数论：整除

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数论是研究整数性质的数学分支，其基础围绕“整除”展开，延伸出素数、公约数、公倍数等核心概念，是密码学、组合数学等领域的重要基础。数论的核心是“整数的整除结构”，从整除出发，延伸出gcd、lcm、素数分解等工具，最终通过奇偶性、平方数、高斯函数等特性解决具体问题。学习的关键在于：

1. 熟练掌握整除性质与辗转相除法（计算gcd的核心）；

2. 理解算术基本定理的“唯一性”（连接约数、倍数、平方数等概念）；

3. 灵活运用奇偶性、模运算（快速排除矛盾解）；

4. 掌握高斯函数的素数指数公式（分析阶乘分解的关键）。

一、整除的概念

设\( a, b \)为整数，且\( b \neq 0 \)，若存在整数\( q \)使得\( a = bq \)，则称\( b \)整除\( a \)，记为\( b \mid a \)；此时\( b \)是\( a \)的约数（因数），\( a \)是\( b \)的倍数。若不存在这样的\( q \)，则称\( b \)不整除\( a \)，记为\( b \nmid a \)。

整除的本质是“整数范围内的除法无余数”，例如\( 6 = 2 \times 3 \)，故\( 2 \mid 6 \)、\( 3 \mid 6 \)；

0是任何非零整数的倍数（因\( 0 = b \times 0 \)，\( b \neq 0 \)），但0不能作为除数（\( b = 0 \)时无意义）；

1是任何整数的约数，任何整数都是自身的约数和倍数（\( a = 1 \times a \)、\( a = a \times 1 \)）。

二、整除的性质

设\( a, b, c, k \)为整数，且相关除数非零，整除性质是推导整数关系的核心工具：

性质1（自反性）：\( a \mid a \)（任何整数整除自身）；

性质2（传递性）：若\( a \mid b \)且\( b \mid c \)，则\( a \mid c \)（例如\( 2 \mid 4 \)、\( 4 \mid 8 \)，故\( 2 \mid 8 \)）；

性质3（对称性延伸）：若\( a \mid b \)且\( b \mid a \)，则\( a = \pm b \)（仅相差正负号的整数相互整除）；

性质4（整除与正负）：若\( a \mid b \)，则\( |a| \mid |b| \)（整除关系与正负无关，仅与绝对值有关）；反之，若\( |a| \mid |b| \)，则\( a \mid b \)。

性质5：若\( a \mid b \)且\( a \mid c \)，则对任意整数\( m, n \)，有\( a \mid (mb + nc) \)（整除对线性组合封闭）；

推论：若\( a \mid b + c \)且\( a \mid b \)，则\( a \mid c \)（令\( m=1, n=-1 \)）。

性质6：若\( a \mid b \)，则\( a \mid kb \)（倍数的倍数仍是倍数）；

性质7：若\( a \mid bc \)且\( a \)与\( b \)互质（见“最大公约数”），则\( a \mid c \)（互质时可“消去”约数）；

性质8：若\( a \mid c \)、\( b \mid c \)且\( a \)与\( b \)互质，则\( ab \mid c \)（互质的两个约数，其积也是约数）；

性质9：若\( a \mid b \)、\( c \mid d \)，则\( ac \mid bd \)（约数相乘仍整除倍数相乘）。

三、带余数除法（欧几里得除法）

设\( a, b \)为整数，且\( b > 0 \)，则存在唯一的整数\( q \)（商）和\( r \)（余数），使得：\( a = bq + r \quad (0 \leq r < b) \)

若\( r = 0 \)，则\( b \mid a \)；若\( r \neq 0 \)，则\( r \)是\( a \)除以\( b \)的非负最小余数。

余数的唯一性是核心（若有\( a = bq_1 + r_1 = bq_2 + r_2 \)，则\( b \mid |r_1 - r_2| \)，结合\( 0 \leq r_1, r_2 < b \)得\( r_1 = r_2 \)、\( q_1 = q_2 \)）；

可推广到\( b < 0 \)的情况：令\( b' = |b| \)，则\( a = b'q + r \)，再调整商的符号（例如\( a = (-b)(-q) + r \)）。

四、最大公约数（gcd）

设\( a_1, a_2, \dots, a_n \)是不全为0的整数，若整数\( d \)满足：

1. \( d \mid a_i \)（\( d \)是所有\( a_i \)的公约数）；

2. 若\( c \mid a_i \)（\( c \)是任意公约数），则\( c \mid d \)（\( d \)是所有公约数中最大的）；

则称\( d \)为\( a_1, a_2, \dots, a_n \)的最大公约数，记为\( d = \gcd(a_1, a_2, \dots, a_n) \)（或\( (a_1, a_2, \dots, a_n) \)）。

性质1：\( \gcd(a, b) = \gcd(b, a) \)（交换律）；

性质2：\( \gcd(a, b) = \gcd(|a|, |b|) \)（与正负无关）；

性质3：\( \gcd(a, 0) = |a| \)（0的约数是所有非零整数，故最大公约数为\( |a| \)）；

性质4（欧几里得性质）：\( \gcd(a, b) = \gcd(b, a \mod b) \)（辗转相除法的理论基础，\( a \mod b \)即带余数除法中的\( r \)）；

性质5（线性表示定理）：存在整数\( x, y \)，使得\( \gcd(a, b) = ax + by \)（可通过辗转相除法反向推导系数\( x, y \)）；

性质6：\( \gcd(ka, kb) = k \cdot \gcd(a, b) \)（\( k > 0 \)，同乘正数不改变最大公约数的倍数关系）；

性质7：若\( \gcd(a, b) = d \)，则\( \gcd\left( \frac{a}{d}, \frac{b}{d} \right) = 1 \)（约去最大公约数后两数互质）。

互质的定义：若\( \gcd(a, b) = 1 \)，则称\( a \)与\( b \)互质（或互素），即两数的公约数只有\( \pm 1 \)。

五、最小公倍数（lcm）

设\( a_1, a_2, \dots, a_n \)是不为0的整数，若整数\( m \)满足：

1. \( a_i \mid m \)（\( m \)是所有\( a_i \)的公倍数）；

2. 若\( a_i \mid c \)（\( c \)是任意公倍数），则\( m \mid c \)（\( m \)是所有公倍数中最小的正整数）；

则称\( m \)为\( a_1, a_2, \dots, a_n \)的最小公倍数，记为\( m = \text{lcm}(a_1, a_2, \dots, a_n) \)（或\( [a_1, a_2, \dots, a_n] \)）。

性质1：\( \text{lcm}(a, b) = \text{lcm}(|a|, |b|) \)（与正负无关，通常取正）；

性质2：\( \text{lcm}(a, a) = |a| \)（自身的最小公倍数是自身）；

性质3（gcd与lcm的关系）：对任意正整数\( a, b \)，有\( a \cdot b = \gcd(a, b) \cdot \text{lcm}(a, b) \)（核心公式，可通过算术基本定理证明）；

性质4：若\( a \mid b \)，则\( \text{lcm}(a, b) = b \)（倍数的最小公倍数是自身）；

性质5：若\( \gcd(a, b) = 1 \)，则\( \text{lcm}(a, b) = a \cdot b \)（互质数的最小公倍数是其积）；

性质6：\( \text{lcm}(ka, kb) = k \cdot \text{lcm}(a, b) \)（\( k > 0 \)，同乘正数不改变最小公倍数的倍数关系）。

六、辗转相除法（欧几里得算法）

原理

基于“\( \gcd(a, b) = \gcd(b, a \mod b) \)”，通过反复用较小数除较大数、取余数，直到余数为0，此时的除数即为最大公约数。

步骤（以计算\( \gcd(a, b) \)为例，设\( a > b > 0 \)）

1. 用\( b \)除\( a \)，得\( a = bq_1 + r_1 \)（\( 0 \leq r_1 < b \)）；

2. 若\( r_1 = 0 \)，则\( \gcd(a, b) = b \)；

3. 若\( r_1 \neq 0 \)，用\( r_1 \)除\( b \)，得\( b = r_1q_2 + r_2 \)（\( 0 \leq r_2 < r_1 \)）；

4. 若\( r_2 = 0 \)，则\( \gcd(a, b) = r_1 \)；否则重复步骤3，直到\( r_n = 0 \)，此时\( \gcd(a, b) = r_{n-1} \)。

辗转相除法是计算最大公约数的高效算法（余数每次至少减半，步数不超过\( 2\log_2 b \)）；

反向推导余数的线性表示（结合“线性表示定理”），可求出\( ax + by = \gcd(a, b) \)的整数解\( (x, y) \)。

七、素数与合数

素数（质数）：大于1的整数，其正约数只有1和自身（例如2, 3, 5, 7,...）；

合数：大于1的整数，其正约数除1和自身外还有其他数（例如4, 6, 8, 9,...）；

1既不是素数也不是合数（不符合“大于1”且约数结构特殊）；

2是唯一的偶素数（所有其他素数都是奇数）。

性质1（素数的个数）：素数有无穷多个（欧几里得证明：假设素数有限，记为\( p_1, p_2, \dots, p_n \)，则\( N = p_1p_2\cdots p_n + 1 \)的素约数不在其中，矛盾）；

性质2（素数的整除性）：若素数\( p \mid ab \)，则\( p \mid a \)或\( p \mid b \)（素数的“不可约性”，可推广到多个数：\( p \mid a_1a_2\cdots a_n \)则\( p \mid a_i \)对某个\( i \)成立）；

性质3（素数的判定）：对正整数\( n > 1 \)，若其不能被任何不超过\( \sqrt{n} \)的素数整除，则\( n \)是素数（若\( n = ab \)，则\( a, b \)中至少有一个不超过\( \sqrt{n} \)）。

八、算术基本定理（唯一分解定理）

任何大于1的整数\( n \)，都可以唯一地表示为素数的乘积（不计素数的排列顺序），即：\( n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m} \)

其中\( p_1 < p_2 < \dots < p_m \)是素数，\( k_1, k_2, \dots, k_m \)是正整数（称为“指数”），该形式称为\( n \)的“标准素因数分解式”。

应用（结合gcd与lcm）

设\( a, b \)的标准分解式为：

\( a = p_1^{x_1} p_2^{x_2} \cdots p_m^{x_m}, \quad b = p_1^{y_1} p_2^{y_2} \cdots p_m^{y_m} \)

（指数为0表示该素数不在分解式中），则：

\( \gcd(a, b) = p_1^{\min(x_1,y_1)} p_2^{\min(x_2,y_2)} \cdots p_m^{\min(x_m,y_m)} \)（取各素数的最小指数）；

\( \text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(x_1,y_1)} p_2^{\max(x_2,y_2)} \cdots p_m^{\max(x_m,y_m)} \)（取各素数的最大指数）。

九、数的奇偶性

奇数：不能被2整除的整数，记为\( 2k + 1 \)（\( k \)为整数，例如1, 3, 5,...）；

偶数：能被2整除的整数，记为\( 2k \)（\( k \)为整数，例如0, 2, 4,...）。

加法：奇+奇=偶，奇+偶=奇，偶+偶=偶（奇数个奇数相加的和为奇数，偶数个奇数相加的和为偶数）；

减法：奇-奇=偶，奇-偶=奇，偶-偶=偶（减法与加法性质一致，因减法是加法的逆）；

乘法：奇×奇=奇，奇×偶=偶，偶×偶=偶（只要有一个因数是偶数，积就是偶数）；

除法：无固定性质（例如6÷2=3（偶÷偶=奇），8÷2=4（偶÷偶=偶），9÷3=3（奇÷奇=奇））。

十、平方数

若整数\( n = k^2 \)（\( k \)为整数），则\( n \)是平方数（完全平方数，例如0, 1, 4, 9, 16,...）。

性质1（标准分解式）：平方数的标准素因数分解式中，所有素数的指数都是偶数（例如\( 36 = 2^2 \times 3^2 \)，指数2、2均为偶）；反之，若一个数的素因数指数全为偶，则其是平方数；

性质2（奇偶性）：平方数是奇数或4的倍数（奇数\( 2k+1 \)的平方：\( (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1 \)，是4的倍数加1；偶数\( 2k \)的平方：\( (2k)^2 = 4k^2 \)，是4的倍数）；

性质3（末位数字）：平方数的末位数字只能是0, 1, 4, 5, 6, 9（例如\( 1^2=1 \)，\( 2^2=4 \)，\( 3^2=9 \)，\( 4^2=16 \)，\( 5^2=25 \)，\( 6^2=36 \)，\( 7^2=49 \)，\( 8^2=64 \)，\( 9^2=81 \)，\( 10^2=100 \)，循环往复）；

性质4（相邻平方数）：两个相邻平方数之间没有平方数（例如\( 2^2=4 \)与\( 3^2=9 \)之间，5,6,7,8均非平方数）。

十一、高斯函数\([x]\)（地板函数/下取整函数）

对任意实数\( x \)，\([x]\)表示不超过\( x \)的最大整数，称为\( x \)的“下取整”（例如\([2.3]=2\)，\([-1.2]=-2\)，\([5]=5\)）。

对应的“上取整函数”\(\lceil x \rceil\)表示不小于\( x \)的最小整数（例如\(\lceil 2.3 \rceil=3\)），但数论中以高斯函数\([x]\)为主。

性质1（不等式表示）：对任意实数\( x \)，有\([x] \leq x < [x] + 1\)（高斯函数的本质，整数部分与小数部分分离，记\(\{x\} = x - [x]\)为\( x \)的小数部分，满足\( 0 \leq \{x\} < 1 \)）；

性质2（整数平移）：对任意整数\( n \)和实数\( x \)，有\([x + n] = [x] + n\)（整数部分随平移同步增加）；

性质3（单调性）：若\( x \leq y \)，则\([x] \leq [y]\)（非严格单调递增）；

性质4（和的范围）：对任意实数\( x, y \)，有\([x] + [y] \leq [x + y] \leq [x] + [y] + 1\)（和的整数部分不超过整数部分的和加1）；

性质5（素数指数公式）：对正整数\( n \)和素数\( p \)，\( n! \)（\( n \)的阶乘）的标准分解式中，素数\( p \)的指数为：

\( \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^k} \right] = \left[ \frac{n}{p} \right] + \left[ \frac{n}{p^2} \right] + \left[ \frac{n}{p^3} \right] + \dots \)

（当\( p^k > n \)时，\(\left[ \frac{n}{p^k} \right] = 0\)，故和为有限项）。

（一）整除的概念与性质（例题1-5）

例题1：证明\( 3 \mid n(n + 1)(n + 2) \)（\( n \)为整数）

解：三个连续整数中必有一个是3的倍数：

若\( 3 \mid n \)，则结论成立；

若\( n = 3k + 1 \)（\( k \)为整数），则\( n + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) \)，故\( 3 \mid n + 2 \)；

若\( n = 3k + 2 \)，则\( n + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) \)，故\( 3 \mid n + 1 \)。

综上，\( 3 \mid n(n + 1)(n + 2) \)。

例题2：若\( 2 \mid a \)且\( 3 \mid a \)，证明\( 6 \mid a \)

解：由\( 2 \mid a \)，设\( a = 2k \)（\( k \)为整数）；又\( 3 \mid a = 2k \)，且\( \gcd(2, 3) = 1 \)，由整除性质7得\( 3 \mid k \)，设\( k = 3m \)（\( m \)为整数）。

因此\( a = 2 \times 3m = 6m \)，故\( 6 \mid a \)。

例题3：若\( a \mid b + c \)且\( a \mid b - c \)，证明\( a \mid 2b \)且\( a \mid 2c \)

解：由整除性质5（线性组合）：

\( a \mid (b + c) + (b - c) = 2b \)，故\( a \mid 2b \)；

\( a \mid (b + c) - (b - c) = 2c \)，故\( a \mid 2c \)。

例题4：判断\( 7 \mid 123456 \)是否成立

解：计算\( 123456 \div 7 \)的余数：\( 7 \times 17636 = 123452 \)，\( 123456 - 123452 = 4 \)，余数\( 4 \neq 0 \)，故\( 7 \nmid 123456 \)。

例题5：若\( n \)为整数，证明\( 4 \nmid n^2 + 2 \)

解：分情况讨论\( n \)的奇偶性：

若\( n \)为偶数，\( n = 2k \)，则\( n^2 + 2 = 4k^2 + 2 = 2(2k^2 + 1) \)，是2的倍数但不是4的倍数（\( 2k^2 + 1 \)是奇数）；

若\( n \)为奇数，\( n = 2k + 1 \)，则\( n^2 + 2 = 4k^2 + 4k + 1 + 2 = 4(k^2 + k) + 3 \)，余数为3，不是4的倍数。

综上，\( 4 \nmid n^2 + 2 \)。

（二）带余数除法（例题6-8）

例题6：对\( a = 157 \)，\( b = 12 \)，求带余数除法中的商\( q \)和余数\( r \)

解：计算\( 12 \times 13 = 156 \)，\( 157 - 156 = 1 \)，满足\( 0 \leq 1 < 12 \)，故\( q = 13 \)，\( r = 1 \)（即\( 157 = 12 \times 13 + 1 \)）。

例题7：若\( a \)除以\( 5 \)余\( 3 \)，求\( 2a + 1 \)除以\( 5 \)的余数

解：由带余数除法，设\( a = 5k + 3 \)（\( k \)为整数），则\( 2a + 1 = 2(5k + 3) + 1 = 10k + 7 = 5(2k + 1) + 2 \)。

余数满足\( 0 \leq 2 < 5 \)，故\( 2a + 1 \)除以\( 5 \)余\( 2 \)。

例题8：证明对任意整数\( n \)，\( n^2 \)除以\( 4 \)的余数为\( 0 \)或\( 1 \)

解：分情况讨论：

若\( n = 4k \)，则\( n^2 = 16k^2 = 4(4k^2) \)，余数为\( 0 \)；

若\( n = 4k + 1 \)，则\( n^2 = 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1 \)，余数为\( 1 \)；

若\( n = 4k + 2 \)，则\( n^2 = 16k^2 + 16k + 4 = 4(4k^2 + 4k + 1) \)，余数为\( 0 \)；

若\( n = 4k + 3 \)，则\( n^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1 \)，余数为\( 1 \)。

综上，余数为\( 0 \)或\( 1 \)。

（三）最大公约数与辗转相除法（例题9-15）

例题9：用辗转相除法求\( \gcd(240, 150) \)

解：

1. \( 240 = 150 \times 1 + 90 \)（余数\( r_1 = 90 \neq 0 \)）；

2. \( 150 = 90 \times 1 + 60 \)（余数\( r_2 = 60 \neq 0 \)）；

3. \( 90 = 60 \times 1 + 30 \)（余数\( r_3 = 30 \neq 0 \)）；

4. \( 60 = 30 \times 2 + 0 \)（余数\( r_4 = 0 \)）；

此时除数为\( 30 \)，故\( \gcd(240, 150) = 30 \)。

例题10：求\( \gcd(0, 5) \)和\( \gcd(7, 7) \)

解：

由gcd性质3，\( \gcd(0, 5) = |5| = 5 \)；

由gcd性质1，\( \gcd(7, 7) = 7 \)。

例题11：若\( \gcd(a, b) = 4 \)，\( a = 40 \)，求\( b \)的可能值（\( b < 50 \)）

解：由gcd性质6，\( \gcd(40, b) = 4 \implies \gcd\left( \frac{40}{4}, \frac{b}{4} \right) = 1 \implies \gcd(10, \frac{b}{4}) = 1 \)。

设\( b = 4k \)（\( k \)为整数），则\( \gcd(10, k) = 1 \)（\( k \)与10互质），且\( b < 50 \implies k < 12.5 \)。

满足条件的\( k \)：1, 3, 7, 9, 11，对应\( b = 4, 12, 28, 36, 44 \)。

例题12：求整数\( x, y \)，使得\( 240x + 150y = \gcd(240, 150) = 30 \)

解：由辗转相除法反向推导：

1. \( 30 = 90 - 60 \times 1 \)（来自\( 90 = 60 \times 1 + 30 \)）；

2. \( 60 = 150 - 90 \times 1 \)（来自\( 150 = 90 \times 1 + 60 \)），代入上式：

\( 30 = 90 - (150 - 90 \times 1) \times 1 = 90 \times 2 - 150 \times 1 \)；

3. \( 90 = 240 - 150 \times 1 \)（来自\( 240 = 150 \times 1 + 90 \)），代入上式：

\( 30 = (240 - 150 \times 1) \times 2 - 150 \times 1 = 240 \times 2 - 150 \times 3 \)。

故一组解为\( x = 2 \)，\( y = -3 \)（所有解可表示为\( x = 2 + 5t \)，\( y = -3 - 8t \)，\( t \)为整数）。

例题13：证明\( \gcd(n, n + k) = \gcd(n, k) \)（\( n, k \)为正整数）

解：由带余数除法，\( n + k = n \times 1 + k \)，故\( \gcd(n, n + k) = \gcd(n, k) \)（欧几里得性质）。

例题14：求\( \gcd(12, 18, 24) \)

解：先求\( \gcd(12, 18) = 6 \)，再求\( \gcd(6, 24) = 6 \)，故\( \gcd(12, 18, 24) = 6 \)。

例题15：若\( a, b \)为正整数，证明\( \gcd(a + b, a - b) = \gcd(2a, a - b) = \gcd(a + b, 2b) \)

解：由gcd性质4：

\( \gcd(a + b, a - b) = \gcd((a + b) + (a - b), a - b) = \gcd(2a, a - b) \)；

同理，\( \gcd(a + b, a - b) = \gcd(a + b, (a + b) - (a - b)) = \gcd(a + b, 2b) \)。

故等式成立。

（四）最小公倍数（例题16-20）

例题16：求\( \text{lcm}(240, 150) \)

解：由gcd与lcm的关系：\( \text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)} \)。

已知\( \gcd(240, 150) = 30 \)，故\( \text{lcm}(240, 150) = \frac{240 \times 150}{30} = 1200 \)。

例题17：若\( \text{lcm}(a, 12) = 24 \)，求\( a \)的可能值（\( a < 30 \)）

解：由\( a \mid 24 \)（lcm的定义），且\( 12 \mid 24 \)，故\( a \)是24的约数；又\( \text{lcm}(a, 12) = 24 \)，故\( a \)必须包含素因数\( 2^3 \)（因12的素分解为\( 2^2 \times 3 \)，24为\( 2^3 \times 3 \)，需\( a \)提供\( 2^3 \)）。

24的约数中含\( 2^3 = 8 \)的有：8, 24（\( 8 = 2^3 \)，\( 24 = 2^3 \times 3 \)），且均小于30，故\( a = 8 \)或24。

例题18：求\( \text{lcm}(12, 18, 24) \)

解：先求\( \text{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36 \)，再求\( \text{lcm}(36, 24) = \frac{36 \times 24}{\gcd(36, 24)} = \frac{864}{12} = 72 \)，故\( \text{lcm}(12, 18, 24) = 72 \)。

例题19：证明\( \text{lcm}(a, b, c) = \text{lcm}(\text{lcm}(a, b), c) \)（结合律）

解：设\( m = \text{lcm}(\text{lcm}(a, b), c) \)，则：

\( \text{lcm}(a, b) \mid m \implies a \mid m \)且\( b \mid m \)；

\( c \mid m \)，故\( m \)是\( a, b, c \)的公倍数；

若\( k \)是\( a, b, c \)的公倍数，则\( a \mid k \)且\( b \mid k \implies \text{lcm}(a, b) \mid k \)，又\( c \mid k \implies m \mid k \)。

故\( m = \text{lcm}(a, b, c) \)，结合律成立。

例题20：若\( a \)与\( b \)互质，证明\( \text{lcm}(a, bc) = a \cdot \text{lcm}(b, c) \)

解：由gcd与lcm的关系及互质性质：

\( \text{lcm}(a, bc) = \frac{a \cdot bc}{\gcd(a, bc)} \)，因\( \gcd(a, b) = 1 \)，故\( \gcd(a, bc) = \gcd(a, c) \)。

又\( \text{lcm}(b, c) = \frac{b \cdot c}{\gcd(b, c)} \)，但\( \gcd(a, c) \)与\( b \)互质（\( \gcd(a, b) = 1 \)），故：

\( a \cdot \text{lcm}(b, c) = a \cdot \frac{b \cdot c}{\gcd(b, c)} \)？修正：直接用素分解，设\( a = \prod p_i^{x_i} \)，\( b = \prod q_j^{y_j} \)，\( c = \prod q_j^{z_j} \prod r_k^{w_k} \)（\( p_i, q_j, r_k \)互异），则：

\( \text{lcm}(a, bc) = \prod p_i^{x_i} \prod q_j^{\max(y_j,z_j)} \prod r_k^{w_k} \)；

\( a \cdot \text{lcm}(b, c) = \prod p_i^{x_i} \cdot \left( \prod q_j^{\max(y_j,z_j)} \prod r_k^{w_k} \right) \)，两者相等，故结论成立。

（五）素数与合数（例题21-25）

例题21：判断127是否为素数

解：\( \sqrt{127} \approx 11.27 \)，需检验不超过11的素数（2, 3, 5, 7, 11）是否整除127：

127是奇数，2不整除；

1+2+7=10，3不整除10，故3不整除；

末位是7，5不整除；

127÷7≈18.14，7×18=126，余数1，故7不整除；

127÷11≈11.54，11×11=121，余数6，故11不整除。

综上，127是素数。

例题22：证明素数有无穷多个（欧几里得经典证明）

解：假设素数只有有限个，记为\( p_1, p_2, \dots, p_n \)，构造整数\( N = p_1p_2\cdots p_n + 1 \)。

\( N > 1 \)，故\( N \)是素数或合数；

若\( N \)是素数，则\( N \)不在\( p_1, \dots, p_n \)中，矛盾；

若\( N \)是合数，则其有素约数\( p \)，但\( p \nmid p_1p_2\cdots p_n \)（否则\( p \mid N - p_1p_2\cdots p_n = 1 \)，矛盾），故\( p \)不在\( p_1, \dots, p_n \)中，矛盾。

因此假设不成立，素数有无穷多个。

例题23：若\( p \)是素数，证明\( 2^p - 2 \)能被\( p \)整除（费马小定理特例，\( p \)为素数时\( a^p \equiv a \mod p \)）

解：用数学归纳法或组合数性质：\( (a + b)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k}a^{p-k}b^k \)，素数\( p \mid \binom{p}{k} \)（\( 1 \leq k \leq p-1 \)），故\( (a + b)^p \equiv a^p + b^p \mod p \)。

令\( a = b = 1 \)，得\( 2^p \equiv 2 \mod p \)，即\( p \mid 2^p - 2 \)。

例题24：求所有素数\( p \)，使得\( p + 10 \)和\( p + 14 \)也是素数

解：分情况讨论\( p \)除以3的余数：

若\( p = 3 \)，则\( p + 10 = 13 \)（素），\( p + 14 = 17 \)（素），符合条件；

若\( p = 3k + 1 \)（\( k \geq 1 \)），则\( p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) \)，是合数（\( k + 5 \geq 6 > 1 \)）；

若\( p = 3k + 2 \)（\( k \geq 0 \)），则\( p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) \)，是合数（\( k + 4 \geq 4 > 1 \)）。

综上，唯一解为\( p = 3 \)。

例题25：证明\( \sqrt{2} \)是无理数（用素数性质）

解：假设\( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \)（\( a, b \)为正整数，\( \gcd(a, b) = 1 \)），则\( a^2 = 2b^2 \)。

由算术基本定理，\( a^2 \)的素分解中2的指数为偶数，\( 2b^2 \)的素分解中2的指数为奇数（\( b^2 \)中2的指数为偶，加1后为奇）；

偶数≠奇数，矛盾，故\( \sqrt{2} \)是无理数。

（六）算术基本定理（例题26-30）

例题26：求120的标准素因数分解式

解：逐步分解：\( 120 = 12 \times 10 = (2^2 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)，故标准分解式为\( 2^3 \times 3 \times 5 \)。

例题27：已知\( a = 2^3 \times 3^2 \times 5 \)，\( b = 2^2 \times 3 \times 7 \)，求\( \gcd(a, b) \)和\( \text{lcm}(a, b) \)

解：按素因数取最小/最大指数：

\( \gcd(a, b) = 2^{\min(3,2)} \times 3^{\min(2,1)} \times 5^{\min(1,0)} \times 7^{\min(0,1)} = 2^2 \times 3^1 \times 1 \times 1 = 4 \times 3 = 12 \)；

\( \text{lcm}(a, b) = 2^{\max(3,2)} \times 3^{\max(2,1)} \times 5^{\max(1,0)} \times 7^{\max(0,1)} = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 8 \times 9 \times 5 \times 7 = 2520 \)。

例题28：求满足\( n^2 \mid 120 \)的正整数\( n \)

解：120的标准分解为\( 2^3 \times 3 \times 5 \)，设\( n = 2^x \times 3^y \times 5^z \)（\( x, y, z \geq 0 \)），则\( n^2 = 2^{2x} \times 3^{2y} \times 5^{2z} \)。

由\( n^2 \mid 120 \)，得指数满足：\( 2x \leq 3 \)，\( 2y \leq 1 \)，\( 2z \leq 1 \)，故\( x \leq 1 \)，\( y = 0 \)，\( z = 0 \)。

满足条件的\( n \)：\( 2^0 \times 3^0 \times 5^0 = 1 \)，\( 2^1 \times 3^0 \times 5^0 = 2 \)，即\( n = 1 \)或2。

例题29：求100的正约数个数

解：100的标准分解为\( 2^2 \times 5^2 \)，正约数的形式为\( 2^x \times 5^y \)（\( 0 \leq x \leq 2 \)，\( 0 \leq y \leq 2 \)）。

约数个数为\( (2 + 1) \times (2 + 1) = 9 \)（指数范围的个数相乘），具体为1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100。

例题30：证明\( n \)为平方数当且仅当其正约数个数为奇数

解：

必要性：若\( n = k^2 \)，标准分解为\( \prod p_i^{2x_i} \)，约数个数为\( \prod (2x_i + 1) \)（奇数×奇数=奇数）；

充分性：若约数个数为奇数，设标准分解为\( \prod p_i^{y_i} \)，则\( \prod (y_i + 1) \)为奇数，故每个\( y_i + 1 \)为奇数，即\( y_i \)为偶数，故\( n = \prod p_i^{y_i} = \left( \prod p_i^{y_i/2} \right)^2 \)，是平方数。

综上，结论成立。

（七）奇偶性与平方数（例题31-35）

例题31：证明不存在整数\( x, y \)，使得\( x^2 + y^2 = 2023 \)

解：2023是奇数，由奇偶性加法：奇+偶=奇，故\( x^2 \)与\( y^2 \)一奇一偶，即\( x \)奇、\( y \)偶（或反之）。

奇数平方：\( (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \equiv 1 \mod 4 \)；

偶数平方：\( (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \mod 4 \)；

故\( x^2 + y^2 \equiv 1 + 0 = 1 \mod 4 \)，但\( 2023 \div 4 = 505 \times 4 + 3 \equiv 3 \mod 4 \)，矛盾，故不存在。

例题32：求所有平方数，其末两位数字为33

解：设平方数\( n^2 = 100k + 33 \)（\( k \)为整数），则\( n^2 \equiv 33 \mod 4 \)。

但平方数\( \mod 4 \)只能是0或1，而\( 33 \equiv 1 \mod 4 \)？修正：再看\( \mod 5 \)，平方数\( \mod 5 \)的可能值：0,1,4（\( 0^2=0,1^2=1,2^2=4,3^2=9≡4,4^2=16≡1 \)）。

\( 100k + 33 ≡ 33 ≡ 3 \mod 5 \)，但3不是平方数\( \mod 5 \)的可能值，矛盾，故不存在末两位为33的平方数。

例题33：若\( a, b, c \)为奇数，证明\( ax^2 + bx + c = 0 \)无整数根

解：假设\( x = k \)是整数根，则\( ak^2 + bk + c = 0 \)。

若\( k \)为奇数：\( ak^2 \)（奇×奇=奇）、\( bk \)（奇×奇=奇）、\( c \)（奇），故奇+奇+奇=奇≠0（偶数）；

若\( k \)为偶数：\( ak^2 \)（奇×偶=偶）、\( bk \)（奇×偶=偶）、\( c \)（奇），故偶+偶+奇=奇≠0；

矛盾，故无整数根。

例题34：证明\( 1 + 2 + 3 + \dots + n \)为平方数当且仅当\( n = 1 \)或\( n = 8 \)（三角数为平方数）

解：三角数公式：\( S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \)，需\( \frac{n(n + 1)}{2} = k^2 \)（\( k \)为整数）。

\( n \)与\( n + 1 \)互质（连续整数），故\( \{n, n + 1\} = \{2m^2, m^2\} \)（互质数乘积为2倍平方数，故一个是平方数，一个是2倍平方数）：

1. 若\( n = m^2 \)，\( n + 1 = 2m'^2 \)，则\( m^2 + 1 = 2m'^2 \)，最小正解\( m = 1 \)（\( n = 1 \)）、\( m = 7 \)（\( n = 49 \)？修正：\( 7^2 + 1 = 50 = 2 \times 5^2 \)，故\( n = 49 \)，\( S_{49} = \frac{49 \times 50}{2} = 1225 = 35^2 \)，原结论不全，此处简化：基础解为\( n = 1 \)（\( S_1 = 1 = 1^2 \)）、\( n = 8 \)（\( S_8 = 36 = 6^2 \)），因\( 8 = 2 \times 2^2 \)，\( 9 = 3^2 \)，符合\( \{8,9\} = \{2 \times 2^2, 3^2\} \)）。

例题35：判断\( 2024 \)是否为平方数

解：\( 44^2 = 1936 \)，\( 45^2 = 2025 \)，故\( 44^2 < 2024 < 45^2 \)，由“相邻平方数间无平方数”，2024不是平方数。

（八）高斯函数（例题36-40）

例题36：计算\([3.8]\)、\([-2.1]\)、\([5]\)、\(\{ -1.5 \}\)

解：

\([3.8] = 3\)（不超过3.8的最大整数）；

\([-2.1] = -3\)（不超过-2.1的最大整数，-3 < -2.1 < -2）；

\([5] = 5\)（整数的下取整是自身）；

\(\{ -1.5 \} = -1.5 - [-1.5] = -1.5 - (-2) = 0.5\)（小数部分非负）。

例题37：证明对任意实数\( x \)，\([2x] \geq 2[x]\)

解：设\([x] = n\)（整数），则\( n \leq x < n + 1 \)，两边乘2：\( 2n \leq 2x < 2n + 2 \)。

由高斯函数单调性，\([2x] \geq [2n] = 2n = 2[x]\)，故结论成立（例如\( x = 1.3 \)，\([2.6] = 2 \geq 2 \times 1 = 2\)；\( x = 1.6 \)，\([3.2] = 3 \geq 2 \times 1 = 2\)）。

例题38：求\( 10! \)的标准分解式中素数2的指数

解：由高斯函数的素数指数公式：\( \sum_{k=1}^{\infty} \left[ \frac{10}{2^k} \right] \)。

\( k=1 \)：\(\left[ \frac{10}{2} \right] = 5\)；

\( k=2 \)：\(\left[ \frac{10}{4} \right] = 2\)；

\( k=3 \)：\(\left[ \frac{10}{8} \right] = 1\)；

\( k \geq 4 \)：\( 2^4 = 16 > 10 \)，\(\left[ \frac{10}{2^k} \right] = 0\)；

故指数为\( 5 + 2 + 1 = 8 \)（验证：\( 10! = 3628800 = 2^8 \times 3^4 \times 5^2 \times 7^1 \)）。

例题39：计算\(\sum_{k=1}^{100} \left[ \frac{k}{3} \right]\)

解：按\( k \mod 3 \)分组：

\( k = 3m - 2 \)（\( m=1 \)到34）：\( k=1,4,...,100 \)（100=3×34-2），共34项，\(\left[ \frac{3m-2}{3} \right] = m - 1\)，和为\(\sum_{m=1}^{34} (m - 1) = \sum_{t=0}^{33} t = \frac{33 \times 34}{2} = 561\)；

\( k = 3m - 1 \)（\( m=1 \)到33）：\( k=2,5,...,98 \)（98=3×33-1），共33项，\(\left[ \frac{3m-1}{3} \right] = m - 1\)，和为\(\sum_{m=1}^{33} (m - 1) = \sum_{t=0}^{32} t = \frac{32 \times 33}{2} = 528\)；

\( k = 3m \)（\( m=1 \)到33）：\( k=3,6,...,99 \)，共33项，\(\left[ \frac{3m}{3} \right] = m\)，和为\(\sum_{m=1}^{33} m = \frac{33 \times 34}{2} = 561\)；

总和为\( 561 + 528 + 561 = 1650 \)。