解析几何 12 平面直线方程、直线系方程

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一、点斜式：\(y - y_0=k(x - x_0)\)

1. 点斜式的定义

如果一条直线经过点\(P(x_0,y_0)\)，且其斜率为\(k\)，那么该直线的点斜式方程为\(y - y_0 = k(x - x_0)\)。

例如，已知直线经过点\((1,2)\)，斜率为\(3\)，根据点斜式方程可得\(y - 2 = 3(x - 1)\)，进一步化简为\(y = 3x - 1\)。

2. 点斜式的推导过程

设直线\(l\)上任意一点\(Q(x,y)\)，根据斜率的定义\(k=\frac{y - y_0}{x - x_0}\)（\(x\neq x_0\)），将其变形就可以得到点斜式方程\(y - y_0 = k(x - x_0)\)。

3. 点斜式的几何意义

从几何角度看，点斜式方程表示的直线是经过定点\((x_0,y_0)\)，并且沿着斜率\(k\)所确定的“方向”延伸的直线。斜率\(k\)决定了直线的倾斜程度，\(k=\tan\alpha\)，其中\(\alpha\)是直线的倾斜角（\(\alpha\in[0,\pi)\)）。例如，当\(k = 1\)时，\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)，直线与\(x\)轴正方向夹角为\(45^{\circ}\)，且该直线经过给定的点\((x_0,y_0)\)。

4. 点斜式的应用场景和优势

已知条件符合时使用方便：当已知直线上一点的坐标和直线的斜率时，使用点斜式可以直接写出直线方程。例如，在解析几何问题中，已知某直线过点\((-2,3)\)，且与另一条已知斜率的直线平行（两直线平行斜率相等），就可以迅速用点斜式写出该直线方程。

在求切线方程等问题中有优势：在函数图像上某一点处求切线方程时，通常先求出函数在该点处的导数（切线斜率），再结合该点坐标，用点斜式写出切线方程。例如，对于函数\(y = x^{2}\)，在点\((1,1)\)处，先求导得\(y^{\prime}=2x\)，当\(x = 1\)时，斜率\(k = 2\)，则切线方程为\(y - 1 = 2(x - 1)\)。

5. 点斜式的局限性

当直线的斜率不存在时（即直线垂直于\(x\)轴），点斜式方程不能直接使用。因为此时\(\frac{y - y_0}{x - x_0}\)中的分母\(x - x_0 = 0\)，斜率无法用常规方式表示。对于垂直于\(x\)轴的直线，其方程为\(x = x_0\)，例如直线过点\((3,0)\)且垂直于\(x\)轴，直线方程为\(x = 3\)。

二、斜截式：\(y = kx + b\)

1. 斜截式的定义

如果直线\(l\)的斜率为\(k\)，且与\(y\)轴的交点为\((0,b)\)（\(b\)称为直线\(l\)在\(y\)轴上的截距），那么直线\(l\)的斜截式方程为\(y = kx + b\)。

例如，若直线斜率\(k = - 2\)，\(y\)轴截距\(b = 3\)，则直线方程为\(y=-2x + 3\)。

2. 斜截式的推导过程

已知直线过点\((0,b)\)，斜率为\(k\)，根据点斜式方程\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，将\(x_0 = 0\)，\(y_0 = b\)代入可得\(y - b = k(x - 0)\)，化简后即为\(y = kx + b\)。

3. 斜截式的几何意义

从几何角度看，斜率\(k\)决定了直线的倾斜程度。当\(k>0\)时，直线向上倾斜，从左向右看是上升的；当\(k<0\)时，直线向下倾斜，从左向右看是下降的；当\(k = 0\)时，直线平行于\(x\)轴。而截距\(b\)表示直线与\(y\)轴交点的纵坐标，即直线在\(y\)轴上的位置。例如，对于直线\(y = 3x - 1\)，斜率\(k = 3\)，说明直线向上倾斜，截距\(b=-1\)，表示直线与\(y\)轴交于点\((0,-1)\)。

4. 斜截式的应用场景和优势

直观体现直线特征：斜截式方程能够很直观地展示直线的两个重要特征，即斜率和\(y\)轴截距。在分析直线的走势（上升或下降）以及与\(y\)轴的交点位置时非常方便。例如，在研究一次函数的图像性质时，通过斜截式可以直接判断函数图像的大致形状。

用于函数图像和线性模型：在函数\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)）中，它表示的是一条直线，这种形式在数学建模中经常用于表示线性关系。比如，在简单的成本 - 产量模型中，\(y\)可能表示成本，\(x\)表示产量，\(k\)表示单位产量的成本变化率，\(b\)表示固定成本。

5. 斜截式的局限性

当直线的斜率不存在（即直线垂直于\(x\)轴）时，斜截式方程不能表示这样的直线。因为垂直于\(x\)轴的直线方程为\(x = c\)（\(c\)为常数），其斜率无法用一个实数\(k\)来表示，也就不能写成\(y = kx + b\)的形式。

三、两点式：\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)

1. 两点式的定义

若直线\(l\)经过两点\(P(x_1,y_1)\)和\(Q(x_2,y_2)\)（\(x_1\neq x_2\)且\(y_1\neq y_2\)），则直线\(l\)的两点式方程为\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)。

例如，已知直线经过点\((1,3)\)和\((2,5)\)，则两点式方程为\(\frac{y - 3}{5 - 3}=\frac{x - 1}{2 - 1}\)，化简后可得\(y = 2x + 1\)。

2. 两点式的推导过程

设直线\(l\)上任意一点\(M(x,y)\)，因为直线上任意两点间的斜率相等。根据斜率公式，过点\(P(x_1,y_1)\)和\(M(x,y)\)的直线斜率为\(\frac{y - y_1}{x - x_1}\)，过点\(P(x_1,y_1)\)和\(Q(x_2,y_2)\)的直线斜率为\(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)，所以\(\frac{y - y_1}{x - x_1}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)，交叉相乘后就得到两点式方程。

3. 两点式的几何意义

从几何角度看，两点式方程体现了“两点确定一条直线”的几何原理。它通过直线上的两个已知点来确定直线的位置和走向。例如，在平面直角坐标系中，给定两个不同的点，两点式方程就能准确地描述通过这两点的直线。

4. 两点式的应用场景和优势

已知两点求直线方程：当明确知道直线上的两个点的坐标时，两点式方程可以直接用来确定直线方程，不需要先求出直线的斜率和截距等其他参数。这在几何问题、数据拟合（当给定两个数据点来拟合直线时）等场景中非常有用。

求解直线交点问题：在求两条直线的交点时，如果两条直线的方程分别是两点式，通过联立两个两点式方程，可以求解交点坐标。例如，已知直线\(l_1\)经过点\(A(1,2)\)和\(B(3,4)\)，直线\(l_2\)经过点\(C(2,3)\)和\(D(4,5)\)，分别写出它们的两点式方程，然后联立方程组求解，就可以得到两直线交点坐标。

5. 两点式的局限性

当\(x_1 = x_2\)（即直线垂直于\(x\)轴）时，两点式方程中的\(\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)分母为\(0\)，此时不能直接使用两点式方程。此时直线方程为\(x = x_1\)。同样，当\(y_1 = y_2\)（即直线平行于\(x\)轴）时，\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\)分母为\(0\)，也不能直接使用，此时直线方程为\(y = y_1\)。

四、截距式：\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)

1. 截距式的定义

若直线\(l\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(a(a\neq0)\)、\(b(b\neq0)\)，则直线\(l\)的截距式方程为\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)。

例如，直线在\(x\)轴截距为\(3\)，在\(y\)轴截距为\(4\)，则直线方程为\(\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1\)，整理可得\(4x + 3y = 12\)。

2. 截距式的推导过程

因为直线在\(x\)轴上的截距为\(a\)，所以直线过点\((a,0)\)；在\(y\)轴上的截距为\(b\)，所以直线过点\((0,b)\)。将这两点代入两点式方程\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)，即\(\frac{y - 0}{b - 0}=\frac{x - a}{0 - a}\)，化简后就得到截距式方程\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)。

3. 截距式的几何意义

从几何角度看，截距式方程直观地表示了直线与\(x\)轴和\(y\)轴的交点情况。\(a\)是直线与\(x\)轴交点的横坐标（\(x\)轴截距），\(b\)是直线与\(y\)轴交点的纵坐标（\(y\)轴截距）。它可以帮助我们快速地画出直线的大致位置，只要确定在两个坐标轴上的截距，就可以确定直线的位置。

4. 截距式的应用场景和优势

方便描述与坐标轴有截距的直线：在实际问题中，当我们关注直线与坐标轴的截距关系时，截距式非常有用。例如，在经济学中，成本 - 收益模型可能会用到截距式。如果\(x\)轴表示产量，\(y\)轴表示利润，直线的截距可能代表固定成本或无产量时的利润情况等。

求解三角形相关问题：对于由直线与坐标轴围成的三角形，截距式可以方便地求出三角形的面积。三角形面积\(S=\frac{1}{2}\times|a|\times|b|\)，其中\(a\)和\(b\)是直线在\(x\)轴和\(y\)轴上的截距。

5. 截距式的局限性

当直线过原点\((0,0)\)时，即\(a = 0\)或\(b = 0\)，截距式方程不能使用。因为此时直线在坐标轴上的截距为\(0\)，不满足截距式方程的定义条件。另外，当直线平行于坐标轴时，也不能用截距式方程来表示，如垂直于\(x\)轴的直线（\(x = c\)，\(c\neq0\)），它在\(y\)轴上没有截距（或者说截距不存在）。

五、一般式：\(Ax + By + C = 0\)

1. 一般式的定义

平面直线的一般式方程是\(Ax + By + C =0\)，其中\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)。例如，直线方程\(2x - 3y + 4 = 0\)就是一般式方程。

2. 一般式与其他形式的关系

从其他形式转化而来：

点斜式：点斜式方程\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，展开可得\(y - y_0=kx - kx_0\)，移项后变为\(kx - y - kx_0 + y_0 = 0\)，这就是一般式方程。例如，点斜式\(y - 2 = 3(x - 1)\)，展开得到\(y - 2 = 3x - 3\)，移项后为\(3x - y - 3 + 2 = 0\)，即\(3x - y - 1 = 0\)。

斜截式：斜截式方程\(y = kx + b\)移项可得\(kx - y + b = 0\)。如斜截式\(y = 2x + 3\)，移项后为\(2x - y + 3 = 0\)，成为一般式。

两点式：对于两点式\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)，通过交叉相乘展开并整理可以得到一般式。例如，两点式\(\frac{y - 3}{5 - 3}=\frac{x - 1}{2 - 1}\)，交叉相乘得到\((y - 3)\times1=(x - 1)\times2\)，展开为\(y - 3 = 2x - 2\)，移项后为\(2x - y - 2 + 3 = 0\)，即\(2x - y + 1 = 0\)。

截距式：截距式方程\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)，通分后得到\(bx+ay = ab\)，移项可得\(bx + ay - ab = 0\)。如截距式\(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1\)，通分得到\(3x + 2y = 6\)，移项后为\(3x + 2y - 6 = 0\)。

可化为其他形式（条件允许）：

当\(B\neq0\)时，一般式方程\(Ax + By + C = 0\)可以化为斜截式\(y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}\)，从而得到直线的斜率\(k = -\frac{A}{B}\)和\(y\)轴截距\(b = -\frac{C}{B}\)。

若要化为两点式或截距式等，需要根据具体的系数情况来确定是否能转化以及如何转化。例如，当\(A\)、\(B\)、\(C\)的值使得能求出直线在坐标轴上的截距或者直线上的两个点的坐标时，就可以进行相应的转化。

3. 一般式的几何意义和性质

斜率的判断（\(B\neq0\)时）：直线的斜率\(k = -\frac{A}{B}\)。通过\(A\)和\(B\)的值可以判断直线的倾斜方向。当\(A = 0\)时，直线方程变为\(By + C = 0\)，即\(y=-\frac{C}{B}\)，此时直线平行于\(x\)轴；当\(B = 0\)时，直线方程变为\(Ax + C = 0\)，即\(x = -\frac{C}{A}\)，此时直线平行于\(y\)轴。

过原点的判断：当\(C = 0\)时，直线方程为\(Ax + By = 0\)，此时直线过原点\((0,0)\)。

4. 一般式的应用场景和优势

通用性：一般式方程可以表示平面内的任意直线，无论是斜率存在或不存在的直线，还是过原点或不过原点的直线等各种情况都可以用一般式来表示。在处理直线系方程（如过两直线交点的直线系）等问题时，一般式方程能提供统一的处理方式，方便进行理论分析和计算。

判断直线间的关系：在判断两条直线\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0\)和\(l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)的位置关系（平行、垂直、相交等）时，通过比较系数可以很方便地进行判断。例如，两直线平行的充要条件是\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)；两直线垂直的充要条件是\(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)。

六、过定点\((x_0,y_0)\)的直线系方程

1、点斜式直线系方程

方程形式：\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，其中\((x_0,y_0)\)是给定的定点，\(k\)为斜率，\(k\in R\)。

推导过程：

设直线上任意一点\((x,y)\)，已知直线过定点\((x_0,y_0)\)，根据直线斜率的定义，直线的斜率\(k=\frac{y - y_0}{x - x_0}\)。

变形可得\(y - y_0 = k(x - x_0)\)。此方程表示过点\((x_0,y_0)\)且斜率为\(k\)的直线。由于\(k\)可以取任意实数，所以它表示了过定点\((x_0,y_0)\)的所有直线（其中不包括垂直于\(x\)轴的直线）。

2、一般式直线系方程

方程形式：\(A(x - x_0)+B(y - y_0)=0\)，其中\((x_0,y_0)\)为定点，\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)。

推导过程：

对于任意一条过点\((x_0,y_0)\)的直线，设其一般式方程为\(Ax + By + C = 0\)。

因为点\((x_0,y_0)\)在该直线上，所以将其代入方程可得\(Ax_0 + By_0 + C = 0\)，即\(C=-Ax_0 - By_0\)。

将\(C=-Ax_0 - By_0\)代入\(Ax + By + C = 0\)，得到\(Ax + By - Ax_0 - By_0 = 0\)，整理可得\(A(x - x_0)+B(y - y_0)=0\)。

此方程中\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)，它表示了过定点\((x_0,y_0)\)的所有直线，包括垂直于\(x\)轴和\(y\)轴的直线。

七、平行直线系方程

平行直线系方程是指具有相同斜率的一族直线的方程。

对于直线\(y = kx + b\)（其中\(k\)为斜率，\(b\)为截距），与之平行的直线系方程可表示为\(y = kx + b_{1}\)（\(b_{1}\neq b\)，\(k\)为常数且保持不变）。

若直线方程是一般式\(Ax + By + C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)），那么与之平行的直线系方程为\(Ax + By + C_{1}= 0\)（\(C_{1}\neq C\)）。

推导过程

斜截式情况：

两条直线平行，它们的斜率相等。已知直线\(y = kx + b\)，设与其平行的直线为\(l\)，斜率也为\(k\)，在\(y\)轴上的截距为\(b_{1}\)。

根据直线的斜截式方程定义，直线\(l\)的方程就是\(y = kx + b_{1}\)。由于\(b_{1}\)可以取任意实数（除了\(b\)，否则两直线重合），所以\(y = kx + b_{1}\)就表示了所有与直线\(y = kx + b\)平行的直线，即平行直线系方程。

一般式情况：

对于直线\(Ax + By + C = 0\)，其斜率\(k =-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）。

设平行直线系方程为\(Ax + By + C_{1}= 0\)（\(C_{1}\neq C\)），因为两直线\(x\)、\(y\)的系数相同，所以斜率也为\(-\frac{A}{B}\)，满足平行条件。

当\(C_{1}\)取不同的值时，就得到了不同的与直线\(Ax + By + C = 0\)平行的直线，所以\(Ax + By + C_{1}= 0\)表示了与\(Ax + By + C = 0\)平行的直线系方程。当\(B = 0\)时，直线方程为\(x = -\frac{C}{A}\)，此时平行直线系方程为\(x = -\frac{C_{1}}{A}\)，同样满足平行关系。

八、垂直直线系方程

垂直直线系方程是指与已知直线垂直的一系列直线所满足的方程形式。

垂直直线系方程：对于直线\(Ax + By + C = 0\)，与其垂直的直线系方程可设为\(Bx - Ay + D = 0\)，其中\(D\)为参数。

推导过程：

已知直线\(Ax + By + C = 0\)，其斜率\(k_1 = -\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)，若\(B = 0\)，则直线垂直于\(x\)轴，此时垂直直线系方程为\(y = d\)，\(d\)为常数，也符合上述形式）。设所求垂直直线的斜率为\(k_2\)，根据两直线垂直斜率之积为\(-1\)，可得\(k_2 = \frac{B}{A}\)。那么设垂直直线方程为\(y = \frac{B}{A}x + m\)，移项可得\(Bx - Ay + Am = 0\)，令\(D = Am\)，就得到了垂直直线系方程\(Bx - Ay + D = 0\)。

九、过两直线交点的直线系方程

设直线\(l_1\)：\(A_1x + B_1y + C_1 = 0\)，直线\(l_2\)：\(A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，它们相交于点\(P(x_0,y_0)\)，则过两直线\(l_1\)与\(l_2\)交点的直线系方程为\((A_1x + B_1y + C_1)+\lambda(A_2x + B_2y + C_2)=0\)（\(\lambda\)为参数）。

推导过程

证明直线系方程过交点：因为点\(P(x_0,y_0)\)是直线\(l_1\)与\(l_2\)的交点，所以\(\begin{cases}A_1x_0 + B_1y_0 + C_1 = 0\\A_2x_0 + B_2y_0 + C_2 = 0\end{cases}\)。

将点\(P(x_0,y_0)\)代入直线系方程\((A_1x + B_1y + C_1)+\lambda(A_2x + B_2y + C_2)=0\)的左边可得：

\((A_1x_0 + B_1y_0 + C_1)+\lambda(A_2x_0 + B_2y_0 + C_2)=0 + \lambda\times0 = 0\)。

这表明点\(P(x_0,y_0)\)在直线系方程所表示的直线上，即直线系方程过直线\(l_1\)与\(l_2\)的交点。

证明直线系方程能表示过交点的所有直线：设直线\(l\)是过直线\(l_1\)与\(l_2\)交点\(P(x_0,y_0)\)的任意一条直线。

当直线\(l\)与直线\(l_2\)不重合时，设直线\(l\)的方程为\(A_1x + B_1y + C_1+\lambda(A_2x + B_2y + C_2)=0\)（\(\lambda\)为待定系数）。

因为直线\(l\)过点\(P(x_0,y_0)\)，所以\((A_1x_0 + B_1y_0 + C_1)+\lambda(A_2x_0 + B_2y_0 + C_2)=0\)，可解得\(\lambda\)的值，从而确定直线\(l\)的方程。

当直线\(l\)与直线\(l_2\)重合时，此时\(\lambda = 0\)，直线系方程\((A_1x + B_1y + C_1)+\lambda(A_2x + B_2y + C_2)=0\)就表示直线\(l_2\)。

综上，\((A_1x + B_1y + C_1)+\lambda(A_2x + B_2y + C_2)=0\)（\(\lambda\)为参数）表示过直线\(l_1\)：\(A_1x + B_1y + C_1 = 0\)与直线\(l_2\)：\(A_2x + B_2y + C_2 = 0\)交点的直线系方程。