不等式 02 齐次式不等式、零次齐次式不等式

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1. 齐次式不等式的定义

对于不等式中含有的变量（例如\(x,y,z\cdots\)），如果将所有变量同时乘以一个非零常数\(k\)后，不等式的形式不变，那么这个不等式就是齐次式不等式。

从代数式的角度看，若\(f(x,y,z,\cdots)\)是一个代数式，对于任意非零实数\(k\)，都有

\(f(kx,ky,kz,\cdots)=k^n f(x,y,z,\cdots)\)

当\(n = 0\)时，\(f\)就是零次齐次式，对应的不等式就是零次齐次式不等式；

当\(n\neq0\)时，对应的不等式就是非零次齐次式不等式。

例如，\(x^{2}+y^{2}\geq2xy\)是二次齐次式不等式，因为将\(x\)和\(y\)同时乘以\(k\)后，变为\((kx)^{2}+(ky)^{2}\geq2(kx)(ky)\)，即\(k^{2}(x^{2}+y^{2})\geq k^{2}(2xy)\)，不等式形式不变（两边可同时约去\(k^{2}\)）。

2. 整式齐次式不等式

特点：不等式左右两边都是整式，且各项的次数相同。

例如\(x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq3xyz\)（\(x,y,z\geq0\)）是三次整式齐次式不等式。

应用场景：在代数不等式证明、求最值等问题中经常出现。

例如，利用这个三次整式齐次式不等式可以证明一些关于三个非负实数的不等式关系，还可以通过变形求出\(x^{3}+y^{3}+z^{3}\)在\(x + y + z\)为定值时的最小值。

3. 分式齐次式不等式

特点：不等式以分式形式出现，分子和分母都是齐次式，且分子和分母的次数相同。例如\(\frac{x^{2}+xy + y^{2}}{x^{2}-xy + y^{2}}\geq1\)（\(x,y\neq0\)）是二次分式齐次式不等式。

应用场景：在涉及比例关系、变量代换等问题中较为常见。如在解析几何中，当涉及到直线斜率比值等问题时，可能会出现分式齐次式不等式，通过合理设元（如设\(t=\frac{x}{y}\)）来简化不等式进行求解。

4. 解题技巧1：变量代换法

原理：根据齐次式的特点，通过设一个新的变量来减少变量的个数。

对于含有两个变量\(x\)和\(y\)的齐次式不等式，常见的是设\(t=\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)），然后将\(x = ty\)代入不等式进行化简。

例如，对于不等式\(\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\leq\frac{1}{2}\)（\(x,y\neq0\)），设\(t = \frac{x}{y}\)，则\(x = ty\)，代入不等式得到\(\frac{t^{2}y^{2}-y^{2}}{t^{2}y^{2}+y^{2}}\leq\frac{1}{2}\)，因为\(y^{2}\neq0\)，可约去\(y^{2}\)，化简为\(\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}\leq\frac{1}{2}\)，再按照常规方法求解关于\(t\)的不等式。

适用范围：适用于各种齐次式不等式，尤其是含有两个变量的情况，能有效降低问题的复杂度。

5. 解题技巧2：利用齐次性化简不等式

技巧一：同除变量的乘积或幂次：如果不等式是\(f(x,y,z,\cdots)\geq g(x,y,z,\cdots)\)的形式，且\(f\)和\(g\)都是齐次式，可以同时除以变量的适当乘积或幂次来化简。

例如，对于不等式\(x^{3}+y^{3}\geq xy(x + y)\)（\(x,y>0\)），因为左右两边都是三次齐次式，可同时除以\(xy\)，得到\(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq x + y\)，再利用基本不等式（如均值不等式）求解。

技巧二：凑齐次式形式：有些不等式本身不是齐次式，但可以通过变形凑成齐次式。

例如，已知\(x + y = 1\)（\(x,y>0\)），要证明\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)。将不等式左边变形为\(\frac{x + y}{xy}\)，此时分子分母次数相同（都是二次），是齐次式，再利用\(x + y = 1\)代入，得到\(\frac{1}{xy}\)，然后根据均值不等式\(x + y\geq2\sqrt{xy}\)，即\(1\geq2\sqrt{xy}\)，可得\(xy\leq\frac{1}{4}\)，所以\(\frac{1}{xy}\geq4\)。

6. 解题技巧3：结合基本不等式求解

均值不等式的应用：对于齐次式不等式化简后的式子，常可结合均值不等式\(a + b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\geq0\)）来求解。

例如，对于不等式\(\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}\geq2\)（\(x,y>0\)），由均值不等式\(x^{2}+y^{2}\geq2xy\)，两边同时除以\(xy\)（因为\(x,y>0\)）就可以得到要证明的不等式。

柯西不等式等的应用：在某些复杂的齐次式不等式中，柯西不等式\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}\)也可能会用到。

例如，已知\(a,b,c,d>0\)，对于不等式\(\frac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}\geq\frac{ab}{cd}\)，可以通过构造适当的形式利用柯西不等式进行证明。先将不等式变形为\((a^{3}+b^{3})(cd)\geq(ab)(c^{3}+d^{3})\)，然后通过巧妙的分组和应用柯西不等式来完成证明。

1. 零次齐次式的定义与识别

定义：对于一个含有\(n\)个变量\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)的函数\(f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\)，如果对于任意非零实数\(k\)，都有\(f(kx_{1},kx_{2},\cdots,kx_{n})=f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})\)，那么函数\(f\)是零次齐次式。在不等式中，例如\(\frac{x + y}{x - y}\)（\(x\neq y\)）就是零次齐次式，因为\(\frac{kx+ky}{kx - ky}=\frac{k(x + y)}{k(x - y)}=\frac{x + y}{x - y}\)。

识别技巧：观察不等式中的式子，看各项的次数之和是否为\(0\)。如果是分式形式，分子和分母的总次数相同；如果是整式形式，各项次数之和为\(0\)。如\(\frac{a^{2}b}{c^{2}d}\)（\(a,b,c,d\neq0\)），分子次数为\(2 + 1 = 3\)，分母次数为\(2+1 = 3\)，它是零次齐次式。

2. 设比值法（常用技巧）

原理：由于零次齐次式的特性，可设一个变量与另一个变量的比值为新的变量。例如对于含有\(x\)和\(y\)的零次齐次式不等式，设\(t=\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)），将\(x = ty\)代入不等式，这样就把不等式中的变量个数减少，便于求解。

示例：对于不等式\(\frac{x^{2}+xy + y^{2}}{x^{2}-xy + y^{2}}\geq\frac{3}{7}\)，设\(t = \frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)），则\(x = ty\)。将其代入不等式得\(\frac{t^{2}y^{2}+t y^{2}+y^{2}}{t^{2}y^{2}-t y^{2}+y^{2}}\geq\frac{3}{7}\)，因为\(y^{2}\neq0\)，可以约去\(y^{2}\)，得到\(\frac{t^{2}+t + 1}{t^{2}-t + 1}\geq\frac{3}{7}\)，然后通过移项、通分等常规方法求解关于\(t\)的不等式。

3. 利用齐次性化简不等式

技巧一：同除变量的乘积或幂次：如果不等式是\(f(x,y)\geq g(x,y)\)的形式，且\(f\)和\(g\)都是零次齐次式，可以同时除以\(x\)和\(y\)的适当幂次，使式子变得更简单。例如，对于不等式\(x^{3}+y^{3}\geq xy(x + y)\)（\(x,y>0\)），因为左右两边都是三次齐次式，可同时除以\(xy\)，得到\(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq x + y\)，再通过换元或者其他方法求解。

技巧二：凑齐次式形式：有些不等式可能不是标准的零次齐次式，但可以通过变形凑成零次齐次式。例如，已知\(x + y = 1\)（\(x,y>0\)），证明\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq4\)。将不等式左边变形为\(\frac{x + y}{xy}\)，此时分子分母次数相同（都是二次），是零次齐次式，再利用\(x + y = 1\)代入，得到\(\frac{1}{xy}\)，然后根据均值不等式\(x + y\geq2\sqrt{xy}\)，即\(1\geq2\sqrt{xy}\)，可得\(xy\leq\frac{1}{4}\)，所以\(\frac{1}{xy}\geq4\)。

4. 结合基本不等式求解

均值不等式的应用：在将零次齐次式不等式化简后，常常可以结合均值不等式\(a + b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\geq0\)）或其他基本不等式来求解。例如，对于不等式\(\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}\geq2\)（\(x,y>0\)），由均值不等式\(x^{2}+y^{2}\geq2xy\)，两边同时除以\(xy\)（因为\(x,y>0\)）就可以得到要证明的不等式。

柯西不等式等的应用：在某些复杂的零次齐次式不等式中，柯西不等式\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq(ac + bd)^{2}\)也可能会用到。例如，已知\(a,b,c,d>0\)，对于不等式\(\frac{a^{3}+b^{3}}{c^{3}+d^{3}}\geq\frac{ab}{cd}\)，可以通过构造适当的形式利用柯西不等式进行证明。先将不等式变形为\((a^{3}+b^{3})(cd)\geq(ab)(c^{3}+d^{3})\)，然后通过巧妙的分组和应用柯西不等式来完成证明。