小学数学：和差、和倍、差倍、年龄问题

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一、和差问题

和差问题是已知两个数的和与差，求这两个数各是多少的应用题。

例如，已知两数之和是10，两数之差是2，要求出这两个数。

较大数=(和 + 差)÷2

较小数=(和 - 差)÷2

以刚才的例子来说，两数之和是10，两数之差是2。

较大数 = (10+2)÷2=6

较小数=(10 - 2)÷2 = 4

首先要明确哪个是大数，哪个是小数。一般情况下，如果题目中没有特别说明，我们可以根据“差”来判断，“比……多”的那个数是大数，“比……少”的那个数是小数。

比如，“甲、乙两数的和是20，甲数比乙数多4”，这里甲数是大数，乙数是小数。根据公式，甲数（较大数）=(20 + 4)÷2=12，乙数（较小数）=(20−4)÷2 = 8。

例1：学校有篮球和足球共36个，篮球比足球多4个，篮球和足球各有多少个？

分析：这里和是36（篮球和足球的总数），差是4（篮球比足球多的个数）。

解：篮球个数（较大数）=(36 + 4)÷2 = 20（个）

足球个数（较小数）=(36−4)÷2 = 16（个）

例2：兄弟两人共有零花钱50元，哥哥比弟弟多10元，兄弟两人各有多少零花钱？

分析：和是50，差是10。

解：哥哥的零花钱（较大数）=(50+10)÷2 = 30（元）

弟弟的零花钱（较小数）=(50 - 10)÷2 = 20（元）

二、和倍问题

和倍问题是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。例如，已知两个数的和是30，其中一个数是另一个数的2倍，要求出这两个数。

较小数 = 和÷(倍数 + 1)

较大数 = 较小数×倍数

以刚才的例子来说，倍数是2，和是30。

较小数 = 30÷(2 + 1)=10

较大数 = 10×2 = 20

首先要确定一份数（也就是较小数），一般是把倍数关系中“1倍量”设为较小数。根据“和”以及“倍数关系”来求出一份数，再根据倍数求出另一个数。

比如，“甲、乙两数的和是48，甲数是乙数的3倍”，这里乙数是“1倍量”（较小数）。根据公式，乙数（较小数） = 48÷(3 + 1)=12，甲数（较大数） = 12×3 = 36。

例1：学校有篮球和足球共45个，篮球个数是足球个数的4倍，篮球和足球各有多少个？

分析：这里和是45（篮球和足球的总数），倍数是4（篮球个数是足球个数的倍数）。

解：足球个数（较小数） = 45÷(4 + 1)=9（个）

篮球个数（较大数） = 9×4 = 36（个）

例2：兄弟两人共有零花钱60元，哥哥的零花钱是弟弟的5倍，兄弟两人各有多少零花钱？

分析：和是60，倍数是5。

解：弟弟的零花钱（较小数） = 60÷(5 + 1)=10（元）

哥哥的零花钱（较大数） = 10×5 = 50（元）

三、差倍问题

差倍问题是指已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，来求这两个数各是多少的问题。

例如，已知两个数的差是8，一个数是另一个数的3倍，需要求出这两个数。

较小数 = 差÷(倍数 - 1)

较大数 = 较小数×倍数

首先要找出“1倍量”，也就是较小数。通过两个数的差和倍数关系求出较小数，再根据倍数求出较大数。比如，“甲、乙两数的差是20，甲数是乙数的5倍”，这里乙数是“1倍量”（较小数）。根据公式，乙数（较小数） = 20÷(5 - 1)=5，甲数（较大数） = 5×5 = 25。

例1：小明的邮票数比小红多30张，小明的邮票数是小红的4倍，小明和小红各有多少张邮票？

分析：这里差是30（小明和小红邮票数的差），倍数是4（小明邮票数是小红邮票数的倍数）。

解：小红的邮票数（较小数） = 30÷(4 - 1)=10（张）

小明的邮票数（较大数） = 10×4 = 40（张）

例2：某工厂男职工人数比女职工多60人，男职工人数是女职工人数的3倍，男女职工各有多少人？

分析：差是60，倍数是3。

解：女职工人数（较小数） = 60÷(3 - 1)=30（人）

男职工人数（较大数） = 30×3 = 90（人）

例3：爸爸的年龄比小明大24岁，爸爸年龄是小明年龄的4倍，爸爸和小明各多少岁？

分析：在这个问题中，年龄差是24岁，倍数是4倍。根据差倍问题的公式，较小数（小明的年龄） = 差÷(倍数 - 1)，即\(24\div(4 - 1)=8\)岁。

那么爸爸的年龄（较大数） = 小明年龄×倍数，即\(8\times4 = 32\)岁。

例4：图书馆的故事书比科技书多80本，故事书的数量是科技书的5倍，故事书和科技书各有多少本？

分析：这里差是80本，倍数是5倍。

解：科技书（较小数）的数量为\(80\div(5 - 1)=20\)本。

故事书（较大数）的数量为\(20\times5 = 100\)本。

例5：水果店运来的苹果比香蕉重120千克，苹果的重量是香蕉的4倍，苹果和香蕉各重多少千克？

分析：差是120千克，倍数是4倍。

解：香蕉（较小数）的重量为\(120\div(4 - 1)=40\)千克。

苹果（较大数）的重量为\(40\times4 = 160\)千克。

例6：一根绳子，截下的部分比剩下的部分长20米，截下部分的长度是剩下部分长度的3倍，这根绳子截下部分和剩下部分各长多少米？

分析：差是20米，倍数是3倍。

解：剩下部分（较小数）的长度为\(20\div(3 - 1)=10\)米。

截下部分（较大数）的长度为\(10\times3 = 30\)米。

四、年龄问题

1、年龄差不变原理是年龄问题的核心原理。

例如，小明今年\(10\)岁，爸爸今年\(35\)岁，他们的年龄差是\(35 - 10 = 25\)岁。不管经过多少年，这个年龄差始终保持不变。10年后，小明\(20\)岁，爸爸\(45\)岁，年龄差依然是\(45 - 20 = 25\)岁。

2、简单年龄问题（求年龄差）

例1：小红今年\(8\)岁，妈妈今年\(32\)岁，她们的年龄差是多少？

直接用减法计算，年龄差为\(32 - 8 = 24\)岁。

3、年龄和问题（已知年龄和与年龄差，求各自年龄）

例2：父子年龄和是\(48\)岁，年龄差是\(24\)岁，求父子各自的年龄。

方法一：可以用和差问题的公式来求解。较大数（父亲年龄）\(=(年龄和 + 年龄差)\div2=(48 + 24)\div2 = 36\)岁；较小数（儿子年龄）\(=(年龄和 - 年龄差)\div2=(48 - 24)\div2 = 12\)岁。

方法二：设儿子年龄为\(x\)岁，因为年龄差是\(24\)岁，所以父亲年龄为\((x + 24)\)岁。根据年龄和是\(48\)岁，可列方程\(x+(x + 24)=48\)，解方程\(2x + 24 = 48\)，得\(2x = 24\)，\(x = 12\)岁，那么父亲年龄是\(12 + 24 = 36\)岁。

4、年龄倍数问题（已知年龄倍数关系和年龄和或年龄差，求年龄）

例3：今年哥哥的年龄是弟弟年龄的\(3\)倍，兄弟俩年龄和是\(24\)岁，求兄弟俩今年各多少岁？

设弟弟年龄为\(x\)岁，哥哥年龄就是\(3x\)岁。根据年龄和是\(24\)岁，可列方程\(x + 3x = 24\)，解方程\(4x = 24\)，得\(x = 6\)岁，哥哥年龄是\(3\times6 = 18\)岁。

5、年龄变化问题（经过若干年后年龄倍数关系改变）

例4：小明今年\(5\)岁，爸爸今年\(30\)岁，问再过几年爸爸的年龄是小明年龄的\(4\)倍？

设再过\(x\)年，爸爸的年龄是小明年龄的\(4\)倍。\((5 + x)\times4 = 30 + x\)，展开式子得\(20 + 4x = 30 + x\)，移项得\(4x - x = 30 - 20\)，即\(3x = 10\)，解得\(x=\frac{10}{3}\approx3.33\)年。