解析几何 12 圆的标准式、一般式、直径式、参数式方程

一、深度理解：圆的标准方程

定义和形式：在平面直角坐标系中，圆的标准方程为\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)，其中\((a,b)\)是圆心的坐标，\(r\)是圆的半径。

例如，圆心为\((2,3)\)，半径为\(4\)的圆的方程是\((x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=16\)。

推导过程：设圆的圆心为\(C(a,b)\)，圆上任意一点为\(P(x,y)\)，根据两点间距离公式，点\(P\)到圆心\(C\)的距离\(\vert PC\vert=\sqrt{(x - a)^{2}+(y - b)^{2}}\)，因为圆上的点到圆心的距离等于半径\(r\)，所以\(\sqrt{(x - a)^{2}+(y - b)^{2}}=r\)，两边平方就得到圆的标准方程\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)。

应用场景和优势：当已知圆心坐标和半径时，使用标准方程可以很方便地写出圆的方程。在求解圆上的点的坐标、判断点与圆的位置关系（将点的坐标代入方程，若结果等于\(r^{2}\)，则点在圆上；若小于\(r^{2}\)，点在圆内；若大于\(r^{2}\)，点在圆外）等问题中非常实用。

1. 几何特征直观体现

圆心位置明确：在圆的标准方程\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)中，\((a,b)\)直接表示圆心的坐标。这使得我们可以很容易地在平面直角坐标系中定位圆的中心位置。例如，对于方程\((x - 3)^{2}+(y + 2)^{2}=16\)，我们能立刻知道圆心位于点\((3,-2)\)。

半径信息直接呈现：方程中的\(r\)就是圆的半径。以\((x - 3)^{2}+(y + 2)^{2}=16\)为例，通过观察就可以得出半径\(r = \sqrt{16}=4\)。这种直观性有助于我们快速了解圆的大小和位置。

2. 方便进行图形操作和分析

平移变换简单：若要将圆进行平移，只需改变圆心坐标\((a,b)\)的值。例如，将圆\((x - 2)^{2}+(y - 1)^{2}=9\)向右平移\(3\)个单位，向上平移\(2\)个单位，新的圆的方程为\((x - 2 - 3)^{2}+(y - 1 - 2)^{2}=9\)，即\((x - 5)^{2}+(y - 3)^{2}=9\)。这种基于标准方程的平移操作简单直观，便于理解图形在平面内的位置变化。

判断点与圆的位置关系便捷：对于平面内任意一点\((x_0,y_0)\)，判断它与圆\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)的位置关系，只需计算点\((x_0,y_0)\)到圆心\((a,b)\)的距离\(d=\sqrt{(x_0 - a)^{2}+(y_0 - b)^{2}}\)。若\(d = r\)，点在圆上；若\(d<r\)，点在圆内；若\(d>r\)，点在圆外。例如，对于圆\((x - 1)^{2}+(y + 1)^{2}=4\)，点\((2,1)\)到圆心\((1,-1)\)的距离\(d=\sqrt{(2 - 1)^{2}+(1 + 1)^{2}}=\sqrt{5}\)，因为\(\sqrt{5}>2\)，所以点\((2,1)\)在圆外。

3. 利于进行代数运算

与直线方程联立求解交点方便：当我们需要求解圆与直线的交点时，将直线方程（如\(y = kx + c\)）代入圆的标准方程，得到一个关于\(x\)的一元二次方程。例如，圆\((x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=4\)与直线\(y = x + 1\)联立，把\(y = x + 1\)代入圆的方程得\((x - 2)^{2}+((x + 1)-3)^{2}=4\)，展开并化简为\(x^{2}-4x + 4+(x - 2)^{2}=4\)，即\(2x^{2}-8x + 4 = 0\)，然后可以利用一元二次方程的求解方法求出交点的横坐标\(x\)的值，再代入直线方程求出纵坐标\(y\)的值。

在圆系方程构建中有优势：圆系方程是指具有某种共同性质的圆的集合的方程。在构建过两圆交点的圆系方程或者与已知圆相切的圆系方程等情况时，圆的标准方程可以方便地进行系数调整和参数设置。例如，已知圆\(C_1:(x - a_1)^{2}+(y - b_1)^{2}=r_1^{2}\)和圆\(C_2:(x - a_2)^{2}+(y - b_2)^{2}=r_2^{2}\)，过两圆交点的圆系方程可以设为\((x - a_1)^{2}+(y - b_1)^{2}-r_1^{2}+\lambda[(x - a_2)^{2}+(y - b_2)^{2}-r_2^{2}]=0\)（\(\lambda\neq - 1\)），这里基于标准方程的形式可以很清晰地看到圆系方程与已知圆方程之间的关系。

二、深度理解：圆的一般方程

定义和形式：圆的一般方程是\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)（\(D^{2}+E^{2}-4F>0\)）。

例如，方程\(x^{2}+y^{2}-2x + 4y - 4 = 0\)表示一个圆。

与标准方程的转换关系：将圆的标准方程\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)展开可得\(x^{2}-2ax + a^{2}+y^{2}-2by + b^{2}=r^{2}\)，即\(x^{2}+y^{2}-2ax - 2by + a^{2}+b^{2}-r^{2}=0\)，令\(D=-2a\)，\(E=-2b\)，\(F=a^{2}+b^{2}-r^{2}\)，就得到了一般方程的形式。反过来，对于一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey+F = 0\)，通过配方可转化为标准方程。例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}+2x - 4y - 4 = 0\)，配方可得\((x + 1)^{2}+(y - 2)^{2}=9\)，其圆心为\((-1,2)\)，半径为\(3\)。

应用场景和优势：在一些问题中，圆的方程可能是通过其他条件（如直线与圆的交点等）推导出来的，得到的往往是一般方程形式。它在研究圆的性质（如判断方程是否表示圆，通过配方求圆心和半径）以及与其他曲线联立求解交点等问题中有广泛应用。

1. 二次项系数特点

圆的一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0\)中，\(x^{2}\)和\(y^{2}\)的系数相同，且都为\(1\)。这是圆的一般方程在形式上的一个重要标志。如果二次项系数不相等或者不为\(1\)（但成相同比例），可以通过系数化为\(1\)的操作来判断是否为圆的方程。例如，方程\(2x^{2}+2y^{2}- 4x + 6y - 3 = 0\)，两边同时除以\(2\)得到\(x^{2}+y^{2}-2x + 3y-\frac{3}{2}=0\)，这样就符合圆的一般方程的二次项系数特征。

2. 判别式\(D^{2}+E^{2}-4F\)的作用

判断方程是否表示圆：当\(D^{2}+E^{2}-4F>0\)时，方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0\)表示一个圆。

例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}+2x - 4y + 1 = 0\)，这里\(D = 2\)，\(E=-4\)，\(F = 1\)，计算\(D^{2}+E^{2}-4F=2^{2}+(-4)^{2}-4\times1 = 4 + 16 - 4 = 16>0\)，所以该方程表示一个圆。

与圆的半径的关系：若方程表示圆，将其化为标准方程\((x +\frac{D}{2})^{2}+(y+\frac{E}{2})^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}\)，此时圆的半径\(r=\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}\)。可以看出，判别式的值直接决定了圆的半径大小。

例如，在方程\(x^{2}+y^{2}-6x + 8y + 9 = 0\)中，\(D=-6\)，\(E = 8\)，\(F = 9\)，\(r=\frac{\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}-4\times9}}{2}=\frac{\sqrt{36 + 64 - 36}}{2}=4\)。

3. 圆心坐标的确定

通过配方将圆的一般方程转化为标准方程，可以确定圆心坐标。对于圆的一般方程\(x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0\)，配方后得到\((x+\frac{D}{2})^{2}+(y +\frac{E}{2})^{2}=\frac{D^{2}+E^{2}-4F}{4}\)，其圆心坐标为\((-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})\)。

例如，对于圆\(x^{2}+y^{2}+4x - 2y - 4 = 0\)，配方可得\((x + 2)^{2}+(y - 1)^{2}=9\)，圆心坐标为\((-2,1)\)。

4. 与其他曲线方程的区别和联系

区别：与直线方程（如\(Ax + By + C = 0\)）相比，圆的一般方程是二次方程，而直线方程是一次方程。从图像上看，直线是一维的图形，而圆是二维的封闭图形。与椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\neq b\)）相比，圆的一般方程中\(x^{2}\)和\(y^{2}\)的系数相等，而椭圆方程中\(x^{2}\)和\(y^{2}\)的系数一般不相等。

联系：圆可以看作是椭圆的一种特殊情况，当椭圆的长半轴\(a\)和短半轴\(b\)相等时，椭圆就变成了圆。在某些几何问题中，圆和其他曲线（如直线、抛物线等）可能会相交，通过联立它们的方程（将圆的一般方程与其他曲线方程联立）可以求解交点等问题。

例如，联立圆的方程\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)和直线方程\(y = kx + b\)，可以求出直线与圆的交点坐标。

三、圆的直径式方程

1、推导过程

设圆的直径的两个端点坐标分别为\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，圆上任意一点\(P(x,y)\)。

因为\(AB\)是圆的直径，根据圆的性质，\(\angle APB = 90^{\circ}\)，所以\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\)。

已知\(\overrightarrow{AP}=(x - x_1,y - y_1)\)，\(\overrightarrow{BP}=(x - x_2,y - y_2)\)，则\((x - x_1)(x - x_2)+(y - y_1)(y - y_2)=0\)，这就是圆的直径式方程。

2、几何意义

方程\((x - x_1)(x - x_2)+(y - y_1)(y - y_2)=0\)表示的是平面直角坐标系中，以\(A(x_1,y_1)\)和\(B(x_2,y_2)\)为直径端点的圆上的所有点\((x,y)\)的集合。

从向量的角度看，它体现了圆上任意一点\(P\)与直径两端点\(A\)、\(B\)所构成的向量\(\overrightarrow{AP}\)与\(\overrightarrow{BP}\)相互垂直的关系，这是圆的一个重要几何性质。

3、特殊情况

当\(x_1 = x_2\)时，即直径平行于\(y\)轴，此时圆的方程为\((x - x_1)^2+(y - y_1)(y - y_2)=0\)。例如，直径端点为\((2,3)\)和\((2,5)\)，则圆的方程为\((x - 2)^2+(y - 3)(y - 5)=0\)。

当\(y_1 = y_2\)时，即直径平行于\(x\)轴，圆的方程为\((x - x_1)(x - x_2)+(y - y_1)^2=0\)。例如，直径端点为\((1,4)\)和\((3,4)\)，圆的方程为\((x - 1)(x - 3)+(y - 4)^2=0\)。

4、与其他方程形式的关系

与标准方程的关系：可以通过将直径式方程展开、配方等操作转化为标准方程。例如，对于以\((1,2)\)和\((3,4)\)为直径端点的圆，其直径式方程\((x - 1)(x - 3)+(y - 2)(y - 4)=0\)，展开并配方可得标准方程\((x - 2)^2+(y - 3)^2 = 2\)，从而可以得到圆心坐标为\((2,3)\)，半径为\(\sqrt{2}\)。

与一般方程的关系：直径式方程展开后就是一般方程的形式。如上述例子中，展开后的方程\(x^2 - 4x + 3 + y^2 - 6y + 8 = 0\)，即\(x^2+y^2 - 4x - 6y + 11 = 0\)，是圆的一般方程。

应用场景

求圆的方程：当已知圆的直径的两个端点坐标时，直接用直径式方程可以快速写出圆的方程，而无需先求圆心和半径。例如，已知圆的直径端点为\((-1,3)\)和\((5,-1)\)，则圆的方程为\((x + 1)(x - 5)+(y - 3)(y + 1)=0\)。

证明点在圆上：要判断一个点是否在以给定两点为直径端点的圆上，只需将该点的坐标代入直径式方程，如果等式成立，则点在圆上。例如，对于圆\((x - 2)(x - 4)+(y - 1)(y - 3)=0\)，判断点\((3,2)\)是否在圆上，将\(x = 3\)，\(y = 2\)代入方程，\((3 - 2)(3 - 4)+(2 - 1)(2 - 3)= - 1 - 1=-2\neq0\)，所以点\((3,2)\)不在圆上。

解决几何问题：在一些几何问题中，若涉及到圆的直径与其他线段的垂直关系等条件，利用直径式方程可以方便地建立等式进行求解。例如，已知圆的直径\(AB\)，\(A(1,1)\)，\(B(3,3)\)，直线\(l\)与圆相交于\(C\)、\(D\)两点，且\(AB\perp l\)，求直线\(l\)的方程。可先写出圆的直径式方程\((x - 1)(x - 3)+(y - 1)(y - 3)=0\)，再根据垂直关系和点的坐标求出直线\(l\)的斜率，进而求出直线\(l\)的方程。

四、深度理解：圆的参数方程

定义和形式：圆的参数方程为\(\begin{cases}x = a + r\cos\theta\\y = b + r\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数，\(\theta\in[0,2\pi)\)），其中\((a,b)\)是圆心坐标，\(r\)是半径。例如，对于圆心为\((1,2)\)，半径为\(3\)的圆，其参数方程是\(\begin{cases}x = 1 + 3\cos\theta\\y = 2 + 3\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\in[0,2\pi)\)）。

推导过程：在圆的标准方程\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)中，设\(\frac{x - a}{r}=\cos\theta\)，\(\frac{y - b}{r}=\sin\theta\)，则可以得到参数方程\(\begin{cases}x = a + r\cos\theta\\y = b + r\sin\theta\end{cases}\)。

应用场景和优势：在涉及圆上的动点的动态问题（如求动点的轨迹、圆的滚动等物理问题）以及一些积分运算（如计算圆的弧长、面积等）中，参数方程能更方便地进行处理。例如，计算圆\((x - 2)^{2}+(y - 3)^{2}=4\)上从\(\theta = 0\)到\(\theta=\frac{\pi}{2}\)的弧长，利用参数方程结合弧长公式\(L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^{2}+(\frac{dy}{d\theta})^{2}}d\theta\)就可以方便地求解。

1. 几何意义明确

圆的参数方程\(\begin{cases}x = a + r\cos\theta\\y = b + r\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为参数，\(\theta\in[0,2\pi)\)）中，\((a,b)\)表示圆心的坐标。对于圆上的任意一点\((x,y)\)，参数\(\theta\)具有明确的几何意义，它表示以圆心\((a,b)\)为极点，\(x\)轴正方向为极轴方向时，从\(x\)轴正半轴按逆时针方向旋转到连接圆心与该点的半径所转过的角度。

例如，对于圆心在原点\((0,0)\)，半径为\(r\)的圆，其参数方程为\(\begin{cases}x = r\cos\theta\\y = r\sin\theta\end{cases}\)。当\(\theta = 0\)时，\(x = r\)，\(y = 0\)，此时对应的点在\(x\)轴正半轴上；当\(\theta=\frac{\pi}{2}\)时，\(x = 0\)，\(y = r\)，对应的点在\(y\)轴正半轴上。

2. 与三角函数紧密结合

圆的参数方程是基于三角函数\(\cos\theta\)和\(\sin\theta\)构建的。由于三角函数具有周期性，\(\cos\theta\)和\(\sin\theta\)的周期都是\(2\pi\)，这与参数\(\theta\)的取值范围\([0,2\pi)\)相匹配，保证了在这个范围内可以完整地描述圆上的所有点。

并且，根据三角函数的平方关系\(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta = 1\)，对于圆的参数方程，将\(x = a + r\cos\theta\)和\(y = b + r\sin\theta\)代入\((x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}\)可得：

\((r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}\)，这就验证了参数方程所表示的点都在圆上。

3. 方便描述动点运动

在研究圆上动点的运动轨迹时，参数方程具有很大的优势。可以通过改变参数\(\theta\)来表示动点在圆上的位置随时间或其他因素的变化。

例如，假设有一个质点在圆心为\((2,3)\)，半径为\(5\)的圆上做匀速圆周运动，运动方程可以用参数方程\(\begin{cases}x = 2 + 5\cos(\omega t)\\y = 3 + 5\sin(\omega t)\end{cases}\)来表示，其中\(\omega\)是角速度，\(t\)是时间。这样就可以方便地研究质点在不同时刻的位置。

4. 便于进行积分运算

在计算圆的弧长、面积以及与曲线积分相关的问题时，圆的参数方程发挥了重要作用。

对于弧长计算，弧长公式为\(L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^{2}+(\frac{dy}{d\theta})^{2}}d\theta\)。对于圆的参数方程\(\begin{cases}x = a + r\cos\theta\\y = b + r\sin\theta\end{cases}\)，\(\frac{dx}{d\theta}=-r\sin\theta\)，\(\frac{dy}{d\theta}=r\cos\theta\)，代入弧长公式可得\(L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^{2}\sin^{2}\theta + r^{2}\cos^{2}\theta}d\theta=\int_{\alpha}^{\beta}r d\theta\)，当\(\alpha = 0\)，\(\beta = 2\pi\)时，就可以计算出圆的周长为\(2\pi r\)。

在计算圆的面积时，利用参数方程通过二重积分等方法也能更方便地进行推导和计算。