不等式 02 不等式恒成立问题

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1. 不等式恒成立

不等式恒成立是指对于某个给定区间内的所有变量取值，不等式都成立。例如，对于不等式\(f(x)>g(x)\)，如果在区间\(I\)内，无论\(x\)取\(I\)中的任何值，\(f(x)-g(x)>0\)始终成立，就说不等式\(f(x)>g(x)\)在区间\(I\)上恒成立。

2. 一次函数型不等式恒成立问题

对于一次函数\(y = ax + b\)，若\(ax + b>0\)恒成立（\(x\in R\)）。

当\(a = 0\)时，\(b>0\)不等式恒成立。

当\(a\neq0\)时，函数\(y = ax + b\)是单调函数。若\(a>0\)，则函数单调递增，\(y\)无最小值，不能恒大于\(0\)；若\(a<0\)，函数单调递减，\(y\)也无最小值，不能恒大于\(0\)。所以对于一次函数\(y = ax + b\)在\(R\)上恒大于\(0\)的情况，只有\(a = 0\)且\(b>0\)。

示例：若不等式\(kx - 1>0\)对于任意\(x\in[1,2]\)恒成立，求\(k\)的取值范围。

当\(x\in[1,2]\)时，\(kx - 1>0\)可变形为\(k>\frac{1}{x}\)。

因为\(y = \frac{1}{x}\)在\([1,2]\)上单调递减，\(y_{max}=1\)（当\(x = 1\)时），所以\(k>1\)。

3. 二次函数型不等式恒成立问题

对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)\)。

若\(ax^{2}+bx + c>0\)恒成立（\(x\in R\)），则\(a>0\)且\(\Delta=b^{2}-4ac<0\)。

这是因为\(a>0\)保证二次函数图象开口向上，\(\Delta<0\)保证函数图象与\(x\)轴无交点，即函数值恒大于\(0\)。

若\(ax^{2}+bx + c<0\)恒成立（\(x\in R\)），则\(a<0\)且\(\Delta=b^{2}-4ac<0\)。

示例：已知不等式\(x^{2}+ax + 1>0\)对于任意\(x\in R\)恒成立，求\(a\)的取值范围。

因为\(y = x^{2}+ax + 1\)是二次函数，\(a = 1>0\)，要使不等式恒成立，则\(\Delta=a^{2}-4\times1\times1<0\)。

解不等式\(a^{2}-4<0\)，即\((a - 2)(a + 2)<0\)，得到\(-2<a<2\)。

4. 利用函数最值解决不等式恒成立问题

若\(f(x)>g(x)\)恒成立（\(x\in I\)），则\(f(x)_{min}>g(x)\)；

若\(f(x)<g(x)\)恒成立（\(x\in I\)），则\(f(x)_{max}<g(x)\)。

示例：设函数\(f(x)=\frac{1}{x}+x\)，若对于任意\(x\in[\frac{1}{2},2]\)，不等式\(f(x)\geq m\)恒成立，求\(m\)的取值范围。

对\(f(x)=\frac{1}{x}+x\)求导得\(f^\prime(x)=1-\frac{1}{x^{2}}\)。

令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x = 1\)或\(x=-1\)（舍去，因为\(x\in[\frac{1}{2},2]\)）。

当\(x\in[\frac{1}{2},1)\)时，\(f^\prime(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\in(1,2]\)时，\(f^\prime(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增。

所以\(f(x)\)在\(x = 1\)处取得最小值\(f(1)=2\)。

因为\(f(x)\geq m\)恒成立，所以\(m\leq2\)。

5. 分离参数法解决不等式恒成立问题

例如，对于不等式\(ax + b>c\)恒成立（\(x\in I\)），可以将参数\(a\)分离出来，得到\(a>\frac{c - b}{x}\)（假设\(x>0\)），然后求\(\frac{c - b}{x}\)的最大值，只要\(a\)大于这个最大值，不等式就恒成立。

示例：已知函数\(f(x)=x^{2}-2x + a\)，对于任意\(x\in[1,+\infty)\)，不等式\(f(x)\geq - x + 1\)恒成立，求\(a\)的取值范围。

由\(x^{2}-2x + a\geq - x + 1\)可得\(a\geq - x^{2}+x + 1\)。

设\(g(x)=-x^{2}+x + 1\)，其对称轴为\(x=\frac{1}{2}\)，在\([1,+\infty)\)上单调递减。

所以\(g(x)_{max}=g(1)=1\)，则\(a\geq1\)。

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