾函数与双刀函数
• 指数方程：\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）
• 指数函数：\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)
• 双曲函数与反双曲函数
• 对数函数：对数运算性质
• 角度制与弧度制、弧长公式
• 三角函数：定义、性质
• 三角函数：诱导公式、恒等变换、辅助角
• 反三角函数：\(\arcsin x\)
• 三角函数二级结论
• 极坐标：\((\rho,\theta)\)=(极径,极角)
• 参数方程
• 等差数列
• 等比数列
• 数学归纳法
• 求和符号（∑ ）、连乘符号（∏）
• 数列极限、函数极限、两个重要极限
• 函数的连续性：间断点、运算法则
• 函数的导数
• 函数的图形
• 函数的微分
• 罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理