初等数论：勾股数组\((a, b, c)\)与本原勾股数组公式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

勾股数组，又称毕达哥拉斯三元数组、商高数组，是指满足勾股定理\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)的正整数组\((a, b, c)\).

常见勾股数组

(3, 4, 5)：这是最简单且最常见的勾股数组，因为\(3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25 = 5^{2}\).

(5, 12, 13)：\(5^{2}+12^{2}=25 + 144 = 169 = 13^{2}\).

(8, 15, 17)：\(8^{2}+15^{2}=64 + 225 = 289 = 17^{2}\).

本原勾股数组

本原勾股数组是指满足勾股定理\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)的正整数组\((a,b,c)\)，且\(a\)、\(b\)、\(c\)的最大公因数是\(1\)，即\(gcd(a,b,c)=1\)。例如，\((3,4,5)\)是本原勾股数组，因为\(3^{2}+4^{2}=5^{2}\)，并且\(3\)、\(4\)、\(5\)的最大公因数是\(1\)。

勾股数组的性质

奇偶性：本原勾股数组中\(a\)、\(b\)、\(c\)的奇偶性有一定规律，其中\(a\)和\(b\)必定一奇一偶，且\(c\)一定是奇数。

假设\(a\)、\(b\)都是奇数，设\(a = 2m + 1\)，\(b = 2n + 1\)，则

\(a^{2}+b^{2}=(2m + 1)^{2}+(2n + 1)^{2}\)

\(=4m^{2}+4m+1+4n^{2}+4n + 1=2(2m^{2}+2m+2n^{2}+2n + 1)\)，其结果为偶数，但\(c^{2}\)为奇数，这与勾股定理矛盾，所以\(a\)、\(b\)不能同为奇数.

互质性：本原勾股数组\((a, b, c)\)中\(a\)、\(b\)、\(c\)两两互质，即它们的最大公因数为\(1\)。

若存在一个大于\(1\)的公因数\(d\)，使得\(a = md\)，\(b = nd\)，\(c = pd\)，代入勾股定理可得\((md)^{2}+(nd)^{2}=(pd)^{2}\)，化简为\(m^{2}+n^{2}=p^{2}\)，这与\((a, b, c)\)是本原勾股数组矛盾.

勾股数组的构造公式

一般公式：对于任意的正整数\(m\)、\(n\)（\(m\gt n\)），勾股数组可以表示为

\(a = m^{2}-n^{2}\)，\(b = 2mn\)，\(c = m^{2}+n^{2}\) 。

例如，当\(m = 2\)，\(n = 1\)时，\(a = 2^{2}-1^{2}=3\)，\(b = 2\times2\times1 = 4\)，\(c = 2^{2}+1^{2}=5\).

本原勾股数组公式：若\(a\)、\(b\)、\(c\)是本原勾股数组，且\(a\)为奇数，\(b\)为偶数，则存在互质的奇数\(s\)、\(t\)（\(s\gt t\geqslant1\)），使得\(a = st\)，\(b=\frac{s^{2}-t^{2}}{2}\)，\(c=\frac{s^{2}+t^{2}}{2}\).

本原勾股数组公式

1. 本原勾股数组公式

对于本原勾股数组\((a,b,c)\)（其中\(a\)、\(b\)、\(c\)是满足勾股定理\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)的正整数，且\(a\)、\(b\)、\(c\)的最大公因数为\(1\)），若\(a\)为奇数，\(b\)为偶数，那么存在互质的奇数\(s\)、\(t\)（\(s > t\geq1\)），使得\(a = st\)，\(b=\frac{s^{2}-t^{2}}{2}\)，\(c=\frac{s^{2}+t^{2}}{2}\)。

2. 本原勾股数组公式推导

设\((a,b,c)\)是本原勾股数组，因为\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，可以对其进行变形。

由于\(a\)、\(b\)、\(c\)两两互质，且\(a\)为奇数，\(b\)为偶数（根据本原勾股数组的性质），考虑\(c + b\)和\(c - b\)这两个数。

因为\((c + b)(c - b)=c^{2}-b^{2}=a^{2}\)，且\(a\)为奇数，所以\(c + b\)和\(c - b\)都是奇数（否则它们的乘积\(a^{2}\)为偶数），并且\(c + b\)和\(c - b\)互质（如果它们有共同的质因数\(p\)，那么\(c=(c + b + c - b)/2\)和\(b=(c + b-(c - b))/2\)都能被\(p\)整除，这与\(a\)、\(b\)、\(c\)两两互质矛盾）。

由于\((c + b)(c - b)=a^{2}\)，且\(c + b\)和\(c - b\)互质，所以\(c + b\)和\(c - b\)必须是完全平方数，设\(c + b = s^{2}\)，\(c - b = t^{2}\)（\(s\)、\(t\)为奇数且互质）。

解方程组\(\begin{cases}c + b = s^{2}\\c - b = t^{2}\end{cases}\)可得\(b=\frac{s^{2}-t^{2}}{2}\)，\(c=\frac{s^{2}+t^{2}}{2}\)，而\(a^{2}=(c + b)(c - b)=s^{2}t^{2}\)，所以\(a = st\)。

3. 本原勾股数组公式应用示例

例如，令\(s = 3\)，\(t = 1\)（\(s\)、\(t\)是互质的奇数且\(s>t\geq1\)）。

根据公式，\(a = st = 3\times1 = 3\)，\(b=\frac{s^{2}-t^{2}}{2}=\frac{3^{2}-1^{2}}{2}=\frac{9 - 1}{2}=4\)，\(c=\frac{s^{2}+t^{2}}{2}=\frac{3^{2}+1^{2}}{2}=\frac{9 + 1}{2}=5\)，得到本原勾股数组\((3,4,5)\)。

再如，取\(s = 5\)，\(t = 3\)，则\(a = st = 5\times3 = 15\)，\(b=\frac{s^{2}-t^{2}}{2}=\frac{5^{2}-3^{2}}{2}=\frac{25 - 9}{2}=8\)，\(c=\frac{s^{2}+t^{2}}{2}=\frac{5^{2}+3^{2}}{2}=\frac{25 + 9}{2}=17\)，得到本原勾股数组\((15,8,17)\)。

勾股数组的应用

几何领域：用于判断一个三角形是否为直角三角形。若一个三角形的三边长度满足勾股数组的关系，则该三角形一定是直角三角形。同时，已知直角三角形的两边，可以通过勾股数组求出第三边的长度.

数论领域：勾股数组的研究涉及到数论中的许多重要概念和方法，如因数分解、同余、互质等，对于深入理解数论的基本理论和方法具有重要意义。例如，通过对勾股数组的研究，可以探讨整数的性质、方程的整数解等问题.