小学数学：盈亏问题

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在小学数学中，“盈亏问题”是一类经典的应用题，核心是围绕“分配”场景展开——把一定数量的物品（如苹果、书本）分给一定数量的对象（如小朋友、班级），由于分配标准不同（每人分得多或少），最终出现“多余”（盈）或“不足”（亏）的情况。通过分析“盈”“亏”的数量关系，我们可以求出分配对象的数量和物品的总数量，这也是盈亏问题的解题关键。

一、盈亏问题的核心概念与解题思路

要解决盈亏问题，首先需要明确3个核心量：

1. 分配对象总数：接受分配的主体（如人数、班级数），记为“份数”；

2. 物品总数量：被分配的物体总数（如苹果数、书本数），记为“总数量”；

3. 分配标准：每人/每个对象分到的物品数量（如每人分5个苹果），不同标准会导致“盈”或“亏”。

常见题型分类与基本公式

根据“盈”“亏”的不同组合，盈亏问题主要分为5类，对应不同的解题公式（核心逻辑：通过两次分配的“差异”求出份数，再求总数量）：

1. 一盈一亏（一次多余，一次不足）

条件：第一次分配，每人分\(a\)个，多\(m\)个（盈）；第二次分配，每人分\(b\)个（\(b>a\)），少\(n\)个（亏）。

公式：分配对象总数（份数）=（盈的数量 + 亏的数量）÷ 两次每人分配数量的差 = \((m + n)÷(b - a)\)

物品总数量 = 第一次每人分的数量×份数 + 盈的数量 = \(a×\)份数\(+m\)

或 = 第二次每人分的数量×份数 - 亏的数量 = \(b×\)份数\(-n\)

2. 两盈（两次分配都多余）

条件：第一次分配，每人分\(a\)个，多\(m\)个（盈1）；第二次分配，每人分\(b\)个（\(b>a\)），多\(n\)个（盈2，且\(m>n\)）。

公式：分配对象总数 =（大盈 - 小盈）÷ 两次每人分配数量的差 = \((m - n)÷(b - a)\)

物品总数量 = \(a×\)份数\(+m\)（或\(b×\)份数\(+n\)）

3. 两亏（两次分配都不足）

条件：第一次分配，每人分\(a\)个，少\(m\)个（亏1）；第二次分配，每人分\(b\)个（\(b>a\)），少\(n\)个（亏2，且\(n>m\)）。

公式：分配对象总数 =（大亏 - 小亏）÷ 两次每人分配数量的差 = \((n - m)÷(b - a)\)

物品总数量 = \(a×\)份数\(-m\)（或\(b×\)份数\(-n\)）

4. 一盈一尽（一次多余，一次刚好分完）

条件：第一次分配，每人分\(a\)个，多\(m\)个（盈）；第二次分配，每人分\(b\)个（\(b>a\)），刚好分完（尽）。

公式：分配对象总数 = 盈的数量 ÷ 两次每人分配数量的差 = \(m÷(b - a)\)

物品总数量 = \(a×\)份数\(+m\)（或\(b×\)份数）

5. 一亏一尽（一次不足，一次刚好分完）

条件：第一次分配，每人分\(a\)个，少\(m\)个（亏）；第二次分配，每人分\(b\)个（\(b<a\)），刚好分完（尽）。

公式：分配对象总数 = 亏的数量 ÷ 两次每人分配数量的差 = \(m÷(a - b)\)

物品总数量 = \(a×\)份数\(-m\)（或\(b×\)份数）

（一）一盈一亏

例题1：老师给小朋友分糖果，每人分5颗，还剩12颗；如果每人分8颗，就少3颗。一共有多少个小朋友？多少颗糖果？

解析：盈=12，亏=3，两次分配差=8-5=3。

小朋友人数=（12+3）÷3=5（人）；糖果总数=5×5+12=37（颗）。

答案：5个小朋友，37颗糖果。

例题2：学校组织学生搬书，每人搬4本，还剩20本；每人搬6本，就少10本。有多少名学生？多少本书？

解析：盈=20，亏=10，分配差=6-4=2。

学生人数=（20+10）÷2=15（名）；书总数=4×15+20=80（本）。

答案：15名学生，80本书。

例题3：把一些苹果分给猴子，每只猴子分3个，多16个；每只猴子分5个，少4个。有多少只猴子？多少个苹果？

解析：盈=16，亏=4，分配差=5-3=2。

猴子数量=（16+4）÷2=10（只）；苹果总数=3×10+16=46（个）。

答案：10只猴子，46个苹果。

例题4：小朋友分作业本，每人分2本，多18本；每人分3本，少5本。有多少个小朋友？多少本作业本？

解析：盈=18，亏=5，分配差=3-2=1。

小朋友人数=（18+5）÷1=23（个）；作业本总数=2×23+18=64（本）。

答案：23个小朋友，64本作业本。

例题5：食堂给员工分馒头，每人分4个，剩30个；每人分6个，少10个。有多少名员工？多少个馒头？

解析：盈=30，亏=10，分配差=6-4=2。

员工人数=（30+10）÷2=20（名）；馒头总数=4×20+30=110（个）。

答案：20名员工，110个馒头。

例题6：老师分铅笔给学生，每人分3支，多20支；每人分5支，少10支。有多少名学生？多少支铅笔？

解析：盈=20，亏=10，分配差=5-3=2。

学生人数=（20+10）÷2=15（名）；铅笔总数=3×15+20=65（支）。

答案：15名学生，65支铅笔。

（二）两盈

例题7：小朋友分桃子，每人分2个，多15个；每人分3个，多5个。有多少个小朋友？多少个桃子？

解析：大盈=15，小盈=5，分配差=3-2=1。

小朋友人数=（15-5）÷1=10（个）；桃子总数=2×10+15=35（个）。

答案：10个小朋友，35个桃子。

例题8：工人搬砖，每人搬5块，多20块；每人搬7块，多4块。有多少名工人？多少块砖？

解析：大盈=20，小盈=4，分配差=7-5=2。

工人人数=（20-4）÷2=8（名）；砖总数=5×8+20=60（块）。

答案：8名工人，60块砖。

例题9：分玩具给小朋友，每人分3个，多25个；每人分4个，多10个。有多少个小朋友？多少个玩具？

解析：大盈=25，小盈=10，分配差=4-3=1。

小朋友人数=（25-10）÷1=15（个）；玩具总数=3×15+25=70（个）。

答案：15个小朋友，70个玩具。

例题10：分面包给客人，每人分2个，多18个；每人分3个，多8个。有多少位客人？多少个面包？

解析：大盈=18，小盈=8，分配差=3-2=1。

客人数量=（18-8）÷1=10（位）；面包总数=2×10+18=38（个）。

答案：10位客人，38个面包。

（三）两亏

例题11：小朋友分饼干，每人分5块，少10块；每人分7块，少20块。有多少个小朋友？多少块饼干？

解析：大亏=20，小亏=10，分配差=7-5=2。

小朋友人数=（20-10）÷2=5（个）；饼干总数=5×5-10=15（块）。

答案：5个小朋友，15块饼干。

例题12：学生借图书，每人借3本，少15本；每人借5本，少35本。有多少名学生？多少本图书？

解析：大亏=35，小亏=15，分配差=5-3=2。

学生人数=（35-15）÷2=10（名）；图书总数=3×10-15=15（本）。

答案：10名学生，15本图书。

例题13：分跳绳给班级，每个班分4根，少8根；每个班分6根，少20根。有多少个班级？多少根跳绳？

解析：大亏=20，小亏=8，分配差=6-4=2。

班级数量=（20-8）÷2=6（个）；跳绳总数=4×6-8=16（根）。

答案：6个班级，16根跳绳。

例题14：分笔记本给学生，每人分4本，少12本；每人分6本，少24本。有多少名学生？多少本笔记本？

解析：大亏=24，小亏=12，分配差=6-4=2。

学生人数=（24-12）÷2=6（名）；笔记本总数=4×6-12=12（本）。

答案：6名学生，12本笔记本。

（四）一盈一尽

例题15：分草莓给小朋友，每人分2个，多10个；每人分4个，刚好分完。有多少个小朋友？多少个草莓？

解析：盈=10，分配差=4-2=2。

小朋友人数=10÷2=5（个）；草莓总数=4×5=20（个）。

答案：5个小朋友，20个草莓。

例题16：工人分工具，每人分3件，多18件；每人分6件，刚好分完。有多少名工人？多少件工具？

解析：盈=18，分配差=6-3=3。

工人人数=18÷3=6（名）；工具总数=6×6=36（件）。

答案：6名工人，36件工具。

例题17：分气球给孩子，每人分5个，多25个；每人分10个，刚好分完。有多少个孩子？多少个气球？

解析：盈=25，分配差=10-5=5。

孩子数量=25÷5=5（个）；气球总数=10×5=50（个）。

答案：5个孩子，50个气球。

（五）一亏一尽

例题18：分钢笔给学生，每人分4支，少12支；每人分3支，刚好分完。有多少名学生？多少支钢笔？

解析：亏=12，分配差=4-3=1。

学生人数=12÷1=12（名）；钢笔总数=3×12=36（支）。

答案：12名学生，36支钢笔。

例题19：分树苗给班级，每个班分5棵，少20棵；每个班分3棵，刚好分完。有多少个班级？多少棵树苗？

解析：亏=20，分配差=5-3=2。

班级数量=20÷2=10（个）；树苗总数=3×10=30（棵）。

答案：10个班级，30棵树苗。

例题20：分尺子给学生，每人分5把，少15把；每人分2把，刚好分完。有多少名学生？多少把尺子？

解析：亏=15，分配差=5-2=3。

学生人数=15÷3=5（名）；尺子总数=2×5=10（把）。

答案：5名学生，10把尺子。

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