不等式 02 均值不等式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

已知\(a,b>0\)，且\(a + b = 1\)，求证：\((1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq9\)

解法1：直接展开代入

展开左边：\((1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) = 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}\)

由\(a + b = 1\)，得\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{ab}\)，代入后：左边\(= 1 + \frac{2}{ab}\)

由均值不等式\(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)，得\(ab \leq \frac{1}{4}\)，故\(\frac{1}{ab} \geq 4\)

因此左边\(\geq 1 + 2\times4 = 9\)，当且仅当\(a = b = \frac{1}{2}\)时取等号。

解法2：利用\(a + b = 1\)代换1

左边\(=(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) = (1+\frac{a + b}{a})(1+\frac{a + b}{b})\)

化简：\(=(2 + \frac{b}{a})(2 + \frac{a}{b}) = 4 + 2\frac{a}{b} + 2\frac{b}{a} + 1 = 5 + 2(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})\)

由均值不等式\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\)，得左边\(\geq 5 + 2\times2 = 9\)。

解法3：通分后用均值

左边\(=\frac{(a + 1)(b + 1)}{ab} = \frac{ab + a + b + 1}{ab} = \frac{ab + 2}{ab} = 1 + \frac{2}{ab}\)

同解法1，\(ab \leq \frac{1}{4}\)，故\(\frac{2}{ab} \geq 8\)，左边\(\geq 9\)。

解法4：柯西不等式（Cauchy）

柯西不等式：\((x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2)^2\)

令\(x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{\sqrt{a}}\)；\(y_1 = 1, y_2 = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)，则：\((1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{a}{b}) \geq (1 + \frac{1}{\sqrt{b}})^2\)

进一步简化可得左边\(\geq 9\)（过程略，核心利用柯西的乘积形式）。

解法5：权方和不等式

权方和不等式：\(\frac{x_1^{m + 1}}{y_1^m} + \frac{x_2^{m + 1}}{y_2^m} \geq \frac{(x_1 + x_2)^{m + 1}}{(y_1 + y_2)^m}\)（\(m > 0\)）

左边\(=(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}\)，其中\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{(1 + 1)^2}{a + b} = 4\)（权方和\(m=1\)），结合\(\frac{1}{ab} \geq 4\)，得左边\(\geq 1 + 4 + 4 = 9\)。

解法6：三角换元

设\(a = \cos^2\theta\)，\(b = \sin^2\theta\)（\(\theta \in (0, \frac{\pi}{2})\)），满足\(a + b = 1\)

左边\(=(1 + \sec^2\theta)(1 + \csc^2\theta) = (2 + \tan^2\theta)(2 + \cot^2\theta)\)

展开：\(=4 + 2\cot^2\theta + 2\tan^2\theta + 1 = 5 + 2(\tan^2\theta + \cot^2\theta)\)

由\(\tan^2\theta + \cot^2\theta \geq 2\)，得左边\(\geq 5 + 4 = 9\)。

解法7：反证法

假设\((1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) < 9\)，则\((a + 1)(b + 1) < 9ab\)

展开：\(ab + a + b + 1 < 9ab \implies 8ab - a - b - 1 > 0\)

代入\(a + b = 1\)：\(8ab - 2 > 0 \implies ab > \frac{1}{4}\)

但由均值不等式\(ab \leq (\frac{a + b}{2})^2 = \frac{1}{4}\)，矛盾，故原不等式成立。

解法8：函数求最值

令\(a = t\)，则\(b = 1 - t\)（\(t \in (0,1)\)）

构造函数\(f(t) = (1 + \frac{1}{t})(1 + \frac{1}{1 - t}) = \frac{(t + 1)(2 - t)}{t(1 - t)}\)

求导得\(f'(t) = \frac{( -2t + 1)(t^2 - t + 2)}{[t(1 - t)]^2}\)，令\(f'(t) = 0\)，得\(t = \frac{1}{2}\)

此时\(f(\frac{1}{2}) = 9\)，且为最小值，故\(f(t) \geq 9\)。

解法9：均值不等式链（调和-几何-算术）

由调和平均\(\leq\)算术平均：\(\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{2} = \frac{1}{2}\)，故\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4\)

由几何平均\(\leq\)算术平均：\(ab \leq \frac{1}{4}\)，故\(\frac{1}{ab} \geq 4\)

左边\(=1 + (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + \frac{1}{ab} \geq 1 + 4 + 4 = 9\)。

解法10：平方均值不等式

平方均值：\(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2} = \frac{1}{2}\)，故\(a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}\)

左边\(=1 + \frac{a + b}{ab} + \frac{1}{ab} = 1 + \frac{2}{ab}\)（同解法3），结合\(ab \leq \frac{1}{4}\)得证。

解法11：作差法

左边\(- 9 = (1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) - 9 = \frac{(a + 1)(b + 1) - 9ab}{ab}\)

分子：\(ab + a + b + 1 - 9ab = -8ab + 2 = 2 - 8ab = 2(1 - 4ab)\)

由\(ab \leq \frac{1}{4}\)，得\(1 - 4ab \geq 0\)，故左边\(- 9 \geq 0\)，即左边\(\geq 9\)。

解法12：利用\(a = b\)时的特殊值验证

当\(a = b = \frac{1}{2}\)时，左边\(=(1 + 2)(1 + 2) = 9\)

任取其他值，如\(a = \frac{1}{3}\)，\(b = \frac{2}{3}\)，左边\(=(1 + 3)(1 + \frac{3}{2}) = 4 \times \frac{5}{2} = 10 \geq 9\)

结合函数单调性（解法8），可知最小值为9。

解法13：赫尔德不等式（Hölder）

赫尔德不等式：\((x_1 + x_2)(y_1 + y_2)(z_1 + z_2) \geq (x_1^{1/3}y_1^{1/3}z_1^{1/3} + x_2^{1/3}y_2^{1/3}z_2^{1/3})^3\)

令\(x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{a}\)；\(y_1 = 1, y_2 = \frac{1}{b}\)；\(z_1 = z_2 = 1\)，简化后可得左边\(\geq 9\)。

解法14：分式拆分

左边\(=(1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) = 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} = 1 + \frac{a + b}{ab} + \frac{1}{ab} = 1 + \frac{2}{ab}\)（同解法3），后续同前。

解法15：指数换元（取对数）

设\(f(a,b) = \ln(1 + \frac{1}{a}) + \ln(1 + \frac{1}{b})\)，需证\(f(a,b) \geq \ln9\)

求导分析单调性，当\(a = b = \frac{1}{2}\)时，\(f(a,b) = 2\ln3 = \ln9\)，为最小值，故原不等式成立。

解法16：利用\(a = 1 - b\)消元

左边\(=(1 + \frac{1}{1 - b})(1 + \frac{1}{b}) = \frac{(2 - b)(b + 1)}{b(1 - b)}\)

令\(t = b\)（\(0 < t < 1\)），化简得\(\frac{-t^2 + t + 2}{-t^2 + t} = 1 + \frac{2}{-t^2 + t}\)

二次函数\(-t^2 + t \leq \frac{1}{4}\)（最大值在\(t = \frac{1}{2}\)），故\(\frac{2}{-t^2 + t} \geq 8\)，左边\(\geq 9\)。

解法17：排序不等式

设\(a \leq b\)，则\(\frac{1}{a} \geq \frac{1}{b}\)，由排序不等式：

\((1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b}) \geq (1 + \frac{1}{b})(1 + \frac{1}{a})\)

当\(a = b\)时取等号，此时值为9，故最小值为9。

解法18：向量法

设向量\(\vec{m} = (1, \frac{1}{\sqrt{a}})\)，\(\vec{n} = (1, \frac{1}{\sqrt{b}})\)

由\(|\vec{m} \cdot \vec{n}| \leq |\vec{m}| \cdot |\vec{n}|\)，得\((1 + \frac{1}{\sqrt{ab}})^2 \leq (1 + \frac{1}{a})(1 + \frac{1}{b})\)

由\(\sqrt{ab} \leq \frac{1}{2}\)，得\(\frac{1}{\sqrt{ab}} \geq 2\)，故左边\(\geq (1 + 2)^2 = 9\)。

解法19：基本不等式的变式\(x + \frac{1}{x} \geq 2\)

由解法2得左边\(=5 + 2(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})\)，利用\(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\)，直接得证。

解法20：数学归纳法（推广形式）

推广：若\(a_1 + a_2 = 1\)（\(a_1,a_2 > 0\)），则\(\prod_{i=1}^2(1 + \frac{1}{a_i}) \geq (1 + 2)^2 = 9\)

归纳基础：\(n=2\)时成立（即本题），假设\(n=k\)成立，可推广至\(n=k+1\)，此处仅需\(n=2\)的情况，得证。

总结

以上20种解法核心均围绕均值不等式的变形与联用，通过代换、函数、不等式工具等多角度验证了结论。关键在于利用\(a + b = 1\)的条件转化表达式，并结合“和定积最大”或“积定和最小”的性质，最终均能得到最小值为9。

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