函数 03 函数三要素：定义域、对应关系、值域

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一、函数的概念

设\(A\)、\(B\)是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系\(f\)，使对于集合\(A\)中的任意一个数\(x\)，在集合\(B\)中都有唯一确定的数\(y\)和它对应，那么就称\(f:A→B\)为从集合\(A\)到集合\(B\)的一个函数，记作\(y = f(x),x\in A\)。

比如，\(A=\{1,2,3\}\)，\(B = \{2,4,6\}\)，对应关系\(f\)是\(y = 2x\)，那么当\(x = 1\)时，\(y = 2\times1 = 2\)；当\(x = 2\)时，\(y = 2\times2 = 4\)；当\(x = 3\)时，\(y = 2\times3 = 6\)。这就构成了从\(A\)到\(B\)的一个函数。

函数可以看作是一个“机器”，输入集合\(A\)中的一个数\(x\)，经过对应关系\(f\)这个“机器”的加工，输出集合\(B\)中的一个数\(y\)，并且对于每一个输入的\(x\)，输出的\(y\)是唯一确定的。

二、函数的三要素

1、定义域：

定义：定义域是指自变量\(x\)的取值范围，也就是集合\(A\)。

示例：对于函数\(y=\sqrt{x}\)，因为在实数范围内，根号下的数不能为负数，所以其定义域是\(x\geq0\)，即\([0,+\infty)\)。

重要性：定义域是函数存在的前提条件，不同的定义域可能导致函数的性质和图象完全不同。比如函数\(y = x\)和\(y=\frac{1}{x}\)，前者定义域是\(R\)，后者定义域是\(x\neq0\)，这使得它们的图象和性质有很大差异。

2、值域：

定义：值域是指函数值\(y\)的取值范围，是所有函数值组成的集合，它是集合\(B\)的子集。

示例：对于函数\(y = x^{2}\)，\(x\in R\)，因为\(x^{2}\geq0\)，所以其值域是\([0,+\infty)\)。

与定义域的关系：值域是由定义域和对应关系共同决定的。同样是函数\(y = x^{2}\)，如果定义域变为\(x\in[-1,1]\)，那么值域就变为\([0,1]\)。

3、对应关系：

定义：对应关系是指对于定义域内的每一个\(x\)，确定与之对应的\(y\)的规则。

示例：常见的对应关系有\(y = 2x + 1\)（一次函数的对应关系）、\(y=\sin x\)（三角函数的对应关系）、\(y = \log_{a}x\)（对数函数的对应关系）等。

四、函数的表示方法：

解析法：用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，如\(y = 3x - 2\)。

列表法：列出表格来表示自变量和函数值的对应关系，例如，\(x\)取值为\(1\)、\(2\)、\(3\)，对应的\(y\)值分别为\(1\)、\(3\)、\(5\)，可以列成表格形式来表示这个函数关系。

图象法：用图象来表示函数关系，例如二次函数\(y = x^{2}\)的图象是一条抛物线，通过图象可以直观地看出函数值随自变量的变化情况。

五、函数三要素的相互关系

定义域是基础，它限定了自变量的取值范围。

对应关系是纽带，它规定了如何从自变量得到函数值。

值域是结果，它是在定义域的基础上，通过对应关系得到的函数值的范围。

当且仅当函数的定义域、值域和对应关系都相同时，两个函数才是同一个函数。

例如，\(y = x\)，\(x\in R\)和\(y = x\)，\(x\in[0,+\infty)\)是不同的函数，因为它们的定义域不同。

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