一次函数

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1. 一次函数的定义与形式

形如 \(y = kx + b\)（\(k\)、\(b\) 为常数，\(k \neq 0\)）的函数是一次函数；当 \(b = 0\) 时，\(y = kx\) 是正比例函数，属于特殊的一次函数。

\(k\)：斜率，决定直线倾斜方向与陡峭程度，\(k \neq 0\) 是一次函数的核心条件；

\(b\)：纵截距，决定直线与 \(y\) 轴的交点 \((0, b)\)。

2. 一次函数的图像与性质

一次函数图像是直线，两点确定一条直线，常用交点作图：

与 \(y\) 轴交点：\((0, b)\)；

与 \(x\) 轴交点：\(\left(-\dfrac{b}{k}, 0\right)\)（\(k \neq 0\)）。

斜率 \(k\) 的作用

\(k > 0\)：直线从左到右上升，\(y\) 随 \(x\) 增大而增大；

\(k < 0\)：直线从左到右下降，\(y\) 随 \(x\) 增大而减小；

\(|k|\) 越大，直线越陡峭。

截距 \(b\) 与象限分布

\(b > 0\)：交 \(y\) 轴正半轴；\(b = 0\)：过原点；\(b < 0\)：交 \(y\) 轴负半轴；

结合 \(k\) 符号可判断直线经过的象限，如 \(k > 0, b < 0\) 经过一、三、四象限。

3. 待定系数法求一次函数的解析式

步骤：设解析式 \(y = kx + b\) → 代入两点坐标列方程组 → 解方程组得 \(k\)、\(b\) → 写出解析式；正比例函数只需代入一个点即可求解。

4. 一次函数与方程、不等式的关联

方程 \(kx + b = 0\) 的解 ⇔ 直线与 \(x\) 轴交点的横坐标；

不等式 \(kx + b > 0\) 的解集 ⇔ 直线在 \(x\) 轴上方对应的 \(x\) 范围；

不等式 \(kx + b < 0\) 的解集 ⇔ 直线在 \(x\) 轴下方对应的 \(x\) 范围。

5. 两直线位置关系

设 \(l_1: y = k_1x + b_1\)，\(l_2: y = k_2x + b_2\)：

平行：\(k_1 = k_2\) 且 \(b_1 \neq b_2\)；

重合：\(k_1 = k_2\) 且 \(b_1 = b_2\)；

相交：\(k_1 \neq k_2\)，交点为方程组 \(\begin{cases}y = k_1x + b_1\\y = k_2x + b_2\end{cases}\) 的解。

6. 一次函数与几何综合

常结合三角形面积、坐标平移、对称点、线段长度考查，核心是坐标与解析式的相互转化。

例题1：已知一次函数 \(y = (m - 3)x + 2m + 1\) 的图像不经过第三象限，求 \(m\) 的取值范围。

解答：图像不经过第三象限，需满足 \(k < 0\) 且 \(b \geq 0\)。即 \(m - 3 < 0\) 且 \(2m + 1 \geq 0\)，解得 \(-\dfrac{1}{2} \leq m < 3\)。

例题2：直线 \(y = kx + b\) 过点 \(A(2, 0)\)，且与坐标轴围成的三角形面积为4，求该直线的解析式。

解答：直线过 \(A(2, 0)\)，与 \(y\) 轴交点为 \((0, b)\)，三角形面积 \(\dfrac{1}{2} \times |2| \times |b| = 4\)，得 \(|b| = 4\)，\(b = 4\) 或 \(b = -4\)。代入 \(A(2, 0)\)，当 \(b = 4\) 时，\(k = -2\)，解析式为 \(y = -2x + 4\)；当 \(b = -4\) 时，\(k = 2\)，解析式为 \(y = 2x - 4\)。

例题3：已知直线 \(y = 2x + 1\)，求其关于 \(x\) 轴对称的直线解析式。

解答：关于 \(x\) 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。设对称直线上点为 \((x, y)\)，则原直线对应点为 \((x, -y)\)，代入得 \(-y = 2x + 1\)，整理得 \(y = -2x - 1\)。

例题4：直线 \(y = kx + b\) 与直线 \(y = -3x + 2\) 平行，且过点 \((1, 6)\)，求该直线与两坐标轴围成的三角形面积。

解答：两直线平行则 \(k = -3\)，代入点 \((1, 6)\) 得 \(6 = -3 \times 1 + b\)，\(b = 9\)，解析式为 \(y = -3x + 9\)。与 \(x\) 轴交点 \((3, 0)\)，与 \(y\) 轴交点 \((0, 9)\)，面积 \(\dfrac{1}{2} \times 3 \times 9 = \dfrac{27}{2}\)。

例题5：已知一次函数 \(y = kx + b\)，当 \(x = -1\) 时 \(y = 3\)；当 \(x = 2\) 时 \(y = -3\)，求当 \(y > 2\) 时 \(x\) 的取值范围。

解答：代入两点得方程组 \(\begin{cases}-k + b = 3\\2k + b = -3\end{cases}\)，解得 \(k = -2\)，\(b = 1\)，解析式为 \(y = -2x + 1\)。由 \(y > 2\) 得 \(-2x + 1 > 2\)，解得 \(x < -\dfrac{1}{2}\)。

例题6：直线 \(y = x + 3\) 与坐标轴交于 \(A\)、\(B\) 两点，点 \(C\) 在 \(x\) 轴上，且 \(\triangle ABC\) 为等腰三角形，求点 \(C\) 的坐标。

解答：\(A(-3, 0)\)，\(B(0, 3)\)，\(AB = 3\sqrt{2}\)。分三种情况：① \(AB = AC\)，\(C\) 为 \((-3 \pm 3\sqrt{2}, 0)\)；② \(AB = BC\)，\(C\) 为 \((3, 0)\)；③ \(AC = BC\)，\(C\) 为 \((0, 0)\)。

例题7：已知一次函数 \(y = (2m + 4)x + (3 - n)\)，当 \(m\)、\(n\) 满足什么条件时，函数图像与 \(y\) 轴的交点在 \(x\) 轴下方，且 \(y\) 随 \(x\) 增大而减小。

解答：\(y\) 随 \(x\) 增大而减小则 \(2m + 4 < 0\)，即 \(m < -2\)；与 \(y\) 轴交点在 \(x\) 轴下方则 \(3 - n < 0\)，即 \(n > 3\)。综上 \(m < -2\) 且 \(n > 3\)。

例题8：直线 \(y = kx + b\) 经过第一、二、四象限，且 \(|k| = 2\)，\(|b| = 3\)，求该函数的解析式。

解答：经过一、二、四象限则 \(k < 0\)，\(b > 0\)。由 \(|k| = 2\) 得 \(k = -2\)，由 \(|b| = 3\) 得 \(b = 3\)，解析式为 \(y = -2x + 3\)。

例题9：已知直线 \(y = 3x - 6\)，将其沿 \(y\) 轴向上平移5个单位，求平移后直线与原直线之间的距离。

解答：平移后解析式为 \(y = 3x - 1\)，两平行直线距离公式为 \(\dfrac{|b_1 - b_2|}{\sqrt{k^2 + 1}}\)，代入得 \(\dfrac{|-6 - (-1)|}{\sqrt{3^2 + 1}} = \dfrac{5}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}\)。