小学数学：盈亏问题

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1. 基本概念和公式

盈亏问题：是把一定数量的物品平均分给一定数量的人，已知在两次分配中一次是盈（有余），一次是亏（不足），或者两次都盈，或者两次都亏，求物品的数量和分配对象的人数。

一盈一亏：（盈数 + 亏数）÷两次分配差 = 份数（人数），物品数 = 每份数×份数 + 盈数或物品数 = 每份数×份数 - 亏数。

两次都盈：（大盈 - 小盈）÷两次分配差 = 份数（人数），物品数 = 每份数×份数 + 小盈。

两次都亏：（大亏 - 小亏）÷两次分配差 = 份数（人数），物品数 = 每份数×份数 - 小亏。

2. 一盈一亏问题

问题：老师将一些铅笔分给小朋友，如果每人分3支，还多10支；如果每人分5支，就少6支。有多少个小朋友？有多少支铅笔？

分析：这里是一盈一亏的情况。盈数是\(10\)支，亏数是\(6\)支，两次分配差是\(5 - 3 = 2\)支。

解答：根据公式，小朋友的人数为\((10 + 6)÷(5 - 3)=8\)个。铅笔的数量为\(3×8 + 10 = 34\)支或\(5×8 - 6 = 34\)支。

3. 两次都盈问题

问题：学校组织学生去植树，如果每人植4棵，还剩下20棵树苗；如果每人植6棵，还剩下4棵树苗。问有多少学生？有多少棵树苗？

分析：这是两次都盈的情况，大盈是\(20\)棵，小盈是\(4\)棵，两次分配差是\(6 - 4 = 2\)棵。

解答：学生人数为\((20 - 4)÷(6 - 4)=8\)人。树苗数量为\(4×8 + 20 = 52\)棵。

4. 两次都亏问题

问题：老师给学生发练习本，若每人发3本，则少13本；若每人发2本，则少1本。问有多少学生？有多少本练习本？

分析：这是两次都亏的情况，大亏是\(13\)本，小亏是\(1\)本，两次分配差是\(3 - 2 = 1\)本。

解答：学生人数为\((13 - 1)÷(3 - 2)=12\)人。练习本数量为\(3×12 - 13 = 23\)本。

盈亏问题练习题

1. 一盈一亏类型

题目：幼儿园老师给小朋友分糖果，若每人分\(4\)颗，则多出\(12\)颗；若每人分\(6\)颗，则少\(20\)颗。问有多少个小朋友？有多少颗糖果？

分析：这是典型的一盈一亏问题。盈数是\(12\)颗，亏数是\(20\)颗，两次分配差是\(6 - 4 = 2\)颗。

解答：根据公式“（盈数 + 亏数）÷两次分配差 = 份数（人数）”，小朋友的人数为\((12 + 20)÷(6 - 4)=16\)个。再根据“物品数 = 每份数×份数 + 盈数”，糖果数为\(4×16 + 12 = 76\)颗。

2. 两次都盈类型

题目：学校组织学生去春游，若每辆车坐\(40\)人，则有\(20\)人没座位；若每辆车坐\(45\)人，则空出\(10\)个座位。问有几辆车？有多少学生？

分析：这是两次都盈的情况，大盈是\(20\)人（没座位相当于多出来的人），小盈是\(10\)人（空座位相当于多出来的座位，人数角度就是少\(10\)人就满座），两次分配差是\(45 - 40 = 5\)人。

解答：车的数量为\((20 - 10)÷(45 - 40)=2\)辆。学生人数为\(40×2 + 20 = 100\)人。

3. 两次都亏类型

题目：用一根绳子绕树，绕\(3\)圈则绳子短\(1\)米，绕\(2\)圈则绳子短\(5\)米。问绳子长多少米？树的周长是多少米？

分析：这是两次都亏的盈亏问题。大亏是\(5\)米，小亏是\(1\)米，两次分配差是\(3 - 2 = 1\)圈（这里的分配对象是绕树的圈数）。

解答：树的周长为\((5 - 1)÷(3 - 2)=4\)米。绳子长度为\(3×4 - 1 = 11\)米。

4. 盈亏问题的变形

题目：小明从家到学校，如果每分钟走\(50\)米，就要迟到\(3\)分钟；如果每分钟走\(70\)米，就可以提前\(5\)分钟到校。问小明家到学校的距离是多少米？

分析：可以把这个问题看作盈亏问题的变形。迟到\(3\)分钟相当于亏了\(50×3 = 150\)米（少走的距离），提前\(5\)分钟相当于盈了\(70×5 = 350\)米（多走的距离），两次速度差是\(70 - 50 = 20\)米/分钟。

解答：从家到学校需要的标准时间为\((350 + 150)÷(70 - 50)=25\)分钟。家到学校的距离为\(50×(25 + 3)=1400\)米。

5. 复杂盈亏问题（涉及多种分配情况）

题目：某班学生去划船，如果增加一条船，每条船正好坐\(6\)人；如果减少一条船，每条船正好坐\(9\)人。问这个班有多少学生？

分析：设原计划有\(x\)条船。增加一条船时，船有\((x + 1)\)条，学生人数为\(6(x + 1)\)人；减少一条船时，船有\((x - 1)\)条，学生人数为\(9(x - 1)\)人。因为学生人数是固定的，所以可列方程\(6(x + 1)=9(x - 1)\)。

解答：解方程\(6x + 6 = 9x - 9\)，移项得\(9 + 6 = 9x - 6x\)，即\(3x = 15\)，解得\(x = 5\)条。学生人数为\(6×(5 + 1)=36\)人。

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