全等三角形、相似三角形

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、全等三角形

（一）概念

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点称为对应顶点，重合的边称为对应边，重合的角称为对应角。表示方法为“≌”，例如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”，其中A与D、B与E、C与F为对应顶点，AB与DE、BC与EF、AC与DF为对应边，∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F为对应角。

（二）性质

1. 对应边相等：全等三角形的所有对应边长度完全相同。例如若△ABC≌△DEF，则AB=DE、BC=EF、AC=DF。

2. 对应角相等：全等三角形的所有对应角大小完全相同。例如若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。

3. 对应线段相等：由对应边和对应角相等可推导，全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、对应中位线的长度均相等。例如△ABC≌△DEF，过A作BC边上的高AH，过D作EF边上的高DG，则AH=DG；BC边的中线AM与EF边的中线DN也相等。

4. 周长与面积相等：由于所有对应边相等，全等三角形的周长（三边之和）相等；又因为对应边相等且对应边上的高相等，根据面积公式（面积=1/2×底×高），全等三角形的面积也相等。

（三）判定定理（一级定理）

判定两个三角形全等，需根据边和角的对应关系满足以下条件之一，且注意“对应”是核心——角必须是对应边的夹角，边必须是对应角的夹边或对边：

1. SSS（边边边）：若两个三角形的三条对应边分别相等，则这两个三角形全等。例如△ABC中AB=5、BC=6、AC=7，△DEF中DE=5、EF=6、DF=7，且AB对应DE、BC对应EF、AC对应DF，则△ABC≌△DEF。

2. SAS（边角边）：若两个三角形的两条对应边分别相等，且这两条边的夹角（即两条边所夹的角）对应相等，则这两个三角形全等。注意：必须是“夹”角，而非“对”角，若为对边的角相等，则不满足SAS（例如SSA不成立，因为可能出现两种不同的三角形）。例如△ABC中AB=4、∠B=60°、BC=5，△DEF中DE=4、∠E=60°、EF=5，且AB对应DE、∠B对应∠E、BC对应EF，则△ABC≌△DEF。

3. ASA（角边角）：若两个三角形的两个对应角分别相等，且这两个角的夹边（即两个角所夹的边）对应相等，则这两个三角形全等。例如△ABC中∠A=30°、AB=5、∠B=70°，△DEF中∠D=30°、DE=5、∠E=70°，且∠A对应∠D、AB对应DE、∠B对应∠E，则△ABC≌△DEF。

4. AAS（角角边）：若两个三角形的两个对应角分别相等，且其中一个角的对边（即不被两个角夹着的边）对应相等，则这两个三角形全等。本质是由“三角形内角和为180°”推导——两个角相等则第三个角必相等，此时AAS可转化为ASA。例如△ABC中∠A=30°、∠C=80°、AB=5，△DEF中∠D=30°、∠F=80°、DE=5，且∠A对应∠D、∠C对应∠F、AB对应DE，则△ABC≌△DEF。

5. HL（斜边直角边，仅适用于直角三角形）：若两个直角三角形的斜边对应相等，且一条直角边对应相等，则这两个直角三角形全等。直角三角形中，斜边是最长的边，HL是直角三角形特有的全等判定，不适用于锐角或钝角三角形。例如Rt△ABC中∠C=90°、斜边AB=10、直角边AC=6，Rt△DEF中∠F=90°、斜边DE=10、直角边DF=6，且AB对应DE、AC对应DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF。

（四）二级结论

1. 全等三角形的“传递性”：若△ABC≌△DEF，且△DEF≌△GHI，则△ABC≌△GHI。因为全等是“完全重合”的关系，传递后△ABC与△GHI也能完全重合。

2. “共边”或“共角”的全等模型结论：

若两个三角形有一条公共边，且满足其他全等条件（如SAS、ASA），则公共边为对应边。例如△ABC与△DBC有公共边BC，若AB=DB、∠ABC=∠DBC，则由SAS可得△ABC≌△DBC。

若两个三角形有一个公共角，且满足其他全等条件（如ASA、AAS），则公共角为对应角。例如△ABC与△ADC有公共角∠A，若∠B=∠D、AB=AD，则由ASA可得△ABC≌△ADC。

3. “轴对称”或“中心对称”的三角形全等：

关于某条直线对称的两个三角形全等，对称轴是对应点连线的垂直平分线，对应边、对应角分别相等。例如△ABC关于直线l对称得到△A'B'C'，则△ABC≌△A'B'C'，且l垂直平分AA'、BB'、CC'。

关于某点中心对称的两个三角形全等，对称中心是对应点连线的中点，对应边平行（或在同一直线）且相等，对应角相等。例如△ABC关于点O中心对称得到△A'B'C'，则△ABC≌△A'B'C'，且O是AA'、BB'、CC'的中点，AB∥A'B'、BC∥B'C'。

4. “平移”或“旋转”后的三角形全等：

一个三角形经过平移（沿某一方向移动一定距离）得到的新三角形，与原三角形全等。平移不改变图形的形状和大小，仅改变位置，因此对应边平行且相等，对应角相等。例如△ABC沿水平方向平移5cm得到△A'B'C'，则△ABC≌△A'B'C'，AB∥A'B'且AB=A'B'。

一个三角形经过旋转（绕某一点旋转一定角度）得到的新三角形，与原三角形全等。旋转不改变图形的形状和大小，仅改变位置，对应点到旋转中心的距离相等，对应角等于旋转角。例如△ABC绕点O旋转90°得到△A'B'C'，则△ABC≌△A'B'C'，OA=OA'、OB=OB'，∠AOA'=∠BOB'=90°。

5. 直角三角形全等的补充结论：若两个直角三角形的两条直角边对应相等，则由SAS可直接判定全等；若一个直角三角形的直角边和另一个直角三角形的直角边、斜边分别对应相等（即HL），则全等。此外，直角三角形中，若一条直角边和一个锐角对应相等，则由AAS可判定全等。

6. “一线三垂直”模型的全等结论：若有一条直线l，其上有三个点A、B、C，且AB⊥l、CD⊥l、AE⊥DE，形成“一线三垂直”（如∠B=∠C=∠AED=90°），且满足AB=CD或BE=CF等条件，则△ABE≌△DCF。该模型常见于平面几何证明题，需结合垂直产生的直角和边的关系推导。

二、相似三角形

（一）概念

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形的对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。表示方法为“∽”，例如△ABC∽△DEF，读作“三角形ABC相似于三角形DEF”，其中A与D、B与E、C与F为对应顶点，对应边的比例为AB/DE=BC/EF=AC/DF=k（k为相似比，k>0）。当k=1时，相似三角形即为全等三角形，因此全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。

（二）性质

1. 对应角相等：相似三角形的所有对应角大小完全相同，与全等三角形的对应角性质一致。例如若△ABC∽△DEF，则∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。

2. 对应边成比例：相似三角形的所有对应边的比值相等（即相似比k）。例如若△ABC∽△DEF，相似比为k，则AB/DE=BC/EF=AC/DF=k。

3. 对应线段成比例：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线、对应中位线的比值等于相似比k。例如△ABC∽△DEF，相似比为2，过A作BC边上的高AH，过D作EF边上的高DG，则AH/DG=2；BC边的中线AM与EF边的中线DN的比值也为2。

4. 周长比等于相似比：相似三角形的周长（三边之和）的比值等于相似比k。设△ABC的周长为C₁=AB+BC+AC，△DEF的周长为C₂=DE+EF+DF，因AB=k·DE、BC=k·EF、AC=k·DF，故C₁=k(DE+EF+DF)=k·C₂，即C₁/C₂=k。

5. 面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积的比值等于相似比k的平方（k²）。由面积公式“面积=1/2×底×高”，设△ABC的底为BC，高为AH；△DEF的底为EF，高为DG，因BC/EF=k、AH/DG=k，故△ABC的面积S₁=1/2×BC×AH，△DEF的面积S₂=1/2×EF×DG，因此S₁/S₂=(1/2×BC×AH)/(1/2×EF×DG)=(BC/EF)×(AH/DG)=k×k=k²。

6. 对应周长、面积的延伸性质：若两个相似三角形的相似比为k，则它们的内切圆半径比、外接圆半径比也等于k；内切圆面积比、外接圆面积比等于k²（本质是“对应线段比为k，对应图形面积比为k²”的延伸）。

（三）判定定理（一级定理）

判定两个三角形相似，需根据角和边的对应关系满足以下条件之一，核心是“对应角相等”或“对应边成比例且夹角相等”：

1. AA（角角，或AAA角角角）：若两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。因三角形内角和为180°，两个角相等则第三个角必相等，故“AA”可等同于“AAA”。例如△ABC中∠A=30°、∠B=70°，△DEF中∠D=30°、∠E=70°，则∠C=∠F=80°，故△ABC∽△DEF。

2. SAS（边角边，比例形式）：若两个三角形的两条对应边成比例，且这两条边的夹角（夹边）对应相等，则这两个三角形相似。注意：与全等的SAS类似，必须是“夹角”相等，若为对边的角相等，则不满足该定理。例如△ABC中AB=4、∠B=60°、BC=5，△DEF中DE=2、∠E=60°、EF=2.5，且AB/DE=BC/EF=2（比例相等）、∠B=∠E（夹角相等），则△ABC∽△DEF。

3. SSS（边边边，比例形式）：若两个三角形的三条对应边成比例，则这两个三角形相似。例如△ABC中AB=3、BC=4、AC=5，△DEF中DE=6、EF=8、DF=10，且AB/DE=BC/EF=AC/DF=1/2（三条边比例相等），则△ABC∽△DEF。

4. HL（斜边直角边，比例形式，仅适用于直角三角形）：若两个直角三角形的斜边成比例，且一条直角边成比例，则这两个直角三角形相似。例如Rt△ABC中∠C=90°、斜边AB=10、直角边AC=6，Rt△DEF中∠F=90°、斜边DE=5、直角边DF=3，且AB/DE=AC/DF=2（斜边与直角边比例相等），则Rt△ABC∽Rt△DEF。

（四）二级结论

1. 相似三角形的“传递性”：若△ABC∽△DEF，且△DEF∽△GHI，则△ABC∽△GHI，且相似比为前两个相似比的乘积（若△ABC与△DEF的相似比为k₁，△DEF与△GHI的相似比为k₂，则△ABC与△GHI的相似比为k₁×k₂）。

2. “平行于三角形一边”的相似结论（平行线分线段成比例定理推论）：

若一条直线平行于三角形的一边，且与另外两边（或两边的延长线）相交，则所构成的小三角形与原三角形相似。例如在△ABC中，直线DE∥BC，且D在AB上、E在AC上，则△ADE∽△ABC，相似比为AD/AB（或AE/AC、DE/BC）。

反之，若一个三角形的两边（或延长线）被一条直线所截，截得的线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边（即“平行线分线段成比例定理”的逆用）。例如在△ABC中，D在AB上、E在AC上，若AD/AB=AE/AC，则DE∥BC。

3. “共角”或“共边”的相似模型结论：

共角模型（AA）：若两个三角形有一个公共角，且另一个角对应相等，则两三角形相似。例如△ABC与△ADE有公共角∠A，若∠B=∠D，则△ABC∽△ADE（AA）。

共边模型（SAS）：若两个三角形有一条公共边，且公共边的邻角对应相等，或公共边的两边成比例且夹角相等，则两三角形相似。例如△ABC与△DBC有公共边BC，若∠ABC=∠DBC且∠ACB=∠DCB，则△ABC∽△DBC（AA）；若AB/DB=BC/BC=1且∠ABC=∠DBC，则△ABC≌△DBC（全等是特殊相似）。

4. “母子相似”模型（直角三角形中的相似）：

直角三角形斜边上的高将原直角三角形分成两个小直角三角形，这两个小直角三角形与原直角三角形两两相似（即“母子相似定理”）。例如Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，则△ABC∽△ACD∽△CBD。

由“母子相似”可推导后续结论：①CD²=AD×BD（斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项）；②AC²=AD×AB、BC²=BD×AB（直角边是斜边与该直角边在斜边上的射影的比例中项）——这两个结论也称为“射影定理”，是“母子相似”的核心推论。

5. “一线三垂直”模型的相似结论：与全等的“一线三垂直”类似，若一条直线l上有三个点A、B、C，且AB⊥l、CD⊥l、AE⊥DE（∠B=∠C=∠AED=90°），若对应边成比例（而非相等），则△ABE∽△DCF。例如AB=2、CD=4、BE=1、CF=2，因AB/CD=BE/CF=1/2且∠B=∠C=90°（夹角相等），故△ABE∽△DCF（SAS）。

6. “A字模型”与“8字模型”的相似结论：

A字模型：如图，点D在AB上、点E在AC上，DE∥BC，构成“A”字形，此时△ADE∽△ABC（AA，因DE∥BC得∠ADE=∠B、∠AED=∠C），相似比为AD/AB，且AE/AC=DE/BC、AD/DB=AE/EC（平行线分线段成比例）。

8字模型：如图，AB与CD相交于点O，且AD∥BC，构成“8”字形，此时△AOD∽△BOC（AA，因AD∥BC得∠OAD=∠OBC、∠ODA=∠OCB），相似比为AO/BO，且DO/CO=AD/BC、AO×OC=BO×OD（由对应边成比例交叉相乘得）。

7. 相似三角形与面积相关的延伸结论：

若两个相似三角形的相似比为k，且分别作它们的一条对应边上的高，则这两条高将原三角形分成的小三角形也相似，且小三角形的相似比仍为k，面积比为k²。

若两个相似三角形的面积比为S₁:S₂=m:n，则它们的相似比为√m:√n（因面积比=相似比²，故相似比=√(面积比)）。例如两个相似三角形的面积比为4:9，则相似比为2:3，对应边比、对应高比也为2:3。

8. “定比分点”的相似结论：若在△ABC的边AB上取点D，使AD:DB=m:n，过D作DE∥BC交AC于E，则△ADE∽△ABC，相似比为m:(m+n)，且AE:EC=m:n、DE= (m/(m+n))×BC。例如AD:DB=1:2，则相似比为1:3，DE= (1/3)BC，AE:EC=1:2。