一、函数图象的平移：本质是基于点\((x,y)\)的平移

在平面直角坐标系中，一个点\((x,y)\)进行平移时，其坐标会根据平移的方向和距离发生相应的改变。对于函数图象，图象上的每一个点都遵循相同的平移规则。设原函数为\(y = f(x)\)，我们可以把函数图象看成是由无数个点\((x,f(x))\)组成的集合。当图象进行平移时，这些点的坐标就会发生变化。

（1）向左平移，自变量\((x + h)\)：\(y = f(x + h)\)

当函数\(y = f(x)\)的图象向左平移\(h\)（\(h>0\)）个单位时，图象上任意一点\((x,y)\)变为\((x + h,y)\)。此时函数表达式变为\(y = f(x + h)\)。

例如，对于函数\(y=(x - 1)^{2}\)，若将其向左平移\(2\)个单位，那么\(x\)变为\(x+ 2\)，新的函数为\(y=(x + 2 - 1)^{2}=(x + 1)^{2}\)。从图象上来看，\(y=(x - 1)^{2}\)的对称轴是\(x = 1\)，而\(y=(x + 1)^{2}\)的对称轴是\(x=-1\)，整个抛物线向左移动了\(2\)个单位。

（2）向右平移，自变量\((x - h)\)：\(y = f(x - h)\)

当函数\(y = f(x)\)的图象向右平移\(h\)（\(h>0\)）个单位时，图象上任意一点\((x,y)\)变为\((x - h,y)\)。此时函数表达式变为\(y = f(x - h)\)。

例如，对于函数\(y = x^{2}+2x\)，若将其向右平移\(3\)个单位，把\(x\)变为\(x - 3\)，则新函数为\(y=(x - 3)^{2}+2(x - 3)=x^{2}-6x + 9+2x - 6=x^{2}-4x + 3\)。从图象上看，原函数的对称轴等特征会相应地向右移动\(3\)个单位。

（3）向上平移，函数值\(f(x)+k\)：\(y = f(x)+k\)

当函数\(y = f(x)\)的图象向上平移\(k\)（\(k>0\)）个单位时，图象上任意一点\((x,y)\)变为\((x,y + k)\)。此时函数表达式变为\(y = f(x)+k\)。

例如，对于函数\(y = \sin x\)，若将其向上平移\(1\)个单位，新的函数为\(y=\sin x+1\)。从图象上看，\(y = \sin x\)的最大值是\(1\)，最小值是\(-1\)，而\(y=\sin x + 1\)的最大值变为\(2\)，最小值变为\(0\)，整个正弦曲线向上移动了\(1\)个单位。

（4）向下平移，函数值\(f(x)-k\)：\(y = f(x)-k\)

当函数\(y = f(x)\)的图象向下平移\(k\)（\(k>0\)）个单位时，图象上任意一点\((x,y)\)变为\((x,y - k)\)。此时函数表达式变为\(y = f(x)-k\)。

例如，对于函数\(y = 2x - 1\)，若将其向下平移\(2\)个单位，新的函数为\(y = 2x-1-2=2x - 3\)。从图象上看，直线\(y = 2x - 1\)向下移动了\(2\)个单位。

（5）组合平移：\(y = f(x + h)+k\)

函数图象可以同时进行水平和垂直方向的平移。例如，函数\(y = f(x)\)先向左平移\(h\)（\(h>0\)）个单位，再向上平移\(k\)（\(k>0\)）个单位，那么函数表达式变为\(y = f(x + h)+k\)。顺序不同，结果可能不同，不过在单纯的平移组合中，先左右后上下或者先上下后左右的最终图象位置是相同的。

例如，函数\(y = x^{2}\)先向左平移\(3\)个单位得到\(y=(x + 3)^{2}\)，再向上平移\(2\)个单位，最终函数为\(y=(x + 3)^{2}+2\)。如果先向上平移\(2\)个单位得到\(y = x^{2}+2\)，再向左平移\(3\)个单位，最终函数同样为\(y=(x + 3)^{2}+2\)。

二、函数图象对称：

（1）关于\(x\)轴对称：\(y = f(x)\)--关于\(x\)轴对称-->\(y=-f(x)\)

原理：对于平面直角坐标系中的任意一点\((x,y)\)，它关于\(x\)轴的对称点为\((x,-y)\)。那么对于函数\(y = f(x)\)，图象上的每一点\((x,f(x))\)关于\(x\)轴的对称点为\((x,-f(x))\)，所以函数\(y = f(x)\)关于\(x\)轴对称的函数为\(y=-f(x)\)。

举例：如函数\(y = 2x + 1\)，关于\(x\)轴对称的函数是\(y=-(2x + 1)= - 2x - 1\)。从图象角度看，\(y = 2x+1\)的图象是一条斜率为\(2\)，截距为\(1\)的直线，位于一、二、三象限；而\(y=-2x - 1\)的图象是一条斜率为\(-2\)，截距为\(-1\)的直线，位于二、三、四象限。

（2）关于\(y\)轴对称：\(y = f(x)\)--关于\(y\)轴对称-->\(y = f(-x)\)

原理：平面直角坐标系中一点\((x,y)\)关于\(y\)轴的对称点是\((-x,y)\)。对于函数\(y = f(x)\)，图象上的点\((x,f(x))\)关于\(y\)轴的对称点是\((-x,f(x))\)，所以函数\(y = f(x)\)关于\(y\)轴对称的函数是\(y = f(-x)\)。

举例：对于函数\(y=x^{2}-2x\)，关于\(y\)轴对称的函数是\(y=(-x)^{2}-2(-x)=x^{2}+2x\)。在图象上，\(y=x^{2}-2x\)的对称轴是\(x = 1\)，开口向上；而\(y=x^{2}+2x\)的对称轴是\(x=-1\)，开口同样向上。

（3）关于原点对称：\(y = f(x)\)--关于原点（0,0）对称-->\(y=-f(-x)\)

原理：在平面直角坐标系中，点\((x,y)\)关于原点的对称点是\((-x,-y)\)。对于函数\(y = f(x)\)，图象上的点\((x,f(x))\)关于原点的对称点是\((-x,-f(x))\)，所以函数\(y = f(x)\)关于原点对称的函数是\(y=-f(-x)\)。

举例：考虑函数\(y = x^{3}\)，关于原点对称的函数还是\(y = x^{3}\)，因为\(-f(-x)=-(-x)^{3}=x^{3}\)。从图象上看，\(y = x^{3}\)的图象是一个奇函数的图象，关于原点对称，当\(x>0\)时，函数单调递增；当\(x<0\)时，函数也单调递增。

（4）关于直线\(y = x\)对称（反函数相关）

原理：若点\((a,b)\)在函数\(y = f(x)\)的图象上，那么点\((b,a)\)就在它关于直线\(y = x\)对称的函数图象上。

两个函数\(y = f(x)\)与\(y = f^{-1}(x)\)（如果\(f^{-1}(x)\)存在）的图象关于直线\(y = x\)对称。

举例：对于函数\(y = 2x\)（\(x\in R\)），它的反函数是\(y=\frac{1}{2}x\)（\(x\in R\)），这两个函数的图象关于直线\(y = x\)对称。在图象上，\(y = 2x\)是一条斜率为\(2\)的直线，\(y=\frac{1}{2}x\)是一条斜率为\(\frac{1}{2}\)的直线，它们的交点在直线\(y = x\)上。

（5）关于直线\(y=-x\)对称

原理：平面直角坐标系中的点\((x,y)\)关于直线\(y=-x\)的对称点是\((-y,-x)\)。对于函数\(y = f(x)\)，其图象上的点\((x,f(x))\)关于直线\(y=-x\)的对称点是\((-f(x),-x)\)，由此可以推导出关于直线\(y=-x\)对称的函数表达式。

举例：设函数\(y = x + 1\)，设其关于直线\(y=-x\)对称的函数为\(y = g(x)\)。若\((x,y)\)在\(y = x + 1\)上，则其关于\(y=-x\)的对称点\((-y,-x)\)在\(y = g(x)\)上，即\(-x=-y + 1\)，整理得\(y=-x - 1\)，所以\(y = x + 1\)关于直线\(y=-x\)对称的函数是\(y=-x - 1\)。

三、函数图象翻折：

（1）关于\(x\)轴翻折：\(y=-f(x)\)

原理：对于函数\(y = f(x)\)，将其图象关于\(x\)轴翻折，图象上的点\((x,y)\)变为\((x, - y)\)。所以翻折后的函数表达式为\(y=-f(x)\)。

举例：设函数\(y = 2x + 1\)，将它关于\(x\)轴翻折后，得到的函数为\(y =-(2x + 1)= - 2x - 1\)。从图象上看，原函数\(y = 2x+1\)是一条斜率为\(2\)、截距为\(1\)的直线，经过一、二、三象限；翻折后的函数\(y=-2x - 1\)是一条斜率为\(-2\)、截距为\(-1\)的直线，经过二、三、四象限。

（2）关于\(y\)轴翻折：\(y = f(-x)\)

原理：当把函数\(y = f(x)\)的图象关于\(y\)轴翻折时，图象上的点\((x,y)\)变为\(( - x,y)\)，那么翻折后的函数表达式为\(y = f(-x)\)。

举例：对于函数\(y=(x - 1)^{2}\)，关于\(y\)轴翻折后的函数是\(y =(-x - 1)^{2}=(x + 1)^{2}\)。原函数\(y=(x - 1)^{2}\)的对称轴是\(x = 1\)，顶点坐标为\((1,0)\)；翻折后的函数\(y=(x + 1)^{2}\)的对称轴是\(x=-1\)，顶点坐标为\(( - 1,0)\)。

（3）绝对值函数引起的翻折：\(y = |f(x)|\)

原理：当\(f(x)\geq0\)时，\(y = |f(x)|=f(x)\)，函数图象不变；当\(f(x)<0\)时，\(y = |f(x)|=-f(x)\)，这意味着函数图象在\(f(x)<0\)的部分关于\(x\)轴进行翻折。

举例：设函数\(y = x - 1\)，那么\(y = |x - 1|\)的图象是这样得到的：当\(x - 1\geq0\)，即\(x\geq1\)时，\(y = x - 1\)；当\(x - 1<0\)，即\(x<1\)时，\(y =-(x - 1)= - x + 1\)。所以\(y = |x - 1|\)的图象是将\(y = x - 1\)在\(x<1\)部分关于\(x\)轴翻折得到的，其图象呈“V”字形，顶点坐标为\((1,0)\)。

（4）绝对值函数引起的翻折：\(y = f(|x|)\)

原理：因为\(y = f(|x|)\)满足\(y = f(|x|)=f(x)\)（当\(x\geq0\)）和\(y = f(|x|)=f(-x)\)（当\(x<0\)），所以函数图象是将\(y = f(x)\)（\(x\geq0\)）的部分保留，然后关于\(y\)轴进行对称得到完整的图象。

举例：对于函数\(y = x^{2}-2x\)，则\(y = x^{2}-2|x|\)的图象是这样得到的：当\(x\geq0\)时，\(y = x^{2}-2x\)；当\(x<0\)时，\(y = x^{2}+2x\)。其图象关于\(y\)轴对称，在\(y\)轴右侧是\(y = x^{2}-2x\)的图象，在\(y\)轴左侧是\(y = x^{2}+2x\)的图象，整体图象呈“W”字形。

四、函数图象缩放：

（1）纵坐标缩放（沿\(y\)轴方向）：\(y = Af(x)\)

原理：对于函数\(y = f(x)\)，若进行纵坐标缩放，设缩放倍数为\(A\)（\(A\neq0\)），函数表达式变为\(y = Af(x)\)。

当\(A>1\)时，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((x, Ay)\)，这意味着函数图象在\(y\)轴方向上伸长；

当\(0 < A < 1\)时，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((x, Ay)\)，函数图象在\(y\)轴方向上缩短。

举例：对于函数\(y = \sin x\)，若将其纵坐标伸长为原来的\(2\)倍，即\(A = 2\)，得到的函数为\(y = 2\sin x\)。\(y=\sin x\)的最大值是\(1\)，最小值是\(-1\)，而\(y = 2\sin x\)的最大值变为\(2\)，最小值变为\(-2\)。从图象上看，\(y = 2\sin x\)的波形在\(y\)轴方向上比\(y=\sin x\)更加“伸展”。

应用场景：在物理学中，比如研究简谐振动\(y = A\sin(\omega t+\varphi)\)，其中\(A\)就是纵坐标缩放系数，它表示振动的振幅。通过改变\(A\)的值，可以改变振动的幅度大小。

（2）横坐标缩放（沿\(x\)轴方向）：\(y = f(\omega x)\)或\(y = f(\frac{x}{\omega})\)

原理：对于函数\(y = f(x)\)，设横坐标缩放倍数为\(\omega\)（\(\omega\neq0\)）。

当\(\omega>1\)时，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((\frac{x}{\omega},y)\)，函数图象在\(x\)轴方向上缩短；

当\(0 < \omega < 1\)时，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((\frac{x}{\omega},y)\)，函数图象在\(x\)轴方向上伸长。

此时函数表达式变为\(y = f(\omega x)\)或\(y = f(\frac{x}{\omega})\)（具体根据\(\omega\)与\(1\)的大小关系来确定）。

举例：对于函数\(y=\cos x\)，若将其横坐标伸长为原来的\(2\)倍，即\(\omega=\frac{1}{2}\)，得到的函数为\(y=\cos(\frac{x}{2})\)。\(y = \cos x\)的周期是\(2\pi\)，而\(y=\cos(\frac{x}{2})\)的周期变为\(4\pi\)。从图象上看，\(y=\cos(\frac{x}{2})\)的波形在\(x\)轴方向上比\(y = \cos x\)更加“伸展”。

应用场景：在信号处理领域，对于一个信号函数，横坐标缩放可以改变信号的频率。例如，在音频信号处理中，改变横坐标缩放倍数可以实现音频的变调效果。如果加快音频信号的播放速度（相当于横坐标缩短），音调会变高；反之，减慢播放速度（相当于横坐标伸长），音调会变低。

（3）组合缩放（同时进行横纵坐标缩放）：\(y = Af(\omega x)\)

原理：当函数\(y = f(x)\)同时进行横纵坐标缩放时，设横坐标缩放倍数为\(\omega\)，纵坐标缩放倍数为\(A\)，函数图象上的点\((x,y)\)变为\((\frac{x}{\omega}, Ay)\)，此时函数表达式变为\(y = Af(\omega x)\)。

举例：对于函数\(y = x^{2}\)，若横坐标缩短为原来的\(\frac{1}{3}\)，纵坐标伸长为原来的\(4\)倍，即\(\omega = 3\)，\(A = 4\)，得到的函数为\(y = 4\times(3x)^{2}=36x^{2}\)。从图象上看，抛物线的开口变得更窄（因为横坐标缩短）且更“高瘦”（因为纵坐标伸长）。

五、复合变换的操作顺序

当多个变换同时存在时，需遵循“先对称/伸缩，后平移”的原则，且对x的变换和对y的变换可分开独立进行。

以 \( y = A f(a(x - h)) + k \) 为例，其由 \( y = f(x) \) 变换而来的步骤如下：

1. 先进行x轴方向的伸缩：\( y = f(x) \rightarrow y = f(ax) \)（沿x轴伸缩 \( \frac{1}{a} \) 倍）。

2. 再进行x轴方向的平移：\( y = f(ax) \rightarrow y = f(a(x - h)) \)（向右平移 \( h \) 个单位）。

3. 接着进行y轴方向的伸缩：\( y = f(a(x - h)) \rightarrow y = A f(a(x - h)) \)（沿y轴伸缩 \( A \) 倍）。

4. 最后进行y轴方向的平移：\( y = A f(a(x - h)) \rightarrow y = A f(a(x - h)) + k \)（向上平移 \( k \) 个单位）。

常见函数变换示例（以二次函数为例）

以基础函数 \( y = x^2 \) 为例，看不同变换后的结果：

六、函数图象绕点\((a,b)\)旋转

函数图像绕点\((a,b)\)旋转，核心是通过坐标变换实现：先将旋转中心平移至原点，再执行旋转操作，最后平移回原中心。不同旋转角度（如90°、180°、270°）的坐标变换公式不同，且旋转后图像可能不再是函数（需满足“一个\(x\)对应一个\(y\)”）。

旋转的通用步骤：平移→旋转→回移

无论旋转多少度，都需遵循“先平移、再旋转、最后回移”的三步法，这是消除旋转中心偏移影响的关键。

设原函数\(y=f(x)\)上任意一点为\(P(x_0, y_0)\)，满足\(y_0=f(x_0)\)；旋转后对应点为\(P'(x, y)\)，需通过以下三步建立\((x_0,y_0)\)与\((x,y)\)的关系，最终推导\(P'\)满足的表达式（即旋转后的图像方程）。

第一步：平移旋转中心至原点

将点\(P(x_0,y_0)\)和旋转中心\((a,b)\)同时平移，使\((a,b)\)移到原点\((0,0)\)。

平移后的点记为\(P_1(x_1, y_1)\)，坐标关系为：\(x_1 = x_0 - a, \quad y_1 = y_0 - b\)（原理：减去旋转中心的横、纵坐标，实现“中心归零”）

第二步：绕原点执行旋转操作

设旋转角度为\(\theta\)（顺时针旋转取负，逆时针旋转取正），根据平面直角坐标系的旋转公式。

点\(P_1(x_1,y_1)\)绕原点旋转\(\theta\)后得到点\(P_2(x_2, y_2)\)，坐标关系为：\(\begin{cases}x_2 = x_1\cos\theta - y_1\sin\theta\\y_2 = x_1\sin\theta + y_1\cos\theta\end{cases}\)

第三步：平移回原旋转中心

将旋转后的点\(P_2(x_2,y_2)\)平移，使原点移回原旋转中心\((a,b)\)，得到最终旋转点\(P'(x,y)\)。

坐标关系为：\(x = x_2 + a, \quad y = y_2 + b\)（原理：加上旋转中心的横、纵坐标，恢复原坐标系位置）

常用旋转角度的具体公式（重点！）

实际应用中，90°、180°、270°是最常见的旋转角度，可代入通用公式简化（\(\cos\theta\)、\(\sin\theta\)取值如下）：

逆时针旋转90°：\(\theta=90^\circ\)，\(\cos90^\circ=0\)，\(\sin90^\circ=1\)

旋转180°：\(\theta=180^\circ\)，\(\cos180^\circ=-1\)，\(\sin180^\circ=0\)

逆时针旋转270°（或顺时针90°）：\(\theta=270^\circ\)，\(\cos270^\circ=0\)，\(\sin270^\circ=-1\)

以下分角度推导具体公式，并结合示例验证。

1. 绕点\((a,b)\)旋转180°

坐标变换公式推导：代入\(\theta=180^\circ\)的三角函数值到通用步骤：

1. 平移：\(x_1=x_0-a\)，\(y_1=y_0-b\)

2. 旋转：\(x_2=x_1\cdot0 - y_1\cdot0= -x_1\)，\(y_2=x_1\cdot0 + y_1\cdot(-1)= -y_1\)

3. 回移：\(x=-x_1 + a= -(x_0 - a) + a= 2a - x_0\)，\(y=-y_1 + b= -(y_0 - b) + b= 2b - y_0\)

整理得逆变换公式（由\(P'(x,y)\)求\(P(x_0,y_0)\)）：\(x_0 = 2a - x, \quad y_0 = 2b - y\)

旋转后图像方程：

因\(P(x_0,y_0)\)在\(y=f(x)\)上，满足\(y_0=f(x_0)\)，代入逆变换公式得：\(2b - y = f(2a - x) \implies y = 2b - f(2a - x)\)

示例验证：

求\(f(x)=x^2\)（顶点\((0,0)\)）绕点\((2,3)\)旋转180°后的图像方程。

代入公式得：\(y=2\times3 - f(2\times2 - x)=6 - f(4 - x)=6 - (4 - x)^2=6 - (x^2 - 8x + 16)= -x^2 + 8x - 10\)。

验证：原函数顶点\((0,0)\)旋转180°后应变为\((4,6)\)（中点为\((2,3)\)），代入旋转后方程：\(-4^2 + 8\times4 -10= -16 + 32 -10=6\)，符合预期。

2. 绕点\((a,b)\)逆时针旋转90°

坐标变换公式推导：

代入\(\theta=90^\circ\)的三角函数值到通用步骤：

1. 平移：\(x_1=x_0-a\)，\(y_1=y_0-b\)

2. 旋转：\(x_2=x_1\cdot0 - y_1\cdot1= -y_1\)，\(y_2=x_1\cdot1 + y_1\cdot0= x_1\)

3. 回移：\(x=-y_1 + a= -(y_0 - b) + a= a + b - y_0\)，\(y=x_1 + b= (x_0 - a) + b= x_0 + (b - a)\)

整理得逆变换公式：\(x_0 = y + (a - b), \quad y_0 = a + b - x\)

旋转后图像方程：代入\(y_0=f(x_0)\)得：\(a + b - x = f(y + a - b)\)

（注：此方程不一定能整理成\(y=g(x)\)的形式，即旋转后可能不是函数，需根据原函数判断）

示例验证：

求\(f(x)=x\)（直线\(y=x\)）绕点\((1,2)\)逆时针旋转90°后的图像方程。

代入逆变换公式：\(x_0=y + (1 - 2)=y - 1\)，\(y_0=1 + 2 - x=3 - x\)。

因\(y_0=f(x_0)=x_0\)，故\(3 - x = y - 1\)，整理得\(y= -x + 4\)（直线，仍是函数）。

验证：原直线上点\((0,0)\)旋转后应为\((1+2-0, 0 +1-2)=(3,-1)\)，代入\(y=-x+4\)得\(-3+4=1\)？不对，重新计算点\((0,0)\)的旋转：

平移后\((0-1,0-2)=(-1,-2)\)，逆时针转90°得\((2,-1)\)，回移后\((2+1,-1+2)=(3,1)\)，代入\(y=-x+4\)得\(-3+4=1\)，正确。

3. 绕点\((a,b)\)逆时针旋转270°（或顺时针90°）

坐标变换公式推导：

代入\(\theta=270^\circ\)的三角函数值到通用步骤：

1. 平移：\(x_1=x_0-a\)，\(y_1=y_0-b\)

2. 旋转：\(x_2=x_1\cdot0 - y_1\cdot(-1)= y_1\)，\(y_2=x_1\cdot(-1) + y_1\cdot0= -x_1\)

3. 回移：\(x=y_1 + a= (y_0 - b) + a= a - b + y_0\)，\(y=-x_1 + b= -(x_0 - a) + b= -x_0 + a + b\)

整理得逆变换公式：\(x_0 = a + b - y, \quad y_0 = x + b - a\)

旋转后图像方程：代入\(y_0=f(x_0)\)得：\(x + b - a = f(a + b - y)\)

示例验证：

求\(f(x)=2^x\)（过点\((0,1)\)）绕点\((2,1)\)顺时针旋转90°（即逆时针270°）后的图像方程。

代入逆变换公式：\(x_0=2+1 - y=3 - y\)，\(y_0=x +1 -2=x -1\)。

因\(y_0=f(x_0)=2^{x_0}\)，故\(x -1=2^{3 - y}\)，两边取对数得\(\log_2(x -1)=3 - y\)，整理得\(y=3 - \log_2(x -1)\)（定义域\(x>1\)，是函数）。

验证：原函数上点\((0,1)\)旋转后：平移\((-2,0)\)，顺时针转90°得\((0,2)\)，回移\((0+2,2+1)=(2,3)\)，代入\(y=3 - \log_2(2 -1)\)（注意\(\log_2(1)=0\)）得\(3-0=3\)，正确。

关键注意事项

1. 旋转后是否为函数：

只有当旋转后的图像满足“任意垂直于x轴的直线与图像仅有一个交点”时，才是函数。

旋转180°：若原函数是函数，旋转后通常仍是函数（如抛物线、直线）；

旋转90°/270°：若原函数是“单调函数”（如直线、指数函数），旋转后可能是函数；若原函数是“非单调函数”（如抛物线\(y=x^2\)），旋转后会出现“一个x对应多个y”，不再是函数（而是二次曲线）。

2. 旋转方向的影响：

顺时针旋转与逆时针旋转是“反向操作”，角度互为相反数（如顺时针90°=逆时针270°），代入通用公式时需注意\(\sin\theta\)的符号（顺时针旋转\(\theta\)取负，\(\sin(-\theta)=-\sin\theta\)）。

3. 公式记忆技巧：

旋转180°的公式最简洁，可结合“中心对称”记忆（旋转180°本质是关于点\((a,b)\)中心对称）；

旋转90°/270°的公式可通过“平移→旋转→回移”的步骤推导，无需死记，重点掌握通用步骤。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学

• 琴生不等式
• 切线不等式（切线放缩）
• 对数均值不等式
• 伯努利不等式：\( (1 + x)^n \geq 1 + nx \)
• 函数的恒成立、存在性问题
• 不等式的缩放
• 基于函数单调性的不等式缩放
• 基于函数凹凸性的不等式缩放
• 函数同构问题：形式统一，单调性搭桥
• 映射、函数：\( f: A \to B \)
• 函数的定义域：Df
• 函数的值域：Rf
• 函数的解析式：f(x)
• 抽象函数：定义域、值域、解析式
• 分段函数：定义域、值域、单调性
• 复合函数： y = f[g(x)]
• 反函数：严格单调函数
• 隐函数：F(x, y) = 0
• 函数的有界性：\( |f(x)| \leq M \)
• 函数的单调性：增函数、减函数
• 函数的奇偶性：奇函数、偶函数
• 函数的周期性：\( f(x + T) = f(x) \)
• 类周期性：\(f(x+T)=f(x)+g(x)\)
• 函数的对称性：自对称、互对称
• 函数的凹凸性：凹函数、凸函数
• 图象平移、对称、翻折、缩放、旋转
• 函数的极值、函数的最值
• 二次函数：最值、根的分布、恒成立问题
• 三次函数：\( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \)
• 幂函数： \(y = x^a\)
• 对勾函数与双刀函数
• 指数方程：\(a^{x}=b\)（\(a > 0\)且\(a\neq1\)）
• 指数函数：\(y = a^{x}(a>0\)，且\(a\neq1)\)
• 双曲函数与反双曲函数
• 对数函数：对数运算性质
• 角度制与弧度制、弧长公式
• 三角函数：定义、性质
• 三角函数：诱导公式、恒等变换、辅助角
• 反三角函数：\(\arcsin x\)
• 三角函数二级结论
• 极坐标：\((\rho,\theta)\)=(极径,极角)
• 参数方程
• 等差数列
• 等比数列
• 数学归纳法
• 求和符号（∑ ）、连乘符号（∏）
• 数列极限、函数极限、两个重要极限
• 函数的连续性：间断点、运算法则
• 函数的导数
• 函数的图形