三角函数 05 弧度制下弧长公式与扇形面积公式

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弧度制 - 度量角的单位制

1. 弧度制的定义

弧度制是另一种度量角的单位制。长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号“rad”表示。

假设圆的半径为\(r\)，弧长为\(l\)，那么该弧所对的圆心角\(\alpha\)（弧度）的大小为\(\alpha=\frac{l}{r}\)。例如，在半径为\(1\)的圆中，弧长为\(1\)的弧所对的圆心角就是\(1\)弧度。

2. 弧度与角度的换算

角度转弧度：因为\(180^{\circ}=\pi\ rad\)，所以\(1^{\circ}=\frac{\pi}{180}\ rad\)。例如，将\(30^{\circ}\)换算为弧度，计算过程为\(30^{\circ}\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}\ rad\)。

弧度转角度：\(1\ rad = (\frac{180}{\pi})^{\circ}\)。比如，将\(\frac{\pi}{3}\ rad\)换算为角度，计算过程为\(\frac{\pi}{3}\times\frac{180}{\pi}=60^{\circ}\)。

3. 弧长公式

公式内容：在半径为\(r\)的圆中，圆心角\(n^{\circ}\)所对的弧长\(l\)的计算公式为\(l=\frac{n\pi r}{180}\)（角度制）；若圆心角为\(\alpha\)弧度，弧长公式为\(l = r\alpha\)（弧度制）。

推导过程（角度制）：圆的周长\(C = 2\pi r\)，整个圆周对应的圆心角是\(360^{\circ}\)。当圆心角为\(n^{\circ}\)时，它所对应的弧长占整个圆周长的比例为\(\frac{n}{360}\)，所以弧长\(l=\frac{n}{360}\times2\pi r=\frac{n\pi r}{180}\)。

推导过程（弧度制）：根据弧度制的定义，长度等于半径长的弧所对的圆心角为\(1\)弧度。那么圆心角\(\alpha\)弧度所对应的弧长\(l\)与半径\(r\)的关系就是\(l = r\alpha\)。

应用示例：

例1（角度制）：已知圆的半径\(r = 5cm\)，圆心角\(n = 60^{\circ}\)，求弧长。根据弧长公式\(l=\frac{n\pi r}{180}\)，将\(r = 5\)，\(n = 60\)代入可得\(l=\frac{60\pi\times5}{180}=\frac{5\pi}{3}cm\)。

例2（弧度制）：在半径为\(4\)的圆中，圆心角\(\alpha=\frac{\pi}{3}\)，求弧长。由弧长公式\(l = r\alpha\)，将\(r = 4\)，\(\alpha=\frac{\pi}{3}\)代入得\(l = 4\times\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\)。

4. 扇形面积公式

公式内容：在半径为\(r\)的圆中，圆心角为\(n^{\circ}\)的扇形面积\(S\)的计算公式为\(S=\frac{n\pi r^{2}}{360}\)（角度制）；若圆心角为\(\alpha\)弧度，扇形面积公式为\(S=\frac{1}{2}r^{2}\alpha\)（弧度制）。

推导过程（角度制）：圆的面积\(A=\pi r^{2}\)，扇形的圆心角为\(n^{\circ}\)，它占整个圆面积的比例为\(\frac{n}{360}\)，所以扇形面积\(S=\frac{n}{360}\times\pi r^{2}=\frac{n\pi r^{2}}{360}\)。

推导过程（弧度制）：由弧长公式\(l = r\alpha\)，扇形面积可以看作是三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}ah\)（\(a\)为底，\(h\)为高）的推广。把扇形的弧长\(l\)看作底，半径\(r\)看作高，那么扇形面积\(S=\frac{1}{2}lr\)，再将\(l = r\alpha\)代入，就得到\(S=\frac{1}{2}r^{2}\alpha\)。

应用示例：

例1（角度制）：圆的半径\(r = 6\)，圆心角\(n = 90^{\circ}\)，求扇形面积。根据公式\(S=\frac{n\pi r^{2}}{360}\)，将\(r = 6\)，\(n = 90\)代入可得\(S=\frac{90\pi\times6^{2}}{360}=9\pi\)。

例2（弧度制）：半径为\(3\)，圆心角\(\alpha=\frac{2\pi}{3}\)的扇形，求其面积。由公式\(S=\frac{1}{2}r^{2}\alpha\)，将\(r = 3\)，\(\alpha=\frac{2\pi}{3}\)代入得\(S=\frac{1}{2}\times3^{2}\times\frac{2\pi}{3}=3\pi\)。