不等式 02 三角函数不等式

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三角函数不等式是涉及正弦（\(\sin x\)）、余弦（\(\cos x\)）、正切（\(\tan x\)）等三角函数的不等式，其求解和应用需结合三角函数的定义域、周期性、单调性、图像特征以及单位圆的几何意义。由于三角函数的周期性，不等式的解通常是“无限多个区间”的集合，而非单一范围。

 一、核心三角函数的基础不等式（\(x \in \mathbb{R}\)，特殊定义域需额外注意）

首先明确三个基本三角函数的关键性质（定义域、值域、单调性），这是推导和求解不等式的基础：

| 三角函数 | 定义域 | 值域 | 关键单调区间（一个周期内，\(x \in [0, 2\pi]\)） |

| \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1, 1]\) | 增：\([0, \frac{\pi}{2}]\)、\([\frac{3\pi}{2}, 2\pi]\)；减：\([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\) |

| \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) | \([-1, 1]\) | 增：\([\pi, 2\pi]\)；减：\([0, \pi]\) |

| \(\tan x\) | \(x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)） | \(\mathbb{R}\) | 增：\((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)、\((\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\)等（每周期内单调递增） |

基于上述性质，可推导一个周期内（通常取\(x \in [0, 2\pi]\)或\(x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\)）的核心不等式解，再结合周期性（周期分别为\(2\pi\)、\(2\pi\)、\(\pi\)）扩展到全体实数。

 1. 正弦函数不等式：\(\sin x > a\) 与 \(\sin x < a\)（\(a \in [-1, 1]\)）

正弦函数的图像是“波浪线”，在\([0, 2\pi]\)内与直线\(y = a\)有两个交点（除\(a = \pm1\)时仅有一个交点），记为\(x_1 = \arcsin a\)（主值，\(x_1 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)）和\(x_2 = \pi - \arcsin a\)（第二象限对称点）。

情况1：\(\sin x > a\)（\(-1 < a < 1\)）

解的几何意义：正弦曲线在直线\(y = a\)上方的区间。

一个周期内（\(x \in [0, 2\pi]\)）的解：\(\boxed{(\arcsin a, \pi - \arcsin a)}\)

全体实数解（周期\(2\pi\)）：\(\boxed{(2k\pi + \arcsin a, 2k\pi + \pi - \arcsin a)}\)，其中\(k \in \mathbb{Z}\)。

情况2：\(\sin x < a\)（\(-1 < a < 1\)）

解的几何意义：正弦曲线在直线\(y = a\)下方的区间（分两段）。

一个周期内（\(x \in [0, 2\pi]\)）的解：\(\boxed{[0, \arcsin a) \cup (\pi - \arcsin a, 2\pi]}\)

全体实数解：\(\boxed{(2k\pi, 2k\pi + \arcsin a) \cup (2k\pi + \pi - \arcsin a, 2k\pi + 2\pi)}\)，其中\(k \in \mathbb{Z}\)。

特殊情况：\(a = 1\)或\(a = -1\)

\(\sin x > 1\)：无解（因\(\sin x \leq 1\)）；

\(\sin x = 1\)：解为\(x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；

\(\sin x < -1\)：无解（因\(\sin x \geq -1\)）；

\(\sin x = -1\)：解为\(x = 2k\pi - \frac{\pi}{2}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

示例：求解\(\sin x > \frac{1}{2}\)

1. 求主值：\(\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\)，对称点\(x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\)；

2. 一个周期内解：\((\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})\)；

3. 全体解：\((2k\pi + \frac{\pi}{6}, 2k\pi + \frac{5\pi}{6})\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

 2. 余弦函数不等式：\(\cos x > a\) 与 \(\cos x < a\)（\(a \in [-1, 1]\)）

余弦函数的图像关于\(y\)轴对称，在\([0, 2\pi]\)内与直线\(y = a\)的两个交点为\(x_1 = \arccos a\)（主值，\(x_1 \in [0, \pi]\)）和\(x_2 = 2\pi - \arccos a\)（第四象限对称点）。

情况1：\(\cos x > a\)（\(-1 < a < 1\)）

解的几何意义：余弦曲线在直线\(y = a\)上方的区间（关于\(y\)轴对称）。

一个周期内（\(x \in [0, 2\pi]\)）的解：\(\boxed{(-\arccos a, \arccos a)}\)（或等价写为\((2\pi - \arccos a, 2\pi] \cup [0, \arccos a)\)）

全体实数解（周期\(2\pi\)）：\(\boxed{(2k\pi - \arccos a, 2k\pi + \arccos a)}\)，其中\(k \in \mathbb{Z}\)。

情况2：\(\cos x < a\)（\(-1 < a < 1\)）

解的几何意义：余弦曲线在直线\(y = a\)下方的区间（分两段）。

一个周期内（\(x \in [0, 2\pi]\)）的解：\(\boxed{(\arccos a, 2\pi - \arccos a)}\)

全体实数解：\(\boxed{(2k\pi + \arccos a, 2k\pi + 2\pi - \arccos a)}\)，其中\(k \in \mathbb{Z}\)。

特殊情况：\(a = 1\)或\(a = -1\)

\(\cos x > 1\)：无解（因\(\cos x \leq 1\)）；

\(\cos x = 1\)：解为\(x = 2k\pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）；

\(\cos x < -1\)：无解（因\(\cos x \geq -1\)）；

\(\cos x = -1\)：解为\(x = 2k\pi + \pi\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

示例：求解\(\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}\)

1. 求主值：\(\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}\)，对称点\(x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}\)；

2. 一个周期内解：\((\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4})\)；

3. 全体解：\((2k\pi + \frac{\pi}{4}, 2k\pi + \frac{7\pi}{4})\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

 3. 正切函数不等式：\(\tan x > a\) 与 \(\tan x < a\)（\(a \in \mathbb{R}\)）

正切函数的定义域为\(x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}\)（\(k \in \mathbb{Z}\)），且在每个周期\((-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi)\)内单调递增（无最大值和最小值），与直线\(y = a\)的交点为\(x_0 = \arctan a\)（主值，\(x_0 \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)）。

情况1：\(\tan x > a\)

因单调递增，解为每个周期内“大于\(x_0\)的区间”。

一个周期内（\(x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)）的解：\(\boxed{(\arctan a, \frac{\pi}{2})}\)

全体实数解（周期\(\pi\)）：\(\boxed{(k\pi + \arctan a, k\pi + \frac{\pi}{2})}\)，其中\(k \in \mathbb{Z}\)。

情况2：\(\tan x < a\)

解为每个周期内“小于\(x_0\)的区间”。

一个周期内（\(x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\)）的解：\(\boxed{(-\frac{\pi}{2}, \arctan a)}\)

全体实数解：\(\boxed{(k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \arctan a)}\)，其中\(k \in \mathbb{Z}\)。

示例：求解\(\tan x > 1\)

1. 求主值：\(\arctan 1 = \frac{\pi}{4}\)；

2. 一个周期内解：\((\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})\)；

3. 全体解：\((k\pi + \frac{\pi}{4}, k\pi + \frac{\pi}{2})\)（\(k \in \mathbb{Z}\)）。

 二、常用三角恒等变换辅助不等式求解

当不等式涉及“多倍角、和差角、平方项”时，需先通过三角恒等变换将其化为“单角、一次项”的简单形式，再按上述方法求解。常见变换公式包括：

1. 二倍角公式：\(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)，\(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\)；

2. 平方关系：\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)；

3. 和角公式：\(\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)（用于合并不同角的正弦/余弦）。

示例：求解\(\sin 2x > \cos x\)

1. 用二倍角公式变形：\(2\sin x \cos x > \cos x\)；

2. 移项整理：\(\cos x (2\sin x - 1) > 0\)；

3. 转化为“两个因式乘积大于0”的不等式，需分情况讨论（结合\(\cos x\)和\(\sin x\)的符号）：

情况1：\(\cos x > 0\)且\(2\sin x - 1 > 0\)（即\(\cos x > 0\)且\(\sin x > \frac{1}{2}\)）；

情况2：\(\cos x < 0\)且\(2\sin x - 1 < 0\)（即\(\cos x < 0\)且\(\sin x < \frac{1}{2}\)）；

4. 分别求解两种情况，最终合并得到全体解（过程略，结果为\((2k\pi + \frac{\pi}{6}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}) \cup (2k\pi + \frac{5\pi}{6}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2})\)，\(k \in \mathbb{Z}\)）。

 三、三角函数不等式的几何意义（单位圆视角）

单位圆（半径为1，圆心在原点）是理解三角函数不等式的直观工具，三角函数的定义可转化为单位圆上点的坐标：

任意角\(x\)的终边与单位圆交于点\(P(\cos x, \sin x)\)，即\(\cos x\)是点\(P\)的横坐标，\(\sin x\)是点\(P\)的纵坐标。

基于此，不等式的解可对应单位圆上的“点集区域”：

\(\sin x > a\)：单位圆上“纵坐标大于\(a\)”的点对应的角\(x\)（即上半圆内的弧段）；

\(\cos x > a\)：单位圆上“横坐标大于\(a\)”的点对应的角\(x\)（即右半圆内的弧段）；

\(\tan x > a\)：单位圆上“过原点的射线斜率大于\(a\)”的点对应的角\(x\)（即斜率线以上的弧段）。

例如，\(\sin x > \frac{1}{2}\)对应单位圆上\(y = \frac{1}{2}\)直线上方的弧段，即从\(\frac{\pi}{6}\)到\(\frac{5\pi}{6}\)的弧，与前文代数解完全一致。

 四、求解三角函数不等式的核心步骤

1. 化简不等式：利用三角恒等变换（如二倍角、平方关系）将不等式化为“单角、一次项”的简单形式（如\(\sin x > a\)、\(\tan x < a\)）；

2. 确定定义域：排除三角函数无定义的点（如\(\tan x\)需排除\(x = k\pi + \frac{\pi}{2}\)）；

3. 求一个周期内的解：结合三角函数的单调性、图像或单位圆，找到一个周期（如\([0, 2\pi]\)或\((-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})\)）内的解区间；

4. 扩展到全体实数：根据三角函数的周期（\(\sin x\)、\(\cos x\)周期\(2\pi\)，\(\tan x\)周期\(\pi\)），在解区间上加上“周期的整数倍”（即\(2k\pi\)或\(k\pi\)，\(k \in \mathbb{Z}\)）；

5. 验证与合并：检查是否有重复或遗漏的区间，确保解的完整性。

综上，三角函数不等式的求解核心是“利用单调性+周期性”，辅以恒等变换和几何直观（单位圆），最终将无限域的问题转化为“一个周期内的有限区间求解”，再扩展到全体实数。

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