函数的周期性：\( f(x + T) = f(x) \)

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、周期函数的定义

设函数\( y = f(x) \)的定义域为\( D \)，若存在非零常数\( T \)，使得对任意\( x \in D \)，都满足：

（1）定义域封闭性：\( x + T \in D \)（保证平移后仍在定义域内，避免无意义）；

（2）函数值重复性：\( f(x + T) = f(x) \)（每平移\( T \)个单位，函数值重复）。

则称\( f(x) \)为周期函数，\( T \)为\( f(x) \)的一个周期。

易错点：若仅对部分\( x \)满足\( f(x + T) = f(x) \)，不叫周期函数（需“任意\( x \)”）；

示例：\( f(x) = \sin x \)中，\( T = 2\pi, 4\pi, -2\pi \)等均为周期，但\( T = \pi \)不是（因\( \sin(x + \pi) = -\sin x \neq \sin x \)）。

在周期函数的所有正周期中，数值最小的那个正数，称为\( f(x) \)的最小正周期（记为\( T_{\text{min}} \)）。

关键提醒：并非所有周期函数都有最小正周期！

例如：常数函数\( f(x) = C \)（\( C \)为常数），任意非零常数都是周期，但正实数没有“最小值”，故无最小正周期。

二、周期函数的常用结论：\( f(x + T) = f(x) \)

1. \( f(x + T) = f(x) \ (T \neq 0) \implies T \) 为 \( f(x) \) 的周期

周期函数的定义：对于函数\( f(x) \)，若存在非零常数\( T \)，使得对其定义域内任意\( x \)，都有\( f(x + T) = f(x) \)成立，则称\( T \)为\( f(x) \)的一个周期。

2. \( f(x + a) = f(x + b) \ (a \neq b) \implies T = |a - b| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：令\( t = x + b \)，则\( x = t - b \)，代入原式得：\( f[(t - b) + a] = f(t) \implies f(t + (a - b)) = f(t) \)

对任意\( t \)成立，即\( f(x + (a - b)) = f(x) \)。

由周期定义，\( T = a - b \)是周期，其绝对值\( |a - b| \)也是周期（周期的绝对值仍为周期）。

3. \( f(x + a) = -f(x) \implies T = 2|a| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：对原式迭代一次，用\( x + a \)替换\( x \)：\( f[(x + a) + a] = -f(x + a) \implies f(x + 2a) = -f(x + a) \)

结合题设\( f(x + a) = -f(x) \)，代入得：\( f(x + 2a) = -[-f(x)] = f(x) \)

即\( f(x + 2a) = f(x) \)，由周期定义，\( T = 2a \)是周期，其绝对值\( 2|a| \)也是周期。

4. \( f(x + a) = \frac{1}{f(x)} \ (f(x) \neq 0) \implies T = 2|a| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：对原式迭代一次，用\( x + a \)替换\( x \)：\( f[(x + a) + a] = \frac{1}{f(x + a)} \implies f(x + 2a) = \frac{1}{f(x + a)} \)

结合题设\( f(x + a) = \frac{1}{f(x)} \)，代入得：\( f(x + 2a) = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} = f(x) \)

即\( f(x + 2a) = f(x) \)，故\( T = 2a \)是周期，其绝对值\( 2|a| \)也是周期。

5. \( f(x + a) = -\frac{1}{f(x)} \ (f(x) \neq 0) \implies T = 2|a| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：第一步：用\( x + a \)替换\( x \)，得：\( f(x + 2a) = -\frac{1}{f(x + a)} \)

结合题设\( f(x + a) = -\frac{1}{f(x)} \)，代入得：\( f(x + 2a) = -\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}} = f(x) \)

6. \( f(x + a) + f(x) = c \ (c \text{ 为常数}) \implies T = 2|a| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：原式变形为\( f(x + a) = c - f(x) \)。用\( x + a \)替换\( x \)，得：\( f(x + 2a) = c - f(x + a) \)

代入\( f(x + a) = c - f(x) \)，得：\( f(x + 2a) = c - [c - f(x)] = f(x) \)

即\( f(x + 2a) = f(x) \)，故\( T = 2a \)是周期，其绝对值\( 2|a| \)也是周期。

7. \( \begin{cases} f(x + a) = f(x - a) + k \\ f(x + b) = f(x - b) + k \end{cases} \ (ab \neq 0, k \text{ 为常数}) \implies T = 2|a - b| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：对第一个等式，用\( x + a \)替换\( x \)，得：\( f(x + 2a) = f(x) + k \quad (1) \)

对第二个等式，用\( x + b \)替换\( x \)，得：\( f(x + 2b) = f(x) + k \quad (2) \)

由\( (1)(2) \)得\( f(x + 2a) = f(x + 2b) \)，令\( t = x + 2b \)，则\( x = t - 2b \)，代入得：\( f(t + 2a - 2b) = f(t) \implies f(x + 2(a - b)) = f(x) \)

故\( T = 2(a - b) \)是周期，其绝对值\( 2|a - b| \)也是周期。

8. \( f(x + a) = \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)} \ (f(x) \neq -1) \implies T = 2|a| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：第一步：求\( f(x + 2a) \)，用\( x + a \)替换\( x \)：

\( f(x + 2a) = \frac{1 - f(x + a)}{1 + f(x + a)} = \frac{1 - \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}{1 + \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}} = \frac{(1 + f(x)) - (1 - f(x))}{(1 + f(x)) + (1 - f(x))} = \frac{2f(x)}{2} = f(x) \)

9. \( f(x + a) = f(x) + f(x + 2a) \ (a \neq 0) \implies T = 6|a| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：原式变形为\( f(x + 2a) = f(x + a) - f(x) \quad (1) \)。

用\( x + a \)替换\( x \)，得：\( f(x + 3a) = f(x + 2a) - f(x + a) \quad (2) \)

将\( (1) \)代入\( (2) \)：\( f(x + 3a) = [f(x + a) - f(x)] - f(x + a) = -f(x) \quad (3) \)

用\( x + 3a \)替换\( x \)，结合\( (3) \)得：\( f(x + 6a) = -f(x + 3a) = -[-f(x)] = f(x) \)

即\( f(x + 6a) = f(x) \)，故\( T = 6a \)是周期，其绝对值\( 6|a| \)也是周期。

10. \( f(x) \text{ 为奇函数} \land f(x + a) = -f(x) \implies T = 2|a| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：已知\( f(x) \)是奇函数，故\( f(-x) = -f(x) \)。

由题设\( f(x + a) = -f(x) \)，迭代得\( f(x + 2a) = -f(x + a) = f(x) \)（同结论3的推导），与奇函数性质无关，直接满足\( T = 2|a| \)。

11. \( f(x) \text{ 为偶函数} \land f(x + a) = f(x - a) \implies T = 2|a| \) 为 \( f(x) \) 的周期

推导：已知\( f(x) \)是偶函数，故\( f(-x) = f(x) \)。

题设\( f(x + a) = f(x - a) \)，用\( x + a \)替换\( x \)得：\( f(x + 2a) = f(x) \)

即\( f(x + 2a) = f(x) \)，故\( T = 2a \)是周期，其绝对值\( 2|a| \)也是周期。

12. \( f(x) \text{ 为偶函数} \land f(x + T) = f(x) \ (T \neq 0) \implies f\left(x + \frac{T}{2}\right) = f\left(-x + \frac{T}{2}\right) \)

推导：已知\( f(x) \)是偶函数，故\( f(-x) = f(x) \)；且\( f(x + T) = f(x) \)（周期为\( T \)）。

左边：\( f\left(x + \frac{T}{2}\right) \)。

右边：\( f\left(-x + \frac{T}{2}\right) = f\left[\left(-x + \frac{T}{2}\right) + T\right] = f\left(-x + \frac{3T}{2}\right) \)（周期性质）。

又因\( f \)是偶函数：\( f\left(-x + \frac{3T}{2}\right) = f\left(x - \frac{3T}{2}\right) = f\left(x - \frac{3T}{2} + 2T\right) = f\left(x + \frac{T}{2}\right) \)（周期性质）。

故左边=右边，即\( f\left(x + \frac{T}{2}\right) = f\left(-x + \frac{T}{2}\right) \)。

三、周期函数的基础性质（定义延伸）

性质1：周期的“倍数性”：若\(T\)是函数\(f(x)\)的一个周期（\(T \neq 0\)），则对任意非零整数\(k\)，\(kT\)也是\(f(x)\)的周期，即\(f(x + kT) = f(x)\)。

推导：\( f(x + kT) = f(x + (k-1)T) = \dots = f(x + T) = f(x) \)；

示例：\( \cos x \)的周期为\( 2\pi \)，则\( -2\pi, 4\pi, -6\pi \)等均为周期。

性质2：复合函数的“伸缩性”：若\( f(x) \)的最小正周期为\( T \)，则\( f(ax + b) \)（\( a \neq 0 \)，\( b \)为常数）的最小正周期为\( \frac{T}{|a|} \)。

本质：\( x \)的系数\( a \)决定“横向伸缩倍数”——\( |a| \)越大，图像压缩越厉害，周期越小；

函数的周期性是指函数图像重复出现的最小间隔，对于周期函数\( f(x) \)，若存在非零常数\( T \)，使得对定义域内任意\( x \)都有\( f(x + T) = f(x) \)，则\( T \)称为\( f(x) \)的一个周期，其中最小的正数\( T \)即为最小正周期。

当函数进行线性变换得到\( f(ax + b) \)（\( a \neq 0 \)，\( b \)为常数）时，线性变换分为水平平移和水平伸缩两部分：

\( b \)对应的是水平平移变换：平移不会改变函数的周期（因为只是将函数图像左右移动，重复出现的间隔不变）；

\( a \)对应的是水平伸缩变换：

当\( |a| > 1 \)时，函数图像沿\( x \)轴压缩为原来的\( \frac{1}{|a|} \)，周期随之缩短为原来的\( \frac{1}{|a|} \)；

当\( 0 < |a| < 1 \)时，函数图像沿\( x \)轴伸长为原来的\( \frac{1}{|a|} \)，周期随之延长为原来的\( \frac{1}{|a|} \)。

因此，\( f(ax + b) \)的最小正周期为\( \frac{T}{|a|} \)。

线性变换结论1：周期函数的水平平移不改变周期，仅水平伸缩变换影响周期，伸缩系数的绝对值的倒数与原周期的乘积即为新周期。

线性变换结论2：若\( f(x) \)是周期函数，\( g(x) = f(ax + b) + c \)（\( a \neq 0 \)，\( b,c \)为常数），则\( g(x) \)的最小正周期与\( f(ax + b) \)相同，即\( \frac{T}{|a|} \)（垂直平移不影响周期）。

难点解析：

1. 忽略系数\( a \)的绝对值：当\( a \)为负数时，函数图像不仅会伸缩，还会沿\( y \)轴翻折，但翻折不改变周期，因此必须用\( |a| \)计算，避免出现周期为负数或错误值的情况。

2. 混淆平移与伸缩对周期的影响：部分学习者会误以为水平平移\( b \)会改变周期，实际上平移仅改变函数的起始位置，不改变重复间隔，只有伸缩变换才会影响周期。

3. 非周期函数变换后仍非周期函数：该结论仅适用于原函数是周期函数的情况，若\( f(x) \)本身不是周期函数，无论经过何种线性变换，结果仍非周期函数。

例题1：已知\( f(x) = \sin x \)的最小正周期\( T = 2\pi \)，求\( f(2x + 3) \)的最小正周期。

解：

根据结论，\( a = 2 \)，则最小正周期为\( \frac{T}{|a|} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi \)。

验证：\( f(2x + 3) = \sin(2x + 3) \)，由正弦函数周期公式\( T = \frac{2\pi}{\omega} \)（\( \omega \)为\( x \)的系数），此处\( \omega = 2 \)，周期为\( \frac{2\pi}{2} = \pi \)，与结论一致。

例题2：已知\( f(x) = \cos 3x \)的最小正周期\( T = \frac{2\pi}{3} \)，求\( f(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}) \)的最小正周期。

解：

这里\( a = -\frac{1}{2} \)，则最小正周期为\( \frac{T}{|a|} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{\left| -\frac{1}{2} \right|} = \frac{2\pi}{3} \times 2 = \frac{4\pi}{3} \)。

验证：\( f(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}) = \cos\left[ 3(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}) \right] = \cos(-\frac{3}{2}x + \frac{3\pi}{4}) = \cos(\frac{3}{2}x - \frac{3\pi}{4}) \)（余弦函数为偶函数），周期为\( \frac{2\pi}{\frac{3}{2}} = \frac{4\pi}{3} \)，符合结论。

例题3：已知\( f(x) = \tan x \)的最小正周期\( T = \pi \)，求\( f(5x - 2) + 1 \)的最小正周期。

解：

由二级结论，垂直平移不影响周期，\( a = 5 \)，则最小正周期为\( \frac{T}{|a|} = \frac{\pi}{5} \)。

验证：\( f(5x - 2) + 1 = \tan(5x - 2) + 1 \)，正切函数周期公式为\( T = \frac{\pi}{\omega} \)，此处\( \omega = 5 \)，周期为\( \frac{\pi}{5} \)，正确。

性质3：最小正周期的唯一性（若存在）：若周期函数\(f(x)\)存在最小的正数周期\(T_{\text{min}}\)，则所有周期都是\(T_{\text{min}}\)的非零整数倍。

反证法推导：

假设存在一个周期\( T \)不是\( T_{\text{min}} \)的非零整数倍，根据带余除法，可设\( T = kT_{\text{min}} + r \)（其中\( k \)为非零整数，\( 0 < r < T_{\text{min}} \)）。由周期的定义，\( f(x + T) = f(x + kT_{\text{min}} + r) = f(x + r) = f(x) \)，这表明\( r \)也是函数的周期，且\( r < T_{\text{min}} \)，与\( T_{\text{min}} \)是最小正周期的定义矛盾，因此假设不成立，所有周期必为\( T_{\text{min}} \)的非零整数倍。

需要注意的是，并非所有周期函数都存在最小正周期。最典型的例子是常数函数\( f(x) = C \)（\( C \)为常数），对于任意非零实数\( T \)，都有\( f(x + T) = C = f(x) \)，即所有非零实数都是它的周期。由于正实数没有最小值，因此常数函数不存在最小正周期。此外，还有一些构造性的周期函数（如狄利克雷函数）也不存在最小正周期。

二级结论1：若周期函数\( f(x) \)存在最小正周期\( T_{\text{min}} \)，则其所有正周期都是\( T_{\text{min}} \)的正整数倍，所有负周期都是\( T_{\text{min}} \)的负整数倍。

二级结论2：若两个周期函数\( f(x) \)和\( g(x) \)分别存在最小正周期\( T_1 \)和\( T_2 \)，且\( \frac{T_1}{T_2} \)为有理数，则它们的和、差、积函数仍为周期函数，其最小正周期为\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数；若\( \frac{T_1}{T_2} \)为无理数，则它们的和、差、积函数可能不是周期函数。

二级结论3：非零常数函数是唯一一类所有非零实数都是周期的周期函数，也是最常见的无最小正周期的周期函数。

难点解析：

1. 混淆“周期”与“最小正周期”的关系：部分学习者会误以为周期函数一定存在最小正周期，忽略常数函数等特殊情况，需明确最小正周期是“最小的正数周期”，当不存在这样的正数时，函数就没有最小正周期。

2. 错误认为“所有周期的倍数都是周期”：实际应为“最小正周期的非零整数倍是周期”，若随意取一个非最小正周期的倍数，不一定是函数的周期。例如，\( \sin x \)的最小正周期是\( 2\pi \)，\( 4\pi \)（\( 2\pi \times 2 \)）是周期，但\( 3\pi \)（非\( 2\pi \)的整数倍）不是周期。

3. 构造性无最小正周期函数的理解困难：除常数函数外，狄利克雷函数\( D(x) = \begin{cases} 1, & x \text{为有理数} \\ 0, & x \text{为无理数} \end{cases} \)也是无最小正周期的周期函数。因为任意非零有理数都是它的周期，而正有理数没有最小值，因此不存在最小正周期，这类函数需结合数的性质理解其周期性。

例题1：已知\( f(x) \)是周期函数，且\( 2 \)和\( 3 \)都是它的周期，若\( f(x) \)存在最小正周期，求其最小正周期。

解：

因为\( f(x) \)存在最小正周期\( T_{\text{min}} \)，所以\( 2 \)和\( 3 \)都是\( T_{\text{min}} \)的非零整数倍，即\( 2 = kT_{\text{min}} \)，\( 3 = mT_{\text{min}} \)（\( k,m \)为正整数）。两式相除得\( \frac{2}{3} = \frac{k}{m} \)，即\( 2m = 3k \)，说明\( k \)是2的倍数，\( m \)是3的倍数。设\( k = 2t \)，\( m = 3t \)（\( t \)为正整数），则\( T_{\text{min}} = \frac{2}{k} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t} \)。又因为\( T_{\text{min}} \)是最小正周期，所以\( t = 1 \)时，\( T_{\text{min}} = 1 \)（验证：1是周期，且小于2和3，符合最小正周期的定义）。因此，\( f(x) \)的最小正周期为1。

例题2：判断函数\( f(x) = \sin x + \cos \sqrt{2}x \)是否为周期函数，并说明理由。

解：

该函数不是周期函数。因为\( \sin x \)的最小正周期\( T_1 = 2\pi \)，\( \cos \sqrt{2}x \)的最小正周期\( T_2 = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi \)。计算\( \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}\pi} = \sqrt{2} \)，\( \sqrt{2} \)是无理数，根据二级结论2，当两个周期函数的最小正周期之比为无理数时，它们的和函数不是周期函数。因此，\( f(x) = \sin x + \cos \sqrt{2}x \)不是周期函数。

例题3：已知狄利克雷函数\( D(x) = \begin{cases} 1, & x \text{为有理数} \\ 0, & x \text{为无理数} \end{cases} \)，证明它是周期函数且无最小正周期。

证明：

首先证明其周期性。设\( T \)为任意非零有理数，若\( x \)为有理数，则\( x + T \)也为有理数，此时\( D(x + T) = 1 = D(x) \)；若\( x \)为无理数，则\( x + T \)也为无理数，此时\( D(x + T) = 0 = D(x) \)。因此，任意非零有理数都是\( D(x) \)的周期，即\( D(x) \)是周期函数。再证明无最小正周期，因为正有理数没有最小值（对于任意正有理数\( T_0 \)，总能找到更小的正有理数\( \frac{T_0}{2} \)，且\( \frac{T_0}{2} \)也是周期），所以不存在最小的正数周期，即\( D(x) \)无最小正周期。

例题4：已知\( f(x) \)是存在最小正周期的周期函数，其最小正周期为\( T \)，若\( f(x + 3) = f(x) \)和\( f(x + 5) = f(x) \)对任意\( x \)恒成立，求\( T \)的可能值。

解：

由题意，3和5都是\( f(x) \)的周期，因为\( f(x) \)存在最小正周期\( T \)，所以3和5都是\( T \)的正整数倍，即\( 3 = nT \)，\( 5 = pT \)（\( n,p \)为正整数）。两式相除得\( \frac{3}{5} = \frac{n}{p} \)，即\( 3p = 5n \)，说明\( n \)是3的倍数，\( p \)是5的倍数。设\( n = 3k \)，\( p = 5k \)（\( k \)为正整数），则\( T = \frac{3}{n} = \frac{3}{3k} = \frac{1}{k} \)。因此，\( T \)的可能值为\( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \)（即所有正的\( \frac{1}{k} \)，其中\( k \)为正整数）。

性质4：定义域的无限性：若\(f(x)\)是周期非零的周期函数，其定义域必是无限集（因对任意\(x\)，\(x + kT\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）均需在定义域内，故定义域沿数轴无限延伸）。

周期函数的定义为：对于函数\( f(x) \)，若存在非零常数\( T \)，使得对定义域内任意\( x \)，都有\( x + T \in \text{dom}(f) \)且\( f(x + T) = f(x) \)，则称\( f(x) \)为周期函数，\( T \)为其一个周期。

当\( f(x) \)是周期非零的周期函数时，取其任意一个非零周期\( T \)，根据周期的定义，对定义域内的任意一点\( x_0 \)，都能推出\( x_0 + kT \in \text{dom}(f) \)（其中\( k \in \mathbb{Z} \)，即所有整数）。由于整数集\( \mathbb{Z} \)是无限集，因此\( x_0 + kT \)会生成无限多个不同的点，这些点均在定义域内，意味着定义域必然沿数轴（\( x \)轴）向正负两个方向无限延伸，从而定义域是无限集。需要注意的是，这里的核心逻辑是“周期的无限整数倍平移对定义域的覆盖”，非零周期是关键前提，若周期为零，则不符合周期函数的定义（周期需为非零常数）。

二级结论1：若周期非零的周期函数\( f(x) \)的定义域有界，则该函数不存在，即有界定义域内不可能存在非零周期的周期函数。

二级结论2：周期非零的周期函数的定义域一定是无限集，但无限集定义域的函数不一定是周期函数（例如\( f(x) = x \)，定义域为\( \mathbb{R} \)，是无限集，但不是周期函数）。

二级结论3：若周期非零的周期函数\( f(x) \)的定义域为\( D \)，则对任意\( x \in D \)和\( k \in \mathbb{Z} \)，\( x + kT \in D \)（\( T \)为非零周期），即定义域关于“周期平移”具有封闭性。

难点解析：

1. 忽略定义域的平移封闭性：部分学习者仅关注\( f(x + T) = f(x) \)的函数值相等关系，却忽略了“\( x + T \)必须在定义域内”这一前提条件。实际上，周期函数的定义既要求函数值重复，也要求定义域对周期平移封闭，正是这种封闭性导致定义域无限延伸。

2. 混淆“无限定义域”与“周期函数”的充分必要关系：二级结论2明确指出，无限定义域是周期非零周期函数的必要条件，但不是充分条件。很多无限定义域的函数（如\( f(x) = x^2 \)、\( f(x) = e^x \)）都不是周期函数，需避免“无限定义域就一定是周期函数”的错误认知。

3. 特殊周期函数的定义域理解：除了常见的定义域为\( \mathbb{R} \)的周期函数（如\( \sin x \)、\( \cos x \)），还有一些周期函数的定义域不是全体实数，但仍为无限集。例如\( f(x) = \tan x \)，定义域为\( \{x | x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\} \)，虽然存在间断点，但沿数轴无限延伸，仍是无限集，且满足周期平移的封闭性。

性质5：奇函数的周期特性：若奇函数\(f(x)\)有周期\(T\)（任意一个周期），则：\(f\left(\frac{T}{2}\right) = f\left(-\frac{T}{2}\right) = 0\)

推导：

由奇函数性质\(f\left(-\frac{T}{2}\right) = -f\left(\frac{T}{2}\right)\)，结合周期性\(f\left(-\frac{T}{2}\right) = f\left(-\frac{T}{2} + T\right) = f\left(\frac{T}{2}\right)\)，故\(f\left(\frac{T}{2}\right) = -f\left(\frac{T}{2}\right)\)，得\(f\left(\frac{T}{2}\right) = 0\)。

例：\(f(x)=\sin x\)（奇函数，周期\(2\pi\)），则\(f\left(\pi\right) = 0\)，符合结论。

性质5讲解：

奇函数的定义是对于函数\( f(x) \)的定义域内任意\( x \)，都有\( f(-x) = -f(x) \)，且定义域关于原点对称。周期函数的定义是存在非零常数\( T \)，使得对定义域内任意\( x \)，都有\( f(x + T) = f(x) \)。当一个函数既是奇函数又是周期函数时，可结合这两个定义推导其特殊性质\( f\left(\frac{T}{2}\right) = 0 \)。

二级结论1：若奇函数\( f(x) \)有周期\( T \)，则对任意整数\( k \)，有\( f\left(\frac{T}{2} + kT\right) = 0 \)。这是因为周期函数的函数值随周期重复，\( f\left(\frac{T}{2} + kT\right) = f\left(\frac{T}{2}\right) = 0 \)，即函数在\( x = \frac{T}{2} + kT \)处的函数值均为0。

二级结论2：若奇函数\( f(x) \)有最小正周期\( T_{\text{min}} \)，则\( f\left(\frac{T_{\text{min}}}{2}\right) = 0 \)，且\( \frac{T_{\text{min}}}{2} \)是函数的一个零点，同时所有\( \frac{T_{\text{min}}}{2} \)的周期平移点也都是零点。

二级结论3：若偶函数\( f(x) \)有周期\( T \)，则\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f(0) \)（推导类似：\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f\left(-\frac{T}{2}\right) = f(0 + (-\frac{T}{2})) \)，结合偶函数\( f(-x) = f(x) \)可得），但不一定等于0，这与奇函数的特性形成区别。

难点解析：

1. 忽略定义域的限制条件：该结论的核心前提是\( \frac{T}{2} \)在函数定义域内，若函数在\( x = \frac{T}{2} \)处无定义，则结论不成立。例如，奇函数\( f(x) = \tan x \)的周期为\( \pi \)，\( \frac{T}{2} = \frac{\pi}{2} \)，但\( f(x) = \tan x \)在\( x = \frac{\pi}{2} \)处无定义，因此不能说\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)。

2. 混淆“周期”与“最小正周期”：结论中的\( T \)可以是任意非零周期，并非仅指最小正周期。例如，奇函数\( f(x) = \sin x \)的周期有\( 2\pi, 4\pi, 6\pi \)等，取\( T = 4\pi \)，则\( \frac{T}{2} = 2\pi \)，\( f(2\pi) = 0 \)，同样满足结论。

3. 错误推广到偶函数：部分学习者会将奇函数的这一特性直接推广到偶函数，认为偶函数有周期\( T \)时也有\( f\left(\frac{T}{2}\right) = 0 \)，但实际上偶函数的\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f(0) \)，只有当\( f(0) = 0 \)时才等于0，并非普遍成立。例如，偶函数\( f(x) = \cos x \)的周期为\( 2\pi \)，\( f\left(\frac{2\pi}{2}\right) = f(\pi) = -1 \neq 0 \)，而\( f(0) = 1 \)，符合\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f(0) \)的结论。

例题1：已知\( f(x) = \sin x \)是奇函数，且最小正周期\( T = 2\pi \)，验证\( f\left(\frac{T}{2}\right) = 0 \)。

解：

\( \frac{T}{2} = \pi \)，\( f(\pi) = \sin \pi = 0 \)，符合结论。同时，取周期\( T = 4\pi \)，\( \frac{T}{2} = 2\pi \)，\( f(2\pi) = \sin 2\pi = 0 \)，也满足结论，说明任意周期均适用。

例题2：判断：奇函数\( f(x) = \tan x \)的周期为\( \pi \)，因此\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)。该说法是否正确？

解：

该说法错误。虽然\( f(x) = \tan x \)是奇函数且周期为\( \pi \)，但\( \frac{T}{2} = \frac{\pi}{2} \)不在\( f(x) = \tan x \)的定义域内（其定义域为\( \{x | x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\} \)），因此不能应用该结论，且\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \)无定义，更不等于0。

例题3：已知奇函数\( f(x) \)的周期为6，且\( f(3) = 2 \)，判断该函数是否满足奇函数的周期特性，并说明理由。

解：

不满足。因为\( f(x) \)是奇函数且周期为6，根据结论，若\( 3 = \frac{6}{2} \)在定义域内，则\( f(3) = 0 \)，但题目中\( f(3) = 2 \neq 0 \)，因此该函数不符合奇函数的周期特性，可能题目条件存在矛盾，或函数在\( x = 3 \)处无定义（但题目给出\( f(3) = 2 \)，说明有定义），进一步验证了结论的合理性。

例题4：已知奇函数\( f(x) \)有周期\( T = 8 \)，求\( f(4 + 16) \)的值。

解：

由二级结论1，对任意整数\( k \)，\( f\left(\frac{T}{2} + kT\right) = 0 \)。这里\( \frac{T}{2} = 4 \)，\( 16 = 2 \times 8 = 2T \)，即\( k = 2 \)，因此\( f(4 + 16) = f(4 + 2T) = 0 \)。

例题5：已知偶函数\( g(x) \)有周期\( T = 4 \)，且\( g(0) = 3 \)，求\( g(2) \)的值，并与奇函数的周期特性对比。

解：

由二级结论3，偶函数有周期\( T \)时，\( g\left(\frac{T}{2}\right) = g(0) \)。这里\( \frac{T}{2} = 2 \)，因此\( g(2) = g(0) = 3 \)。与奇函数对比，奇函数在\( \frac{T}{2} \)处函数值为0（定义域允许的情况下），而偶函数此处函数值等于\( g(0) \)，不一定为0，体现了两者的差异。

例题6：已知奇函数\( f(x) \)的最小正周期为\( 2 \)，且当\( x \in (0, 1) \)时，\( f(x) = x^2 \)，求\( f(1) \)的值。

解：

因为\( f(x) \)是奇函数且最小正周期为2，所以\( \frac{T_{\text{min}}}{2} = 1 \)。首先验证\( x = 1 \)是否在定义域内，由于周期函数定义域为无限集且关于周期平移封闭，\( x = 1 \)在定义域内。根据结论，\( f(1) = f\left(\frac{T_{\text{min}}}{2}\right) = 0 \)。也可通过定义验证：由周期特性，\( f(1) = f(1 - 2) = f(-1) \)，又因为\( f(x) \)是奇函数，\( f(-1) = -f(1) \)，因此\( f(1) = -f(1) \)，解得\( f(1) = 0 \)，与结论一致。

性质6：偶函数的周期特性：若偶函数\(f(x)\)有周期\(T\)（任意一个周期），则：\(f\left(x + \frac{T}{2}\right) = f\left(\frac{T}{2} - x\right)\)，即函数图像关于直线\(x = \frac{T}{2}\)对称。

推导：

由周期性\(f\left(x + \frac{T}{2}\right) = f\left(x + \frac{T}{2} - T\right) = f\left(x - \frac{T}{2}\right)\)，再由偶函数性质\(f\left(x - \frac{T}{2}\right) = f\left(\frac{T}{2} - x\right)\)，故等式成立。

理论讲解：

偶函数的定义为对于函数\( f(x) \)的定义域内任意\( x \)，都有\( f(-x) = f(x) \)，且定义域关于原点对称；周期函数的定义为存在非零常数\( T \)，使得对定义域内任意\( x \)，都有\( f(x + T) = f(x) \)。当函数既是偶函数又是周期函数时，可结合这两个定义推导其关于直线\( x = \frac{T}{2} \)对称的特性。

二级结论1：若偶函数\( f(x) \)有周期\( T \)，则函数图像不仅关于直线\( x = \frac{T}{2} \)对称，还关于直线\( x = \frac{kT}{2} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）对称。这是因为周期函数的对称性会随周期重复，由\( f\left(x + \frac{T}{2}\right) = f\left(\frac{T}{2} - x\right) \)，将\( x \)替换为\( x + \frac{kT}{2} \)，结合周期特性可推出关于\( x = \frac{kT}{2} \)的对称性。

二级结论2：若偶函数\( f(x) \)有周期\( T \)，则\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f(0) \)。推导：令\( x = 0 \)，则\( f\left(0 + \frac{T}{2}\right) = f\left(\frac{T}{2} - 0\right) \)，即\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f\left(\frac{T}{2}\right) \)，再结合周期特性\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f\left(\frac{T}{2} - T\right) = f\left(-\frac{T}{2}\right) \)，而偶函数满足\( f\left(-\frac{T}{2}\right) = f\left(\frac{T}{2}\right) \)，同时\( f(0) = f\left(0 + T\right) = f(T) \)，进一步可推出\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f(0) \)。

二级结论3：若函数\( f(x) \)既关于\( y \)轴对称（偶函数），又关于直线\( x = a \)（\( a \neq 0 \)）对称，则\( f(x) \)是周期函数，且\( 2|a| \)是它的一个周期。这是偶函数周期特性的逆用，体现了对称性与周期性的相互转化。

难点解析：

1. 忽略定义域的限制条件：与奇函数的周期特性类似，该结论成立的前提是\( x + \frac{T}{2} \)和\( \frac{T}{2} - x \)均在定义域内。例如，偶函数\( f(x) = \frac{1}{\cos x} \)（定义域为\( \{x | x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\} \)）的周期为\( 2\pi \)，取\( x = \frac{\pi}{2} \)，则\( x + \frac{T}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \)，不在定义域内，因此\( f\left(\frac{3\pi}{2}\right) \)无定义，对称性在此处不适用。

2. 混淆“周期”与“对称轴”的关系：部分学习者会误以为周期\( T \)对应的对称轴只有\( x = \frac{T}{2} \)，实际上根据二级结论1，所有\( x = \frac{kT}{2} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）都是对称轴。例如，偶函数\( f(x) = \cos x \)的周期为\( 2\pi \)，对称轴有\( x = 0, \pi, 2\pi, \dots \)，即\( x = \frac{k \cdot 2\pi}{2} = k\pi \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），符合结论。

3. 逆用结论时的条件遗漏：二级结论3指出“关于\( y \)轴和直线\( x = a \)对称的函数是周期函数”，但需注意\( a \neq 0 \)，若\( a = 0 \)，则两条对称轴重合，无法推出周期性。例如，仅关于\( y \)轴对称的函数（如\( f(x) = x^2 \)）不一定是周期函数。

例题1：已知\( f(x) = \cos x \)是偶函数，且最小正周期\( T = 2\pi \)，验证函数图像关于直线\( x = \frac{T}{2} = \pi \)对称。

解：

要验证对称性，需证明对任意\( x \)，\( f(\pi + x) = f(\pi - x) \)。计算左边：\( f(\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos x \)；右边：\( f(\pi - x) = \cos(\pi - x) = -\cos x \)。因此\( f(\pi + x) = f(\pi - x) \)，函数图像关于直线\( x = \pi \)对称，符合结论。同时，\( x = 0, 2\pi \)等也都是其对称轴，验证了二级结论1。

例题2：判断：偶函数\( f(x) = x^2 \)有周期吗？若没有，说明其是否满足上述周期特性。

解：

\( f(x) = x^2 \)不是周期函数，因为不存在非零常数\( T \)，使得对任意\( x \)，\( (x + T)^2 = x^2 \)恒成立（展开后\( 2Tx + T^2 = 0 \)，仅当\( T = 0 \)时成立，不符合周期定义）。由于该函数不是周期函数，因此不满足偶函数的周期特性，进一步说明结论的适用前提是函数为周期函数。

例题3：已知偶函数\( f(x) \)的周期为4，且\( f(1) = 3 \)，求\( f(3) \)的值。

解：

由偶函数的周期特性，函数图像关于直线\( x = \frac{T}{2} = 2 \)对称，因此\( f(2 + x) = f(2 - x) \)。令\( x = 1 \)，则\( f(2 + 1) = f(2 - 1) \)，即\( f(3) = f(1) = 3 \)。也可通过周期特性验证：\( f(3) = f(3 - 4) = f(-1) \)，又因为\( f(x) \)是偶函数，\( f(-1) = f(1) = 3 \)，结果一致。

例题4：已知函数\( f(x) \)既关于\( y \)轴对称，又关于直线\( x = 3 \)对称，证明\( f(x) \)是周期函数，且6是它的一个周期。

证明：

因为\( f(x) \)关于\( y \)轴对称，所以\( f(-x) = f(x) \)；又关于直线\( x = 3 \)对称，所以\( f(3 + x) = f(3 - x) \)。将\( x \)替换为\( x + 3 \)，得\( f(6 + x) = f(-x) \)。结合偶函数的性质\( f(-x) = f(x) \)，可得\( f(6 + x) = f(x) \)，因此\( f(x) \)是周期函数，且6是它的一个周期，符合二级结论3。

例题5：已知偶函数\( f(x) \)的周期为6，求\( f(5) \)与\( f(1) \)的关系，并说明理由。

解：

由结论，函数图像关于直线\( x = \frac{6}{2} = 3 \)对称，因此\( f(3 + x) = f(3 - x) \)。令\( x = 2 \)，则\( f(3 + 2) = f(3 - 2) \)，即\( f(5) = f(1) \)。也可通过周期和偶函数性质推导：\( f(5) = f(5 - 6) = f(-1) = f(1) \)，结果相同，体现了对称性与奇偶性、周期性的结合应用。

例题6：判断：若偶函数\( f(x) \)有周期\( T \)，则\( f\left(\frac{T}{2}\right) = 0 \)。该说法是否正确？并举例说明。

解：

该说法错误。由二级结论2，偶函数有周期\( T \)时，\( f\left(\frac{T}{2}\right) = f(0) \)，不一定等于0。例如，\( f(x) = \cos x \)是偶函数，周期\( T = 2\pi \)，\( f\left(\frac{2\pi}{2}\right) = f(\pi) = -1 \)，而\( f(0) = 1 \)，显然\( f\left(\frac{T}{2}\right) \neq 0 \)；再如，偶函数\( f(x) = \cos 2x \)，周期\( T = \pi \)，\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f(0) = 1 \neq 0 \)，进一步验证了该说法的错误性，同时体现了偶函数与奇函数周期特性的差异。

性质7：双轴对称→周期：若\(f(x)\)的图像关于两条平行直线\(x = a\)和\(x = b\)（\(a \neq b\)）对称，则\(f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 2|a - b|\)。

推导：

由轴对称得\(f(a + x) = f(a - x)\)、\(f(b + x) = f(b - x)\)；令\(x' = x + a\)，则\(f(x') = f(2a - x')\)；同理\(f(x') = f(2b - x')\)，故\(f(2a - x') = f(2b - x')\)，再令\(t = 2a - x'\)，得\(f(t) = f(t + 2(b - a))\)，即周期\(2|a - b|\)。

例：\(f(x)=\cos x\)（关于\(x = 0\)、\(x = \pi\)对称），周期\(2|\pi - 0| = 2\pi\)，符合结论。

理论讲解：

函数图像的对称性反映了函数值在特定区间内的重复规律，而周期性则体现了函数值随自变量周期性变化的特性。当函数\( f(x) \)的图像关于两条平行直线\( x = a \)和\( x = b \)（\( a \neq b \)）对称时，可通过对称性的定义推导其周期性。

二级结论1：若函数\( f(x) \)的图像关于三条互不重合的平行直线对称，则其周期存在无数个，且最小正周期是相邻两条对称轴间距的2倍的约数。

二级结论2：若函数\( f(x) \)既关于直线\( x = a \)对称，又关于直线\( x = b \)对称（\( a \neq b \)），则其图像也关于直线\( x = a + k \cdot 2|a - b| \)和\( x = b + k \cdot 2|a - b| \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）对称，即对称性随周期重复。

二级结论3：双轴对称推导周期的结论可与奇偶性结合：若偶函数\( f(x) \)关于直线\( x = a \)（\( a \neq 0 \)）对称，则\( f(x) \)是周期函数，周期\( T = 2|a| \)（本质是\( x = 0 \)和\( x = a \)两条平行对称轴的应用）；同理，奇函数若关于两条平行直线对称，也满足该周期结论。

难点解析：

1. 对称轴平行的前提不可忽视：若两条对称轴不平行（如相交直线），则无法推出函数的周期性。例如，函数\( f(x) = x^2 \)仅关于\( x = 0 \)对称，不存在另一条平行对称轴，因此不是周期函数；而若函数关于\( x = 1 \)和\( x = 3 \)（平行直线）对称，则是周期函数。

2. 周期的最小性判断：推导得出的\( T = 2|a - b| \)是函数的一个周期，但不一定是最小正周期。例如，函数\( f(x) = \cos x \)关于\( x = 0 \)和\( x = \pi \)对称，\( 2|0 - \pi| = 2\pi \)，既是周期也是最小正周期；若函数关于\( x = 0 \)和\( x = 2\pi \)对称，\( 2|0 - 2\pi| = 4\pi \)是周期，但最小正周期仍是\( 2\pi \)。

3. 定义域的封闭性要求：若变换后的自变量超出定义域，则结论不成立。例如，构造函数\( f(x) = \cos x \)（\( x \in [0, 4\pi] \)），其图像关于\( x = \pi \)和\( x = 3\pi \)对称，但定义域有界，当\( x + 4\pi > 4\pi \)时超出定义域，因此该函数不是周期函数，说明结论仅适用于定义域对周期平移封闭的函数。

例题1：已知函数\( f(x) \)的图像关于直线\( x = 2 \)和\( x = 5 \)对称，证明\( f(x) \)是周期函数，并求其一个周期。

解：

根据双轴对称推导周期的结论，\( a = 2 \)，\( b = 5 \)，则周期\( T = 2|2 - 5| = 6 \)。证明如下：由对称性定义，\( f(2 + x) = f(2 - x) \)，\( f(5 + x) = f(5 - x) \)。将\( x \)替换为\( x + 3 \)代入第一个等式，得\( f(2 + x + 3) = f(2 - (x + 3)) \)，即\( f(x + 5) = f(-1 - x) \)。结合第二个等式，\( f(5 - x) = f(-1 - x) \)，令\( t = -1 - x \)，则\( x = -1 - t \)，代入得\( f(5 - (-1 - t)) = f(t) \)，即\( f(6 + t) = f(t) \)，因此\( f(x) \)是周期函数，6是它的一个周期。

例题2：已知\( f(x) = \sin x \)的图像关于直线\( x = \frac{\pi}{2} \)和\( x = \frac{3\pi}{2} \)对称，求其周期，并验证是否为最小正周期。

解：

由结论，周期\( T = 2\left| \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} \right| = 2\pi \)。\( \sin x \)的最小正周期为\( 2\pi \)，因此该周期是最小正周期。验证：\( \sin(x + 2\pi) = \sin x \)，符合周期定义，且不存在更小的正数周期，故结论成立。

例题3：判断：若函数\( f(x) \)的图像关于直线\( x = 1 \)和\( y = 2 \)对称，则\( f(x) \)是周期函数。该说法是否正确？

解：

该说法错误。因为\( x = 1 \)是垂直直线，\( y = 2 \)是水平直线，两条对称轴不平行，不符合“双平行直线对称”的前提条件，因此无法推出函数的周期性。例如，函数\( f(x) = (x - 1)^2 + 2 \)关于\( x = 1 \)对称，但不关于\( y = 2 \)对称，且本身不是周期函数，进一步说明非平行对称轴无法推导周期性。

例题4：已知偶函数\( f(x) \)的图像关于直线\( x = 3 \)对称，求其周期，并举例说明。

解：

偶函数关于\( y \)轴（\( x = 0 \)）对称，结合已知的\( x = 3 \)对称，由二级结论3，周期\( T = 2|0 - 3| = 6 \)。举例：\( f(x) = \cos\left( \frac{\pi}{3}x \right) \)，它是偶函数，关于\( x = 0 \)对称；其对称轴满足\( \frac{\pi}{3}x = k\pi \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），即\( x = 3k \)，当\( k = 1 \)时，\( x = 3 \)是对称轴，且周期\( T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6 \)，符合结论。

例题5：已知函数\( f(x) \)的图像关于直线\( x = -1 \)和\( x = 2 \)对称，且\( f(0) = 5 \)，求\( f(6) \)的值。

解：

首先求函数的周期，\( T = 2|-1 - 2| = 6 \)，因此\( f(6) = f(0 + 6) = f(0) = 5 \)。也可通过对称性推导：由\( x = -1 \)对称，\( f(-1 + x) = f(-1 - x) \)，令\( x = 1 \)，得\( f(0) = f(-2) = 5 \)；由\( x = 2 \)对称，\( f(2 + x) = f(2 - x) \)，令\( x = 4 \)，得\( f(6) = f(-2) = 5 \)，结果一致。

例题6：已知函数\( f(x) \)的图像关于直线\( x = a \)和\( x = b \)（\( a < b \)）对称，且最小正周期为\( 4 \)，若\( b - a = 1 \)，判断\( 2|a - b| = 2 \)是否为该函数的周期，并说明理由。

解：

由结论，\( 2|a - b| = 2 \times 1 = 2 \)是函数的一个周期。因为最小正周期为4，而2是4的约数，符合周期函数的性质（若\( T \)是周期，则\( kT \)（\( k \in \mathbb{Z} \)且\( k \neq 0 \)）也是周期）。例如，构造函数\( f(x) = \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) \)，其最小正周期为4，对称轴满足\( \frac{\pi}{2}x = k\pi \)，即\( x = 2k \)，取\( a = 0 \)，\( b = 1 \)（此处修正：为满足\( b - a = 1 \)且对称轴间距1，可构造函数\( f(x) = \cos(\pi x) \)，最小正周期2，调整为\( f(x) = \cos\left( \frac{\pi}{2}x \right) \)，取对称轴\( x = 0 \)和\( x = 2 \)，间距2，周期4；若需间距1，可构造\( f(x) = \cos(\pi x) \)，最小正周期2，对称轴\( x = 0 \)和\( x = 1 \)，间距1，周期2，此时\( 2|a - b| = 2 \)是最小正周期），说明当\( 2|a - b| \)是最小正周期的约数时，它也是函数的周期。

性质8：轴对称+中心对称→周期：若\(f(x)\)的图像关于直线\(x = a\)对称，且关于点\((b, 0)\)（\(a \neq b\)）中心对称，则\(f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 4|a - b|\)。

推导：

由轴对称得\(f(a + x) = f(a - x)\)，由中心对称得\(f(b + x) = -f(b - x)\)；先推\(f(x) = f(2a - x)\)，再代入中心对称：\(f(2a - x) = -f(2b - (2a - x)) = -f(x + 2(b - a))\)；继续递推\(f(x + 2(b - a)) = -f(x + 4(b - a))\)，故\(f(x) = f(x + 4(b - a))\)，即周期\(4|a - b|\)。

理论讲解：

函数的轴对称和中心对称分别对应不同的函数值变换规律，当两者同时存在时，可通过定义推导其周期性。首先明确相关定义：函数关于直线\( x = a \)对称，意味着对定义域内任意\( x \)，有\( f(a + x) = f(a - x) \)；函数关于点\( (b, 0) \)中心对称，意味着对定义域内任意\( x \)，有\( f(b + x) = -f(b - x) \)（中心对称点为\( (b, 0) \)时，函数值关于该点对称且符号相反）。

二级结论1：若函数\( f(x) \)关于直线\( x = a \)对称，且关于点\( (b, c) \)中心对称（\( c \neq 0 \)），则\( f(x) \)仍是周期函数，周期仍为\( 4|a - b| \)（垂直平移不影响周期性，中心对称点的纵坐标变化仅改变函数的上下位置，不改变周期）。

二级结论2：若奇函数\( f(x) \)关于直线\( x = a \)（\( a \neq 0 \)）对称，则\( f(x) \)是周期函数，周期\( T = 4|a| \)（本质是\( f(x) \)关于原点\( (0, 0) \)中心对称，结合直线\( x = a \)轴对称，代入\( b = 0 \)可得）。

二级结论3：若函数\( f(x) \)同时关于两条直线轴对称且关于一个点中心对称，则其周期存在无数个，且最小正周期是\( 4|a - b| \)的约数。

难点解析：

1. 中心对称点的符号处理：中心对称点为\( (b, 0) \)时，函数值满足\( f(b + x) = -f(b - x) \)，部分学习者容易遗漏负号，导致推导错误。若中心对称点纵坐标不为0，需注意函数值的平移关系，但周期不受影响。

2. 周期的最小性判断：推导得出的\( T = 4|a - b| \)是函数的一个周期，但不一定是最小正周期。例如，函数\( f(x) = \sin x \)关于直线\( x = \frac{\pi}{2} \)对称，且关于原点\( (0, 0) \)中心对称，\( 4\left| \frac{\pi}{2} - 0 \right| = 2\pi \)，既是周期也是最小正周期；若函数关于直线\( x = \frac{\pi}{2} \)和点\( (\pi, 0) \)中心对称，\( 4\left| \frac{\pi}{2} - \pi \right| = 2\pi \)，同样是最小正周期。

3. 定义域的封闭性要求：与其他周期推导结论类似，若变换后的自变量超出定义域，则结论不成立。例如，截取\( f(x) = \sin x \)的定义域为\( [0, 4\pi] \)，虽关于\( x = \frac{\pi}{2} \)和\( (0, 0) \)对称，但定义域有界，\( x + 2\pi > 4\pi \)时超出定义域，因此不是周期函数。

4. 与双轴对称周期的区别：双轴对称推导的周期为\( 2|a - b| \)，而轴对称+中心对称的周期为\( 4|a - b| \)，需注意两者的条件差异，避免混淆周期倍数。

例题1：已知函数\( f(x) \)的图像关于直线\( x = 1 \)对称，且关于点\( (3, 0) \)中心对称，证明\( f(x) \)是周期函数，并求其一个周期。

解：

根据结论，\( a = 1 \)，\( b = 3 \)，则周期\( T = 4|1 - 3| = 8 \)。证明如下：由轴对称定义，\( f(1 + x) = f(1 - x) \)；由中心对称定义，\( f(3 + x) = -f(3 - x) \)。将\( x \)替换为\( x + 2 \)代入轴对称等式，得\( f(1 + x + 2) = f(1 - (x + 2)) \)，即\( f(x + 3) = f(-1 - x) \)。结合中心对称等式，\( -f(3 - x) = f(-1 - x) \)，令\( t = -1 - x \)，则\( x = -1 - t \)，代入得\( -f(3 - (-1 - t)) = f(t) \)，即\( -f(4 + t) = f(t) \)。两边同时替换\( t \)为\( t + 4 \)，得\( -f(8 + t) = f(t + 4) = -f(t) \)，因此\( f(8 + t) = f(t) \)，即\( f(x) \)是周期函数，8是它的一个周期。

例题2：已知\( f(x) = \sin x \)的图像关于直线\( x = \frac{\pi}{2} \)对称，且关于原点\( (0, 0) \)中心对称，验证其周期为\( 4\left| \frac{\pi}{2} - 0 \right| = 2\pi \)，并判断是否为最小正周期。

解：

\( \sin x \)的周期为\( 2\pi \)，符合\( 4\left| \frac{\pi}{2} - 0 \right| = 2\pi \)。由于不存在比\( 2\pi \)更小的正数周期，因此\( 2\pi \)是最小正周期。验证：\( \sin(x + 2\pi) = \sin x \)，且对任意\( 0 < T < 2\pi \)，\( \sin(x + T) \neq \sin x \)恒成立，故结论正确。

例题3：已知奇函数\( f(x) \)的图像关于直线\( x = 2 \)对称，求其周期，并举例说明。

解：

奇函数关于原点\( (0, 0) \)中心对称，结合直线\( x = 2 \)轴对称，由二级结论2，周期\( T = 4|2 - 0| = 8 \)。举例：构造函数\( f(x) = \sin\left( \frac{\pi}{4}x \right) \)，它是奇函数，关于原点对称；其对称轴满足\( \frac{\pi}{4}x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），即\( x = 2 + 4k \)，当\( k = 0 \)时，\( x = 2 \)是对称轴，且周期\( T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = 8 \)，符合结论。

例题4：已知函数\( f(x) \)关于直线\( x = 3 \)对称，且关于点\( (5, 2) \)中心对称，判断\( f(x) \)是否为周期函数，若为，求其一个周期。

解：

\( f(x) \)是周期函数。中心对称点纵坐标为2，根据二级结论1，垂直平移不影响周期，因此周期仍为\( 4|3 - 5| = 8 \)。证明：由轴对称定义，\( f(3 + x) = f(3 - x) \)；由中心对称定义，\( f(5 + x) + f(5 - x) = 4 \)（关于\( (5, 2) \)中心对称，函数值之和为\( 2 \times 2 = 4 \)）。类似之前的推导，可得出\( f(x + 8) = f(x) \)，因此周期为8。

例题5：已知函数\( f(x) \)关于直线\( x = -1 \)对称，且关于点\( (2, 0) \)中心对称，若\( f(0) = 3 \)，求\( f(12) \)的值。

解：

首先求周期，\( T = 4|-1 - 2| = 12 \)，因此\( f(12) = f(0 + 12) = f(0) = 3 \)。也可通过对称性推导：由\( x = -1 \)对称，\( f(-1 + x) = f(-1 - x) \)，令\( x = 1 \)，得\( f(0) = f(-2) = 3 \)；由\( (2, 0) \)中心对称，\( f(2 + x) = -f(2 - x) \)，令\( x = 4 \)，得\( f(6) = -f(-2) = -3 \)；再令\( x = 6 \)，得\( f(8) = -f(-4) \)，结合轴对称性质\( f(-4) = f(2) \)，继续推导可最终得到\( f(12) = 3 \)，结果一致。

例题6：判断：若函数\( f(x) \)关于直线\( x = a \)对称，且关于点\( (a, 0) \)中心对称（\( a \)为常数），则\( f(x) \)是周期函数，周期为\( 4|a - a| = 0 \)。该说法是否正确？

解：

该说法错误。首先，周期函数的周期必须是非零常数，周期为0不符合周期函数的定义；其次，当\( a = b \)时，题目中给出的前提条件\( a \neq b \)不满足，因此不能应用该结论。实际上，若函数关于直线\( x = a \)和点\( (a, 0) \)对称，对任意\( x \)，有\( f(a + x) = f(a - x) \)且\( f(a + x) = -f(a - x) \)，因此\( f(a + x) = -f(a + x) \)，即\( f(a + x) = 0 \)对任意\( x \)成立，函数为常值0函数，但常值函数的周期是任意非零实数，并非0，因此该说法错误。

性质9：双中心对称→周期：若\(f(x)\)的图像关于两个点\((a, 0)\)和\((b, 0)\)（\(a \neq b\)）中心对称，则\(f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 2|a - b|\)。

推导：

由中心对称得\(f(a + x) = -f(a - x)\)、\(f(b + x) = -f(b - x)\)；令\(x' = x + a\)，得\(f(x') = -f(2a - x')\)；同理\(f(x') = -f(2b - x')\)，故\(f(2a - x') = f(2b - x')\)，后续同双轴对称推导，得周期\(2|a - b|\)。

理论讲解：

函数的中心对称反映了函数图像绕对称中心旋转180°后与原图像重合的特性，其代数定义为：若函数\( f(x) \)关于点\( (m, 0) \)中心对称，则对定义域内任意\( x \)，都有\( f(m + x) = -f(m - x) \)（函数值关于对称中心对称且符号相反）。当函数同时关于两个不同的点\( (a, 0) \)和\( (b, 0) \)（\( a \neq b \)）中心对称时，可通过两个中心对称的代数关系推导其周期性。

二级结论1：若函数\( f(x) \)关于两个点\( (a, c) \)和\( (b, c) \)（\( a \neq b \)，\( c \)为常数）中心对称，则\( f(x) \)仍是周期函数，周期仍为\( 2|a - b| \)。垂直平移不影响周期性，对称中心纵坐标相同仅改变函数的上下位置，不改变函数值的周期性变化规律。

二级结论2：若函数\( f(x) \)关于三个互不重合的点中心对称，则其周期存在无数个，且最小正周期是相邻两个对称中心间距的2倍的约数。

二级结论3：奇函数关于原点\( (0, 0) \)中心对称，若再关于另一点\( (a, 0) \)（\( a \neq 0 \)）中心对称，则周期\( T = 2|a - 0| = 2|a| \)，这是双中心对称周期结论的特殊应用。

难点解析：

1. 中心对称代数表达式的记忆错误：部分学习者容易混淆中心对称与轴对称的代数形式，或遗漏中心对称表达式中的负号，导致推导失败。需明确中心对称\( f(m + x) = -f(m - x) \)与轴对称\( f(m + x) = f(m - x) \)的核心区别，负号是中心对称的关键特征。

2. 周期最小性的判断误区：推导得出的\( T = 2|a - b| \)是函数的一个周期，但不一定是最小正周期。例如，\( f(x) = \sin x \)关于\( (0, 0) \)和\( (\pi, 0) \)中心对称，\( 2|\pi - 0| = 2\pi \)，既是周期也是最小正周期；若函数关于\( (0, 0) \)和\( (2\pi, 0) \)中心对称，\( 2|2\pi - 0| = 4\pi \)是周期，但最小正周期仍是\( 2\pi \)。

3. 对称中心纵坐标不同的情况：若两个对称中心纵坐标不同（如\( (a, c_1) \)和\( (b, c_2) \)，\( c_1 \neq c_2 \)），则函数不是周期函数。因为此时函数值的平移量不同，无法形成周期性重复，需注意二级结论1中“纵坐标相同”的前提条件。

4. 定义域的封闭性要求：与其他周期推导结论类似，若变换后的自变量超出定义域，则结论不成立。例如，截取\( f(x) = \sin x \)的定义域为\( [0, 4\pi] \)，虽关于\( (0, 0) \)和\( (\pi, 0) \)对称，但定义域有界，\( x + 2\pi > 4\pi \)时超出定义域，因此不是周期函数。

例题1：已知函数\( f(x) \)的图像关于点\( (2, 0) \)和\( (5, 0) \)中心对称，证明\( f(x) \)是周期函数，并求其一个周期。

解：

根据双中心对称周期结论，\( a = 2 \)，\( b = 5 \)，则周期\( T = 2|2 - 5| = 6 \)。证明如下：由中心对称定义，\( f(2 + x) = -f(2 - x) \)，\( f(5 + x) = -f(5 - x) \)。将\( x \)替换为\( x + 3 \)代入第一个等式，得\( f(2 + x + 3) = -f(2 - (x + 3)) \)，即\( f(x + 5) = -f(-1 - x) \)。结合第二个等式，\( -f(5 - x) = -f(-1 - x) \)，即\( f(5 - x) = f(-1 - x) \)。令\( t = -1 - x \)，则\( x = -1 - t \)，代入得\( f(5 - (-1 - t)) = f(t) \)，即\( f(6 + t) = f(t) \)，因此\( f(x) \)是周期函数，6是它的一个周期。

例题2：已知\( f(x) = \sin x \)的图像关于点\( (0, 0) \)和\( (\pi, 0) \)中心对称，验证其周期为\( 2|\pi - 0| = 2\pi \)，并判断是否为最小正周期。

解：

\( \sin x \)的周期为\( 2\pi \)，符合\( 2|\pi - 0| = 2\pi \)。由于不存在比\( 2\pi \)更小的正数周期，因此\( 2\pi \)是最小正周期。验证：\( \sin(x + 2\pi) = \sin x \)，且对任意\( 0 < T < 2\pi \)，\( \sin(x + T) \neq \sin x \)恒成立，故结论正确。

例题3：判断：若函数\( f(x) \)的图像关于点\( (1, 2) \)和\( (3, 4) \)中心对称，则\( f(x) \)是周期函数。该说法是否正确？

解：

该说法错误。两个对称中心的纵坐标分别为2和4，不相等，不符合二级结论1中“纵坐标相同”的前提条件。此时函数值的平移量不同，无法形成周期性重复，因此\( f(x) \)不是周期函数，进一步说明对称中心纵坐标相同是结论成立的重要条件。

例题4：已知奇函数\( f(x) \)的图像关于点\( (3, 0) \)中心对称，求其周期，并举例说明。

解：

奇函数关于原点\( (0, 0) \)中心对称，结合已知的\( (3, 0) \)中心对称，由二级结论3，周期\( T = 2|3 - 0| = 6 \)。举例：构造函数\( f(x) = \sin\left( \frac{\pi}{3}x \right) \)，它是奇函数，关于原点对称；其对称中心满足\( \frac{\pi}{3}x = k\pi \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），即\( x = 3k \)，当\( k = 1 \)时，\( x = 3 \)是对称中心，且周期\( T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{3}} = 6 \)，符合结论。

例题5：已知函数\( f(x) \)关于点\( (-1, 0) \)和\( (2, 0) \)中心对称，且\( f(1) = 4 \)，求\( f(7) \)的值。

解：

首先求周期，\( T = 2|-1 - 2| = 6 \)，因此\( f(7) = f(1 + 6) = f(1) = 4 \)。也可通过对称性推导：由\( (-1, 0) \)中心对称，\( f(-1 + x) = -f(-1 - x) \)，令\( x = 2 \)，得\( f(1) = -f(-3) = 4 \)，即\( f(-3) = -4 \)；由\( (2, 0) \)中心对称，\( f(2 + x) = -f(2 - x) \)，令\( x = 5 \)，得\( f(7) = -f(-3) = -(-4) = 4 \)，结果一致。

例题6：已知函数\( f(x) \)的图像关于点\( (a, 0) \)和\( (b, 0) \)（\( a < b \)）中心对称，且最小正周期为\( 4 \)，若\( b - a = 3 \)，判断\( 2|a - b| = 6 \)是否为该函数的周期，并说明理由。

解：

由结论，\( 2|a - b| = 6 \)是函数的一个周期。因为周期函数的性质是“若\( T \)是周期，则\( kT \)（\( k \in \mathbb{Z} \)且\( k \neq 0 \)）也是周期”，但此处需注意，最小正周期为4，而6并非4的整数倍，看似矛盾，实则是构造函数时的参数设置问题。正确构造：例如函数\( f(x) = \sin\left( \frac{\pi}{2}x \right) + \sin\left( \frac{\pi}{6}x \right) \)，其最小正周期为12（4和6的最小公倍数），若调整为最小正周期4，可构造\( f(x) = \sin\left( \frac{\pi}{2}x \right) \)，其对称中心为\( (2k, 0) \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），取\( a = 0 \)，\( b = 2 \)，间距2，周期4，符合\( 2|a - b| = 4 \)（与最小正周期一致）。若强行取\( b - a = 3 \)，则最小正周期需为6的约数，与“最小正周期为4”矛盾，说明当\( 2|a - b| \)与最小正周期不满足整数倍关系时，题目条件存在矛盾，进一步验证了周期结论的合理性。

性质10：两个周期函数的“运算性”：设\( f(x) \)最小正周期\( T_1 \)，\( g(x) \)最小正周期\( T_2 \)，若\( \frac{T_1}{T_2} \)为有理数（即，存在非零整数\(m, n\)使得\(mT_1 = nT_2 = T\),即\(T\)是\(T_1\)与\(T_2\)的公倍数），则：（a）\( f(x) \pm g(x) \)、\( f(x) \cdot g(x) \)的最小正周期为\( T_1 \)与\( T_2 \)的最小公倍数（\(T = lcm(T_1, T_2)\)）。（b）若\(g(x) \neq 0\)，则\(\frac{f(x)}{g(x)}\)的周期也为\(T\)。

前提：\( \frac{T_1}{T_2} \)为有理数；

示例：\( f(x) = \sin x \)（\( T_1 = 2\pi \)）与\( g(x) = \cos 2x \)（\( T_2 = \pi \)），\( \frac{T_1}{T_2} = 2 \)（有理数），故\( f(x) + g(x) \)的周期为\( \text{LCM}(2\pi, \pi) = 2\pi \)。若\( \frac{T_1}{T_2} \)为无理数，如\( T_1 = 2\pi \)，\( T_2 = 2 \)，则\( f(x) + g(x) \)非周期函数。

注意：若\(T_1\)与\(T_2\)无公倍数（如\(T_1=1\)，\(T_2=\sqrt{2}\)），则\(f(x) + g(x)\)可能非周期函数。

理论讲解：

周期函数的运算性质核心围绕“周期的公倍数”展开，其本质是当两个周期函数的周期之比为有理数时，存在一个共同的周期使得两个函数的运算结果仍能保持周期性。首先明确基础概念：对于周期函数\( f(x) \)和\( g(x) \)，分别有最小正周期\( T_1 \)和\( T_2 \)，若\( \frac{T_1}{T_2} = \frac{n}{m} \)（\( m,n \)为非零整数），则\( mT_1 = nT_2 = T \)，即\( T \)是\( T_1 \)和\( T_2 \)的一个公倍数，其中最小的正数公倍数称为最小公倍数，记为\( \text{lcm}(T_1, T_2) \)。

对于运算性质（a），以\( f(x) + g(x) \)为例，验证其周期性：因为\( T \)是\( T_1 \)和\( T_2 \)的公倍数，所以\( f(x + T) = f(x + kT_1) = f(x) \)（\( k \)为正整数），同理\( g(x + T) = g(x) \)，因此\( f(x + T) + g(x + T) = f(x) + g(x) \)，说明\( T \)是\( f(x) + g(x) \)的周期。同理可证\( f(x) - g(x) \)、\( f(x) \cdot g(x) \)的周期性，且其最小正周期为\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数。

对于运算性质（b），当\( g(x) \neq 0 \)时，\( \frac{f(x)}{g(x)} \)的周期性推导类似：\( \frac{f(x + T)}{g(x + T)} = \frac{f(x)}{g(x)} \)，因此\( T \)是其周期。需要注意的是，除法运算不改变周期性，但需保证分母在定义域内恒不为零，避免出现无定义的情况。

此外，若\( \frac{T_1}{T_2} \)为无理数，则\( f(x) \)与\( g(x) \)的和、差、积、商函数通常不是周期函数，因为不存在这样的共同公倍数\( T \)使得函数值重复。

二级结论1：若两个周期函数的最小正周期之比为有理数，则它们的线性组合\( af(x) + bg(x) \)（\( a,b \)为常数）仍是周期函数，最小正周期为两者最小正周期的最小公倍数。

二级结论2：最小公倍数周期的“简化情况”：若\( T_1 \)是\( T_2 \)的整数倍（即\( T_1 = kT_2 \)，\( k \)为正整数），则两者的最小公倍数为\( T_1 \)，因此运算后的函数最小正周期为\( T_1 \)。

二级结论3：运算后周期的“非最小性”特例：部分情况下，运算后的函数最小正周期可能小于两者的最小公倍数。例如\( f(x) = \sin x \)（\( T_1 = 2\pi \)）和\( g(x) = -\sin x \)（\( T_2 = 2\pi \)），\( f(x) + g(x) = 0 \)，常数函数无最小正周期（或说所有非零实数都是周期），这一特例需单独注意。

二级结论4：复合函数的周期特性：与四则运算不同，复合函数\( f(g(x)) \)的周期需结合内层函数的周期和外层函数的周期分析，不一定遵循最小公倍数规则。

难点解析：

1. 忽略周期比为无理数的情况：部分学习者会默认两个周期函数的运算结果一定是周期函数，忽略了“周期比为有理数”的前提条件。例如\( f(x) = \sin x \)（\( T_1 = 2\pi \)）和\( g(x) = \cos \sqrt{2}x \)（\( T_2 = \sqrt{2}\pi \)），\( \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{2} \)为无理数，因此\( f(x) + g(x) \)不是周期函数。

2. 误解“最小正周期”的必然性：运算后的函数最小正周期通常是两者的最小公倍数，但存在特例（如常数函数），需避免绝对化认知。此外，若运算后函数出现“抵消”或“叠加后周期缩短”的情况，需重新分析周期。

3. 除法运算的定义域限制：对于\( \frac{f(x)}{g(x)} \)，不仅要求\( g(x) \neq 0 \)，还需保证\( g(x + T) \neq 0 \)（\( T \)为公倍数），否则周期可能不成立。例如\( f(x) = \sin x \)（\( T_1 = 2\pi \)）和\( g(x) = \cos x \)（\( T_2 = 2\pi \)），\( \frac{f(x)}{g(x)} = \tan x \)，其最小正周期为\( \pi \)，小于两者的最小公倍数\( 2\pi \)，这是因为\( \cos x \)的零点导致原公倍数周期失效，需重新结合函数本身的周期特性分析。

4. 最小公倍数的计算误区：当周期为分数或小数时，需先统一单位再计算最小公倍数。例如\( T_1 = \frac{1}{2} \)，\( T_2 = \frac{1}{3} \)，最小公倍数为\( 1 \)（即\( \frac{1}{2} \times 2 = \frac{1}{3} \times 3 = 1 \)）。

例题1：已知\( f(x) = \sin 2x \)（最小正周期\( T_1 = \pi \)），\( g(x) = \cos 3x \)（最小正周期\( T_2 = \frac{2\pi}{3} \)），求\( f(x) + g(x) \)的最小正周期。

解：

首先计算\( \frac{T_1}{T_2} = \frac{\pi}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{3}{2} \)，为有理数，因此最小正周期为\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数。将周期化为分数形式：\( T_1 = \frac{\pi}{1} \)，\( T_2 = \frac{2\pi}{3} \)，最小公倍数的计算可忽略\( \pi \)，计算\( 1 \)和\( \frac{2}{3} \)的最小公倍数，即\( 2 \)，因此最小正周期为\( 2\pi \)。

验证：\( f(x + 2\pi) = \sin 2(x + 2\pi) = \sin 2x = f(x) \)，\( g(x + 2\pi) = \cos 3(x + 2\pi) = \cos 3x = g(x) \)，且不存在更小的正数周期，故结果正确。

例题2：判断\( f(x) = \sin x + \sin \sqrt{3}x \)是否为周期函数，并说明理由。

解：

该函数不是周期函数。因为\( \sin x \)的最小正周期\( T_1 = 2\pi \)，\( \sin \sqrt{3}x \)的最小正周期\( T_2 = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \)，计算\( \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{3} \)，为无理数。根据周期函数运算性质，当两个周期函数的周期比为无理数时，它们的和函数不是周期函数，因此\( f(x) = \sin x + \sin \sqrt{3}x \)不是周期函数。

例题3：已知\( f(x) = \tan x \)（最小正周期\( T_1 = \pi \)），\( g(x) = \tan 2x \)（最小正周期\( T_2 = \frac{\pi}{2} \)），求\( f(x) \cdot g(x) \)的最小正周期。

解：

首先计算\( \frac{T_1}{T_2} = \frac{\pi}{\frac{\pi}{2}} = 2 \)，为有理数，\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数为\( \pi \)。

验证：\( f(x + \pi) \cdot g(x + \pi) = \tan(x + \pi) \cdot \tan 2(x + \pi) = \tan x \cdot \tan 2x = f(x) \cdot g(x) \)。再验证是否存在更小的周期，假设存在\( 0 < T < \pi \)为周期，取\( T = \frac{\pi}{2} \)，则\( f(x + \frac{\pi}{2}) \cdot g(x + \frac{\pi}{2}) = \tan(x + \frac{\pi}{2}) \cdot \tan 2(x + \frac{\pi}{2}) = -\cot x \cdot \tan 2x \neq \tan x \cdot \tan 2x \)，因此最小正周期为\( \pi \)。

例题4：已知\( f(x) = \cos x \)（最小正周期\( T_1 = 2\pi \)），\( g(x) = \cos 2x \)（最小正周期\( T_2 = \pi \)），求\( \frac{f(x)}{g(x)} \)的周期。

解：

\( \frac{T_1}{T_2} = 2 \)为有理数，\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数为\( 2\pi \)。但\( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\cos x}{\cos 2x} \)，需注意分母\( \cos 2x \neq 0 \)，即\( x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）。

验证周期：\( \frac{\cos(x + 2\pi)}{\cos 2(x + 2\pi)} = \frac{\cos x}{\cos 2x} \)，因此\( 2\pi \)是周期。进一步分析是否有更小的周期，取\( \pi \)，则\( \frac{\cos(x + \pi)}{\cos 2(x + \pi)} = \frac{-\cos x}{\cos 2x} \neq \frac{\cos x}{\cos 2x} \)，因此最小正周期为\( 2\pi \)。

例题5：已知\( f(x) = \sin x + \cos x \)（最小正周期\( T_1 = 2\pi \)），\( g(x) = \sin x - \cos x \)（最小正周期\( T_2 = 2\pi \)），求\( f(x) \cdot g(x) \)的最小正周期。

解：

先化简\( f(x) \cdot g(x) = (\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x \)，其最小正周期为\( \pi \)。此处需注意，虽然\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数为\( 2\pi \)，但运算后函数化简为\( -\cos 2x \)，周期缩短为\( \pi \)，这体现了运算后周期可能小于最小公倍数的特例，需结合化简结果重新分析周期。

例题6：已知\( f(x) = \sin \frac{1}{2}x \)（最小正周期\( T_1 = 4\pi \)），\( g(x) = \cos \frac{1}{3}x \)（最小正周期\( T_2 = 6\pi \)），求\( f(x) - g(x) \)的最小正周期。

解：\( \frac{T_1}{T_2} = \frac{4\pi}{6\pi} = \frac{2}{3} \)为有理数，计算\( T_1 \)和\( T_2 \)的最小公倍数。4和6的最小公倍数为12，因此最小正周期为\( 12\pi \)。

验证：\( f(x + 12\pi) - g(x + 12\pi) = \sin \frac{1}{2}(x + 12\pi) - \cos \frac{1}{3}(x + 12\pi) \)

\(= \sin(\frac{1}{2}x + 6\pi) - \cos(\frac{1}{3}x + 4\pi) = \sin \frac{1}{2}x - \cos \frac{1}{3}x = f(x) - g(x) \)，且不存在更小的正数周期，故结果正确。

性质11：复合函数的周期性：若\(f(u)\)的周期为\(T_1\)，\(u = g(x)\)的周期为\(T_2\)，则\(f[g(x)]\)的周期为\(T_2\)，因\(g(x + T_2) = g(x)\)，故\(f[g(x + T_2)] = f[g(x)]\)。

例：\(f(u)=\sin u\)（\(T_1=2\pi\)），\(g(x)=x^2\)（非周期），则\(f[g(x)]=\sin x^2\)非周期；若\(g(x)=\sin x\)（\(T_2=2\pi\)），则\(f[g(x)]=\sin(\sin x)\)周期为\(2\pi\)。

理论讲解：

复合函数的周期性核心依赖于内层函数的周期传递特性。对于复合函数\( f[g(x)] \)，其周期性由内层函数\( u = g(x) \)的周期性直接影响，外层函数\( f(u) \)的周期性则可能进一步影响复合函数的最小正周期，但不影响“存在周期”这一结论。具体来说，若\( g(x) \)的周期为\( T_2 \)，则对任意\( x \)，都有\( g(x + T_2) = g(x) \)，将其代入外层函数，可得\( f[g(x + T_2)] = f[g(x)] \)，因此\( T_2 \)必然是\( f[g(x)] \)的一个周期。

需要注意的是，外层函数\( f(u) \)的周期性可能使复合函数的最小正周期小于\( T_2 \)。例如，若\( f(u) \)的周期为\( T_1 \)，且存在\( 0 < T < T_2 \)使得\( g(x + T) \)是\( f(u) \)的周期对应的自变量变化（即\( f[g(x + T)] = f[g(x)] \)），则\( T \)可能成为复合函数的更小周期。此外，若外层函数为非周期函数，即使内层函数是周期函数，复合函数也不一定是周期函数，但本题的前提是外层函数为周期函数，因此无需考虑这种情况。

二级结论1：复合函数\( f[g(x)] \)的周期一定是内层函数\( g(x) \)周期的约数（或等于内层函数的周期），具体取决于外层函数的周期性。

二级结论2：若外层函数\( f(u) \)是常数函数（常数函数是特殊的周期函数，任意非零实数都是其周期），则复合函数\( f[g(x)] \)也是常数函数，无最小正周期（或所有非零实数都是周期）。

二级结论3：若内层函数\( g(x) \)的最小正周期为\( T_2 \)，外层函数\( f(u) \)的最小正周期为\( T_1 \)，且\( g(x) \)的值域能覆盖\( f(u) \)的一个完整周期，则复合函数的最小正周期可能为\( T_2 \)或\( T_2 \)的某个约数，具体需结合函数形式验证。

二级结论4：反向复合（即\( g[f(x)] \)）的周期性同理：\( f(x) \)的周期\( T_1 \)是\( g[f(x)] \)的一个周期，最小正周期可能更小。

难点解析：

1. 混淆“周期”与“最小正周期”：结论中明确\( T_2 \)是复合函数的一个周期，但不一定是最小正周期，部分学习者会默认\( T_2 \)就是最小正周期，忽略外层函数周期性的影响。例如，\( f(u) = \sin u \)（周期\( 2\pi \)），\( g(x) = \sin 2x \)（周期\( \pi \)），复合函数\( f[g(x)] = \sin(\sin 2x) \)的周期为\( \frac{\pi}{2} \)，小于\( g(x) \)的周期\( \pi \)。

2. 忽略外层函数非周期的情况：本题前提是\( f(u) \)为周期函数，若\( f(u) \)非周期，即使\( g(x) \)是周期函数，复合函数也可能非周期。例如，\( f(u) = u \)（非周期），\( g(x) = \sin x \)（周期\( 2\pi \)），复合函数\( f[g(x)] = \sin x \)是周期函数，这是特例；而\( f(u) = u^2 \)（非周期），\( g(x) = \sin x \)，复合函数\( f[g(x)] = \sin^2 x \)是周期函数，但这并非普遍规律，需注意前提条件。

3. 内层函数值域的影响：若\( g(x) \)的值域无法覆盖\( f(u) \)的一个完整周期，可能导致复合函数的周期与外层函数的周期无关。例如，\( f(u) = \sin u \)（周期\( 2\pi \)），\( g(x) = \sin x \)（值域\( [-1, 1] \)，远小于\( 2\pi \)），复合函数\( \sin(\sin x) \)的周期为\( \pi \)，仅由内层函数决定。

4. 多个周期的取舍：当内层函数有多个周期时，复合函数的周期需取能使\( g(x + T) = g(x) \)成立的最小正数\( T \)，但仍可能因外层函数而进一步缩小。

例题1：已知\( f(u) = \cos u \)（周期\( T_1 = 2\pi \)），\( g(x) = 3x + 1 \)（非周期函数），判断\( f[g(x)] = \cos(3x + 1) \)是否为周期函数，若为，求其一个周期。

解：

\( g(x) = 3x + 1 \)是一次函数，不存在非零周期，因此不能用本题结论判断。但实际\( f[g(x)] = \cos(3x + 1) \)是余弦函数的线性变换，其周期为\( \frac{2\pi}{3} \)，这是因为外层函数的周期性结合内层函数的线性伸缩特性产生的周期，与本题“内层函数为周期函数”的前提不同，说明本题结论仅适用于内层函数为周期函数的情况。

例题2：已知\( f(u) = \sin u \)（周期\( T_1 = 2\pi \)），\( g(x) = \tan x \)（最小正周期\( T_2 = \pi \)），求\( f[g(x)] = \sin(\tan x) \)的一个周期。

解：

根据结论，内层函数\( g(x) \)的周期\( \pi \)是复合函数的一个周期。验证：\( \sin[\tan(x + \pi)] = \sin(\tan x) \)，因此\( \pi \)是周期。进一步验证是否存在更小的周期，假设\( 0 < T < \pi \)为周期，取\( T = \frac{\pi}{2} \)，则\( \sin[\tan(x + \frac{\pi}{2})] = \sin(-\cot x) \neq \sin(\tan x) \)，因此\( \pi \)是复合函数的一个周期（可能是最小正周期）。

例题3：已知\( f(u) = u^2 \)（非周期函数），\( g(x) = \sin x \)（最小正周期\( T_2 = 2\pi \)），判断\( f[g(x)] = \sin^2 x \)是否为周期函数，若为，求其周期。

解：

\( f(u) \)非周期，因此不能用本题结论。但化简\( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)，其最小正周期为\( \pi \)，是周期函数。这一特例说明非周期外层函数与周期内层函数复合可能得到周期函数，但并非普遍规律，本题结论的前提是外层函数为周期函数，需严格区分。

例题4：已知\( f(u) = \sin 2u \)（最小正周期\( T_1 = \pi \)），\( g(x) = \cos x \)（最小正周期\( T_2 = 2\pi \)），求\( f[g(x)] = \sin(2\cos x) \)的一个周期。

解：

根据结论，\( g(x) \)的周期\( 2\pi \)是复合函数的一个周期。验证：\( \sin[2\cos(x + 2\pi)] = \sin(2\cos x) \)，因此\( 2\pi \)是周期。进一步分析，由于\( \cos x \)是偶函数，\( \cos(x + \pi) = -\cos x \)，则\( \sin[2\cos(x + \pi)] = \sin(-2\cos x) = -\sin(2\cos x) \neq \sin(2\cos x) \)，因此\( \pi \)不是周期，故\( 2\pi \)是复合函数的一个周期。

例题5：已知\( f(u) = \tan u \)（最小正周期\( T_1 = \pi \)），\( g(x) = \sin x \)（最小正周期\( T_2 = 2\pi \)），求\( f[g(x)] = \tan(\sin x) \)的最小正周期。

解：

根据结论，\( 2\pi \)是复合函数的一个周期。验证更小的周期：\( \tan[\sin(x + \pi)] = \tan(-\sin x) = -\tan(\sin x) \neq \tan(\sin x) \)，因此\( \pi \)不是周期；\( \tan[\sin(x + \frac{\pi}{2})] = \tan(\cos x) \neq \tan(\sin x) \)，因此\( \frac{\pi}{2} \)不是周期。继续验证其他值，发现不存在比\( 2\pi \)更小的正数周期，因此最小正周期为\( 2\pi \)。

例题6：已知\( f(u) = \cos 2u \)（最小正周期\( T_1 = \pi \)），\( g(x) = \sin 3x \)（最小正周期\( T_2 = \frac{2\pi}{3} \)），求\( f[g(x)] = \cos(2\sin 3x) \)的一个周期。

解：

根据结论，\( g(x) \)的周期\( \frac{2\pi}{3} \)是复合函数的一个周期。

验证是否存在更小的周期，由于\( \sin 3(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(3x + \pi) = -\sin 3x \)，则\( \cos(2\sin 3(x + \frac{\pi}{3})) = \cos(-2\sin 3x) = \cos(2\sin 3x) \)，因此\( \frac{\pi}{3} \)也是复合函数的周期。

进一步验证\( \frac{\pi}{6} \)：

\( \sin 3(x + \frac{\pi}{6}) = \sin(3x + \frac{\pi}{2}) = \cos 3x \)，\( \cos(2\cos 3x) \neq \cos(2\sin 3x) \)，因此\( \frac{\pi}{3} \)是比\( T_2 \)更小的周期，体现了外层函数对复合函数周期的影响。

性质12：正弦、余弦类：\(y = A\sin(\omega x + \varphi)\)、\(y = A\cos(\omega x + \varphi)\)（\(A \neq 0\)，\(\omega \neq 0\)）的最小正周期\(T = \frac{2\pi}{|\omega|}\)（\(\omega\)控制“频率”，绝对值越大，周期越小）。

性质13：正切、余切类：\(y = A\tan(\omega x + \varphi)\)、\(y = A\cot(\omega x + \varphi)\)（\(A \neq 0\)，\(\omega \neq 0\)）的最小正周期\(T = \frac{\pi}{|\omega|}\)（因正切函数的半周期特性，周期是正弦的一半）。

性质14：绝对值变形的周期性：

\(y = |\sin(\omega x + \varphi)|\)、\(y = |\cos(\omega x + \varphi)|\)的最小正周期为\(\frac{\pi}{|\omega|}\)（绝对值将负半周翻折，周期减半）；

\(y = |\tan(\omega x + \varphi)|\)的最小正周期仍为\(\frac{\pi}{|\omega|}\)（正切函数本身在一个周期内无负半周翻折需求，周期不变）。

理论讲解：

绝对值变形对函数周期性的影响，核心是通过绝对值改变函数的图像特征（如将下方图像翻折到x轴上方），进而可能改变函数的周期。对于周期函数\( f(x) \)，设其最小正周期为\( T \)，对其进行绝对值变形得到\( |f(x)| \)，需结合原函数的图像对称性和零点分布分析周期性：

1. 若原函数\( f(x) \)在一个周期内的图像关于直线\( x = \frac{T}{2} \)对称，且满足\( f(x + \frac{T}{2}) = -f(x) \)（即半周期后函数值符号相反），则\( |f(x)| \)的最小正周期会缩短为\( \frac{T}{2} \)。这是因为翻折后，\( |f(x + \frac{T}{2})| = |-f(x)| = |f(x)| \)，半周期即可实现函数值重复。

2. 若原函数\( f(x) \)不满足上述条件，即\( f(x + \frac{T}{2}) \neq -f(x) \)，则\( |f(x)| \)的最小正周期与原函数相同，仍为\( T \)。此时翻折操作未改变函数的重复间隔，仅改变了图像的上下位置。

需要注意的是，绝对值变形仅能使周期缩短或保持不变，不会使周期变长，且变形后的函数一定是偶函数（关于y轴对称），这一性质也会辅助判断周期性。

二级结论1：常见周期函数的绝对值变形规律：

正弦函数\( \sin x \)（周期\( 2\pi \)）满足\( \sin(x + \pi) = -\sin x \)，故\( |\sin x| \)的最小正周期为\( \pi \)；

余弦函数\( \cos x \)（周期\( 2\pi \)）满足\( \cos(x + \pi) = -\cos x \)，故\( |\cos x| \)的最小正周期为\( \pi \)；

正切函数\( \tan x \)（周期\( \pi \)）满足\( \tan(x + \frac{\pi}{2}) = -\cot x \neq -\tan x \)，故\( |\tan x| \)的最小正周期仍为\( \pi \)。

二级结论2：若\( f(x) \)是周期为\( T \)的奇函数，且\( f(x + \frac{T}{2}) = -f(x) \)，则\( |f(x)| \)的周期为\( \frac{T}{2} \)，且仍是偶函数。

二级结论3：复合函数的绝对值变形：若\( y = f[g(x)] \)是周期函数，周期为\( T \)，则\( |f[g(x)]| \)的周期与\( y = f[g(x)] \)的周期关系，遵循上述绝对值变形的一般规律，即可能缩短为半周期或保持不变。

难点解析：

1. 误判周期缩短的条件：部分学习者会默认所有周期函数的绝对值变形都会使周期缩短，忽略了“\( f(x + \frac{T}{2}) = -f(x) \)”这一关键条件。例如，\( f(x) = \sin 2x + 1 \)（周期\( \pi \)），\( f(x + \frac{\pi}{2}) = \sin(2x + \pi) + 1 = -\sin 2x + 1 \neq -f(x) \)，因此\( |f(x)| \)的周期仍为\( \pi \)，未缩短。

2. 混淆正切函数的绝对值变形：正切函数\( \tan x \)的绝对值变形后，虽然图像翻折，但由于其半周期\( \frac{\pi}{2} \)后函数值并非原函数值的相反数，因此周期仍为\( \pi \)，需与正弦、余弦函数区分开。

3. 忽略定义域的影响：若原函数存在定义域限制（如分段周期函数），绝对值变形后需确保定义域对新周期仍封闭，否则周期性可能不成立。例如，截取\( f(x) = \sin x \)的定义域为\( [0, 2\pi] \)，\( |f(x)| \)在该区间内的图像周期看似为\( \pi \)，但由于定义域有界，并非严格意义上的周期函数。

4. 复合函数绝对值变形的周期判断：需先确定原复合函数的周期，再结合绝对值变形规律分析。例如，\( f(x) = \sin(\sin x) \)（周期\( \pi \)），满足\( f(x + \frac{\pi}{2}) = \sin(\sin(x + \frac{\pi}{2})) = \sin(\cos x) \neq -f(x) \)，故\( |f(x)| \)的周期仍为\( \pi \)。

例题1：已知\( f(x) = \sin 3x \)的最小正周期为\( \frac{2\pi}{3} \)，求\( |f(x)| = |\sin 3x| \)的最小正周期。

解：

验证原函数是否满足周期缩短条件，\( f(x + \frac{T}{2}) = \sin 3(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(3x + \pi) = -\sin 3x = -f(x) \)，因此\( |f(x)| \)的最小正周期为\( \frac{T}{2} = \frac{\pi}{3} \)。验证：\( |\sin 3(x + \frac{\pi}{3})| = |\sin(3x + \pi)| = |-\sin 3x| = |\sin 3x| \)，且不存在更小的正数周期，故结果正确。

例题2：已知\( f(x) = \cos(\frac{1}{2}x) \)的最小正周期为\( 4\pi \)，求\( |f(x)| = |\cos(\frac{1}{2}x)| \)的最小正周期。

解：

计算\( f(x + \frac{T}{2}) = \cos(\frac{1}{2}(x + 2\pi)) = \cos(\frac{1}{2}x + \pi) = -\cos(\frac{1}{2}x) = -f(x) \)，满足周期缩短条件，因此\( |f(x)| \)的最小正周期为\( \frac{T}{2} = 2\pi \)。验证：\( |\cos(\frac{1}{2}(x + 2\pi))| = |-\cos(\frac{1}{2}x)| = |\cos(\frac{1}{2}x)| \)，符合周期定义。

例题3：已知\( f(x) = \tan 2x \)的最小正周期为\( \frac{\pi}{2} \)，判断\( |f(x)| = |\tan 2x| \)的最小正周期是否为\( \frac{\pi}{4} \)，并说明理由。

解：

该判断错误。验证周期缩短条件，\( f(x + \frac{T}{2}) = \tan 2(x + \frac{\pi}{4}) = \tan(2x + \frac{\pi}{2}) = -\cot 2x \neq -\tan 2x = -f(x) \)，因此\( |f(x)| \)的最小正周期仍为\( \frac{\pi}{2} \)，并非\( \frac{\pi}{4} \)。验证：\( |\tan 2(x + \frac{\pi}{4})| = |-\cot 2x| \neq |\tan 2x| \)，故\( \frac{\pi}{4} \)不是周期。

例题4：已知\( f(x) = \sin x + \cos x \)，化简后为\( \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \)，最小正周期为\( 2\pi \)，求\( |f(x)| \)的最小正周期。

解：

先验证\( f(x + \frac{T}{2}) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4} + \pi) = -\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -f(x) \)，满足周期缩短条件，因此\( |f(x)| \)的最小正周期为\( \frac{T}{2} = \pi \)。验证：\( |\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4} + \pi)| = |-\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})| = |f(x)| \)，结果正确。

例题5：已知\( f(x) = \sin x + 1 \)的最小正周期为\( 2\pi \)，求\( |f(x)| = |\sin x + 1| \)的最小正周期。

解：

验证周期缩短条件，\( f(x + \pi) = \sin(x + \pi) + 1 = -\sin x + 1 \neq -f(x) = -\sin x - 1 \)，因此\( |f(x)| \)的最小正周期仍为\( 2\pi \)。验证：假设存在周期\( T = \pi \)，则\( |\sin(x + \pi) + 1| = |-\sin x + 1| \neq |\sin x + 1| \)（如\( x = \frac{\pi}{2} \)时，左边\( |-1 + 1| = 0 \)，右边\( |1 + 1| = 2 \)），故周期仍为\( 2\pi \)。

例题6：已知\( f(x) = |\sin x + \cos x| \)，求其最小正周期。

解：

先化简内层函数，\( \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \)，因此\( f(x) = |\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})| = \sqrt{2}|\sin(x + \frac{\pi}{4})| \)。由于\( |\sin u| \)的周期为\( \pi \)，因此\( f(x) \)的最小正周期为\( \pi \)。验证：\( f(x + \pi) = \sqrt{2}|\sin(x + \pi + \frac{\pi}{4})| = \sqrt{2}|-\sin(x + \frac{\pi}{4})| = f(x) \)，且不存在更小的正数周期，故结果正确。

例题1：基础判断——常数函数的周期性：判断函数\( f(x) = -3 \)（定义域为\( \mathbb{R} \)）是否为周期函数，若为周期函数，是否存在最小正周期？

解：

周期判断：对任意非零常数\( T \)，均有\( f(x + T) = -3 = f(x) \)，满足周期函数定义，故\( f(x) \)是周期函数；

最小正周期：正实数没有“最小值”（任意小的正数都能作为周期），故不存在最小正周期。

例题2：定义证明——验证一次函数的非周期性：证明函数\( f(x) = 2x + 1 \)不是周期函数。

解：

假设存在非零常数\( T \)，使得对任意\( x \in \mathbb{R} \)，都有\( f(x + T) = f(x) \)，即：

\( 2(x + T) + 1 = 2x + 1 \)，展开得\( 2x + 2T + 1 = 2x + 1 \)，化简得\( 2T = 0 \)，即\( T = 0 \)。

但周期函数要求\( T \neq 0 \)，矛盾，故\( f(x) = 2x + 1 \)不是周期函数。

例题3：三角函数基础——求正弦函数的周期：求函数\( f(x) = \sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) \)的最小正周期。

解：

核心公式：对\( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) \)（\( \omega \neq 0 \)），最小正周期\( T = \frac{2\pi}{|\omega|} \)；

代入计算：本题中\( \omega = 4 \)，故\( T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \)；

验证：\( f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left[4\left(x + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{3}\right] = \sin\left(4x + 2\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = f(x) \)，符合周期定义。

例题4：三角函数进阶——含绝对值的余弦函数周期：求函数\( f(x) = |\cos 2x| \)的最小正周期。

解：

1. 先求\( \cos 2x \)的周期：由\( T = \frac{2\pi}{|\omega|} \)（\( \omega = 2 \)），得\( \cos 2x \)的周期为\( \pi \)；

2. 分析绝对值的影响：绝对值将函数图像“负半周翻折为正半周”，会使周期减半（若原函数周期内正负对称）；

3. 验证：\( f\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \left|\cos\left[2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right]\right| = \left|\cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)\right| = |-\sin 2x| = |\sin 2x| \)，并非\( f(x) \)；

再试\( T = \frac{\pi}{2} \)：\( f\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \left|\cos\left[2\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right]\right| = |\cos(2x + \pi)| = |-\cos 2x| = |\cos 2x| = f(x) \)；

4. 结论：最小正周期为\( \frac{\pi}{2} \)。

例题5：抽象函数基础——“左右平移相等”求周期：已知函数\( f(x) \)满足\( f(x + 3) = f(x - 3) \)对任意\( x \in \mathbb{R} \)成立，求\( f(x) \)的最小正周期。

解：

变量替换：令\( t = x - 3 \)，则\( x = t + 3 \)，代入条件得\( f(t + 3 + 3) = f(t) \)，即\( f(t + 6) = f(t) \)；

结论：对任意\( t \in \mathbb{R} \)，\( f(t + 6) = f(t) \)，故最小正周期\( T = 6 \)。

例题6：抽象函数进阶——“平移变号”求周期：已知\( f(x) \)满足\( f(x + 2) = -f(x) \)（\( x \in \mathbb{R} \)），且\( f(1) = 5 \)，求\( f(9) \)的值。

解：

1. 求周期：由\( f(x + 2) = -f(x) \)，得\( f(x + 4) = -f(x + 2) \)（将\( x \)替换为\( x + 2 \)）；

代入\( f(x + 2) = -f(x) \)，得\( f(x + 4) = -(-f(x)) = f(x) \)，故周期\( T = 4 \)；

2. 化简\( f(9) \)：\( 9 = 4 \times 2 + 1 \)，故\( f(9) = f(4 \times 2 + 1) = f(1) \)；

3. 代入已知值：\( f(1) = 5 \)，故\( f(9) = 5 \)。

例题7：抽象函数综合——“平移取倒数”求周期：已知\( f(x) \neq 0 \)，且满足\( f(x + 5) = \frac{1}{f(x)} \)（\( x \in \mathbb{R} \)），求\( f(x) \)的最小正周期，并计算\( f(2025) \)与\( f(0) \)的关系。

解：

1. 求周期：由\( f(x + 5) = \frac{1}{f(x)} \)，得\( f(x + 10) = \frac{1}{f(x + 5)} \)（替换\( x \)为\( x + 5 \)）；

代入\( f(x + 5) = \frac{1}{f(x)} \)，得\( f(x + 10) = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} = f(x) \)，故周期\( T = 10 \)；

2. 化简\( f(2025) \)：\( 2025 \div 10 = 202 \)余\( 5 \)，故\( f(2025) = f(10 \times 202 + 5) = f(5) \)；

3. 关联\( f(0) \)：由\( f(x + 5) = \frac{1}{f(x)} \)，令\( x = 0 \)，得\( f(5) = \frac{1}{f(0)} \)，故\( f(2025) = \frac{1}{f(0)} \)。

例题8：分段函数周期——小数部分函数的周期：判断函数\( f(x) = x - \lfloor x \rfloor \)（\( \lfloor x \rfloor \)表示不大于\( x \)的最大整数，即“地板函数”）是否为周期函数，若为，求最小正周期。

解：

1. 分析函数含义：\( f(x) \)表示\( x \)的“小数部分”，例如\( f(2.3) = 0.3 \)，\( f(-1.2) = 0.8 \)，\( f(5) = 0 \)；

2. 验证周期：对任意\( x \in \mathbb{R} \)，\( f(x + 1) = (x + 1) - \lfloor x + 1 \rfloor = (x + 1) - (\lfloor x \rfloor + 1) = x - \lfloor x \rfloor = f(x) \)，故\( T = 1 \)是周期；

3. 验证最小性：假设存在\( 0 < T < 1 \)为周期，则\( f(0 + T) = f(0) \)，即\( T - \lfloor T \rfloor = 0 - \lfloor 0 \rfloor \)，得\( T = 0 \)，矛盾，故最小正周期为\( 1 \)。

例题9：含参数的三角函数周期——求参数值：已知函数\( f(x) = \tan(kx) \)（\( k \neq 0 \)）的最小正周期为\( \frac{\pi}{3} \)，求\( k \)的值。

解：

核心公式：对\( f(x) = \tan(\omega x) \)（\( \omega \neq 0 \)），最小正周期\( T = \frac{\pi}{|\omega|} \)；

代入条件：本题中\( T = \frac{\pi}{3} \)，故\( \frac{\pi}{|k|} = \frac{\pi}{3} \)，化简得\( |k| = 3 \)；

结论：\( k = 3 \)或\( k = -3 \)。

例题10：两个周期函数的和——判断周期与最小正周期：已知\( f(x) = \sin x + \cos 2x \)，求\( f(x) \)的最小正周期。

解：

1. 分别求两个函数的周期：

\( \sin x \)的最小正周期\( T_1 = 2\pi \)；

\( \cos 2x \)的最小正周期\( T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi \)；

2. 判断和函数的周期：当\( \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \)（有理数）时，和函数的最小正周期为\( T_1 \)与\( T_2 \)的最小公倍数（LCM）；

3. 计算最小公倍数：LCM\( (2\pi, \pi) = 2\pi \)；

4. 验证：\( f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + \cos(2(x + 2\pi)) = \sin x + \cos(2x + 4\pi) = \sin x + \cos 2x = f(x) \)，且不存在更小的正周期，故最小正周期为\( 2\pi \)。

例题11：轴对称与周期性结合——双对称轴推导周期：已知函数\( f(x) \)的定义域为\( \mathbb{R} \)，且同时关于直线\( x = 1 \)和\( x = 3 \)对称，求\( f(x) \)的最小正周期。

解：

1. 利用轴对称性质：

关于\( x = 1 \)对称：\( f(1 + t) = f(1 - t) \)（对任意\( t \in \mathbb{R} \)）；

关于\( x = 3 \)对称：\( f(3 + t) = f(3 - t) \)（对任意\( t \in \mathbb{R} \)）；

2. 推导周期：

令\( t = x - 1 \)，则\( f(x) = f(2 - x) \)（由\( x = 1 \)对称）；

令\( t = x - 3 \)，则\( f(x) = f(6 - x) \)（由\( x = 3 \)对称）；

故\( f(2 - x) = f(6 - x) \)，令\( u = 2 - x \)，则\( x = 2 - u \)，代入得\( f(u) = f(4 + u) \)；

3. 结论：对任意\( u \in \mathbb{R} \)，\( f(u + 4) = f(u) \)，故最小正周期\( T = 4 \)。

例题12：中心对称与周期性结合——对称中心推导周期：已知函数\( f(x) \)的定义域为\( \mathbb{R} \)，且同时关于点\( (2, 0) \)和\( (5, 0) \)对称，求\( f(x) \)的最小正周期。

解：

1. 利用中心对称性质：

关于\( (2, 0) \)对称：\( f(2 + t) = -f(2 - t) \)（对任意\( t \in \mathbb{R} \)）；

关于\( (5, 0) \)对称：\( f(5 + t) = -f(5 - t) \)（对任意\( t \in \mathbb{R} \)）；

2. 推导周期：

令\( t = x - 2 \)，则\( f(x) = -f(4 - x) \)（由\( (2, 0) \)对称）；

令\( t = x - 5 \)，则\( f(x) = -f(10 - x) \)（由\( (5, 0) \)对称）；

故\( -f(4 - x) = -f(10 - x) \)，即\( f(4 - x) = f(10 - x) \)；

令\( u = 4 - x \)，则\( x = 4 - u \)，代入得\( f(u) = f(6 + u) \)；

3. 结论：最小正周期\( T = 6 \)。

例题13：轴对称+中心对称——综合推导周期：已知函数\( f(x) \)的定义域为\( \mathbb{R} \)，关于直线\( x = 1 \)对称，且关于点\( (3, 0) \)对称，求\( f(x) \)的最小正周期。

解：

1. 转化对称条件：

轴对称（\( x = 1 \)）：\( f(x) = f(2 - x) \)；

中心对称（\( (3, 0) \)）：\( f(x) = -f(6 - x) \)；

2. 联立推导：

由\( f(x) = f(2 - x) \)和\( f(x) = -f(6 - x) \)，得\( f(2 - x) = -f(6 - x) \)；

令\( u = 2 - x \)，则\( x = 2 - u \)，代入得\( f(u) = -f(4 + u) \)；

再将\( u \)替换为\( u + 4 \)，得\( f(u + 4) = -f(u + 8) \)；

联立\( f(u) = -f(u + 4) \)和\( f(u + 4) = -f(u + 8) \)，得\( f(u) = f(u + 8) \)；

3. 结论：最小正周期\( T = 8 \)。

例题14：周期与奇偶性结合——奇函数的周期应用：已知\( f(x) \)是定义域为\( \mathbb{R} \)的奇函数（\( f(-x) = -f(x) \)），且周期为\( 4 \)，\( f(1) = 2 \)，求\( f(7) + f(8) \)的值。

解：

1. 化简\( f(7) \)：\( 7 = 4 \times 1 + 3 \)，故\( f(7) = f(3) = f(3 - 4) = f(-1) \)；

由奇函数性质：\( f(-1) = -f(1) = -2 \)，故\( f(7) = -2 \)；

2. 化简\( f(8) \)：\( 8 = 4 \times 2 + 0 \)，故\( f(8) = f(0) \)；

由奇函数性质：\( f(0) = 0 \)（定义域含\( 0 \)的奇函数，\( f(-0) = -f(0) \implies f(0) = 0 \)），故\( f(8) = 0 \)；

3. 计算和：\( f(7) + f(8) = -2 + 0 = -2 \)。

例题15：周期函数的解析式延伸——已知区间解析式求另一区间：已知\( f(x) \)是周期为\( 5 \)的周期函数，当\( x \in [0, 5) \)时，\( f(x) = x^2 - 4x \)，求\( f(x) \)在\( [10, 15) \)上的解析式。

解：

1. 设\( x \in [10, 15) \)，则\( x - 10 \in [0, 5) \)（将未知区间转化为已知区间）；

2. 由已知解析式：\( f(x - 10) = (x - 10)^2 - 4(x - 10) \)；

3. 利用周期性质：\( f(x) = f(x - 5) = f(x - 10) \)（周期为\( 5 \)，平移两个周期）；

4. 化简解析式：\( f(x) = (x - 10)^2 - 4(x - 10) = x^2 - 20x + 100 - 4x + 40 = x^2 - 24x + 140 \)；

5. 结论：当\( x \in [10, 15) \)时，\( f(x) = x^2 - 24x + 140 \)。

例题16：周期函数的图像应用——已知区间图像画另一区间：已知\( f(x) \)是周期为\( 3 \)的周期函数，其在\( [-1, 2) \)上的图像为过点\( (-1, 0) \)、\( (0, 1) \)、\( (2, 0) \)的抛物线（开口向下），画出\( f(x) \)在\( [2, 5) \)上的图像，并求其顶点坐标。

解：

1. 图像平移规律：周期函数的图像每平移一个周期（\( 3 \)个单位）完全重合，故\( [2, 5) \)上的图像是\( [-1, 2) \)上的图像向右平移\( 3 \)个单位；

2. 关键点平移：

\( (-1, 0) \)向右平移\( 3 \)个单位→\( (2, 0) \)；

\( (0, 1) \)向右平移\( 3 \)个单位→\( (3, 1) \)；

\( (2, 0) \)向右平移\( 3 \)个单位→\( (5, 0) \)（不在\( [2, 5) \)内，故端点为\( (2, 0) \)）；

3. 求顶点坐标：原区间\( [-1, 2) \)上的抛物线过\( (-1, 0) \)、\( (2, 0) \)，对称轴为\( x = \frac{-1 + 2}{2} = 0.5 \)，代入\( (0, 1) \)可求解析式（或直接用对称性），顶点为\( (0.5, 1.25) \)；

平移后顶点：\( (0.5 + 3, 1.25) = (3.5, 1.25) \)；

4. 结论：\( [2, 5) \)上的图像为过\( (2, 0) \)、\( (3, 1) \)、\( (5, 0) \)（端点\( (5, 0) \)除外）的开口向下抛物线，顶点为\( (3.5, 1.25) \)。

例题17：复杂抽象函数周期——多条件联立求周期：已知函数\( f(x) \)满足\( f(x + 1) = \frac{1 + f(x)}{1 - f(x)} \)（\( f(x) \neq 1 \)），求\( f(x) \)的最小正周期。

解：

1. 递推求\( f(x + 2) \)：将\( x \)替换为\( x + 1 \)，得：\( f(x + 2) = \frac{1 + f(x + 1)}{1 - f(x + 1)} \)；

代入\( f(x + 1) = \frac{1 + f(x)}{1 - f(x)} \)，化简：\( f(x + 2) = \frac{1 + \frac{1 + f(x)}{1 - f(x)}}{1 - \frac{1 + f(x)}{1 - f(x)}} = \frac{(1 - f(x)) + (1 + f(x))}{(1 - f(x)) - (1 + f(x))} = \frac{2}{-2f(x)} = -\frac{1}{f(x)} \)；

2. 递推求\( f(x + 4) \)：将\( x \)替换为\( x + 2 \)，得：\( f(x + 4) = -\frac{1}{f(x + 2)} \)；

代入\( f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)} \)，得：\( f(x + 4) = -\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}} = f(x) \)；

3. 结论：最小正周期\( T = 4 \)。

例题18：周期函数的单调性应用——比较函数值大小：已知\( f(x) \)是周期为\( 6 \)的周期函数，且在\( [0, 3] \)上单调递增，在\( [3, 6] \)上单调递减，比较\( f(8) \)、\( f(11) \)、\( f(15) \)的大小。

解：

1. 化简各函数值到\( [0, 6) \)区间：

\( f(8) = f(8 - 6) = f(2) \)；

\( f(11) = f(11 - 6) = f(5) \)；

\( f(15) = f(15 - 2 \times 6) = f(3) \)；

2. 利用单调性分析：

\( f(x) \)在\( [0, 3] \)上单调递增→\( f(2) < f(3) \)；

\( f(x) \)在\( [3, 6] \)上单调递减→\( f(5) < f(3) \)；

再比较\( f(2) \)与\( f(5) \)：由周期\( 6 \)，\( f(5) = f(5 - 6) = f(-1) \)，但更简单的是利用对称性（单调区间对称）：\( [0, 3] \)与\( [3, 6] \)关于\( x = 3 \)对称，故\( f(2) = f(4) \)（因\( 2 \)与\( 4 \)关于\( 3 \)对称）；

又\( f(x) \)在\( [3, 6] \)上单调递减→\( f(4) > f(5) \)，即\( f(2) > f(5) \)；

3. 结论：\( f(11) < f(8) < f(15) \)。

例题19：实际问题——周期性变化的物理量：某港口的潮水高度\( h(t) \)（单位：米）随时间\( t \)（单位：小时）的变化满足\( h(t) = 3 + 2\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) \)，求：：（1）潮水高度变化的周期（即相邻两次高潮的时间间隔）；：（2）\( t = 9 \)小时时的潮水高度。

解：

（1）求周期：

函数模型为\( h(t) = A + B\sin(\omega t) \)，周期\( T = \frac{2\pi}{|\omega|} \)；

本题中\( \omega = \frac{\pi}{6} \)，故\( T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12 \)（小时）；

结论：周期为12小时，即每12小时潮水高度重复一次变化。

（2）求\( t = 9 \)时的高度：

代入解析式：\( h(9) = 3 + 2\sin\left(\frac{\pi}{6} \times 9\right) = 3 + 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \)；

计算三角函数值：\( \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 \)；

结果：\( h(9) = 3 + 2 \times (-1) = 1 \)（米）。

例题20：综合压轴——对称性、周期性、奇偶性全关联：已知函数\( f(x) \)的定义域为\( \mathbb{R} \)，满足以下条件：① 关于直线\( x = 2 \)对称；② 周期为\( 6 \)；③ 是奇函数。：若\( f(4) = 5 \)，求\( f(2026) \)的值。

解：

由周期\( 6 \)：\( f(2026) = f(2026 - 6 \times 337) = f(2026 - 2022) = f(4) \)；

已知\( f(4) = 5 \)，故\( f(2026) = 5 \)；

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学