二次函数

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1. 二次函数的定义与三种表达式

形如 \(y=ax^2+bx+c\)（\(a,b,c\) 为常数，\(a\neq0\)）的函数叫做二次函数，图像是抛物线，有三种常用形式：

一般式：\(y=ax^2+bx+c\)，适合已知三点坐标求解析式；

顶点式：\(y=a(x-h)^2+k\)，\((h,k)\) 为顶点坐标，适合已知顶点或对称轴；

交点式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)，\(x_1,x_2\) 是抛物线与 \(x\) 轴交点横坐标，适合已知与 \(x\) 轴两交点。

2. 二次函数的图像与基本性质

（1）开口方向

\(a>0\)：开口向上，有最小值 \(k\)；

\(a<0\)：开口向下，有最大值 \(k\)。

（2）对称轴与顶点

对称轴：直线 \(x=-\dfrac{b}{2a}=h\)；

顶点坐标：\(\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)\)，即 \((h,k)\)。

（3）增减性

以对称轴为界，开口向上时，对称轴左侧 \(y\) 随 \(x\) 增大而减小，右侧增大；开口向下时相反。

（4）与坐标轴交点

与 \(y\) 轴交点：\((0,c)\)；

与 \(x\) 轴交点：由 \(ax^2+bx+c=0\) 的判别式 \(\Delta=b^2-4ac\) 决定：

\(\Delta>0\)：两个不同交点；

\(\Delta=0\)：一个交点（顶点在 \(x\) 轴上）；

\(\Delta<0\)：无交点。

3. 所有函数的平移规律

抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”，仅改变顶点坐标，\(a\) 不变。

\(y=ax^2\) 向右平移 \(m\) 个单位，向上平移 \(n\) 个单位，得 \(y=a(x-m)^2+n\)。

4. 二次函数的对称规律

关于 \(x\) 轴对称：\(y=-ax^2-bx-c\)；

关于 \(y\) 轴对称：\(y=ax^2-bx+c\)；

关于原点对称：\(y=-ax^2+bx-c\)。

结论1：判别式与图像位置关系

\(\Delta>0\)：抛物线与 \(x\) 轴交于两点；

\(\Delta=0\)：相切于顶点；

\(\Delta<0\)：相离，\(a>0\) 时 \(y>0\) 恒成立，\(a<0\) 时 \(y<0\) 恒成立。

结论2：韦达定理（根与系数关系）

若抛物线与 \(x\) 轴交于 \(A(x_1,0)\)、\(B(x_2,0)\)，则：

\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\)；

两交点距离 \(|AB|=|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}\)。

结论3：\(a,b,c\) 符号判定

\(a\)：看开口，上正下负；

\(b\)：看对称轴，“左同右异”（对称轴在 \(y\) 轴左侧，\(a,b\) 同号；右侧异号）；

\(c\)：看与 \(y\) 轴交点，上正下负原点为0。

结论4：特殊点函数值符号

\(x=1\) 时，\(y=a+b+c\)；

\(x=-1\) 时，\(y=a-b+c\)；

\(x=2\) 时，\(y=4a+2b+c\)；

\(x=-2\) 时，\(y=4a-2b+c\)，结合图像可判断符号。

结论5：顶点三角形面积

抛物线与 \(x\) 轴交于 \(A,B\)，顶点为 \(P\)，则 \(S_{\triangle PAB}=\dfrac{\sqrt{\Delta^3}}{8a^2}\)。

结论6：对称轴与中点

对称轴是两交点横坐标的中点，即 \(h=\dfrac{x_1+x_2}{2}\)。

结论7：恒成立问题

\(ax^2+bx+c>0\) 恒成立 \(\Leftrightarrow a>0\) 且 \(\Delta<0\)；

\(ax^2+bx+c<0\) 恒成立 \(\Leftrightarrow a<0\) 且 \(\Delta<0\)。

结论8：抛物线上两点纵坐标相等

若 \(y_1=y_2\)，则两点关于对称轴对称，对称轴 \(x=\dfrac{x_1+x_2}{2}\)。

结论9：二次函数与一次函数交点

联立方程得一元二次方程，\(\Delta>0\) 两交点，\(\Delta=0\) 相切，\(\Delta<0\) 无交点。

结论10：最值区间限定

若自变量 \(x\) 有取值范围，最值不一定在顶点，需比较顶点、区间端点的函数值。

结论11：平行于对称轴的直线与抛物线

直线 \(x=m\) 与抛物线交于一点 \((m,am^2+bm+c)\)，该点为对称轴上点时即顶点。

结论12：弦长公式

抛物线与直线相交于两点，弦长 \(=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|\)（\(k\) 为直线斜率）。

例题1：已知二次函数 \(y=(m-2)x^2-4mx+2m-6\) 的图像与 \(x\) 轴有两个交点，求 \(m\) 的取值范围。

解答：由二次函数定义得 \(m-2\neq0\)，即 \(m\neq2\)；与 \(x\) 轴两交点则 \(\Delta=(-4m)^2-4(m-2)(2m-6)>0\)，化简得 \(m^2+5m-6>0\)，解得 \(m<-6\) 或 \(m>1\)，综上 \(m<-6\) 或 \(m>1\) 且 \(m\neq2\)。

例题2：抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 过点 \((-1,0)\)、\((3,0)\)，且顶点到 \(x\) 轴距离为4，求解析式。

解答：由交点式设 \(y=a(x+1)(x-3)\)，对称轴 \(x=1\)，顶点纵坐标为 \(\pm4\)。代入 \(x=1\)，得 \(y=-4a=\pm4\)，解得 \(a=1\) 或 \(a=-1\)，解析式为 \(y=x^2-2x-3\) 或 \(y=-x^2+2x+3\)。

例题3：已知抛物线 \(y=x^2-2x-3\)，点 \(P\) 在抛物线上，点 \(Q\) 在对称轴上，且以 \(A(-1,0)\)、\(B(3,0)\)、\(P\)、\(Q\) 为顶点的四边形是平行四边形，求 \(P\) 点坐标。

解答：对称轴 \(x=1\)，\(AB=4\)。分三种情况：① \(AB\) 为边，\(PQ\parallel AB\) 且 \(PQ=4\)，得 \(P(5,12)\) 或 \((-3,12)\)；② \(AB\) 为对角线，\(PQ\) 中点与 \(AB\) 中点重合，得 \(P(1,-4)\)。

例题4：二次函数 \(y=ax^2+bx+c\) 的图像如图（开口向下，与 \(y\) 轴正半轴相交，对称轴在 \(y\) 轴右侧），判断 \(abc\)、\(a+b+c\)、\(4a+2b+c\) 的符号。

解答：开口向下 \(a<0\)，对称轴右异 \(b>0\)，\(c>0\)，故 \(abc<0\)；\(x=1\) 时图像在 \(x\) 轴上方，\(a+b+c>0\)；\(x=2\) 时图像在 \(x\) 轴上方，\(4a+2b+c>0\)。

例题5：抛物线 \(y=-x^2+2x+3\) 与直线 \(y=kx+1\) 交于两点，且两点横坐标之差为2，求 \(k\) 的值。

解答：联立方程得 \(x^2+(k-2)x-2=0\)，设两根为 \(x_1,x_2\)，则 \(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{(k-2)^2+8}}{1}=2\)，解得 \(k=2\)。

例题6：已知二次函数 \(y=x^2+mx+m-2\)，求证无论 \(m\) 取何值，抛物线与 \(x\) 轴总有两个不同交点。

解答：\(\Delta=m^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4>0\)，恒成立，故总有两个不同交点。

例题7：抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 顶点为 \((2,-1)\)，与 \(y\) 轴交点为 \((0,3)\)，求抛物线与 \(x\) 轴两交点间的距离。

解答：设顶点式 \(y=a(x-2)^2-1\)，代入 \((0,3)\) 得 \(a=1\)，解析式 \(y=x^2-4x+3\)，与 \(x\) 轴交点为 \((1,0)\)、\((3,0)\)，距离为2。

例题8：二次函数 \(y=2x^2-4x-1\)，当 \(0\leq x\leq3\) 时，求函数的最大值与最小值。

解答：对称轴 \(x=1\)，顶点 \(y=-3\)（最小值）；比较端点，\(x=0\) 时 \(y=-1\)，\(x=3\) 时 \(y=5\)，故最大值为5，最小值为-3。

例题9：抛物线 \(y=x^2-2x-3\) 上有两点 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，且 \(x_1<1<x_2\)，\(x_1+x_2>2\)，比较 \(y_1\) 与 \(y_2\) 的大小。

解答：对称轴 \(x=1\)，由 \(x_1+x_2>2\) 得 \(x_2-1>1-x_1\)，即 \(B\) 离对称轴更远，开口向上，故 \(y_2>y_1\)。

例题10：已知抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 过点 \((1,0)\)，且满足 \(4a+2b+c>0\)，\(a-b+c<0\)，判断 \(b^2-4ac\) 的符号。

解答：\(x=1\) 时 \(y=0\)，\(x=2\) 时 \(y>0\)，\(x=-1\) 时 \(y<0\)，说明抛物线在 \((-1,1)\) 和 \((1,2)\) 间各有一个交点，故与 \(x\) 轴有两个不同交点，\(\Delta=b^2-4ac>0\)。

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