三角函数 05 加权同角三角函数和相结合的辅助角公式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

辅助角公式是三角函数中非常重要的一个公式，在化简三角函数表达式、求解三角函数的最值、周期等问题时经常会用到。以下是辅助角公式的相关内容：

公式内容

\(a\sin x + b\cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(x +\varphi)\)，其中\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)。

推导过程

根据两角和的正弦公式\(\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\)，将\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(x +\varphi)\)展开可得：

\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\varphi\sin x+\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\varphi\cos x\)。

令\(a = \sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos\varphi\)，\(b=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin\varphi\)，则\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)，所以\(a\sin x + b\cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(x +\varphi)\)。

应用举例

化简\(3\sin x + 4\cos x\)。

根据辅助角公式，\(a = 3\)，\(b = 4\)，则\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)，\(\tan\varphi=\frac{4}{3}\)，可取\(\varphi=\arctan\frac{4}{3}\)，所以\(3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x+\arctan\frac{4}{3})\)。

拓展

公式也可变形为\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cos(x-\theta)\)，其中\(\tan\theta=\frac{a}{b}\)。

对于\(a\sin\omega x + b\cos\omega x\)，同样有\(a\sin\omega x + b\cos\omega x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\omega x +\varphi)\)，\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)，在处理三角函数的周期、频率等问题时，可先利用辅助角公式进行化简，再根据三角函数的性质求解。

辅助角公式为解决三角函数相关问题提供了一种有效的方法，通过将含有正弦和余弦的表达式转化为一个单一的三角函数，能使问题更加易于处理和分析。

例01：化简\(3\sin x + 3\cos x\)

答案：\(3\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)

解析：根据辅助角公式，\(a = 3\)，\(b = 3\)，\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}\)，\(\tan\varphi=\frac{b}{a}=1\)，则\(\varphi=\frac{\pi}{4}\)，所以\(3\sin x + 3\cos x=3\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)。

例02：求函数\(y = 4\sin x - 3\cos x\)的最大值和最小值

答案：最大值为\(5\)，最小值为\(-5\)

解析：\(a = 4\)，\(b=-3\)，\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5\)，\(\tan\varphi=-\frac{3}{4}\)，则\(y = 5\sin(x+\varphi)\)，所以最大值为\(5\)，最小值为\(-5\)。

例03：化简\(\sqrt{3}\sin2x+\cos2x\)

答案：\(2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)

解析：\(a=\sqrt{3}\)，\(b = 1\)，\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2\)，\(\tan\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)，即\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)，所以\(\sqrt{3}\sin2x+\cos2x=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)。

例04：求函数\(y = 2\sin(x-\frac{\pi}{3})+2\cos(x-\frac{\pi}{3})\)的最小正周期

答案：\(2\pi\)

解析：将原式变形为\(y = 2\sqrt{2}[\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x-\frac{\pi}{3})+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x-\frac{\pi}{3})]=2\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})=2\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{12})\)，最小正周期\(T = 2\pi\)。

例05：化简\(\sin x-\sqrt{3}\cos x\)

答案：\(2\sin(x-\frac{\pi}{3})\)

解析：\(a = 1\)，\(b=-\sqrt{3}\)，\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2\)，\(\tan\varphi=-\sqrt{3}\)，可得\(\varphi=-\frac{\pi}{3}\)，所以\(\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\sin(x-\frac{\pi}{3})\)。

例06：求函数\(y = 5\sin3x + 12\cos3x\)的最大值及取得最大值时\(x\)的值

答案：最大值为\(13\)，当\(3x+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，即\(x=\frac{2k\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-\frac{\varphi}{3}(k\in Z)\)时取得最大值，其中\(\tan\varphi=\frac{12}{5}\)

解析：\(\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13\)，\(y = 13\sin(3x+\varphi)\)，当\(\sin(3x+\varphi)=1\)时，\(y\)取最大值\(13\)，此时\(3x+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，进而可求出\(x\)的值。

例07：化简\(3\sin(\frac{\pi}{2}-x)+4\cos(\frac{\pi}{2}-x)\)

答案：\(5\sin(\frac{\pi}{2}-x+\varphi)\)，其中\(\tan\varphi=\frac{4}{3}\)

解析：\(a = 3\)，\(b = 4\)，\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5\)，\(\tan\varphi=\frac{4}{3}\)，根据辅助角公式可得\(3\sin(\frac{\pi}{2}-x)+4\cos(\frac{\pi}{2}-x)=5\sin(\frac{\pi}{2}-x+\varphi)\)。

例08：求函数\(y=\sin x+\cos x\)在\([0,2\pi]\)上的单调递增区间

答案：\([0,\frac{\pi}{4}]\)和\([\frac{5\pi}{4},2\pi]\)

解析：\(y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)，令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq x+\frac{\pi}{4}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，解得\(2k\pi-\frac{3\pi}{4}\leq x\leq2k\pi+\frac{\pi}{4}(k\in Z)\)，当\(k = 0\)时，在\([0,2\pi]\)上的单调递增区间为\([0,\frac{\pi}{4}]\)和\([\frac{5\pi}{4},2\pi]\)。

例09：已知\(f(x)=\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x\)，求\(f(x)\)的对称轴方程

答案：\(x = k\pi+\frac{\pi}{4}(k\in Z)\)

解析：\(f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{4})\)，令\(x+\frac{\pi}{4}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)，解得\(x = k\pi+\frac{\pi}{4}(k\in Z)\)，即为对称轴方程。

例10：化简\(\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sqrt{3}\cos(x+\frac{\pi}{6})\)

答案：\(2\sin(x+\frac{\pi}{2})\)

解析：\(a = 1\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2\)，\(\tan\varphi=\sqrt{3}\)，则\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)，所以\(\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sqrt{3}\cos(x+\frac{\pi}{6})=2\sin(x+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=2\sin(x+\frac{\pi}{2})\)。