不等式 02 琴生不等式

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约翰·延森（Johan Ludwig William Valdemar Jensen，1859年5月8日—1925年3月5日），丹麦数学家和工程师，常被称为琴生。延森出生于丹麦，其数学研究以提出琴生不等式闻名，该不等式描述凸函数在数值平均与函数平均间的不等式关系。1915年发表关于非正则素数的研究，证明存在无穷多个非正则素数。琴生不等式在数学分析、计算数学及中等教育领域均有应用，涉及凸函数问题处理与教材编制现代化。1925年3月5日逝世。

琴生不等式（Jensen's Inequality）是数学分析中关于凹函数（或凸函数）的一个核心不等式，它揭示了函数值的平均与平均的函数值之间的大小关系，在不等式证明、优化问题、概率统计等领域有广泛应用。

（1）凹函数（∪）：若对任意 \( x_1, x_2 \in I \) 和任意 \( \lambda \in (0,1) \)，都有：\( f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \)

几何意义：函数图像上任意两点连线（弦）的纵坐标，大于等于两点之间函数图像上对应点的纵坐标（如 \( f(x)=x^2 \)、\( f(x)=e^x \)）。

（2）凸函数（∩）：若对任意 \( x_1, x_2 \in I \) 和任意 \( \lambda \in (0,1) \)，都有：\( f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \)

几何意义：函数图像上任意两点连线（弦）的纵坐标，小于等于两点之间函数图像上对应点的纵坐标（如 \( f(x)=\ln x \)、\( f(x)=\sqrt{x} \)）。

若函数 \( f(x) \) 在区间 \( I \) 上二阶可导，则：当 \( f''(x) \geq 0 \) 时，\( f(x) \) 是凹函数；当 \( f''(x) \leq 0 \) 时，\( f(x) \) 是凸函数。

琴生不等式的加权形式（一般形式）

（1）设 \( f(x) \) 是区间 \( I \) 上的凹函数（∪），对于任意 \( n \) 个点 \( x_1, x_2, \dots, x_n \in I \)，以及对应的正权重 \( \omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n \)（满足 \( \omega_1 + \omega_2 + \dots + \omega_n = 1 \)），有：\( f\left( \sum_{i=1}^n \omega_i x_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i) \)

（2）若 \( f(x) \) 是区间 \( I \) 上的凸函数（∩），则不等式方向反转：\( f\left( \sum_{i=1}^n \omega_i x_i \right) \geq \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i) \)

等号成立条件：当且仅当 \( x_1 = x_2 = \dots = x_n \)（若 \( f(x) \) 是严格凹/凸函数）。

琴生不等式的等权形式（特殊情况）

当所有权重相等时（即 \( \omega_1 = \omega_2 = \dots = \omega_n = \frac{1}{n} \)），加权形式简化为等权形式，此时不等式与“算术平均值”直接关联：

（1）若 \( f(x) \) 是凹函数（∪）：\( f\left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} \)

含义：函数在算术平均值处的函数值 ≤ 函数值的算术平均值。

（2）若 \( f(x) \) 是凸函数（∩）：\( f\left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right) \geq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} \)

含义：函数在算术平均值处的函数值 ≥ 函数值的算术平均值。

例1：证明均值不等式（以算术-几何均值不等式为例）

问题：对任意正实数 \( a_1, a_2, \dots, a_n \)，证明 \( \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \)（算术平均值 ≥ 几何平均值）。

证明：

1. 选择凸函数：令 \( f(x) = \ln x \)（定义域 \( (0, +\infty) \)），其二阶导数 \( f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \)，故 \( f(x) = \ln x \) 是严格凸函数。

2. 应用琴生不等式（等权形式）：

对正实数 \( a_1, a_2, \dots, a_n \)，有：\( f\left( \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \right) \geq \frac{f(a_1) + f(a_2) + \dots + f(a_n)}{n} \)

3. 代入 \( f(x) = \ln x \)：

左边：\( \ln\left( \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \right) \)

右边：\( \frac{\ln a_1 + \ln a_2 + \dots + \ln a_n}{n} = \frac{\ln(a_1 a_2 \dots a_n)}{n} = \ln\left( \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \right) \)

4. 利用对数函数的单调性（\( \ln x \) 单调递增）：

若 \( \ln A \geq \ln B \)，则 \( A \geq B \)，故：\( \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \)

等号成立当且仅当 \( a_1 = a_2 = \dots = a_n \)。

例2：证明平方和不等式

问题：对任意实数 \( x_1, x_2, \dots, x_n \)，证明 \( \left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right)^2 \leq \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} \)。

证明：

1. 选择凹函数：令 \( f(x) = x^2 \)（定义域 \( \mathbb{R} \)），其二阶导数 \( f''(x) = 2 > 0 \)，故 \( f(x) = x^2 \) 是严格凹函数。

2. 应用琴生不等式（等权形式）：\( f\left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} \)

3. 代入 \( f(x) = x^2 \)：

左边：\( \left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right)^2 \)

右边：\( \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} \)

直接得到不等式，等号成立当且仅当 \( x_1 = x_2 = \dots = x_n \)。

例3：概率统计中的应用（期望的函数值）

在概率统计中，琴生不等式表现为“期望的函数值与函数的期望值关系”：

设 \( X \) 是随机变量，\( f(x) \) 是凹函数，则 \( f(E[X]) \leq E[f(X)] \)；若 \( f(x) \) 是凸函数，则 \( f(E[X]) \geq E[f(X)] \)（其中 \( E[X] \) 表示 \( X \) 的数学期望）。

例子：设随机变量 \( X \) 取值为正实数，令 \( f(x) = \ln x \)（凸函数），则 \( \ln(E[X]) \geq E[\ln X] \)，两边取指数得 \( E[X] \geq e^{E[\ln X]} \)。而 \( e^{E[\ln X]} \) 是 \( X \) 的几何期望，因此该式本质是“算术期望 ≥ 几何期望”的概率版本。

琴生不等式与其他不等式的关联

琴生不等式是许多经典不等式的“统一推广”，除了上述的算术-几何均值不等式、平方和不等式，还能推导柯西不等式、赫尔德不等式等，其核心逻辑是：通过选择合适的凹/凸函数，将具体不等式转化为“函数值平均与平均函数值”的关系。

例如：

用 \( f(x) = e^x \)（凹函数）可证明 \( e^{\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}} \leq \frac{e^{x_1} + e^{x_2} + \dots + e^{x_n}}{n} \)；

用 \( f(x) = \sqrt{x} \)（凸函数）可证明 \( \sqrt{\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}} \geq \frac{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} + \dots + \sqrt{x_n}}{n} \)（算术平均值的平方根 ≥ 平方根的算术平均值）。

综上，琴生不等式的关键在于识别函数的凹凸性，并结合“权重”或“平均值”的场景灵活应用，是解决不等式问题的“利器”。

琴生不等式

设\(f(x)\)是定义在区间\(I\)上的凹函数，则对于区间\(I\)上的任意\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)，有

\(f(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n})\leqslant\frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots+f(x_{n})}{n}\)；当\(f(x)\)是凸函数时，不等号方向相反。

1. 证明均值不等式\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)）

分析：设\(f(x)=-\ln x\)，\(x > 0\)，先证明\(f(x)\)是凹函数，再利用琴生不等式证明。

证明：\(f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}>0\)，所以\(f(x)\)是凹函数。设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\frac{1}{2}\)。根据琴生不等式\(f(\frac{a + b}{2})\leqslant\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)\)，即\(-\ln(\frac{a + b}{2})\leqslant-\frac{1}{2}\ln a-\frac{1}{2}\ln b\)，化简得\(\ln(\frac{a + b}{2})\geqslant\ln\sqrt{ab}\)，所以\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)。

2. 证明\(\frac{a + b + c}{3}\geqslant\sqrt[3]{abc}\)（\(a,b,c>0\)）

分析：设\(f(x)=-\ln x\)，\(x > 0\)，利用其凹性和琴生不等式证明。

证明：\(f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}>0\)，\(f(x)\)是凹函数。设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(x_{3}=c\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。由琴生不等式\(f(\frac{a + b + c}{3})\leqslant\frac{1}{3}f(a)+\frac{1}{3}f(b)+\frac{1}{3}f(c)\)，即\(-\ln(\frac{a + b + c}{3})\leqslant-\frac{1}{3}\ln a-\frac{1}{3}\ln b-\frac{1}{3}\ln c\)，整理得\(\ln(\frac{a + b + c}{3})\geqslant\ln\sqrt[3]{abc}\)，所以\(\frac{a + b + c}{3}\geqslant\sqrt[3]{abc}\)。

3. 设\(a,b,c>0\)，且\(a + b + c = 1\)，证明\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant\sqrt{3}\)

分析：设\(f(x)=\sqrt{x}\)，\(x > 0\)，判断其凹凸性后利用琴生不等式证明。

证明：\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}<0\)，\(f(x)\)是凸函数。设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(x_{3}=c\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。根据琴生不等式（凸函数反向）\(f(\frac{a + b + c}{3})\geqslant\frac{1}{3}f(a)+\frac{1}{3}f(b)+\frac{1}{3}f(c)\)，即\(\sqrt{\frac{a + b + c}{3}}\geqslant\frac{1}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)，已知\(a + b + c = 1\)，所以\(\frac{1}{\sqrt{3}}\geqslant\frac{1}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)，即\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leqslant\sqrt{3}\)。

4. 已知\(x,y,z\in R^{+}\)，证明\((x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geqslant9\)

分析：设\(f(t)=t+\frac{1}{t}\)，\(t > 0\)，先判断凹凸性，再应用琴生不等式。

证明：\(f^{\prime}(t)=1-\frac{1}{t^{2}}\)，\(f^{\prime\prime}(t)=\frac{2}{t^{3}}>0\)，\(f(t)\)是凹函数。设\(t_{1}=x^{2}\)，\(t_{2}=y^{2}\)，\(t_{3}=z^{2}\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。由琴生不等式\(f(\frac{t_{1}+t_{2}+t_{3}}{3})\leqslant\frac{1}{3}f(t_{1})+\frac{1}{3}f(t_{2})+\frac{1}{3}f(t_{3})\)，即\(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}+\frac{3}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\leqslant\frac{1}{3}(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+y^{2}+\frac{1}{y^{2}}+z^{2}+\frac{1}{z^{2}})\)。

又因为\((x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})=x^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})+y^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})+z^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\)

展开后可得\(3+\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+\frac{z^{2}}{y^{2}}\geqslant9\)（利用均值不等式\(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)），所以\((x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geqslant9\)。

5. 已知\(a,b,c\in R^{+}\)，且\(abc = 1\)，证明\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

分析：设\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(x > 0\)和\(g(x)=\sqrt{x}\)，\(x > 0\)，分别判断凹凸性，利用琴生不等式证明。

证明：对于\(f(x)=\frac{1}{x}\)，\(f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{x^{3}}>0\)，\(f(x)\)是凹函数。对于\(g(x)=\sqrt{x}\)，\(g^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\(g^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}<0\)，\(g(x)\)是凸函数。

设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(x_{3}=c\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。根据琴生不等式，\(f(\frac{a + b + c}{3})\leqslant\frac{1}{3}f(a)+\frac{1}{3}f(b)+\frac{1}{3}f(c)\)，即\(\frac{3}{a + b + c}\leqslant\frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)。

又因为\(g(\frac{a + b + c}{3})\geqslant\frac{1}{3}g(a)+\frac{1}{3}g(b)+\frac{1}{3}g(c)\)，即\(\sqrt{\frac{a + b + c}{3}}\geqslant\frac{1}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\)。

由均值不等式\(a + b + c\geqslant3\sqrt[3]{abc}=3\)，所以\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)。

6. 已知\(x,y\in R^{+}\)，且\(x + y = 1\)，求\(2^{x}+2^{y}\)的最小值

分析：设\(f(t)=2^{t}\)，\(t\in R\)，判断凹凸性后利用琴生不等式求解最小值。

证明：\(f^{\prime}(t)=2^{t}\ln 2\)，\(f^{\prime\prime}(t)=2^{t}(\ln 2)^{2}>0\)，\(f(t)\)是凹函数。设\(x_{1}=x\)，\(x_{2}=y\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\frac{1}{2}\)。根据琴生不等式\(f(\frac{x + y}{2})\leqslant\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(y)\)，即\(2^{\frac{x + y}{2}}\leqslant\frac{1}{2}(2^{x}+2^{y})\)。

已知\(x + y = 1\)，所以\(2^{\frac{1}{2}}\leqslant\frac{1}{2}(2^{x}+2^{y})\)，即\(2^{x}+2^{y}\geqslant2\sqrt{2}\)，当且仅当\(x = y=\frac{1}{2}\)时取到最小值\(2\sqrt{2}\)。

7. 设\(a,b,c,d\in R^{+}\)，且\(a + b + c + d = 4\)，证明\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geqslant4\)

分析：设\(f(t)=\frac{1}{t^{2}}\)，\(t > 0\)，判断凹凸性后用琴生不等式证明。

证明：\(f^{\prime}(t)=-\frac{2}{t^{3}}\)，\(f^{\prime\prime}(t)=\frac{6}{t^{4}}>0\)，\(f(t)\)是凹函数。设\(x_{1}=a\)，\(x_{2}=b\)，\(x_{3}=c\)，\(x_{4}=d\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\lambda_{4}=\frac{1}{4}\)。

根据琴生不等式\(f(\frac{a + b + c + d}{4})\leqslant\frac{1}{4}f(a)+\frac{1}{4}f(b)+\frac{1}{4}f(c)+\frac{1}{4}f(d)\)，即\(\frac{1}{(\frac{a + b + c + d}{4})^{2}}\leqslant\frac{1}{4}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\)。

已知\(a + b + c + d = 4\)，所以\(\frac{1}{4}\leqslant\frac{1}{4}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\)，即\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geqslant4\)。

8. 在三角形\(ABC\)中，证明\(\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

分析：设\(f(x)=\sin x\)，\(x\in(0,\pi)\)，判断凹凸性后利用琴生不等式证明。

证明：\(f^{\prime}(x)=\cos x\)，\(f^{\prime\prime}(x)=-\sin x<0\)（\(x\in(0,\pi)\)），\(f(x)\)是凸函数。设\(A,B,C\)为三角形内角，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。

根据琴生不等式（凸函数反向）\(f(\frac{A + B + C}{3})\geqslant\frac{1}{3}f(A)+\frac{1}{3}f(B)+\frac{1}{3}f(C)\)，因为\(A + B + C=\pi\)，所以\(\sin\frac{\pi}{3}\geqslant\frac{1}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)\)，即\(\frac{\sqrt{3}}{2}\geqslant\frac{1}{3}(\sin A+\sin B+\sin C)\)，所以\(\sin A+\sin B+\sin C\leqslant\frac{3\sqrt{3}}{2}\)。

9. 已知\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\in R^{+}\)，且\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1\)，证明\(\frac{1}{1 + x_{1}}+\frac{1}{1 + x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1 + x_{n}}\geqslant\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\)

分析：设\(f(t)=\frac{1}{1 + t}\)，\(t > 0\)，判断凹凸性后用琴生不等式证明。

证明：\(f^{\prime}(t)=-\frac{1}{(1 + t)^{2}}\)，\(f^{\prime\prime}(t)=\frac{2}{(1 + t)^{3}}>0\)，\(f(t)\)是凹函数。设\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=\frac{1}{n}\)。

根据琴生不等式\(f(\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n})\leqslant\frac{1}{n}f(x_{1})+\frac{1}{n}f(x_{2})+\cdots+\frac{1}{n}f(x_{n})\)，即\(\frac{1}{1+\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}}\leqslant\frac{1}{n}(\frac{1}{1 + x_{1}}+\frac{1}{1 + x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1 + x_{n}})\)。

已知\(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1\)，所以\(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\leqslant\frac{1}{n}(\frac{1}{1 + x_{1}}+\frac{1}{1 + x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1 + x_{n}})\)，即\(\frac{1}{1 + x_{1}}+\frac{1}{1 + x_{2}}+\cdots+\frac{1}{1 + x_{n}}\geqslant\frac{n}{1+\frac{1}{n}}\)。

10. 设\(a,b,c\in R^{+}\)，证明\(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geqslant a + b + c\)

分析：设\(f(x)=x^{3}\)，\(x > 0\)，判断凹凸性后利用琴生不等式证明。

证明：\(f^{\prime}(x)=3x^{2}\)，\(f^{\prime\prime}(x)=6x>0\)，\(f(x)\)是凹函数。设\(x_{1}=\frac{a}{b}\)，\(x_{2}=\frac{b}{c}\)，\(x_{3}=\frac{c}{a}\)，\(\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=\frac{1}{3}\)。

根据琴生不等式\(f(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3})\leqslant\frac{1}{3}f(x_{1})+\frac{1}{3}f(x_{2})+\frac{1}{3}f(x_{3})\)，即\((\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3})^{3}\leqslant\frac{1}{3}[(\frac{a}{b})^{3}+(\frac{b}{c})^{3}+(\frac{c}{a})^{3}]\)。

由均值不等式\(\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\geqslant\sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}} = 1\)，所以\((\frac{a}{b})^{3}+(\frac{b}{c})^{3}+(\frac{c}{a})^{3}\geqslant3\)。

又因为\(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}=b\cdot\frac{a^{3}}{b^{2}}+c\cdot\frac{b^{3}}{c^{2}}+a\cdot\frac{c^{3}}{a^{2}}\geqslant b\cdot\frac{a}{b}+c\cdot\frac{b}{c}+a\cdot\frac{c}{a}=a + b + c\)（利用了前面得到的\((\frac{a}{b})^{3}+(\frac{b}{c})^{3}+(\frac{c}{a})^{3}\geqslant3\)的结论），所以\(\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geqslant a + b + c\)。