初等数论：$b\mid a$整除的概念与整除的性质

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一、整除的定义

设$a$、$b$是两个整数，其中$b\neq0$。

如果存在一个整数$q$，使得$a = bq$，那么就说$b$整除$a$，或者说$a$能被$b$整除。

记作$b\mid a$，其中$b$是除数，$a$是被除数。

例如，因为$10 = 2\times5$，所以$2\mid10$。

如果不存在这样的整数$q$，使得$a = bq$成立，那么就说$b$不能整除$a$，记作$b\nmid a$。

比如，$3\nmid7$，因为不存在整数$q$使得$7 = 3q$。

二、整除的性质

1. 传递性：若$a\mid b$且$b\mid c$，则$a\mid c$

证明：因为$a\mid b$，根据整除的定义，存在整数$m$使得$b = am$；又因为$b\mid c$，存在整数$n$使得$c = bn$。将$b = am$代入$c = bn$中，可得$c=(am)n = a(mn)$。由于$mn$是整数，所以$a\mid c$。

示例：已知$2\mid 6$（因为$6 = 2\times3$），$6\mid 18$（因为$18 = 6\times3$），所以$2\mid 18$（因为$18 = 2\times9$）。

2. 线性组合：若$a\mid b$且$a\mid c$，则对任意整数$m$、$n$，有$a\mid(mb+nc)$

证明：因为$a\mid b$，所以存在整数$p$使得$b = ap$；又因为$a\mid c$，存在整数$q$使得$c = aq$。那么$mb + nc=m(ap)+n(aq)=a(mp + nq)$。由于$mp + nq$是整数，所以$a\mid(mb + nc)$。

示例：若$3\mid 9$（因为$9 = 3\times3$）且$3\mid 12$（因为$12 = 3\times4$），对于$m = 2$，$n = -1$，则$mb+nc = 2\times9+(-1)\times12 = 18 - 12 = 6$，且$3\mid 6$（因为$6 = 3\times2$）。

3. 自反性：对于任意非零整数$a$，$a\mid a$

证明：因为$a = a\times1$，其中$1$是整数，所以根据整除的定义，$a\mid a$。

示例：对于整数$5$，$5 = 5\times1$，所以$5\mid 5$。

4. 反对称性：若$a\mid b$且$b\mid a$，则$a=\pm b$

证明：因为$a\mid b$，存在整数$m$使得$b = am$；又因为$b\mid a$，存在整数$n$使得$a = bn$。将$b = am$代入$a = bn$中，得到$a=(am)n$，即$a = amn$，因为$a\neq0$，所以$mn = 1$。由于$m$和$n$是整数，所以$m = n = 1$或者$m = n=- 1$，即$a = b$或者$a=-b$。

示例：若$4\mid - 4$（因为$-4 = 4\times(-1)$）且$-4\mid 4$（因为$4=-4\times(-1)$），则$4 = \pm(-4)$。

5. 乘积性质：若$a\mid b$，则$ac\mid bc$（$c\neq0$）

证明：因为$a\mid b$，存在整数$m$使得$b = am$，那么$bc=(am)c=a(mc)$，而$mc$是整数，所以$ac\mid bc$。

示例：若$2\mid 6$（因为$6 = 2\times3$），对于$c = 5$，则$2\times5\mid 6\times5$，即$10\mid 30$（因为$30 = 10\times3$）。

6. 互质与整除：若$a\mid bc$，且$a$与$b$互质（即$(a,b)=1$），则$a\mid c$

证明：因为$a$与$b$互质，根据裴蜀定理，存在整数$x$、$y$使得$ax + by = 1$。两边同时乘以$c$，得到$acx + bcy = c$。已知$a\mid bc$，设$bc = ma$（$m$为整数），则$acx + may = c$，即$a(cx + my)=c$。因为$cx + my$是整数，所以$a\mid c$。

示例：已知$3\mid 4\times9$，$3$与$4$互质，所以$3\mid 9$。