函数 03 函数的周期性：周期函数

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一、周期函数

设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)。如果存在一个非零常数\(T\)，使得对于任意的\(x\in D\)，都有\(x + T\in D\)，并且\(f(x+T)=f(x)\)成立，那么就称函数\(y = f(x)\)是周期函数，非零常数\(T\)称为函数\(y = f(x)\)的一个周期。同时，周期函数的定义域通常是无界的（至少在一个方向上），因为如果定义域是有界的，很难满足对于任意\(x\)，通过加上周期\(T\)后函数值保持不变的条件。

例如，对于函数\(y=\sin x\)，其定义域为\((-\infty,+\infty)\)。因为\(\sin(x + 2\pi)=\sin x\)对任意\(x\in(-\infty,+\infty)\)都成立，所以\(y = \sin x\)是周期函数，\(2\pi\)是它的一个周期。

在周期函数\(y = f(x)\)的所有周期中，如果存在一个最小的正数\(T_0\)，使得\(f(x + T_0)=f(x)\)对定义域内任意\(x\)都成立，那么\(T_0\)就称为函数\(y = f(x)\)的最小正周期。例如，对于函数\(y = \sin x\)，它的周期有\(2k\pi\)（\(k\in Z,k\neq0\)），其中最小正周期是\(2\pi\)。

并不是所有周期函数都有最小正周期。狄利克雷函数\(D(x)=\left\{\begin{array}{l}1,x\in Q\\ 0,x\in R - Q\end{array}\right.\)，任意非零有理数都是它的周期，但没有最小正周期。

从函数图像的角度看，周期函数的图像具有重复性：如果将周期函数\(y = f(x)\)的图像沿\(x\)轴方向平移\(T\)个单位（\(T\)是周期），得到的图像与原函数图像完全重合。如，\(y=\sin x\)，它的图象是正弦曲线。在区间\([0,2\pi]\)上的图象形状，每隔\(2\pi\)就会重复出现一次。沿着\(x\)轴方向平移\(2\pi\)的整数倍，图象都能完全重合。又如，\(y=\cos(x)\)的图像，当把它向左或向右平移\(2\pi\)，\(4\pi\)等（\(2k\pi,k\in Z,k\neq0\)）单位长度时，图像会完全重合，这也直观地体现了它是周期函数的特点。

若\(f(x + a)=f(x)\)，则\(y = f(x)\)是以\(T = a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=-f(x)\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)），则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=f(x-a)\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=-\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 4a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=\frac{1 + f(x)}{1 - f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 4a\)为周期的周期函数。

函数对称性与周期性的关系：

1、两个对称轴：若函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x = a\)与直线\(x = b\)对称\((a≠b)\)，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 2|b - a|\)。

推导：因为函数\(f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，则\(f(x)=f(2a - x)\)；又因为函数\(f(x)\)关于直线\(x = b\)对称，则\(f(x)=f(2b - x)\)。

所以\(f(2a - x)=f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，那么\(f(t)=f(2b-(2a - t))=f(t + 2(b - a))\)，即\(f(x)=f(x + 2(b - a))\)，所以函数\(f(x)\)的周期是\(2|b - a|\)。

2、两个中心对称：若函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((a,0)\)对称，又关于点\((b,0)\)对称\((a≠b)\)，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 2|b - a|\)。

因为函数\(f(x)\)关于点\((a,0)\)对称，则\(f(x)=-f(2a - x)\)；又因为函数\(f(x)\)关于点\((b,0)\)对称，则\(f(x)=-f(2b - x)\)。

所以\(-f(2a - x)=-f(2b - x)\)，即\(f(2a - x)=f(2b - x)\)，后续推导与上述轴对称推导类似，可得函数\(f(x)\)的周期是\(2|b - a|\)。

3、一个轴对称一个中心对称：若函数\(y = f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，又关于点\((b,0)\)对称\((a≠b)\)，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 4|b - a|\)。

因为函数\(f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，则\(f(x)=f(2a - x)\)；又因为函数\(f(x)\)关于点\((b,0)\)对称，则\(f(x)=-f(2b - x)\)。

所以\(f(2a - x)=-f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，\(f(t)=-f(2b-(2a - t))=-f(t + 2(b - a))\)，即\(f(x)=-f(x + 2(b - a))\)，进而可得\(f(x + 4(b - a))=f((x + 2(b - a))+ 2(b - a))=-f(x + 2(b - a))=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期是\(4|b - a|\)。

周期函数的基本性质

1. 周期的存在性：若\(T\)（\(T\neq0\)）是\(f(x)\)的周期，则\(-T\)也是\(f(x)\)的周期。

2. 周期的倍数性：若\(T\)（\(T\neq0\)）是\(f(x)\)的周期，则\(nT\)（\(n\)为任意非零整数）也是\(f(x)\)的周期。

证明：已知\(f(x+T) = f(x)\)，那么\(f(x + 2T)=f((x + T)+T)=f(x + T)=f(x)\)。

以此类推，对于任意的\(n\in Z,n\neq0\)，\(f(x + nT)=f(x)\)。

3. 周期的运算性：若\(T_1\)与\(T_2\)都是\(f(x)\)的周期，则\(T_1\pm T_2\)也是\(f(x)\)的周期。

4. 最小正周期的整数倍性：若\(f(x)\)有最小正周期\(T^*\)，那么\(f(x)\)的任何正周期\(T\)一定是\(T^*\)的正整数倍。

5. 无理数周期比与最小正周期的关系：若\(T_1\)、\(T_2\)是\(f(x)\)的两个周期，且\(\frac{T_1}{T_2}\)是无理数，则\(f(x)\)不存在最小正周期。

6. 定义域的无界性：周期函数\(f(x)\)的定义域必定是至少一方无界的集合。

周期函数的函数运算性质

1. 线性组合的周期性：若\(f(x)\)是在数集\(M\)上以\(T^*\)为最小正周期的周期函数，则\(kf(x)+c\)（\(k\neq0\)）也是集\(M\)上以\(T^*\)为周期的周期函数。

2. 倒数的周期性：若\(f(x)\)是周期函数且\(f(x)\neq0\)，则\(\frac{1}{f(x)}\)是集\(\{x|f(x)\neq0,x\in M\}\)上的以\(T^*\)为最小正周期的周期函数。

3. 函数和差积的周期性：设\(f_1(x)\)、\(f_2(x)\)都是集合\(M\)上的周期函数，\(T_1\)、\(T_2\)分别是它们的周期，若\(\frac{T_1}{T_2}\in Q\)，则\(f_1(x)\pm f_2(x)\)与\(f_1(x)f_2(x)\)也是\(M\)上的周期函数，\(T_1\)与\(T_2\)的公倍数为它们的周期。

例1：已知函数\(f(x)\)的周期为\(2\)，函数\(g(x)\)的周期为\(2\)，判断函数\(h(x)=f(x)+g(x)\)的周期。

思路：因为\(f(x)\)的周期为\(2\)，所以\(f(x + 2)=f(x)\)；\(g(x)\)的周期为\(2\)，所以\(g(x + 2)=g(x)\)。则\(h(x + 2)=f(x + 2)+g(x + 2)=f(x)+g(x)=h(x)\)，所以\(h(x)\)的周期为\(2\)。

例2：已知函数\(f(x)\)的周期为\(3\)，函数\(g(x)\)的周期为\(3\)，判断函数\(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)的周期。

思路：因为\(f(x)\)的周期为\(3\)，所以\(f(x + 3)=f(x)\)；\(g(x)\)的周期为\(3\)，所以\(g(x + 3)=g(x)\)。则\(h(x + 3)=f(x + 3)\cdot g(x + 3)=f(x)\cdot g(x)=h(x)\)，所以\(h(x)\)的周期为\(3\)。

例3：已知函数\(f(x)\)的周期为\(4\)，\(g(x)=f(2x)\)，判断\(g(x)\)的周期。

思路：令\(t = 2x\)，因为\(f(x)\)的周期为\(4\)，所以\(f(t + 4)=f(t)\)，即\(f(2x + 4)=f(2x)\)，则\(g(x + 2)=f(2(x + 2))=f(2x + 4)=f(2x)=g(x)\)，所以\(g(x)\)的周期为\(2\)。

例4：已知函数\(f(x)\)的周期为\(2\)，\(g(x)=f(x + 1)\)，判断\(g(x)\)的周期。

思路：因为\(f(x)\)的周期为\(2\)，所以\(f(x + 2)=f(x)\)。则\(g(x + 2)=f(x + 3)=f((x + 2)+1)=f(x + 1)=g(x)\)，所以\(g(x)\)的周期为\(2\)。

例5：已知函数\(f(x)\)的周期为\(3\)，\(g(x)=f(x^2)\)，判断\(g(x)\)的周期。

思路：假设\(g(x)\)的周期为\(T\)，则\(g(x + T)=f((x + T)^2)=f(x^2 + 2Tx + T^2)\)，一般情况下\(f(x^2 + 2Tx + T^2)\neq f(x^2)\)，所以\(g(x)\)不是周期函数。

二、复合函数的周期性

1、复合函数的周期性基本结论

设\(y = f(u)\)的最小正周期为\(T_1\)，\(u = \varphi(x)\)的最小正周期为\(T_2\)，则\(y = f(\varphi(x))\)的最小正周期为\(T_1\)与\(T_2\)的最小公倍数，任一周期可表示为\(k\cdot T_1\cdot T_2\)（\(k\in R^+\)）。

2、内层函数为周期函数，外层函数非周期函数：

若\(g(x)\)是周期函数，周期为\(t_g\)，\(h(x)\)不是周期函数，则复合函数\(f(x)=g(h(x))\)一般不是周期函数。例如\(g(x)=\sin x\)，\(h(x)=x^2\)，则\(f(x)=\sin(x^2)\)不是周期函数。

3、内层函数非周期函数，外层函数为周期函数：

若\(g(x)\)不是周期函数，\(h(x)\)是周期函数，周期为\(t_h\)，则复合函数\(f(x)=g(h(x))\)一般不是周期函数。例如\(g(x)=x^2\)，\(h(x)=\sin x\)，则\(f(x)=(\sin x)^2\)虽然\((\sin x)^2=\frac{1 - \cos 2x}{2}\)有周期，但不能简单地根据内外层函数直接判断，需化简后再看。

4、内外层函数均为周期函数，周期存在整数倍关系：

若\(g(x)\)的周期为\(t_g\)，\(h(x)\)的周期为\(t_h\)，且存在整数\(k\)，使得\(t_h=kt_g\)，则复合函数\(f(x)=g(h(x))\)具有周期性，周期可能为\(t_h\)或\(t_g\)的整数倍。例如\(g(x)=\cos x\)，\(h(x)=2x\)，\(\cos x\)的周期为\(2\pi\)，\(2x\)的周期为\(\pi\)，\(f(x)=\cos(2x)\)的周期为\(\pi\)。

5、内外层函数均为周期函数，周期不存在整数倍关系：

若\(g(x)\)和\(h(x)\)都是周期函数，但它们的周期不存在整数倍关系，则复合函数\(f(x)=g(h(x))\)的周期性需要具体分析，可能不是周期函数，也可能存在其他复杂的周期规律。

三、特殊函数的周期性

1、常函数：常函数\(y = C\)（\(C\)为常数）是周期函数，其周期为任意非零实数。

2、正弦函数：\(y = \sin x\)是周期函数，其最小正周期为\(2\pi\)，即\(\sin(x + 2\pi)=\sin x\)对任意\(x\in R\)恒成立。

3、余弦函数：\(y = \cos x\)的最小正周期也是\(2\pi\)，\(\cos(x + 2\pi)=\cos x\)对任意\(x\in R\)恒成立。

4、正切函数：\(y = \tan x\)的周期为\(\pi\)，\(\tan(x + \pi)=\tan x\)，其定义域为\(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)。

5、狄利克雷函数：\(D(x)=\begin{cases}1, & x\in Q \\ 0, & x\in R\setminus Q\end{cases}\)，它是周期函数，任何非零有理数都是它的周期，但不存在最小正周期。

6、向下取整函数：\(y = \lfloor x\rfloor\)不是周期函数，但\(y = \lfloor x\rfloor - x\)是周期函数，周期为\(1\)。

7、向上取整函数：\(y = \lceil x\rceil\)不是周期函数，但\(y = \lceil x\rceil - x\)是周期函数，周期为\(1\)。

8、抽象函数：

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x + a)=f(x)\)，则\(y = f(x)\)是以\(a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=-f(x)\)，则\(f(x + 2a)=f((x + a)+a)=-f(x + a)=f(x)\)，所以\(y = f(x)\)是以\(2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=\frac{1}{f(x)}\)，则\(f(x + 2a)=f((x + a)+a)=\frac{1}{f(x + a)}=f(x)\)，\(y = f(x)\)是以\(2a\)为周期的周期函数。

9、锯齿波函数：\(y = x - \lfloor x\rfloor\)，周期为\(1\)，在区间\([0,1)\)内，函数图象呈锯齿状，且在每个整数点处发生跳跃。

四、周期函数的最小正周期

1. 最小正周期的定义

对于一个周期函数\(y = f(x)\)，它的周期有无数个。在所有周期中，最小的正数周期称为最小正周期。

例如，函数\(y=\sin x\)，其周期为\(2k\pi\)（\(k\in Z,k\neq0\)），其中\(2\pi\)是最小正周期。

2. 求最小正周期的方法

公式法（三角函数）

对于函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)和\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)（\(A\neq0,\omega\neq0\)），其最小正周期\(T = \frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)。

例如，对于函数\(y = 3\sin(2x +\frac{\pi}{4})\)，因为\(\omega = 2\)，所以最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\vert2\vert}=\pi\)。

对于函数\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)（\(A\neq0,\omega\neq0\)），其最小正周期\(T=\frac{\pi}{\vert\omega\vert}\)。

比如，函数\(y=\tan(3x - \frac{\pi}{6})\)，由于\(\omega = 3\)，最小正周期\(T = \frac{\pi}{\vert3\vert}=\frac{\pi}{3}\)。

定义法（抽象函数）

根据周期函数的定义，假设最小正周期为\(T\)，通过\(f(x + T)=f(x)\)来求解\(T\)。

例如，已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + a)=-f(x)\)，求其最小正周期。

由\(f(x + a)=-f(x)\)可得\(f(x + 2a)=f[(x + a)+a]=-f(x + a)=f(x)\)，所以最小正周期为\(2a\)。

图像法

画出函数的图像，观察图像重复出现的最小间隔。

例如，对于函数\(y = \vert\sin x\vert\)，画出其图像，发现它的图像是将\(y=\sin x\)位于\(x\)轴下方的部分翻折到\(x\)轴上方得到的。通过观察可知，其最小正周期为\(\pi\)，而\(y=\sin x\)的最小正周期是\(2\pi\)。

3. 特殊情况说明

不是所有周期函数都有最小正周期。

例如，狄利克雷函数\(D(x)=\left\{\begin{array}{l}1,x\in Q\\ 0,x\in R - Q\end{array}\right.\)，任意非零有理数都是它的周期，由于不存在最小的正有理数，所以狄利克雷函数没有最小正周期。

常函数\(y = C\)（\(C\)为常数）是周期函数，任意非零实数都是它的周期，没有最小正周期的说法，因为不存在最小的正实数来作为其“最小正周期”。

五、周期函数的判断方法

1. 定义法

原理：根据周期函数的定义，对于函数\(y = f(x)\)，如果存在一个非零常数\(T\)，使得当\(x\)取定义域内的每一个值时，\(f(x + T)=f(x)\)都成立，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，\(T\)是它的一个周期。

步骤：假设存在一个非零常数\(T\)。

将\(x\)替换为\(x + T\)代入函数表达式，得到\(f(x + T)\)。

化简\(f(x + T)\)，并判断是否等于\(f(x)\)。如果对于某个非零常数\(T\)，\(f(x + T)=f(x)\)恒成立，则函数是周期函数；否则不是。

示例：判断函数\(f(x)=x^2\)是否为周期函数。

假设存在非零常数\(T\)，则\(f(x + T)=(x + T)^2=x^2 + 2Tx+T^2\)。

因为\(x^2 + 2Tx+T^2\neq x^2\)（除非\(T = 0\)），所以\(f(x)=x^2\)不是周期函数。

例1：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=f(x)\)，判断函数\(f(x)\)是否为周期函数，若是，求出周期。

思路：根据周期函数的定义，已知\(f(x + 2)=f(x)\)，满足\(f(x + T)=f(x)\)的形式，所以函数\(f(x)\)是周期函数，周期\(T = 2\)。

例2：对于函数\(f(x)\)，若\(f(x + 1)-f(x)=0\)恒成立，判断其周期性。

思路：由\(f(x + 1)-f(x)=0\)可得\(f(x + 1)=f(x)\)，根据定义可知\(f(x)\)是周期函数，周期为\(1\)。

例3：已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且对任意\(x\in R\)，都有\(f(x + 3)=f(x + 1)\)，判断函数\(f(x)\)的周期性。

思路：令\(t = x + 1\)，则\(x = t - 1\)，那么\(f(t + 2)=f(t)\)，所以\(f(x)\)是周期函数，周期为\(2\)。

例4：设函数\(f(x)\)在\(R\)上满足\(f(x + 4)=f(x + 2)\)，且\(f(1)=2\)，求\(f(5)\)。

思路：由\(f(x + 4)=f(x + 2)\)可得\(f(x + 2)=f(x)\)，所以\(f(x)\)的周期为\(2\)。则\(f(5)=f(4 + 1)=f(1)=2\)。

例5：已知函数\(f(x)\)对任意实数\(x\)满足\(f(x + 6)=f(x)\)，且当\(x\in[0,3]\)时，\(f(x)=x^2\)，求\(f(9)\)。

思路：因为\(f(x + 6)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(6\)。则\(f(9)=f(6 + 3)=f(3)=3^2=9\)。

2. 公式法（针对三角函数）

原理：对于三角函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)和\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)（\(A\neq0\)，\(\omega\neq0\)），其周期\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)；对于\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)（\(A\neq0\)，\(\omega\neq0\)），其周期\(T=\frac{\pi}{\vert\omega\vert}\)。

步骤：对于给定的三角函数，确定其\(\omega\)的值。根据相应的周期公式计算周期。

示例：判断函数\(y = 3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)是否为周期函数，若是，求出周期。

这里\(\omega = 2\)，根据公式\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，可得\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，所以该函数是周期函数，周期为\(\pi\)。

例1：求函数\(y = 3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1\)的周期。

思路：对于\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)，周期公式为\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，这里\(\omega = 2\)，所以周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

例2：求函数\(y = 2\cos(3x-\frac{\pi}{4})\)的周期。

思路：对于\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)，周期公式为\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，这里\(\omega = 3\)，所以周期\(T=\frac{2\pi}{3}\)。

例3：求函数\(y = \tan(4x+\frac{\pi}{6})\)的周期。

思路：对于\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)，周期公式为\(T=\frac{\pi}{\vert\omega\vert}\)，这里\(\omega = 4\)，所以周期\(T=\frac{\pi}{4}\)。

例4：已知函数\(y = 5\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})\)的周期为\(2\pi\)，求\(\omega\)的值。

思路：由\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)的周期公式\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，已知\(T = 2\pi\)，可得\(\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}=2\pi\)，解得\(\omega=\pm1\)。

例5：函数\(y = \sin^2x\)可以化为\(y=\frac{1 - \cos2x}{2}\)，求其周期。

思路：对于\(y=\frac{1 - \cos2x}{2}\)，其中\(\cos2x\)的周期为\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，所以\(y = \sin^2x\)的周期为\(\pi\)。

3. 图像法

原理：如果函数的图像能够在水平方向上通过平移一定的距离后完全重合，那么该函数是周期函数，平移的距离就是函数的周期。

步骤：绘制函数的图像（可以通过手绘或者利用软件绘图）。观察图像是否具有重复性，即是否能找到一个水平距离\(T\)，使得图像在平移\(T\)个单位后与原图像重合。

示例：判断函数\(y=\vert\sin x\vert\)是否为周期函数。

画出\(y = \sin x\)的图像，然后将\(y=\sin x\)图像位于\(x\)轴下方的部分翻折到\(x\)轴上方得到\(y=\vert\sin x\vert\)的图像。

可以观察到图像每隔\(\pi\)个单位就会重复，所以\(y=\vert\sin x\vert\)是周期函数，周期为\(\pi\)。

4. 常见的抽象函数周期结论

若\(f(x + a)=f(x)\)，则\(y = f(x)\)是以\(T = a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=-f(x)\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)），则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=f(x-a)\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=-\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 4a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=\frac{1 + f(x)}{1 - f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 4a\)为周期的周期函数。

步骤：观察函数所满足的条件，看是否符合已知的周期结论形式。根据相应结论判断函数是否为周期函数并求出周期。

示例：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=-f(x)\)，判断函数是否为周期函数。

因为\(f(x + 2)=-f(x)\)，根据结论可知\(f(x + 4)=f[(x + 2)+2]=-f(x + 2)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)是周期函数，周期为\(4\)。

例1：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 3)=-f(x)\)，求函数\(f(x)\)的周期。

思路：因为\(f(x + 3)=-f(x)\)，则\(f(x + 6)=f[(x + 3)+3]=-f(x + 3)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(6\)。

例2：若函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)），求函数\(f(x)\)的周期。

思路：由\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)可得\(f(x + 4)=f[(x + 2)+2]=\frac{1}{f(x + 2)}=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。

例3：已知函数\(f(x)\)的图象关于直线\(x = 1\)和\(x = 3\)对称，求函数\(f(x)\)的周期。

思路：因为函数\(f(x)\)的图象关于直线\(x = 1\)和\(x = 3\)对称，根据函数对称性与周期性的关系，可得周期\(T = 2\vert1 - 3\vert=4\)。

例4：若函数\(f(x)\)满足\(f(x + 4)=f(x - 2)\)，求函数\(f(x)\)的周期。

思路：令\(t = x - 2\)，则\(x = t + 2\)，那么\(f(t + 6)=f(t)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(6\)。

例5：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，求函数\(f(x)\)的周期。

思路：由\(f(x + 2)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)可得\(f(x + 4)=f[(x + 2)+2]=\frac{1 - f(x + 2)}{1 + f(x + 2)}=\frac{1 - \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}{1 + \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。

5. 递推法（针对抽象函数）

原理：通过对函数的递推关系进行多次迭代，看是否能找到周期规律。

步骤：根据已知的函数关系，如\(f(x + a)\)与\(f(x)\)的关系，进行多次迭代。观察迭代后的结果是否出现\(f(x + nT)=f(x)\)（\(n\)为正整数，\(T\)为周期）的形式。

示例：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 1)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，判断函数是否为周期函数。

计算\(f(x + 2)=f[(x + 1)+1]=\frac{1 - f(x + 1)}{1 + f(x + 1)}\)，将\(f(x + 1)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)代入可得\(f(x + 2)=\frac{1-\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}{1+\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)是周期函数，周期为\(2\)。

例1：判断函数\(y = f(x)= \cos 2x\)的周期

解：根据三角函数周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（对于\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)），这里\(\omega = 2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

验证：\(f(x+\pi)=\cos(2(x + \pi))=\cos(2x + 2\pi)=\cos 2x=f(x)\)，所以函数\(y=\cos 2x\)的周期是\(\pi\)。

例2：判断函数\(y = f(x)=\sin^2x\)是否为周期函数，若是，求其周期

解：因为\(\sin^{2}x=\frac{1 - \cos 2x}{2}\)，而\(y=\cos 2x\)的周期是\(\pi\)，所以\(y = f(x)=\sin^{2}x\)是周期函数，周期为\(\pi\)。

验证：\(f(x+\pi)=\sin^{2}(x+\pi)=[\sin(x + \pi)]^{2}=(-\sin x)^{2}=\sin^{2}x=f(x)\)。

例3：已知函数\(y = f(x)\)是周期为\(2\)的周期函数，且当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^{2}\)，求\(f(5)\)的值

解：因为函数\(y = f(x)\)的周期是\(2\)，所以\(f(5)=f(2\times2 + 1)=f(1)\)。

当\(x = 1\)时，\(f(1)=1^{2}=1\)，所以\(f(5)=1\)。

例4：判断函数\(y = f(x)=x\cos x\)是否为周期函数

解：假设\(y = f(x)=x\cos x\)是周期函数，设周期为\(T\neq0\)，则\(f(x + T)=(x + T)\cos(x + T)=x\cos x=f(x)\)。

令\(x = 0\)，则\(T\cos T = 0\)；令\(x=\frac{\pi}{2}\)，\((\frac{\pi}{2}+T)\cos(\frac{\pi}{2}+T)=\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}\)，即\(-(\frac{\pi}{2}+T)\sin T = 0\)。

由\(T\cos T = 0\)得\(T=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\)，代入\(-(\frac{\pi}{2}+T)\sin T = 0\)不恒成立，所以\(y = x\cos x\)不是周期函数。

例5：函数\(y = f(x)\)满足\(f(x + 3)=\frac{1}{f(x)}\)，求证：函数\(y = f(x)\)是周期函数，并求其周期

解：因为\(f(x + 3)=\frac{1}{f(x)}\)，所以\(f(x + 6)=f((x + 3)+3)=\frac{1}{f(x + 3)}=\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}=f(x)\)。

所以函数\(y = f(x)\)是周期函数，周期为\(6\)。

例6：已知函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)和\(x = b(a\neq b)\)对称，求证：函数\(y = f(x)\)是周期函数，并求其周期

解：因为函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称，则\(f(a + x)=f(a - x)\)，令\(x=a - x\)，得\(f(x)=f(2a - x)\)。

又因为函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = b\)对称，则\(f(b + x)=f(b - x)\)，令\(x = b - x\)，得\(f(x)=f(2b - x)\)。

所以\(f(2a - x)=f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，\(f(t)=f(t + 2(b - a))\)。

所以函数\(y = f(x)\)是周期函数，周期\(T = 2|b - a|\)。

例7：求函数\(y=\tan(2x-\frac{\pi}{4})\)的周期

解：对于函数\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)，其周期\(T=\frac{\pi}{\omega}\)，这里\(\omega = 2\)，所以\(T=\frac{\pi}{2}\)。

验证：\(y=\tan(2(x+\frac{\pi}{2})-\frac{\pi}{4})=\tan(2x + \pi-\frac{\pi}{4})=\tan(2x-\frac{\pi}{4})\)。

例8：设函数\(y = f(x)\)是定义在\(R\)上的周期为\(2\)的偶函数，当\(x\in[0,1]\)时，\(f(x)=x + 1\)，求\(f(\frac{3}{2})\)的值

解：因为函数\(y = f(x)\)的周期是\(2\)，所以\(f(\frac{3}{2})=f(\frac{3}{2}-2)=f(-\frac{1}{2})\)。

又因为函数\(y = f(x)\)是偶函数，所以\(f(-\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})\)。

当\(x=\frac{1}{2}\)时，\(f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\)，所以\(f(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}\)。

例9：已知函数\(y = f(x)\)满足\(f(x + 1)= - f(x)\)，且\(f(1)=2\)，求\(f(99)\)的值

解：因为\(f(x + 1)= - f(x)\)，所以\(f(x + 2)=f((x + 1)+1)= - f(x + 1)=f(x)\)。

所以函数\(y = f(x)\)是周期为\(2\)的周期函数。

因为\(99 = 2\times49+1\)，所以\(f(99)=f(1)=2\)。

例10：判断函数\(y = f(x)=|\tan x|\)的周期

解：因为\(y = \tan x\)的周期是\(\pi\)，\(y = |\tan x|\)的图象是将\(y=\tan x\)图象中\(x\)轴下方部分翻折到\(x\)轴上方。

对于\(y = |\tan(x+\pi)|=|\tan x|\)，所以\(y = |\tan x|\)的周期是\(\pi\)。

验证：当\(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)时，\(\tan x\)在\((-\frac{\pi}{2},0)\)上小于\(0\)，在\((0,\frac{\pi}{2})\)上大于\(0\)，\(y = |\tan x|\)的图象在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上关于\(x = 0\)对称，且每隔\(\pi\)重复一次，所以周期为\(\pi\)。