解析几何 12 直线和圆的方程

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直线的方程

直线的倾斜角与斜率：

倾斜角：当直线\(l\)与\(x\)轴相交时，取\(x\)轴作为基准，\(x\)轴正向与直线\(l\)向上方向之间所成的角\(\alpha\)叫做直线\(l\)的倾斜角。倾斜角的取值范围是\([0, \pi)\)。

斜率：一条直线的倾斜角\(\alpha\)（\(\alpha\neq\frac{\pi}{2}\)）的正切值叫做这条直线的斜率，常用\(k\)表示，即\(k = \tan\alpha\)。经过两点\(P_1(x_1, y_1)\)，\(P_2(x_2, y_2)\)（\(x_1\neq x_2\)）的直线的斜率公式为\(k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)。

直线方程的几种形式：

点斜式：已知直线上一点\(P(x_0, y_0)\)并且存在直线的斜率\(k\)，则直线可表示为\(y - y_0 = k(x - x_0)\)。

斜截式：直线的斜率为\(k\)，且与\(y\)轴的交点为\((0, b)\)，则直线方程为\(y = kx + b\)，其中\(b\)为直线在\(y\)轴上的截距。

两点式：已知直线上两点\(P_1(x_1, y_1)\)，\(P_2(x_2, y_2)\)（\(x_1\neq x_2\)，\(y_1\neq y_2\)），则直线方程为\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)。

截距式：直线在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(a\)、\(b\)（\(a\neq0\)，\(b\neq0\)），则直线方程为\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)。

一般式：任何直线都可以写成\(Ax + By + C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）的形式，称为直线的一般式方程。

直线的位置关系

平行：两条不重合的直线\(l_1\)：\(y = k_1x + b_1\)，\(l_2\)：\(y = k_2x + b_2\)，当\(k_1 = k_2\)且\(b_1\neq b_2\)时，\(l_1\parallel l_2\)；对于直线\(l_1\)：\(A_1x + B_1y + C_1 = 0\)，\(l_2\)：\(A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，当\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)时，\(l_1\parallel l_2\)。

垂直：两条直线\(l_1\)：\(y = k_1x + b_1\)，\(l_2\)：\(y = k_2x + b_2\)，当\(k_1k_2=-1\)时，\(l_1\perp l_2\)；对于直线\(l_1\)：\(A_1x + B_1y + C_1 = 0\)，\(l_2\)：\(A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，当\(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)时，\(l_1\perp l_2\)。