二次函数

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1. 二次函数的定义与三种表达式

形如 \(y=ax^2+bx+c\)（\(a,b,c\) 为常数，\(a\neq0\)）的函数叫做二次函数，图像是抛物线，有三种常用形式：

一般式：\(y=ax^2+bx+c\)，适合已知三点坐标求解析式；

顶点式：\(y=a(x-h)^2+k\)，\((h,k)\) 为顶点坐标，适合已知顶点或对称轴；

交点式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)，\(x_1,x_2\) 是抛物线与 \(x\) 轴交点横坐标，适合已知与 \(x\) 轴两交点。

2. 二次函数的图像与基本性质

（1）开口方向

\(a>0\)：开口向上，有最小值 \(k\)；

\(a<0\)：开口向下，有最大值 \(k\)。

（2）对称轴与顶点

对称轴：直线 \(x=-\dfrac{b}{2a}=h\)；

顶点坐标：\(\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)\)，即 \((h,k)\)。

（3）增减性

以对称轴为界，开口向上时，对称轴左侧 \(y\) 随 \(x\) 增大而减小，右侧增大；开口向下时相反。

（4）与坐标轴交点

与 \(y\) 轴交点：\((0,c)\)；

与 \(x\) 轴交点：由 \(ax^2+bx+c=0\) 的判别式 \(\Delta=b^2-4ac\) 决定：

\(\Delta>0\)：两个不同交点；

\(\Delta=0\)：一个交点（顶点在 \(x\) 轴上）；

\(\Delta<0\)：无交点。

3. 所有函数的平移规律

抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”，仅改变顶点坐标，\(a\) 不变。

\(y=ax^2\) 向右平移 \(m\) 个单位，向上平移 \(n\) 个单位，得 \(y=a(x-m)^2+n\)。

4. 二次函数的对称规律

关于 \(x\) 轴对称：\(y=-ax^2-bx-c\)；

关于 \(y\) 轴对称：\(y=ax^2-bx+c\)；

关于原点对称：\(y=-ax^2+bx-c\)。

结论1：判别式与图像位置关系

\(\Delta>0\)：抛物线与 \(x\) 轴交于两点；

\(\Delta=0\)：相切于顶点；

\(\Delta<0\)：相离，\(a>0\) 时 \(y>0\) 恒成立，\(a<0\) 时 \(y<0\) 恒成立。

结论2：韦达定理（根与系数关系）

若抛物线与 \(x\) 轴交于 \(A(x_1,0)\)、\(B(x_2,0)\)，则：

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\)；

两交点距离 \(|AB|=|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\)。

结论3：\(a,b,c\) 符号判定

\(a\)：看开口，上正下负；

\(b\)：看对称轴，“左同右异”（对称轴在 \(y\) 轴左侧，\(a,b\) 同号；右侧异号）；

\(c\)：看与 \(y\) 轴交点，上正下负原点为0。

结论4：特殊点函数值符号

\(x=1\) 时，\(y=a+b+c\)；

\(x=-1\) 时，\(y=a-b+c\)；

\(x=2\) 时，\(y=4a+2b+c\)；

\(x=-2\) 时，\(y=4a-2b+c\)，结合图像可判断符号。

结论5：顶点三角形面积

抛物线与 \(x\) 轴交于 \(A,B\)，顶点为 \(P\)，则 \(S_{\triangle PAB}=\dfrac{\sqrt{\Delta^3}}{8a^2}\)。

结论6：对称轴与中点

对称轴是两交点横坐标的中点，即 \(h=\dfrac{x_1+x_2}{2}\)。

结论7：恒成立问题

\(ax^2+bx+c>0\) 恒成立 \(\Leftrightarrow a>0\) 且 \(\Delta<0\)；

\(ax^2+bx+c<0\) 恒成立 \(\Leftrightarrow a<0\) 且 \(\Delta<0\)。

结论8：抛物线上两点纵坐标相等

若 \(y_1=y_2\)，则两点关于对称轴对称，对称轴 \(x=\dfrac{x_1+x_2}{2}\)。

结论9：二次函数与一次函数交点

联立方程得一元二次方程，\(\Delta>0\) 两交点，\(\Delta=0\) 相切，\(\Delta<0\) 无交点。

结论10：最值区间限定

若自变量 \(x\) 有取值范围，最值不一定在顶点，需比较顶点、区间端点的函数值。

结论11：平行于对称轴的直线与抛物线

直线 \(x=m\) 与抛物线交于一点 \((m,am^2+bm+c)\)，该点为对称轴上点时即顶点。

结论12：弦长公式

抛物线与直线相交于两点，弦长 \(=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|\)（\(k\) 为直线斜率）。

例题1：已知二次函数 \(y=(m-2)x^2-4mx+2m-6\) 的图像与 \(x\) 轴有两个交点，求 \(m\) 的取值范围。

解答：由二次函数定义得 \(m-2\neq0\)，即 \(m\neq2\)；与 \(x\) 轴两交点则 \(\Delta=(-4m)^2-4(m-2)(2m-6)>0\)，化简得 \(m^2+5m-6>0\)，解得 \(m<-6\) 或 \(m>1\)，综上 \(m<-6\) 或 \(m>1\) 且 \(m\neq2\)。

例题2：抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 过点 \((-1,0)\)、\((3,0)\)，且顶点到 \(x\) 轴距离为4，求解析式。

解答：由交点式设 \(y=a(x+1)(x-3)\)，对称轴 \(x=1\)，顶点纵坐标为 \(\pm4\)。代入 \(x=1\)，得 \(y=-4a=\pm4\)，解得 \(a=1\) 或 \(a=-1\)，解析式为 \(y=x^2-2x-3\) 或 \(y=-x^2+2x+3\)。

例题3：已知抛物线 \(y=x^2-2x-3\)，点 \(P\) 在抛物线上，点 \(Q\) 在对称轴上，且以 \(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)、\(P\)、\(Q\) 为顶点的四边形是平行四边形，求 \(P\) 点坐标。

解答：对称轴 \(x=1\)，\(AB=4\)。分三种情况：① \(AB\) 为边，\(PQ\parallel AB\) 且 \(PQ=4\)，得 \(P(5,12)\) 或 \((-3,12)\)；② \(AB\) 为对角线，\(PQ\) 中点与 \(AB\) 中点重合，得 \(P(1,-4)\)。

例题4：二次函数 \(y=ax^2+bx+c\) 的图像如图（开口向下，与 \(y\) 轴正半轴相交，对称轴在 \(y\) 轴右侧），判断 \(abc\)、\(a+b+c\)、\(4a+2b+c\) 的符号。

解答：开口向下 \(a<0\)，对称轴右异 \(b>0\)，\(c>0\)，故 \(abc<0\)；\(x=1\) 时图像在 \(x\) 轴上方，\(a+b+c>0\)；\(x=2\) 时图像在 \(x\) 轴上方，\(4a+2b+c>0\)。

例题5：抛物线 \(y=-x^2+2x+3\) 与直线 \(y=kx+1\) 交于两点，且两点横坐标之差为2，求 \(k\) 的值。

解答：联立方程得 \(x^2+(k-2)x-2=0\)，设两根为 \(x_1,x_2\)，则 \(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{(k-2)^2+8}}{1}=2\)，解得 \(k=2\)。

例题6：已知二次函数 \(y=x^2+mx+m-2\)，求证无论 \(m\) 取何值，抛物线与 \(x\) 轴总有两个不同交点。

解答：\(\Delta=m^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4>0\)，恒成立，故总有两个不同交点。

例题7：抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 顶点为 \((2,-1)\)，与 \(y\) 轴交点为 \((0,3)\)，求抛物线与 \(x\) 轴两交点间的距离。

解答：设顶点式 \(y=a(x-2)^2-1\)，代入 \((0,3)\) 得 \(a=1\)，解析式 \(y=x^2-4x+3\)，与 \(x\) 轴交点为 \((1,0)\)、\((3,0)\)，距离为2。

例题8：二次函数 \(y=2x^2-4x-1\)，当 \(0\leq x\leq3\) 时，求函数的最大值与最小值。

解答：对称轴 \(x=1\)，顶点 \(y=-3\)（最小值）；比较端点，\(x=0\) 时 \(y=-1\)，\(x=3\) 时 \(y=5\)，故最大值为5，最小值为-3。

例题9：抛物线 \(y=x^2-2x-3\) 上有两点 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，且 \(x_1<1<x_2\)，\(x_1+x_2>2\)，比较 \(y_1\) 与 \(y_2\) 的大小。

解答：对称轴 \(x=1\)，由 \(x_1+x_2>2\) 得 \(x_2-1>1-x_1\)，即 \(B\) 离对称轴更远，开口向上，故 \(y_2>y_1\)。

例题10：已知抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 过点 \((1,0)\)，且满足 \(4a+2b+c>0\)，\(a-b+c<0\)，判断 \(b^2-4ac\) 的符号。

解答：\(x=1\) 时 \(y=0\)，\(x=2\) 时 \(y>0\)，\(x=-1\) 时 \(y<0\)，说明抛物线在 \((-1,1)\) 和 \((1,2)\) 间各有一个交点，故与 \(x\) 轴有两个不同交点，\(\Delta=b^2-4ac>0\)。

二次函数几何存在性问题

统一前置设定（所有题型通用开头）

已知抛物线：\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}\(，定点 A(x_A,y_A),\ B(x_B,y_B)\)，设动点 P(t,\ at^2+bt+c)\(

两点距离平方：\)MN^2=(x_M-x_N)^2+(y_M-y_N)^2\(（优先用平方，消根号，减少计算）

向量：\overrightarrow{MN}=(x_N-x_M,\ y_N-y_M)\)；垂直：\boldsymbol{\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MQ}=0}\(

中点公式：\)M_{MN}\left(\dfrac{x_M+x_N}{2},\dfrac{y_M+y_N}{2}\right)\(

通用收尾必写：检验，舍去重合、三点共线、不符合图形定义的解

模板1：等腰三角形存在性（\triangle ABP\) 为等腰三角形）

分类依据：顶角顶点

解：设动点 P(t,\ at^2+bt+c)\(

分三种情况讨论：

① 当 \boldsymbol{A}\) 为顶角顶点，AP=AB\(：

\)AP^2=AB^2\(

代入坐标列式，解方程，得 \)t_1,t_2\cdots\(

② 当 \boldsymbol{B}\) 为顶角顶点，BP=BA\(：

\)BP^2=BA^2\(

代入坐标列式，解方程，得 \)t_1,t_2\cdots\(

③ 当 \boldsymbol{P}\) 为顶角顶点，PA=PB\(：

\)PA^2=PB^2\(

（等价：P\) 在 AB\( 的垂直平分线上）代入坐标列式，解方程，得 \)t_1,t_2\cdots\(

检验：舍去与 A,B\) 重合、三点共线的解；

将剩余 \(t\) 代入抛物线，求出对应 P\( 点坐标。

综上，满足条件的点 P\) 为：... ...

模板2：等边三角形存在性（\triangle ABP\( 为等边三角形）

解：设动点 P(t,\ at^2+bt+c)\)

等边三角形满足：\boldsymbol{PA=PB=AB}\(

等价条件：\begin{cases}PA^2=PB^2\\PA^2=AB^2\end{cases}\)

联立方程求解；

【备选旋转写法，适合简答】

将线段 AB\( 绕点 A\) 逆时针、顺时针旋转 \(60^\circ\) 得到 P_1,P_2\(；

或将线段 AB\) 绕点 B\( 逆时针、顺时针旋转 \)60^\circ\( 得到 P_3,P_4\)；

把求出的坐标代入抛物线验证是否在抛物线上。

检验：舍去重合点；

综上，满足条件的点 P\( 为：... ...

模板3：直角三角形存在性（\triangle ABP\) 为直角三角形）

分类依据：直角顶点

解：设动点 P(t,\ at^2+bt+c)\(

① \boldsymbol{\angle A=90^\circ}\)，即 PA\perp AB\(：

\)\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{AB}=0\(

代入坐标展开计算，解方程；

② \boldsymbol{\angle B=90^\circ}\)，即 PB\perp AB\(：

\)\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{AB}=0\(

代入坐标展开计算，解方程；

③ \boldsymbol{\angle P=90^\circ}\)，即 PA\perp PB\(：

\)\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=0\(

（几何意义：P\) 在以 AB\( 为直径的圆上）代入坐标展开计算，解方程。

检验：舍去三点共线、与定点重合的解；

综上，满足条件的点 P\) 为：... ...

模板4：等腰直角三角形存在性（\triangle ABP\( 为等腰直角三角形）

分类依据：直角顶点

解：设动点 P(t,\ at^2+bt+c)\)

① \boldsymbol{\angle A=90^\circ,\ AP=AB}\(：

满足 \begin{cases}\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=0\\AP^2=AB^2\end{cases}\)

【简便旋转表述】\overrightarrow{AB}\( 绕 A\) 旋转 \pm90^\circ\( 得到 \overrightarrow{AP}\)；

② \boldsymbol{\angle B=90^\circ,\ BP=BA}\(：

满足 \begin{cases}\overrightarrow{BP}\cdot\overrightarrow{BA}=0\\BP^2=BA^2\end{cases}\)

③ \boldsymbol{\angle P=90^\circ,\ PA=PB}\(：

满足 \begin{cases}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0\\PA^2=PB^2\end{cases}\)

分别联立求解，检验；

综上，满足条件的点 P\( 为：... ...

模板5：平行四边形存在性（A,B,C,D\) 为平行四边形，两定两动，A,B\( 定点）

核心：对角线中点重合！分类：谁是对角线

解：设动点 \)C(x_1,y_1),\ D(x_2,y_2)\(（按需换成抛物线上动点形式）

平行四边形对角线互相平分，分三类：

① 以 \boldsymbol{AB}\) 为对角线，则 AB\( 中点 = \)CD\( 中点：

\)\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{x_C+x_D}{2},\quad \dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{y_C+y_D}{2}\(

② 以 \boldsymbol{AC}\) 为对角线，则 AC\( 中点 = BD\) 中点：

\(\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{x_B+x_D}{2},\quad \dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{y_B+y_D}{2}\)

③ 以 \boldsymbol{AD}\( 为对角线，则 AD\) 中点 = BC\( 中点：

\)\dfrac{x_A+x_D}{2}=\dfrac{x_B+x_C}{2},\quad \dfrac{y_A+y_D}{2}=\dfrac{y_B+y_C}{2}\(

分别解方程，检验四点不共线；

综上，满足条件的点为：... ...

三定一动简化版：已知 A,B,C\) 定点，求 \(D\)

只需要依次让每一组点当对角线，直接用中点公式算出 \(D\)，再验证是否符合限制条件。

模板6：矩形存在性（平行四边形基础上加条件）

解：A,B,C,D\( 构成矩形 \iff\) 是平行四边形，且有一个内角为直角（或对角线相等）

第一步：先用中点条件保证 ABCD\( 是平行四边形；

第二步：增加条件二选一写：

写法1（垂直）：\boldsymbol{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0}\)

写法2（对角线相等）：\boldsymbol{AC^2=BD^2}\(

联立求解，检验四点不共线；

综上，满足条件的点为：... ...

模板7：菱形存在性（平行四边形+邻边相等）

解：A,B,C,D\) 构成菱形 \iff\( 是平行四边形，且一组邻边相等

第一步：中点条件保证平行四边形；

第二步：增加条件：\boldsymbol{AB^2=AD^2}\)

联立求解；

综上，满足条件的点为：... ...

模板8：正方形存在性（既是矩形又是菱形）

解：A,B,C,D\( 构成正方形 \iff\) 平行四边形 + 邻边相等 + 邻边垂直

第一步：中点条件保证平行四边形；

第二步：\begin{cases}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0\\AB^2=AD^2\end{cases}\(

联立求解；

综上，满足条件的点为：... ...

模板9：等腰梯形存在性（AB\parallel CD\)）

必须排除平行四边形！

解：ABCD\( 为等腰梯形，需同时满足：

① 一组对边平行：\boldsymbol{k_{AB}=k_{CD}}\)；

② 两腰长相等：\boldsymbol{AD^2=BC^2}\(；

③ 另一组对边不平行：\boldsymbol{k_{AD}\neq k_{BC}}\)（排除平行四边形）

联立方程求解；

综上，满足条件的点为：... ...

模板10：直角梯形存在性

解：ABCD\( 为直角梯形，需同时满足：

① 一组对边平行：\boldsymbol{k_{AB}=k_{CD}}\)；

② 有一组邻边垂直：\boldsymbol{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0}\( 或 \boldsymbol{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0}\)；

③ 另一组对边不平行（排除矩形）。

联立方程求解；

综上，满足条件的点为：... ...

模板11：四点共圆存在性（A,B,C,D\( 四点共圆，三定一动最常考）

解：A,B,C\) 为定点，先求过 A,B,C\( 三点的圆方程：

设圆一般式：\)x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\(

把 A,B,C\) 坐标代入，解出 \(D,E,F\)\(；

再将动点 P(t,\ at^2+bt+c)\) 代入圆方程，得到关于 \(t\) 的方程，求解。

检验：舍去四点重合、三点共线；

综上，满足条件的点 P\( 为：... ...

中考简便特例：若 AB\) 为直径，则 \angle APB=90^\circ\(，直接套用直角三角形模板。

试卷答题通用规范话术

1. 设点话术：设抛物线上动点 P\) 的横坐标为 \(t\)，则纵坐标为 \(y_P=at^2+bt+c\)，即 P(t,at^2+bt+c)\(

2. 分类话术：根据XX顶点进行分类讨论

3. 检验话术：经检验，\)t=\square\( 时，点重合/三点共线，不符合题意，舍去

4. 总结话术：综上所述，符合条件的点坐标为：\cdots\)

避坑提醒（写在草稿上）

优先距离平方，不开根号；优先向量点积，避开斜率不存在

梯形题一定要写排除平行四边形，这里是高频扣分点

平行四边形、矩形、菱形：先平行四边形，再加限制条件，逻辑不乱

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