基于“高线”的 7 类辅助线

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

在平面几何解题中，“高线”（从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段）是最常用的辅助线之一。通过构造高线，可将原图形转化为含直角的特殊图形（如直角三角形、矩形），利用直角三角形的性质（如勾股定理、锐角互余、HL全等、射影定理）或面积关系突破解题难点。

一、锐角三角形中基于高线的辅助线

锐角三角形的三条高线均在三角形内部，构造高线的核心目的是“拆分三角形为两个直角三角形”，利用直角三角形的边长、角度关系求解。

1. 单条高线：拆分三角形，用勾股定理建立边长关系

作法

从锐角三角形的任意一个顶点（通常选择已知边或待求边的对顶点）向对边作垂线，得到一条高线和两个直角三角形。例如在锐角△ABC中，若已知AB、AC的长度，且需求BC的长或∠B的度数，可过A作BC边上的高线AD，垂足为D，将△ABC拆分为Rt△ABD和Rt△ADC。

原理

直角三角形的勾股定理：在Rt△ABD中，AB² = AD² + BD²；在Rt△ADC中，AC² = AD² + CD²。

公共高线AD是两个直角三角形的“桥梁”，可通过AD建立BD与CD的关系（BD + CD = BC，因D在BC上）。

适用题型

已知三角形两边及第三边上的高，求第三边长度；

已知三角形三边，求某一内角的度数（通过高线转化为直角三角形，用三角函数求解）；

证明线段长度关系（如“AB² + AC² = 2AD² + 2BD²”，需用勾股定理展开后结合BD = CD的特殊条件，如等腰三角形）。

示例

在锐角△ABC中，AB=5，AC=√13，BC=6，求BC边上的高AD的长。

构造AD⊥BC于D，设BD=x，则CD=6 - x。

在Rt△ABD中：5² = AD² + x² → 25 = AD² + x²；

在Rt△ADC中：(√13)² = AD² + (6 - x)² → 13 = AD² + 36 - 12x + x²；

两式相减消去AD²：25 - 13 = x² - (36 - 12x + x²) → 12 = 12x - 36 → x=4；

代入得AD²=25 - 4²=9 → AD=3。

2. 两条高线：利用面积相等建立等式

作法

从锐角三角形的两个不同顶点向对边作高线，得到两条高线（如过A作BC的高线AD，过B作AC的高线BE）。

原理

三角形的面积具有唯一性，即“面积 = 1/2 × 底 × 高”，因此可通过不同底和高的组合建立等式：1/2 × BC × AD = 1/2 × AC × BE → BC × AD = AC × BE。

适用题型

已知三角形三边和一条高线，求另一条高线的长；

证明两条线段的比例关系（如AD/BE = AC/BC，由面积等式变形可得）；

结合相似三角形（若两条高线形成的直角三角形相似，可进一步推导角度或边长关系）。

示例

在锐角△ABC中，BC=5，AC=4，BC边上的高AD=3.2，求AC边上的高BE的长。

由面积相等：1/2 × BC × AD = 1/2 × AC × BE → 5 × 3.2 = 4 × BE → BE=4。

二、直角三角形中基于高线的辅助线

直角三角形的两条直角边本身就是高线（分别垂直于另一条直角边），斜边的高线是核心辅助线，可触发“母子相似”和“射影定理”，是解题的关键突破口。

1. 斜边高线：构造“母子相似”模型

作法

在Rt△ABC中，∠C=90°，过直角顶点C向斜边AB作高线CD，垂足为D，此时CD将原Rt△ABC拆分为Rt△ACD和Rt△CBD。

原理

母子相似定理：Rt△ABC ∽ Rt△ACD ∽ Rt△CBD（三个直角三角形两两相似）。

推导依据：∠A是Rt△ABC和Rt△ACD的公共角，且均为直角三角形，故AA相似；同理∠B是Rt△ABC和Rt△CBD的公共角，故AA相似。

射影定理（二级结论）：由相似三角形的对应边成比例推导得出：

1. 直角边的射影性质：AC² = AD × AB，BC² = BD × AB（直角边的平方等于斜边与该直角边在斜边上的“射影”的乘积，射影即AD、BD）；

2. 斜边高线的射影性质：CD² = AD × BD（斜边上的高的平方等于两直角边在斜边上射影的乘积）；

3. 面积关系：AC × BC = AB × CD（直角三角形面积的两种表示，与锐角三角形的面积原理一致）。

适用题型

已知直角三角形的斜边和一条直角边，求斜边的高或两直角边在斜边上的射影；

证明线段的平方关系（如“AC² + BC² = AB²”，可通过射影定理将AC²、BC²展开为AD×AB + BD×AB = (AD+BD)×AB = AB²，间接证明勾股定理）；

利用相似三角形的对应角相等，证明角度关系（如∠ACD = ∠B，因Rt△ACD ∽ Rt△CBD）。

示例

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，求斜边AB上的高CD和BD的长。

第一步：用勾股定理求BC：BC² = AB² - AC² = 10² - 6² = 64 → BC=8；

第二步：用面积相等求CD：1/2 × AC × BC = 1/2 × AB × CD → 6×8=10×CD → CD=4.8；

第三步：用射影定理求BD：BC² = BD × AB → 8² = BD × 10 → BD=6.4。

2. 直角边延长线的高线：处理“斜边外的直角”

作法

若直角三角形的某条直角边被延长，需在延长线上构造高线。例如在Rt△ABC中，∠C=90°，延长BC至点D，需证明AD与某线段的关系，可过A作AD的垂线（或过D作AC的高线），构造新的直角三角形。

原理

利用“直角 + 公共角”证明全等或相似（如∠CAD + ∠ACD=90°，∠B + ∠ACD=90°，故∠CAD=∠B）；

延长线的高线可与原直角边形成矩形（如过D作DE⊥AC于E，则四边形CDEB为矩形，DE=BC，CE=BD）。

适用题型

涉及直角三角形边长延长的证明题（如证明AD=AE）；

构造“一线三垂直”模型（见下文）的基础。

三、钝角三角形中基于高线的辅助线

钝角三角形的三条高线中，钝角对边的高线在三角形内部，另外两条锐角对边的高线在三角形外部（需延长锐角的对边才能作出高线）。构造外部高线是钝角三角形解题的核心，需注意“延长线”的处理。

1. 钝角对边的高线：内部高线，拆分钝角为两个直角

作法

在钝角△ABC中，∠A为钝角，过A作BC边上的高线AD（AD在△ABC内部），将△ABC拆分为Rt△ABD和Rt△ADC。

原理

勾股定理的延伸：因∠A是钝角，D在BC之间，BD + CD = BC，且AB² = AD² + BD²，AC² = AD² + CD²；

若需证明“BC² = AB² + AC² + 2BD×CD”（钝角三角形的余弦定理变形），可通过勾股定理展开BC = BD + CD，代入后推导。

适用题型

已知钝角三角形的钝角对边和两条邻边，求钝角的度数（通过高线转化为直角三角形，用三角函数）；

证明钝角三角形的边长平方关系（如余弦定理的几何证明）。

2. 锐角对边的高线：外部高线，处理“延长线上的垂足”

作法

在钝角△ABC中，∠C为钝角，需作AB边上的高线（锐角∠A的对边是BC，锐角∠B的对边是AC），此时需延长AB至点D，使CD⊥AD（D在AB的延长线上，CD在△ABC外部），构造Rt△ACD和Rt△BCD。

原理

勾股定理的外部应用：在Rt△ACD中，AC² = AD² + CD²；在Rt△BCD中，BC² = BD² + CD²；

注意：AD = AB + BD（因D在AB延长线上），需明确线段的和差关系，避免符号错误；

角度关系：∠CBD是△ABC的外角，等于∠A + ∠ACB，而∠CBD + ∠BCD=90°（直角三角形锐角互余），可建立角度间的等式。

适用题型

已知钝角三角形的锐角对边和其他边长，求外部高线的长；

解决“钝角三角形中某条边的延长线与高线形成的线段关系”问题（如证明AC² - BC² = AD² - BD²）。

示例

在钝角△ABC中，∠C=120°，AC=2，BC=3，求AB边上的高CD（D在AB延长线上）。

第一步：先用余弦定理求AB：AB² = AC² + BC² - 2×AC×BC×cos∠C = 2² + 3² - 2×2×3×cos120° = 4 + 9 - 12×(-1/2) = 19 → AB=√19；

第二步：用面积求CD（钝角三角形面积=1/2×AC×BC×sin∠C）：

面积=1/2×2×3×sin120°=3×(√3/2)= (3√3)/2；

同时面积=1/2×AB×CD → (3√3)/2 = 1/2×√19×CD → CD= (3√57)/19。

四、跨三角形的“高线辅助线”模型

除了单一三角形内的高线，多个三角形组合时，构造高线可形成固定模型，最典型的是“一线三垂直”模型，常用于全等或相似的证明。

一线三垂直模型：利用高线构造全等/相似

模型定义

在同一条直线l上，有三个垂足A、B、C，且AB⊥l、BC⊥l、DE⊥l（或AD⊥DE、BE⊥DE），形成“三条高线垂直于同一直线”的结构，称为“一线三垂直”。

作法

1. 全等型（直角边相等）：如图，直线l上有A、B两点，AD⊥l，BE⊥l，且∠DCE=90°（C在l上），构造CD⊥CE，此时△ACD≌△CBE（AAS）。

推导：∠ACD + ∠BCE=90°（因∠DCE=90°），∠ACD + ∠ADC=90°（Rt△ACD），故∠BCE=∠ADC；又∠ADC=∠CEB=90°，AC=BC（已知），故AAS全等。

2. 相似型（直角边成比例）：若上述模型中AC与BC不成相等，而是成比例（如AC/BC=k），则△ACD∽△CBE（AA相似），对应边比例为k。

原理

垂直产生的直角相等（∠ADC=∠CEB=90°）；

同角的余角相等（∠ACD=∠BCE），为全等或相似提供“角相等”的条件；

高线（AD、BE）是直角三角形的直角边，为“边相等”或“边成比例”提供依据。

适用题型

平面直角坐标系中的线段长度问题（如已知两点坐标，求某点坐标，构造高线转化为直角三角形）；

证明线段相等或比例关系（如证明AD + BE = DE）；

几何压轴题中的“动态三角形”问题（如点C在线上运动，构造高线保持垂直关系）。

示例

在平面直角坐标系中，点A(0,3)，B(4,0)，点C在x轴上，且△ABC为等腰直角三角形，求点C的坐标。

分情况讨论，其中一种情况需构造高线：

当∠ACB=90°时，过C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E（即CD、CE为高线），则△ACD≌△BCE（AAS），故AD=BE，CD=CE。

设C(x,0)，则CE=0（y坐标），CD=|x|，AD=3 - 0=3，BE=|4 - x|，解得x=-3或x=1，故C(-3,0)或(1,0)。

五、基于高线的辅助线核心总结

1. 构造原则：“遇角需直角，遇边需拆分，遇面积找双高”——当题目涉及直角、边长平方关系（勾股定理）、面积计算时，优先考虑构造高线；

2. 注意事项：

钝角三角形的外部高线需明确“延长线”的线段和差（如AD=AB + BD，而非AB - BD）；

直角三角形的斜边高线必触发“母子相似”，优先用射影定理或面积关系解题；

“一线三垂直”模型需抓住“直角相等”和“余角相等”两个核心条件，区分全等与相似的适用场景；

3. 解题步骤：

1. 分析题目条件：是否有直角、边长、面积、角度等关键词；

2. 确定高线位置：在三角形内部（锐角、直角）或外部（钝角）；

3. 利用工具：勾股定理、三角函数、全等/相似、面积公式；

4. 验证结论：检查线段和差、角度关系是否符合图形实际。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学