不等式 02 三元平方公式 与 三元立方公式

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二元立方和公式

\(a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})\)

推导过程：

\(a^{3}+b^{3}=a^{3}+a^{2}b - a^{2}b+b^{3}\)

\(=a^{2}(a + b)-b(a^{2}-b^{2})\)

\(=a^{2}(a + b)-b(a + b)(a - b)\)

\(=(a + b)(a^{2}-b(a - b))\)

\(=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})\)

三元立方和公式

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a + b + c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ca)\)

推导过程：

\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\)

\(=(a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}+c^{3})-(3abc + 3a^{2}b + 3ab^{2})\)

\(=(a + b)^{3}+c^{3}-3ab(a + b + c)\)

\(=(a + b + c)[(a + b)^{2}-(a + b)c + c^{2}]-3ab(a + b + c)\)

\(=(a + b + c)(a^{2}+2ab + b^{2}-ac - bc + c^{2}-3ab)\)

\(=(a + b + c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ca)\)

特殊情况

当\(a + b + c = 0\)时，\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc\)

三元完全平方公式

\((a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc\)

推导过程：

把\((a + b + c)^{2}\)看作\((a+(b + c))^{2}\)，根据完全平方公式\((m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}\)，这里

\(m=a\)，\(n=(b + c)\)，则\((a+(b + c))^{2}=a^{2}+2a(b + c)+(b + c)^{2}\)。

再对\((b + c)^{2}\)展开，\((b + c)^{2}=b^{2}+2bc + c^{2}\)。

所以

\((a+(b + c))^{2}\)

\(=a^{2}+2a(b + c)+b^{2}+2bc + c^{2}\)

\(=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc\)。

示例：计算\((1 + 2+3)^{2}\)，根据公式\((a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac + 2bc\)，这里

\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = 3\)，则

\((1 + 2+3)^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+2\times1\times2+2\times1\times3+2\times2\times3\)

\(=1 + 4+9+4 + 6+12\)

\(=36\)

三元完全立方公式

\((a + b + c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b + 3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b + 6abc\)

推导过程（较为复杂）：

先将\((a + b + c)^{3}\)写成\((a + b + c)(a + b + c)^{2}\)，由前面的三元平方公式

\((a + b + c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc\)，则

\((a + b + c)^{3}=(a + b + c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc)\)。

展开可得：

\(a(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc)+\)

\(b(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc)+\)

\(c(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab + 2ac+2bc)\)

进一步展开为：

\(a^{3}+a b^{2}+a c^{2}+2a^{2}b + 2a^{2}c+2abc+a^{2}b + \)

\(b^{3}+b c^{2}+2ab^{2}+2abc+2b^{2}c+a^{2}c + b^{2}c + \)

\(c^{3}+2abc+2ac^{2}+2bc^{2}\)

整理后得到\(a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b + 3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b + 6abc\)。

示例：计算\((1 + 2+3)^{3}\)，根据公式

\((a + b + c)^{3}\)

\(=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b + 3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b + 6abc\)，这里

\(a = 1\)，\(b = 2\)，\(c = 3\)，则

\((1 + 2+3)^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+3\times1^{2}\times2+3\times1^{2}\times3+3\times2^{2}\times1+\)

\(3\times2^{2}\times3+3\times3^{2}\times1+3\times3^{2}\times2+6\times1\times2\times3\)

\(=1 + 8+27+6 + 9+12+36+27+54\)

\(=210\)

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