基于“相似三角形”的辅助线

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相似三角形的核心是“对应角相等、对应边成比例”，但很多几何问题中，相似关系并非直接显现，需通过添加辅助线构造相似三角形。这类辅助线的核心目标是创造“平行关系”“共角/共边条件”或“等角环境”，使分散的角或线段集中，满足相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）。

一、“作平行线”类辅助线：构造“平行型相似”（AA判定）

“作平行线”是构造相似三角形最常用的方法，核心思路是通过作一条直线平行于三角形的某一边（或梯形的底），利用“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得三角形与原三角形相似”（AA判定），形成“A型”“8字型”等经典相似模型。

1. 过三角形顶点作平行线：构造“A型相似”

作法

在△ABC中，若需构造以BC为基准边的相似三角形，过顶点A（或B、C）作某条线段的平行线，与对边（或对边延长线）相交。

例如：已知△ABC中，D为AB上一点，过D作DE∥BC，交AC于E；或过A作AF∥CD，交BC的延长线于F。

原理

以“DE∥BC”为例：由DE∥BC，得内错角相等（∠ADE=∠B，∠AED=∠C），结合公共角∠A=∠A，满足AA判定，故△ADE∽△ABC。

相似性质：对应边成比例（AD/AB = AE/AC = DE/BC），对应高的比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

适用场景

已知三角形一边上的点（如D为AB中点），求线段比例（如AE/EC）或线段长度（如DE）。

已知线段比例（如AD/DB=2/3），证明角相等或线段平行。

示例

在△ABC中，AB=10，AC=8，D为AB上一点，AD=4，过D作DE∥BC交AC于E，求AE的长度。

由DE∥BC，得△ADE∽△ABC（AA），相似比k=AD/AB=4/10=2/5。

根据相似三角形对应边成比例：AE/AC=k，即AE/8=2/5，解得AE=16/5=3.2。

2. 过三角形边上的点作平行线：构造“8字型相似”

作法

在△ABC中，若AB、CD相交于点O（O为线段交点，非顶点），过O作OE∥AC交BC于E，或过O作OF∥BC交AC于F；或在四边形中（如梯形、任意四边形），过对角线交点作一边的平行线，形成“8字型”（两组对边平行，顶点呈8字分布）。

例如：在四边形ABCD中，AB与CD交于O，过O作OE∥AD交BC于E。

原理

以“OE∥AD”为例：由OE∥AD，得同位角（或内错角）相等（∠BOE=∠BAD，∠BEO=∠BDA），结合公共角∠B=∠B，满足AA判定，故△BOE∽△BAD；同时，OE∥AD也可推出△COE∽△CDA（AA，∠COE=∠CDA，∠OCE=∠DCA）。

核心比例关系：OE/AD = BO/BA = BE/BD（来自△BOE∽△BAD），OE/AD = CO/CD = CE/CA（来自△COE∽△CDA），可联立比例求解线段长度或比例。

适用场景

已知两条线段的交点（如对角线交点O），求线段分比（如BO/OA）或某条线段的长度（如OE）。

证明两条线段的比例关系（如BE/EC = BO/OA）。

示例

在△ABC中，AB与CD交于O，AO/OB=2/3，过O作OE∥AC交BC于E，若AC=10，求OE的长度。

由OE∥AC，得△BOE∽△BAC（AA，∠BOE=∠BAC，∠OBE=∠ABC）。

相似比k=BO/BA，因AO/OB=2/3，设AO=2x，OB=3x，则BA=AO+OB=5x，故k=3x/5x=3/5。

根据相似比：OE/AC=k，即OE/10=3/5，解得OE=6。

3. 过定点作平行线：构造“多组相似”

作法

当题目中存在“定点”（如线段中点、定比分点）时，过定点作某条关键线段的平行线，同时构造两组或多组相似三角形，利用比例传递性求解。

例如：在△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，过D作DF∥AE交AC于F，或过E作EG∥BC交AD于G。

原理

以“D为BC中点，EG∥BC”为例：EG∥BC→△AEG∽△ABD（AA，∠A为公共角，∠AGE=∠ADB），同时EG∥DC→△AEG∽△ADC（AA，∠A为公共角，∠AEG=∠ACD）；因D为BC中点，BD=DC，故两组相似的相似比可关联，推出AE/AB=AG/AD=EG/BD=EG/DC，进而得到AG=GD（G为AD中点）。

适用场景

已知线段中点，证明另一条线段为中点（如“中位线定理”的推导，本质是此类相似）。

已知定比分点（如AE/EB=1/2），求另一组线段的分比（如AG/GD）。

示例

在△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，AE/EB=1/3，过E作EG∥BC交AD于G，求AG/GD的比值。

由EG∥BC，得△AEG∽△ABD（AA），相似比k=AE/AB。

因AE/EB=1/3，设AE=x，EB=3x，则AB=4x，故k=x/4x=1/4。

根据相似比：AG/AD=k=1/4，设AG=m，AD=4m，则GD=AD-AG=3m，故AG/GD=m/3m=1/3。

二、“构造共角/共边”类辅助线：利用“共角型相似”（AA/SAS判定）

“共角型相似”是指两个三角形有一个公共角（或相等的角），通过辅助线构造另一个相等的角，或使公共角的两边成比例，满足AA或SAS判定。这类辅助线的核心是聚焦“公共角”，通过添加线段创造等角或比例边。

1. 构造公共角的“对顶角”或“同位角”：补充等角（AA判定）

作法

在△ABC中，若存在公共角∠A，过B作BD交AC于D，使∠ABD=∠C（或过C作CE交AB于E，使∠ACE=∠B），形成△ABD与△ACB（公共角∠A，∠ABD=∠C）。

例如：在△ABC中，∠A为公共角，作∠ABD=∠C，BD交AC于D。

原理

公共角∠A=∠A，构造的等角∠ABD=∠C，满足AA判定，故△ABD∽△ACB。

相似性质：对应边成比例（AB/AC = AD/AB = BD/CB），可推出“AB²=AD×AC”（比例交叉相乘），这是“共角型相似”的核心推论（类似射影定理的形式）。

适用场景

已知三角形的两边（如AB、AC），求某条线段的长度（如AD）或证明线段乘积关系（如AB²=AD×AC）。

已知一个角等于三角形的一个内角，构造相似证明角相等。

示例

在△ABC中，AB=6，AC=9，作∠ABD=∠C（D在AC上），求AD的长度。

由∠A=∠A（公共角），∠ABD=∠C，得△ABD∽△ACB（AA）。

根据相似比：AB/AC = AD/AB，即6/9 = AD/6，交叉相乘得AD= (6×6)/9=4。

2. 构造公共边的“比例边”：补充SAS条件

作法

在△ABC与△ADE中，若有公共角∠A（或∠BAC=∠DAE），通过辅助线使AB/AD = AC/AE（即公共角的两边成比例），例如：在AB上取点D，使AD=2，AB=5，在AC上取点E，使AE=4，AC=10（满足AB/AD=AC/AE=5/2）。

原理

公共角∠BAC=∠DAE，且公共角的两边成比例（AB/AD=AC/AE），满足SAS判定，故△ABC∽△ADE。

相似性质：对应角相等（∠B=∠D，∠C=∠E），对应边成比例（BC/DE=AB/AD=AC/AE）。

适用场景

已知两个角相等（非公共角），构造比例边证明相似。

已知线段比例，证明角相等或线段平行（如由∠B=∠D推出BC∥DE）。

示例

在△ABC中，∠BAC=60°，在AB上取D，使AD=3，AB=6；在AC上取E，使AE=4，AC=8，连接DE，证明DE∥BC。

由AD/AB=3/6=1/2，AE/AC=4/8=1/2，得AD/AB=AE/AC；又∠BAC=∠DAE（公共角），故△ADE∽△ABC（SAS）。

由相似得∠ADE=∠B（对应角相等），根据“同位角相等，两直线平行”，推出DE∥BC。

三、“构造直角三角形”类辅助线：利用“直角型相似”（AA/HL判定）

直角三角形的相似可通过“AA”（一个锐角相等+直角相等）或“HL”（斜边与直角边成比例）判定，辅助线的核心是构造直角（如作高），使两个直角三角形共享一个锐角，或使斜边、直角边成比例，典型模型为“母子相似”（直角三角形斜边上的高分割出的两个小直角三角形与原三角形相似）。

1. 作直角三角形的“斜边上的高”：构造“母子相似”（AA判定）

作法

在Rt△ABC中，∠C=90°，过C作CD⊥AB于D（D为垂足），分割出Rt△ACD和Rt△CBD。

原理

原Rt△ABC与Rt△ACD：∠C=∠ADC=90°，∠A=∠A（公共角），满足AA判定，故△ABC∽△ACD。

原Rt△ABC与Rt△CBD：∠C=∠CDB=90°，∠B=∠B（公共角），满足AA判定，故△ABC∽△CBD。

综上：△ABC∽△ACD∽△CBD（“母子相似”），衍生出“射影定理”：

① CD²=AD×BD（斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项）；

② AC²=AD×AB（直角边是斜边与该直角边射影的比例中项）；

③ BC²=BD×AB（另一条直角边的射影结论）。

适用场景

已知直角三角形的斜边和一条直角边，求斜边上的高（如已知AB=10，AC=6，求CD）。

证明直角三角形中的线段乘积关系（如CD²=AD×BD）。

示例

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，作CD⊥AB于D，求CD的长度。

由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(169-25)=√144=12。

由“母子相似”，△ABC∽△ACD，相似比k=AC/AB=5/13；或利用面积法（Rt△ABC面积=1/2×AC×BC=1/2×AB×CD），得CD=(AC×BC)/AB=(5×12)/13=60/13。

2. 作两条垂直于同一直线的线段：构造“直角型相似”（AA判定）

作法

若有一条直线l（如x轴、某条已知线段），过点A作AD⊥l于D，过点B作BE⊥l于E，形成Rt△ACD和Rt△BCE（或其他直角三角形），若∠ACD=∠BCE（对顶角或公共角），则两直角三角形相似。

例如：直线l上有C、D、E三点，AD⊥l，BE⊥l，∠ACD=∠BCE。

原理

Rt△ACD与Rt△BCE：∠ADC=∠BEC=90°，∠ACD=∠BCE（等角），满足AA判定，故△ACD∽△BCE。

相似性质：AD/BE = CD/CE = AC/BC（对应边成比例）。

适用场景

平面直角坐标系中，已知两点坐标，求线段比例或某点坐标（通过作x轴/y轴垂线构造直角相似）。

几何题中存在“一线三垂直”模型（如∠A=∠B=∠D=90°），利用直角相似求线段长度。

示例

在平面直角坐标系中，点A(2,5)，点B(6,2)，过A作AD⊥x轴于D（D(2,0)），过B作BE⊥x轴于E（E(6,0)），若∠ACO=∠BCO（C在x轴上），求点C的坐标。

由AD⊥x轴、BE⊥x轴，得∠ADC=∠BEC=90°；又∠ACD=∠BCE（∠ACO=∠BCO），故△ACD∽△BCE。

设C(x,0)，则CD=|x-2|，CE=|6-x|，AD=5，BE=2。

由相似比：AD/BE=CD/CE，即5/2=|x-2|/|6-x|，因C在x轴上且∠ACO=∠BCO，C在A、B右侧或左侧，此处取右侧（x>6），则5/2=(x-2)/(x-6)，解得5(x-6)=2(x-2)→5x-30=2x-4→3x=26→x=26/3，故C(26/3,0)。

四、“延长线段”类辅助线：构造“延长型相似”（AA/SAS判定）

当线段长度不完整或角的位置分散时，通过延长两条线段交于一点，可构造新的三角形，使其中一个三角形与已知三角形相似。核心思路是延长后创造公共角或等角，满足相似判定条件。

1. 延长三角形的两边交于一点：构造“大三角形与小三角形相似”

作法

在△ABC中，若D在AB上，E在AC上，且DE不平行于BC，延长DE与BC的延长线交于F，构造△FAD与△FCE（或△FDB与△FEC）。

例如：在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，DE延长交BC延长线于F，作DG∥AC交BC于G。

原理

由DG∥AC，得△FDG∽△FEC（AA，∠F为公共角，∠FDG=∠FEC）；同时，D为AB中点，DG∥AC→G为BC中点（中位线性质），DG=1/2AC。

若已知AE/EC=2/1，可结合相似比推出DF/FE=DG/EC= (1/2AC)/EC= (1/2×3EC)/EC=3/2，进而得到DF=3FE。

适用场景

已知三角形一边中点，求延长线的比例（如DF/FE）。

已知线段比例，证明某点为中点（如G为BC中点）。

示例

在△ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，AE/EC=2/1，延长DE交BC延长线于F，求DF/FE的比值。

过D作DG∥AC交BC于G，因D为AB中点，DG∥AC，故G为BC中点（中位线定理），DG=1/2AC。

由DG∥AC，得△FDG∽△FEC（AA，∠F=∠F，∠FDG=∠FEC）。

因AE/EC=2/1，设EC=x，则AE=2x，AC=3x，故DG=1/2×3x=3x/2。

根据相似比：DF/FE=DG/EC= (3x/2)/x=3/2，故DF/FE=3/2。

2. 延长梯形的两腰交于一点：构造“梯形转化为相似三角形”

作法

在梯形ABCD中，AD∥BC，延长AB、DC交于P，构造△PAD与△PBC（此为梯形中“延长两腰”的经典相似模型，本质是“平行型相似”的延伸）。

原理

由AD∥BC，得∠P=∠P（公共角），∠PAD=∠PBC，∠PDA=∠PCB（同位角相等），满足AA判定，故△PAD∽△PBC。

相似比k=AD/BC，衍生性质：PA/PB=PD/PC=k，面积比=k²，梯形面积=△PBC面积-△PAD面积。

适用场景

已知梯形的上底、下底长度，求两腰延长线交点到上底、下底的距离（如P到AD的距离h1，到BC的距离h2，h1/h2=k）。

已知梯形面积，求△PAD或△PBC的面积。

示例

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=6，延长AB、DC交于P，若△PAD的面积为16，求梯形ABCD的面积。

由AD∥BC，得△PAD∽△PBC（AA），相似比k=AD/BC=4/6=2/3。

面积比=k²=(2/3)²=4/9，设△PBC的面积为S，则16/S=4/9→S=36。

梯形ABCD的面积=△PBC面积-△PAD面积=36-16=20。

五、辅助线添加的核心原则与总结

基于相似三角形的辅助线，本质是“创造相似条件”，需围绕以下原则选择：

1. 缺“平行”补“平行”：若题目中无平行关系但需比例，优先作平行线（构造A型、8字型相似）；

2. 缺“等角”补“等角”：若有公共角但缺另一个等角，通过作角平分线、对顶角等构造等角（共角型相似）；

3. 缺“直角”补“直角”：若涉及直角三角形，优先作斜边上的高（母子相似）或垂直于直线的线段（直角型相似）；

4. 缺“完整三角形”补“延长线”：若线段分散，延长后构造完整三角形（延长型相似）。

所有辅助线的最终目标是“满足AA、SAS、SSS判定”，需结合题目中的已知条件（如中点、比例、直角）和目标（求长度、证比例、证平行），灵活选择最直接的构造方式，避免过度添加辅助线导致图形复杂。

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