指数函数 04 指数函数 \(y = a^{x}\) 与对数函数 \(y=\log_{a}x\)

指数函数

\(a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}\)（\(a>0\)，\(m\)，\(n\in R\)）

\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)（\(a>0\)，\(m\)，\(n\in R\)）

\((ab)^{n}=a^{n}b^{n}\)（\(a>0\)，\(b>0\)，\(n\in R\)）

指数函数的定义：一般地，函数\(y = a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）叫做指数函数，其中\(x\)是自变量，函数的定义域是\(R\)。例如，\(y = 2^{x}\)、\(y = 3^{x}\)等都是指数函数。

当\(a>1\)时，指数函数\(y = a^{x}\)的图像在\(R\)上单调递增，且恒过点\((0,1)\)。当\(x>0\)时，\(y>1\)；当\(x<0\)时，\(0<y<1\)。

当\(0<a<1\)时，指数函数\(y = a^{x}\)的图像在\(R\)上单调递减，且恒过点\((0,1)\)。当\(x>0\)时，\(0<y<1\)；当\(x<0\)时，\(y>1\)。

对数的概念：如果\(a^{x}=N\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），那么数\(x\)叫做以\(a\)为底\(N\)的对数，记作\(x=\log_{a}N\)，其中\(a\)叫做对数的底数，\(N\)叫做真数。例如，因为\(2^{3}=8\)，所以\(\log_{2}8 = 3\)。

\(\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)，\(M>0\)，\(N>0\)）

\(\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)，\(M>0\)，\(N>0\)）

\(\log_{a}M^{n}=n\log_{a}M\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)，\(M>0\)，\(n\in R\)）

对数函数的定义：一般地，函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）叫做对数函数，其中\(x\)是自变量，函数的定义域是\((0,+\infty)\)。

当\(a>1\)时，对数函数\(y=\log_{a}x\)的图像在\((0,+\infty)\)上单调递增，且恒过点\((1,0)\)。当\(x>1\)时，\(y>0\)；当\(0<x<1\)时，\(y<0\)。

当\(0<a<1\)时，对数函数\(y=\log_{a}x\)的图像在\((0,+\infty)\)上单调递减，且恒过点\((1,0)\)。当\(x>1\)时，\(y<0\)；当\(0<x<1\)时，\(y>0\)。

指数函数与对数函数的关系

指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）与对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）互为反函数，它们的图像关于直线\(y = x\)对称。

指数函数的应用：在自然科学、社会科学以及日常生活中都有广泛应用。例如，细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰变等问题常常用指数函数来建模描述其增长或衰减规律。

对数函数的应用：在测量地震强度（里氏震级）、化学中的酸碱度（\(pH\)值）等方面有重要应用。例如，\(pH=-\log_{10}[H^{+}]\)，通过对数函数可以将溶液中氢离子浓度与\(pH\)值建立联系，方便地表示溶液的酸碱性程度。

指数函数与对数函数是高中数学中两类重要的基本初等函数，它们不仅在数学理论体系中有着重要地位，而且在解决实际问题中也发挥着不可或缺的作用，需要熟练掌握其概念、性质及相关运算。