平面向量 06 向量加法：三角形、平行四边形法则、运算律

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1. 向量加法的定义

向量加法是一种运算，它将两个向量合并为一个新的向量。设\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)是两个向量，它们的和\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)也是一个向量。规定：\(\overrightarrow{0}\)+\(\overrightarrow{a}\)=\(\overrightarrow{a}\)+\(\overrightarrow{0}\)=\(\overrightarrow{a}\)

2. 三角形法则

几何描述：

首先画出向量\(\overrightarrow{a}\)，然后将向量\(\overrightarrow{b}\)的起点平移到向量\(\overrightarrow{a}\)的终点。此时，从\(\overrightarrow{a}\)的起点指向\(\overrightarrow{b}\)的终点的向量就是\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。例如，在平面中有一个从点\(A\)到点\(B\)的向量\(\overrightarrow{AB}\)（即\(\overrightarrow{a}\)），还有一个从点\(B\)到点\(C\)的向量\(\overrightarrow{BC}\)（即\(\overrightarrow{b}\)），那么按照三角形法则，\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。

举例说明：

假设在平面直角坐标系中，\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1, - 2)\)。我们先画出向量\(\overrightarrow{a}\)，其起点可以设为原点\((0,0)\)，终点为\((2,3)\)。然后将向量\(\overrightarrow{b}\)的起点平移到\((2,3)\)，此时\(\overrightarrow{b}\)的终点坐标为\((2 + 1,3 - 2)=(3,1)\)。所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3,1)\)。

物理意义：

可以用来表示位移的合成。例如，一个物体先向东移动了\(3\)米（可以用一个向量表示这个位移），然后再向北移动了\(4\)米（用另一个向量表示），那么这两个位移向量的和就是物体从初始位置到最终位置的合位移向量，其大小和方向可以通过计算得到。

3. 平行四边形法则

几何描述：

对于两个向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，以同一点\(O\)为起点作这两个向量。以\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)为邻边作平行四边形，那么从点\(O\)出发的平行四边形的对角线所对应的向量就是\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。

举例说明：

设\(\overrightarrow{a}=(3,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,3)\)。以原点\((0,0)\)为起点作这两个向量，然后以它们为邻边作平行四边形。可以发现从原点出发的对角线向量的终点坐标为\((3 + 0,0 + 3)=(3,3)\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3,3)\)。

物理意义：

常用于力的合成。例如，有两个力作用在一个物体上，一个力水平向右大小为\(5N\)（用向量表示），另一个力垂直向上大小为\(3N\)（用另一个向量表示），通过平行四边形法则可以求出这两个力的合力向量，其大小和方向能帮助我们分析物体的受力情况。

4. 向量加法的运算律

交换律：

对于任意向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)。

从几何角度看，无论是按照三角形法则还是平行四边形法则，交换两个向量相加的顺序，最终得到的合向量是相同的。

例如，对于上述的向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)和\(\overrightarrow{b}=(1, - 2)\)，\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=(1, - 2)+(2,3)=(1 + 2,-2 + 3)=(3,1)\)，与\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)的结果相同。

结合律：

对于任意向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)和\(\overrightarrow{c}\)，\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。

这可以通过连续使用三角形法则来理解。

例如，设\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(2, - 1)\)，\(\overrightarrow{c}=( - 1,2)\)。

先计算\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1 + 2,1 - 1)=(3,0)\)

\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=(3,0)+( - 1,2)=(3 - 1,0 + 2)=(2,2)\)；

再计算\(\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)

\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(2 - 1,-1 + 2)=(1,1)\)

\(\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=(1,1)+(1,1)=(1 + 1,1 + 1)=(2,2)\)，结果相同。

1. 多边形法则（三角形法则的推广）

原理：

当有多个向量\(\overrightarrow{a}_{1},\overrightarrow{a}_{2},\overrightarrow{a}_{3},\cdots,\overrightarrow{a}_{n}\)相加时，将这些向量依次首尾相连，即把\(\overrightarrow{a}_{2}\)的起点放在\(\overrightarrow{a}_{1}\)的终点，\(\overrightarrow{a}_{3}\)的起点放在\(\overrightarrow{a}_{2}\)的终点，以此类推。最后，从第一个向量\(\overrightarrow{a}_{1}\)的起点指向最后一个向量\(\overrightarrow{a}_{n}\)的终点的向量就是这些向量的和\(\overrightarrow{a}_{1}+\overrightarrow{a}_{2}+\overrightarrow{a}_{3}+\cdots+\overrightarrow{a}_{n}\)。这是三角形法则在多个向量相加情况下的扩展。

举例：

设有向量\(\overrightarrow{a}=(1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,1)\)，\(\overrightarrow{c}=(-1, - 1)\)。先将\(\overrightarrow{a}\)的起点放在原点，终点为\((1,0)\)，然后把\(\overrightarrow{b}\)的起点放在\(\overrightarrow{a}\)的终点\((1,0)\)，此时\(\overrightarrow{b}\)的终点为\((1,1)\)，再把\(\overrightarrow{c}\)的起点放在\(\overrightarrow{b}\)的终点\((1,1)\)，\(\overrightarrow{c}\)的终点为\((0,0)\)。所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(0,0)\)，从几何意义上看，这些向量依次连接后形成了一个封闭的多边形。

2. 利用向量加法的运算律逐步相加

交换律和结合律的运用：

根据向量加法的交换律\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)和结合律\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)，可以对多个向量进行重新组合相加。例如，对于向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=( - 1,2)\)，\(\overrightarrow{c}=(3, - 1)\)，计算\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)。

可以先利用交换律将\(\overrightarrow{c}\)与\(\overrightarrow{a}\)相加，即\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}\)。

计算\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=(2 + 3,3 - 1)=(5,2)\)。

再计算\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})+\overrightarrow{b}=(5,2)+( - 1,2)=(5 - 1,2 + 2)=(4,4)\)。

3. 坐标表示下的多个向量相加

原理：

如果向量\(\overrightarrow{a}_{i}=(x_{i},y_{i})\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），那么\(\overrightarrow{a}_{1}+\overrightarrow{a}_{2}+\cdots+\overrightarrow{a}_{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n},y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n})\)。这是因为向量加法在坐标形式下，就是对应坐标相加。

举例：

设有向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3, - 4)\)，\(\overrightarrow{c}=( - 2,5)\)。

计算\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)，横坐标相加为\(1 + 3 - 2 = 2\)，纵坐标相加为\(2 - 4 + 5 = 3\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(2,3)\)。

4. 多个向量相加的应用场景

物理中的力的合成与位移合成：

在物理中，当一个物体受到多个力的作用时，这些力可以用向量表示。求物体所受的合力就相当于求这些表示力的向量的和。例如，一个物体同时受到水平向右大小为\(3N\)的力\(\overrightarrow{F}_{1}\)，垂直向上大小为\(4N\)的力\(\overrightarrow{F}_{2}\)和与水平方向成\(45^{\circ}\)角大小为\(5N\)的力\(\overrightarrow{F}_{3}\)，通过将这些力向量相加（可以先将它们分解为水平和垂直方向的分量，然后分别相加），就可以得到物体所受的合力向量，从而分析物体的运动状态。

对于位移也是如此，当一个物体经过多次位移后，它的总位移可以通过将每次位移对应的向量相加得到。比如，一个人先向东走了\(2\)米，再向北走了\(3\)米，最后向西走了\(1\)米，通过向量相加可以求出这个人最终相对于初始位置的位移向量。

几何图形中的向量关系应用：

在几何图形中，如多边形，各边对应的向量相加可以帮助我们研究图形的性质。例如，在一个封闭的四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)，这个结论可以用于证明四边形的一些性质，如平行四边形对边相等的向量证明（在平行四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)可以通过\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)变形得到\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}\)，又因为\(\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD}\)，所以\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)）。