不等式 02 一元二次不等式（含参、恒成立、根的范围）

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一、一元二次不等式定义与解法

一元二次不等式是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是\(2\)的整式不等式。

其一般形式为\(ax^{2}+bx+c＞0\)或\(ax^{2}+bx+c＜0\)（\(a≠0\)），另外还有\(ax^{2}+bx+c≥0\)以及\(ax^{2}+bx+c≤0\)（\(a≠0\)）这几种常见形式。例如\(x^{2}-3x + 2＞0\)、\(2x^{2}+5x - 3＜0\)等都是一元二次不等式。

第1步：标准化 - 将一元二次不等式化为标准形式

一元二次不等式的标准形式为\(ax^{2}+bx + c＞0\)（或\(≥0\)、\(＜0\)、\(≤0\)），其中\(a>0\)，不等式右边为0。

如果\(a<0\)先在不等式两边同时乘以\(-1\)，将二次项系数a化为正数，此时不等号方向改变，再按照\(a＞0\)时的规则求解集。

例如，把不等式\(3x - x^{2}＞ - 2\)变形为\(x^{2}-3x - 2＜0\)，使其符合标准形式要求。

第2步：判断并计算方程的根，依据交点（零点）写解集

对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a>0\)），判别式\(\Delta = b^{2}-4ac\)

\(\Delta>0\)：一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)有两个不同的实数根\(x_{1}<x_{2}\)，求根 \(x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)、 \(x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

一元二次函数\(y=ax^{2}+bx + c\)的图像与x轴（\(y=0\)）有两个交点（零点）

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c＞0\)解集为\(\{x|x＜x_{1} 或 x＞x_{2}\}\)，“大于取两边”

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c<0\)解集为\(\{x|x_{1}＜x＜x_{2}\}\)，即“小于取中间”

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≥0\)解集为\(\{x|x≤x_{1} 或 x≥x_{2}\}\)，“大于取两边”

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≤0\)解集为\(\{x|x_{1}≤x≤x_{2}\}\)，即“小于取中间”

\(\Delta=0\)：一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)有两个相同的实数根，求根 \(x_{0}=\frac{-b}{2a}\)

一元二次函数\(y=ax^{2}+bx + c\)的图像与x轴（\(y=0\)）有一个交点（零点）

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c＞0\)解集为\(\{x|x≠x_{0}\}\)，“大于取两边”

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c<0\)解集为\(\varnothing\)

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≥0\)解集为\(R\)

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≤0\)解集为\(\{x|x=x_{0}\}\)

\(\Delta<0\)：一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)没有实数根

一元二次函数\(y=ax^{2}+bx + c\)的图像与x轴（\(y=0\)）没有交点（零点）

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c＞0\)解集为\(R\)

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c<0\)解集为\(\varnothing\)

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≥0\)解集为\(R\)

一元二次不等式\(ax^{2}+bx + c≤0\)解集为\(\varnothing\)

二、含参数的一元二次不等式

解含参数的一元二次不等式时，核心思路是分类讨论。首先根据二次项系数是否为\(0\)进行分类，当二次项系数不为\(0\)时，再依据判别式、对称轴以及给定区间等不同情况进一步细分讨论，通过分析二次函数的图象特征和性质，结合不等式的具体要求，逐步确定不等式的解集或者参数的取值范围，从而完整地解决问题。

第1步：将含参数的一元二次不等式化为标准形式

含参数的一元二次不等式通常可表示为\(ax^{2}+bx + c＞0\)（或\(≥0\)、\(＜0\)、\(≤0\)）的形式，其中\(a\)、\(b\)、\(c\)中至少有一个是参数（用字母表示的变量）。例如，\(ax^{2} - 2x + 1＞0\)（\(a\)为参数），\(x^{2}+bx + 5＜0\)（\(b\)为参数）等。

第2步：根据二次项系数\(a\)的取值情况分类讨论

（1）当\(a = 0\)时：此时不等式化为一次不等式，按一次不等式的解法求解。

例如，对于不等式\(ax^{2}-3x + 2＞0\)，当\(a = 0\)时，不等式变为\(-3x + 2＞0\)，解这个不等式可得\(x＜\frac{2}{3}\)。

再如，若不等式为\(ax^{2}+2x - 1＜0\)，当\(a = 0\)时，就化为\(2x - 1＜0\)，其解为\(x＜\frac{1}{2}\)。

（2）当\(a≠0\)时：此时不等式为一元二次不等式，需要进一步考虑判别式\(\Delta = b^{2}-4ac\)以及对应二次函数图象的情况来求解。

步骤一：计算判别式\(\Delta\)并分析其取值情况

当\(\Delta＞0\)时：方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)有两个不同的实数根\(x_{1}\)、\(x_{2}\)（可通过求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)求出），然后根据不等式的符号以及二次函数图象的开口方向（由\(a\)的正负决定）来确定不等式的解集。

例如，对于不等式\(x^{2}-ax + a - 1＞0\)（\(a\)为参数），这里\(a = 1\)，\(b = -a\)，\(c = a - 1\)，\(\Delta = (-a)^{2}-4\times1\times(a - 1)=a^{2}-4a + 4=(a - 2)^{2}\)。

当\(a≠2\)时，\(\Delta＞0\)，方程\(x^{2}-ax + a - 1 = 0\)的两根为\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=a - 1\)。

若\(a＞1\)且\(a≠2\)，\(a＞0\)（二次函数图象开口向上），不等式的解集为\(x＜1\)或\(x＞a - 1\)；若\(a＜1\)，\(a＞0\)，解集为\(x＜a - 1\)或\(x＞1\)。

当\(\Delta = 0\)时：方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)有两个相等的实数根（重根），根据\(a\)的正负以及不等式的符号来确定解集。

比如，对于不等式\(mx^{2}+2mx + m＞0\)（\(m\)为参数），\(\Delta = (2mx)^{2}-4m\times m = 4m^{2}-4m^{2}=0\)，方程\(mx^{2}+2mx + m = 0\)的根为\(x = -1\)。

当\(m＞0\)时，不等式的解集为\(x≠ - 1\)；当\(m＜0\)时，解集为空集（因为此时二次函数图象开口向下且与\(x\)轴只有一个切点，函数值不可能恒大于\(0\)）。

当\(\Delta＜0\)时：方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)没有实数根，再依据\(a\)的正负与不等式的符号确定解集。

例如，对于不等式\(ax^{2}+x + 1＜0\)（\(a\)为参数），\(\Delta = 1^{2}-4a＜0\)，即\(a＞\frac{1}{4}\)时，方程无实数根。

当\(a＞\frac{1}{4}\)且\(a＞0\)（开口向上），不等式的解集为空集；当\(a＜0\)（开口向下），不等式的解集为全体实数集。

第3步：在给定区间上含参数的一元二次不等式的解法

方法一：讨论二次函数在区间端点处的函数值以及对称轴的位置情况

例如，已知不等式\(ax^{2}+2x - 1≥0\)在区间\([1,2]\)上恒成立，求\(a\)的取值范围。

首先，二次函数\(y = ax^{2}+2x - 1\)的对称轴为\(x = -\frac{2}{2a}=-\frac{1}{a}\)。

然后分情况讨论：

当\(a＞0\)时：

若\(-\frac{1}{a}≤1\)（对称轴在区间\([1,2]\)左侧），即\(a≥ - 1\)（结合\(a＞0\)），此时函数在\([1,2]\)上单调递增，要使不等式在区间上恒成立，则需\(f(1) = a + 2 - 1≥0\)，解得\(a≥ - 1\)，所以\(a＞0\)满足条件。

若\(1＜-\frac{1}{a}＜2\)（对称轴在区间\([1,2]\)内），即\(-\frac{1}{2}＜a＜ - 1\)，此时函数在对称轴处取得最小值，要使不等式恒成立，需\(f\left(-\frac{1}{a}\right)=a\times\left(-\frac{1}{a}\right)^{2}+2\times\left(-\frac{1}{a}\right)-1≥0\)，解这个不等式看是否存在满足条件的\(a\)值（经计算发现无解）。

若\(-\frac{1}{a}≥2\)（对称轴在区间\([1,2]\)右侧），即\(a≤-\frac{1}{2}\)，此时函数在\([1,2]\)上单调递减，要使不等式恒成立，则需\(f(2) = 4a + 4 - 1≥0\)，解得\(a≥-\frac{3}{4}\)，结合前面\(a≤-\frac{1}{2}\)，此时无解。

当\(a＜0\)时：同样按照对称轴与区间的位置关系分情况讨论，类似上述步骤分析函数在区间上的最值情况以及满足不等式恒成立的条件（过程略）。

方法二：分离参数法（若可行的话）

例如，对于不等式\(x^{2}-ax + 1＞0\)在区间\((0, +\infty)\)上恒成立，求\(a\)的取值范围。

可将不等式变形为\(a＜x + \frac{1}{x}\)在区间\((0, +\infty)\)上恒成立，也就是\(a\)要小于\(x + \frac{1}{x}\)在区间\((0, +\infty)\)上的最小值。

设\(f(x) = x + \frac{1}{x}\)，根据基本不等式可知\(f(x)≥2\sqrt{x\times\frac{1}{x}} = 2\)（当且仅当\(x = \frac{1}{x}\)，即\(x = 1\)时取等号），所以\(a＜2\)。

三、一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立问题，指的是对于某个一元二次不等式，在给定的变量取值范围内，不等式的关系始终成立。例如，对于一元二次不等式\(ax^{2} + bx + c > 0\)（或\(< 0\)），不管自变量\(x\)取何值（在规定的定义域内，如果有定义域限制的话），不等式都一直是成立的状态。

首先要判断不等式是哪种基本类型（大于\(0\)恒成立、小于\(0\)恒成立等），对于简单的在全体实数范围内恒成立的情况，根据\(a\)是否为\(0\)以及\(\Delta\)的取值范围来确定参数的取值。

如果是在给定区间上恒成立的问题，可以考虑分离参数法，将参数和变量分离开，转化为求函数最值的问题；或者根据二次函数在给定区间上的单调性以及对称轴位置等性质，通过分析函数在区间端点或对称轴处的值来确定参数的取值范围，从而解决问题。

1、对于不等式\(ax^{2} + bx + c > 0\)恒成立的情况

当\(a = 0\)时：此时不等式化为一次不等式\(bx + c > 0\)。

要使其恒成立，则\(b = 0\)且\(c > 0\)。因为若\(b \neq 0\)，那么当\(x\)取某些值时，不等式就不一定成立了，只有\(b = 0\)且\(c > 0\)时，\(0 + c > 0\)才能对任意\(x\)都满足。

例如，对于不等式\(0\cdot x^{2} + 0\cdot x + 5 > 0\)，显然对于任意\(x\)，该不等式恒成立。

当\(a \neq 0\)时：此时不等式为一元二次不等式，要使\(ax^{2} + bx + c > 0\)恒成立，需要满足\(\left\{\begin{array}{l}a > 0\\\Delta = b^{2} - 4ac < 0\end{array}\right.\)。

条件\(a > 0\)保证二次函数图象开口向上，而\(\Delta < 0\)意味着二次函数\(y = ax^{2} + bx + c\)的图象与\(x\)轴无交点，这样函数图象就恒在\(x\)轴上方，也就保证了\(ax^{2} + bx + c > 0\)恒成立。

例如，对于不等式\(x^{2} - 2x + 3 > 0\)，这里\(a = 1\)，\(b = -2\)，\(c = 3\)，\(\Delta = (-2)^{2} - 4\times1\times3 = 4 - 12 = -8 < 0\)，且\(a = 1 > 0\)，所以该不等式对于任意\(x\)都恒成立。

2、对于不等式\(ax^{2} + bx + c < 0\)恒成立的情况

当\(a = 0\)时：不等式化为一次不等式\(bx + c < 0\)，要使其恒成立，则\(b = 0\)且\(c < 0\)。

例如，\(0\cdot x^{2} + 0\cdot x - 5 < 0\)，对任意\(x\)，该不等式恒成立。

当\(a \neq 0\)时：要使\(ax^{2} + bx + c < 0\)恒成立，需要满足\(\left\{\begin{array}{l}a < 0\\\Delta = b^{2} - 4ac < 0\end{array}\right.\)。

\(a < 0\)保证二次函数图象开口向下，\(\Delta < 0\)使得函数图象与\(x\)轴无交点，从而函数图象恒在\(x\)轴下方，保证了不等式恒成立。

例如，对于不等式\(-x^{2} + 2x - 3 < 0\)，\(a = -1\)，\(b = 2\)，\(c = -3\)，\(\Delta = 2^{2} - 4\times(-1)\times(-3) = 4 - 12 = -8 < 0\)，且\(a = -1 < 0\)，所以该不等式对任意\(x\)恒成立。

3、在给定区间上恒成立的问题

方法一：分离参数法

例如，已知不等式\(x^{2} + ax + 1 > 0\)在区间\([1, +\infty)\)上恒成立，求\(a\)的取值范围。

将不等式变形为\(a > -\left(x + \frac{1}{x}\right)\)在区间\([1, +\infty)\)上恒成立，即\(a\)要大于\(-\left(x + \frac{1}{x}\right)\)在区间\([1, +\infty)\)上的最大值。

设\(f(x) = x + \frac{1}{x}\)，对其求导可得\(f'(x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}\)，在区间\([1, +\infty)\)上，\(f'(x) \geq 0\)，所以\(f(x)\)在该区间上单调递增，\(f(x)_{\min} = f(1) = 2\)，则\(-\left(x + \frac{1}{x}\right)_{\max} = -2\)，所以\(a > -2\)。

方法二：直接根据二次函数性质求解

若不等式\(ax^{2} + bx + c \geq 0\)在区间\([m, n]\)上恒成立。

首先求出二次函数\(y = ax^{2} + bx + c\)的对称轴\(x = -\frac{b}{2a}\)。

当\(-\frac{b}{2a} \leq m\)时，函数在区间\([m, n]\)上单调递增（假设\(a > 0\)，若\(a < 0\)则单调递减），只需满足\(\left\{\begin{array}{l}f(m) \geq 0\end{array}\right.\)即可。

当\(m < -\frac{b}{2a} < n\)时，函数在对称轴处取得最值，需要满足\(\left\{\begin{array}{l}f\left(-\frac{b}{2a}\right) \geq 0\end{array}\right.\)。

当\(-\frac{b}{2a} \geq n\)时，函数在区间\([m, n]\)上单调递减（假设\(a > 0\)，若\(a < 0\)则单调递增），只需满足\(\left\{\begin{array}{l}f(n) \geq 0\end{array}\right.\)即可。

例如，不等式\(x^{2} - 2x - 3 \leq 0\)在区间\([-1, 3]\)上恒成立，二次函数\(y = x^{2} - 2x - 3\)对称轴为\(x = 1\)，\(-1 < 1 < 3\)，此时只需\(f(1) = 1^{2} - 2\times1 - 3 = -4 \leq 0\)（实际函数在区间端点的值也满足不等式要求），就可保证不等式在该区间上恒成立。

四、一元二次方程的根的范围问题

对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a≠0\)），判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac\)起着关键作用。利用判别式判断根的存在情况及范围：

当\(\Delta＞0\)时：方程有两个不相等的实数根。

当\(\Delta = 0\)时：方程有两个相等的实数根，也就是一个重根。

当\(\Delta＜0\)时：方程没有实数根。

这是后续探讨根的范围问题的重要前提，比如已知方程有根，那就意味着\(\Delta \geq 0\)这个条件要首先满足。

解决一元二次方程根的范围问题时：

第一步，要把一元二次方程与对应的二次函数紧密联系起来，因为根的范围情况实际上对应着二次函数图象与\(x\)轴交点的位置特点。

第二步，根据具体要求的根的范围情况，准确列出相应的条件不等式组（如判别式、对称轴位置、函数在某些特定点的取值等方面的不等式）。

第三步，通过解不等式组来确定满足根的范围要求的参数取值范围等，从而完整地解决此类问题。

例如，已知方程\(x^{2}+(m - 1)x + m = 0\)有两个根，且两根都大于\(0\)，那就需要先根据上述条件列出不等式组\(\left\{\begin{array}{l}\Delta=(m - 1)^{2}-4m\geq0\\-\frac{m - 1}{2}>0\\m>0\end{array}\right.\)，然后求解这个不等式组来获取\(m\)的取值范围。

第1种：两根同号（同为正或同为负）

两根同为正：

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)，保证方程有实数根。

条件二：两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a}＞0\)，说明两根同号。

条件三：两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}＞0\)，确保两根为正。

举例：对于方程\(x^{2} - 5x + 6 = 0\)，\(\Delta = (-5)^{2} - 4×1×6 = 25 - 24 = 1＞0\)，两根之积\(\frac{6}{1} = 6＞0\)，两根之和\(-\frac{-5}{1} = 5＞0\)，它的两个根\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)都是正数。

两根同为负：

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)。

条件二：两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a}＞0\)。

条件三：两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}＜0\)，以此确定两根为负。

举例：方程\(x^{2} + 3x + 2 = 0\)，\(\Delta = 3^{2} - 4×1×2 = 9 - 8 = 1＞0\)，两根之积\(\frac{2}{1} = 2＞0\)，两根之和\(-\frac{3}{1} = -3＜0\)，其根\(x_1 = -1\)，\(x_2 = -2\)均为负数。

第2种：两根异号（一正一负）

条件：两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a}＜0\)，只要满足此条件，方程的两根必然一个为正，一个为负。

举例：方程\(x^{2} - x - 6 = 0\)，两根之积\(\frac{-6}{1} = -6＜0\)，其根为\(x_1 = 3\)，\(x_2 = -2\)，一正一负。

第3种：两根都大于某一常数\(m\)

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)，确保方程有实数根。

条件二：对称轴\(x = -\frac{b}{2a}＞m\)，因为对称轴在\(m\)的右侧，两根才有可能都大于\(m\)。

条件三：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＞0\)，意味着函数图象在\(x = m\)这个位置处于\(x\)轴上方。

举例：对于方程\(x^{2} - 4x + 3 = 0\)，若要两根都大于\(1\)，\(\Delta = (-4)^{2} - 4×1×3 = 4 \geq 0\)，对称轴\(x = -\frac{-4}{2×1} = 2＞1\)，当\(x = 1\)时，\(f(1) = 1^{2} - 4×1 + 3 = 0\)（这里不符合\(f(m)＞0\)，实际上方程的根为\(x = 1\)和\(x = 3\)，只有一根大于\(1\)）。

第4种：两根都小于某一常数\(m\)

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)。

条件二：对称轴\(x = -\frac{b}{2a}＜m\)。

条件三：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＞0\)。

举例：对于方程\(2x^{2} + 3x - 2 = 0\)，若要两根都小于\(0\)，\(\Delta = 3^{2} - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 \geq 0\)，对称轴\(x = -\frac{3}{2×2} = -\frac{3}{4}＜0\)，当\(x = 0\)时，\(f(0) = 2×0^{2} + 3×0 - 2 = -2＜0\)（这里不符合\(f(m)＞0\)，实际上方程的根为\(x = -2\)和\(x = \frac{1}{2}\)，不满足两根都小于\(0\)）。

第5种：一根大于某一常数\(m\)，一根小于某一常数\(m\)

条件：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＜0\)。此时不需要考虑判别式和对称轴的情况，因为只要函数在\(m\)处的值小于\(0\)，就必然有一个根大于\(m\)，一个根小于\(m\)。

举例：对于方程\(x^{2} - x - 2 = 0\)，若要一根大于\(1\)，一根小于\(1\)，当\(x = 1\)时，\(f(1) = 1^{2} - 1 - 2 = -2＜0\)，方程的根为\(x = -1\)和\(x = 2\)，满足条件。

第6种：两根在区间\((m, n)\)内（\(m＜n\)）

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)。

条件二：对称轴\(x = -\frac{b}{2a} \in (m, n)\)。

条件三：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＞0\)。

条件四：当\(x = n\)时，函数值\(f(n) = an^{2} + bn + c＞0\)。

举例：对于方程\(x^{2} - 3x + 2 = 0\)，若要两根在区间\((0, 3)\)内，\(\Delta = (-3)^{2} - 4×1×2 = 1 \geq 0\)，对称轴\(x = -\frac{-3}{2×1} = \frac{3}{2} \in (0, 3)\)，当\(x = 0\)时，\(f(0) = 0^{2} - 3×0 + 2 = 2＞0\)，当\(x = 3\)时，\(f(3) = 3^{2} - 3×3 + 2 = 2＞0\)，方程的根为\(x = 1\)和\(x = 2\)，满足条件。

第7种：两根分别在区间\((m, n)\)和\((n, p)\)内（\(m＜n＜p\)）

条件一：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＞0\)。

条件二：当\(x = n\)时，函数值\(f(n) = an^{2} + bn + c＜0\)。

条件三：当\(x = p\)时，函数值\(f(p) = ap^{2} + bp + c＞0\)。

举例：对于方程\(x^{2} - 2x - 3 = 0\)，若要一根在区间\((-2, 0)\)内，另一根在区间\((0, 4)\)内，当\(x = -2\)时，\(f(-2) = (-2)^{2} - 2×(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5＞0\)，当\(x = 0\)时，\(f(0) = 0^{2} - 2×0 - 3 = -3＜0\)，当\(x = 4\)时，\(f(4) = 4^{2} - 2×4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5＞0\)，方程的根为\(x = -1\)和\(x = 3\)，满足条件。

例题 1：已知一元二次方程\(2x^{2} - 7x + 3 = 0\)，判断它的根的正负情况。

对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a≠0\)），我们先通过韦达定理来分析根与系数的关系。两根之积\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)，两根之和\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)。

在方程\(2x^{2} - 7x + 3 = 0\)中，\(a = 2\)，\(b = -7\)，\(c = 3\)。

两根之积\(x_{1}x_{2}=\frac{3}{2}>0\)，说明两根同号。

两根之和\(x_{1}+x_{2}=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}>0\)，结合两根同号可知，两根同为正。

所以，方程\(2x^{2} - 7x + 3 = 0\)的两个根都是正数。

例题 2：若一元二次方程\(x^{2} - 4x + m = 0\)的两个根都大于\(1\)，求\(m\)的取值范围。

步骤一：利用判别式确定方程有实根的条件

要使方程有两个实数根，判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)。在方程\(x^{2} - 4x + m = 0\)中，\(a = 1\)，\(b = -4\)，\(c = m\)，则\(\Delta = (-4)^{2} - 4×1×m \geq 0\)，即\(16 - 4m \geq 0\)，化简得\(m \leq 4\)。

步骤二：根据对称轴位置分析

对称轴方程为\(x = -\frac{b}{2a}\)，此方程中对称轴\(x = -\frac{-4}{2×1} = 2\)，因为两根都大于\(1\)，对称轴\(2 > 1\)，满足条件。

步骤三：分析函数在\(x = 1\)处的函数值

当\(x = 1\)时，函数值\(y = 1^{2} - 4×1 + m > 0\)，即\(1 - 4 + m > 0\)，解得\(m > 3\)。

综合以上三个条件，\(m\)的取值范围是\(3 < m \leq 4\)。