小学数学：消元法

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一、消元法的定义与核心思想

消元法是代数中通过减少未知数个数来求解方程组的方法，核心是利用等式性质将多元方程组转化为一元方程，常见于线性方程组、多项式方程组等问题中。根据不同的数学场景，消元法衍生出多种具体方法，以下详细介绍主流类型。

二、常见消元法分类及讲解

（一）代入消元法

原理：用含一个未知数的表达式表示另一个未知数，代入其他方程消去该未知数。

适用：线性方程组、简单非线性方程组。

例题1：线性方程组求解

解方程组：

\(\begin{cases}2x + y = 5 \\ x - 3y = -1\end{cases}\)

步骤：

1. 由第一个方程得：\(y = 5 - 2x\)

2. 代入第二个方程：\(x - 3(5 - 2x) = -1\)，即\(x - 15 + 6x = -1\)

3. 解得：\(7x = 14 \Rightarrow x = 2\)，回代得\(y = 5 - 2×2 = 1\)

答案：\(x=2\)，\(y=1\)

例题2：含二次项的方程组

解方程组：

\(\begin{cases}y = x^2 + 3x - 2 \\ 2x + y = 4\end{cases}\)

步骤：

1. 将第一个方程代入第二个方程：\(2x + x^2 + 3x - 2 = 4\)

2. 整理得：\(x^2 + 5x - 6 = 0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=-6\)

3. 回代得\(y_1=4 - 2×1=2\)，\(y_2=4 - 2×(-6)=16\)

答案：\((1,2)\)，\((-6,16)\)

例题3：分式方程组

解方程组：

\(\begin{cases}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 3 \\ \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{y} = 1\end{cases}\)

步骤：

1. 设\(a=\dfrac{1}{x}\)，\(b=\dfrac{1}{y}\)，方程组变为\(\begin{cases}a + b = 3 \\ 2a - b = 1\end{cases}\)

2. 由第一个方程得\(b=3 - a\)，代入第二个方程：\(2a - (3 - a)=1 \Rightarrow 3a=4 \Rightarrow a=\dfrac{4}{3}\)

3. 回代得\(b=3 - \dfrac{4}{3}=\dfrac{5}{3}\)，故\(x=\dfrac{3}{4}\)，\(y=\dfrac{3}{5}\)

答案：\(x=\dfrac{3}{4}\)，\(y=\dfrac{3}{5}\)

例题4：三元一次方程组

解方程组：

\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2\end{cases}\)

步骤：

1. 由第一个方程得\(z=6 - x - y\)，代入后两个方程：

\(2x - y + 6 - x - y = 3 \Rightarrow x - 2y = -3\)

\(x + 2y - (6 - x - y) = 2 \Rightarrow 2x + 3y = 8\)

2. 解新方程组\(\begin{cases}x - 2y = -3 \\ 2x + 3y = 8\end{cases}\)，由\(x=2y-3\)代入得\(2(2y-3)+3y=8 \Rightarrow y=2\)，回代得\(x=1\)，\(z=3\)

答案：\(x=1\)，\(y=2\)，\(z=3\)

例题5：指数方程组

解方程组：

\(\begin{cases}2^x + 2^y = 10 \\ 2^x \cdot 2^y = 16\end{cases}\)

步骤：

1. 设\(a=2^x\)，\(b=2^y\)，则\(\begin{cases}a + b = 10 \\ ab = 16\end{cases}\)

2. 由\(a=10 - b\)代入得\((10 - b)b=16 \Rightarrow b^2 -10b +16=0\)，解得\(b=2\)或\(b=8\)

3. 回代得\(a=8\)或\(a=2\)，故\(2^x=8 \Rightarrow x=3\)，\(2^y=2 \Rightarrow y=1\)；或\(x=1\)，\(y=3\)

答案：\((3,1)\)，\((1,3)\)

（二）加减消元法

原理：通过方程两边相加或相减消去一个未知数，适用于系数成倍数关系的方程组。

例题1：线性方程组

解方程组：

\(\begin{cases}3x + 2y = 11 \\ 2x - 2y = 4\end{cases}\)

步骤：

1. 两式相加：\((3x+2y)+(2x-2y)=11+4 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3\)

2. 代入第一个方程：\(3×3 + 2y=11 \Rightarrow y=1\)

答案：\(x=3\)，\(y=1\)

例题2：需系数调整的方程组

解方程组：

\(\begin{cases}4x + 3y = 17 \\ 5x - 2y = 4\end{cases}\)

步骤：

1. 消去\(y\)：第一个方程×2，第二个方程×3，得\(\begin{cases}8x + 6y = 34 \\ 15x - 6y = 12\end{cases}\)

2. 两式相加：\(23x=46 \Rightarrow x=2\)，代入第一个方程得\(y=3\)

答案：\(x=2\)，\(y=3\)

例题3：三元方程组

解方程组：

\(\begin{cases}x + 2y + z = 8 \\ 2x - y - z = 1 \\ 3x + y - 2z = 5\end{cases}\)

步骤：

1. 第一式+第二式：\(3x + y = 9\)（记为④）

2. 第二式×2 - 第三式：\((4x - 2y - 2z) - (3x + y - 2z) = 2 - 5 \Rightarrow x - 3y = -3\)（记为⑤）

3. 解④⑤：④×3 + ⑤得\(10x=24 \Rightarrow x=\dfrac{12}{5}\)，代入④得\(y=9 - 3×\dfrac{12}{5}=\dfrac{9}{5}\)，回代第一式得\(z=8 - \dfrac{12}{5} - 2×\dfrac{9}{5}=2\)

答案：\(x=\dfrac{12}{5}\)，\(y=\dfrac{9}{5}\)，\(z=2\)

例题4：含绝对值的方程组

解方程组：

\(\begin{cases}|x| + |y| = 5 \\ |x| - |y| = 1\end{cases}\)

步骤：

1. 两式相加：\(2|x|=6 \Rightarrow |x|=3\)，故\(x=±3\)

2. 两式相减：\(2|y|=4 \Rightarrow |y|=2\)，故\(y=±2\)

答案：\((3,2)\)，\((3,-2)\)，\((-3,2)\)，\((-3,-2)\)

例题5：分式方程组（需通分后加减）

解方程组：

\(\begin{cases}\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1\end{cases}\)

步骤：

1. 通分整理：\(\begin{cases}3x + 2y = 24 \\ 4x - 3y = 12\end{cases}\)

2. 消去\(y\)：第一式×3 + 第二式×2得\(9x + 8x = 72 + 24 \Rightarrow 17x=96 \Rightarrow x=\dfrac{96}{17}\)

3. 代入第一式得\(y=\dfrac{24 - 3×\dfrac{96}{17}}{2}=\dfrac{60}{17}\)

答案：\(x=\dfrac{96}{17}\)，\(y=\dfrac{60}{17}\)

（三）行列式消元法（克莱姆法则）

原理：利用行列式求解线性方程组，适用于未知数与方程数相等的线性方程组。

条件：系数行列式\(D≠0\)时，解为\(x_i=\dfrac{D_i}{D}\)，其中\(D_i\)是将\(D\)的第\(i\)列替换为常数项的行列式。

例题1：二元一次方程组

解方程组：

\(\begin{cases}2x + 3y = 7 \\ x - 2y = -1\end{cases}\)

步骤：

1. 系数行列式\(D=\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & -2\end{vmatrix}=2×(-2)-3×1=-7\)

2. \(D_x=\begin{vmatrix}7 & 3 \\ -1 & -2\end{vmatrix}\)

\(=7×(-2)-3×(-1)=-11\)，\(D_y=\begin{vmatrix}2 & 7 \\ 1 & -1\end{vmatrix}=2×(-1)-7×1=-9\)

3. 解为\(x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{11}{7}\)，\(y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{9}{7}\)

答案：\(x=\dfrac{11}{7}\)，\(y=\dfrac{9}{7}\)

例题2：三元一次方程组

解方程组：

\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2\end{cases}\)

步骤：

1. 系数行列式

\(D=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1\end{vmatrix}\)\(=1×(1×(-1)-1×2)-1×(2×(-1)-1×1)+1×(2×2-(-1)×1)=1×(-3)-1×(-3)+1×5=5\)

2. \(D_x=\begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1\end{vmatrix}\)

\(=6×((-1)×(-1)-1×2)-1×(3×(-1)-1×2)+1×(3×2-(-1)×2)=6×(-1)-1×(-5)+1×8=5\)，同理\(D_y=10\)，\(D_z=15\)

3. 解为\(x=1\)，\(y=2\)，\(z=3\)（与代入法结果一致）

例题3：含参数的方程组（判断解的存在性）

当\(k\)为何值时，方程组\(\begin{cases}kx + y = 1 \\ x + ky = k\end{cases}\)有唯一解？

步骤：

1. 系数行列式\(D=\begin{vmatrix}k & 1 \\ 1 & k\end{vmatrix}=k^2 - 1\)

2. 当\(D≠0\)即\(k≠±1\)时，方程组有唯一解

答案：\(k≠±1\)

例题4：齐次方程组（求非零解条件）

方程组\(\begin{cases}(k-1)x + y = 0 \\ x + (k-1)y = 0\end{cases}\)有非零解，求\(k\)的值。

步骤：

1. 齐次方程组有非零解当且仅当\(D=0\)，即\(\begin{vmatrix}k-1 & 1 \\ 1 & k-1\end{vmatrix}=(k-1)^2 - 1=k^2 - 2k=0\)

2. 解得\(k=0\)或\(k=2\)

答案：\(k=0\)或\(k=2\)

例题5：三元齐次方程组

求方程组\(\begin{cases}x + y + z = 0 \\ 2x - y + 3z = 0 \\ 3x + 2y - z = 0\end{cases}\)的非零解。

步骤：

1. 系数行列式

\(D=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & -1\end{vmatrix}\)\(=1×(1×1 - 3×2) - 1×(2×(-1) - 3×3) + 1×(2×2 - (-1)×3)=1×(-5)-1×(-11)+1×7=13≠0\)

2. 故方程组仅有零解：\(x=y=z=0\)

答案：无非零解

（四）整体消元法

原理：将多个未知数的组合视为整体，通过整体代入或运算消去复杂项，适用于对称式、轮换式或可分组的方程组。

例题1：对称式方程组

解方程组：

\(\begin{cases}x + y = 5 \\ xy = 6\end{cases}\)

步骤：

1. 视\(x\)、\(y\)为方程\(t^2 - 5t + 6=0\)的两根（韦达定理）

2. 解方程得\(t=2\)或\(t=3\)，故\(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\)或\(\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}\)

答案：\((2,3)\)，\((3,2)\)

例题2：分式整体消元

解方程组：

\(\begin{cases}\dfrac{2}{x+y} + \dfrac{1}{x-y} = 3 \\ \dfrac{3}{x+y} - \dfrac{2}{x-y} = 1\end{cases}\)

步骤：

1. 设\(a=\dfrac{1}{x+y}\)，\(b=\dfrac{1}{x-y}\)，方程组变为\(\begin{cases}2a + b = 3 \\ 3a - 2b = 1\end{cases}\)

2. 解得\(a=1\)，\(b=1\)，故\(\begin{cases}x+y=1 \\ x-y=1\end{cases}\)，再解得\(x=1\)，\(y=0\)

答案：\(x=1\)，\(y=0\)

例题3：根式方程组

解方程组：

\(\begin{cases}\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ \sqrt{xy} = 6\end{cases}\)

步骤：

1. 设\(a=\sqrt{x}\)，\(b=\sqrt{y}\)，则\(\begin{cases}a + b = 5 \\ ab = 6\end{cases}\)

2. 解得\(a=2\)，\(b=3\)或\(a=3\)，\(b=2\)，故\(x=4\)，\(y=9\)或\(x=9\)，\(y=4\)

答案：\((4,9)\)，\((9,4)\)

例题4：高次方程组（因式分解整体消元）

解方程组：

\(\begin{cases}x^3 + y^3 = 91 \\ x + y = 7\end{cases}\)

步骤：

1. 利用公式\(x^3 + y^3=(x+y)^3 - 3xy(x+y)\)，代入得\(91=7^3 - 3×7×xy\)

2. 计算得\(91=343 - 21xy \Rightarrow 21xy=252 \Rightarrow xy=12\)

3. 解\(\begin{cases}x + y=7 \\ xy=12\end{cases}\)，得\(x=3\)，\(y=4\)或\(x=4\)，\(y=3\)

答案：\((3,4)\)，\((4,3)\)

例题5：三元轮换方程组

解方程组：

\(\begin{cases}x + y = 5 \\ y + z = 7 \\ z + x = 6\end{cases}\)

步骤：

1. 三式相加得\(2(x+y+z)=18 \Rightarrow x+y+z=9\)

2. 分别减去各方程得：\(z=9-5=4\)，\(x=9-7=2\)，\(y=9-6=3\)

答案：\(x=2\)，\(y=3\)，\(z=4\)

（五）参数消元法（设参消元）

原理：引入参数表示未知数，通过参数建立关系后消去参数，适用于比例式、轨迹方程等问题。

例题1：比例方程组

已知\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\)，且\(x + y + z=18\)，求\(x\)，\(y\)，\(z\)。

步骤：

1. 设\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=k\)，则\(x=2k\)，\(y=3k\)，\(z=4k\)

2. 代入得\(2k+3k+4k=18 \Rightarrow 9k=18 \Rightarrow k=2\)

3. 故\(x=4\)，\(y=6\)，\(z=8\)

答案：\(x=4\)，\(y=6\)，\(z=8\)

例题2：轨迹方程（参数消参）

将参数方程\(\begin{cases}x = t + \dfrac{1}{t} \\ y = t^2 + \dfrac{1}{t^2}\end{cases}\)（\(t≠0\)）化为普通方程。

步骤：

1. 注意到\(y = t^2 + \dfrac{1}{t^2} = (t + \dfrac{1}{t})^2 - 2\)

2. 代入\(x=t+\dfrac{1}{t}\)得\(y = x^2 - 2\)

3. 因\(|t + \dfrac{1}{t}| \geq 2\)，故\(x \leq -2\)或\(x \geq 2\)

答案：\(y = x^2 - 2\)（\(x \leq -2\)或\(x \geq 2\)）

例题3：分式消参

已知\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3}\)，\(\dfrac{b}{c} = \dfrac{4}{5}\)，求\(\dfrac{a + b}{b + c}\)。

步骤：

1. 设\(a=2k\)，则\(b=3k\)；由\(\dfrac{b}{c}=\dfrac{4}{5}\)得\(c=\dfrac{15k}{4}\)

2. 代入得\(\dfrac{a + b}{b + c}=\dfrac{2k + 3k}{3k + \dfrac{15k}{4}}=\dfrac{5k}{\dfrac{27k}{4}}=\dfrac{20}{27}\)

答案：\(\dfrac{20}{27}\)

例题4：三角参数消元

已知\(x = \sinθ + \cosθ\)，\(y = \sinθ \cdot \cosθ\)，求\(x\)与\(y\)的关系。

步骤：

1. 对\(x\)平方得\(x^2 = (\sinθ + \cosθ)^2 = 1 + 2\sinθ\cosθ = 1 + 2y\)

2. 故\(x^2 = 2y + 1\)，且\(x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)

答案：\(x^2 = 2y + 1\)

例题5：空间直线参数方程消参

将直线参数方程\(\begin{cases}x = 1 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = 3 + 3t\end{cases}\)化为一般方程。

步骤：

1. 由前两式：\(t = \dfrac{x - 1}{2}\)，\(t = -y - 1\)，故\(\dfrac{x - 1}{2} = -y - 1 \Rightarrow x + 2y + 1 = 0\)

2. 由后两式：\(t = -y - 1\)，\(t = \dfrac{z - 3}{3}\)，故\(-y - 1 = \dfrac{z - 3}{3} \Rightarrow 3y + z = 0\)

3. 联立得一般方程：\(\begin{cases}x + 2y + 1 = 0 \\ 3y + z = 0\end{cases}\)

答案：\(\begin{cases}x + 2y + 1 = 0 \\ 3y + z = 0\end{cases}\)

三、消元法的选择策略

1. 方程形式简单：优先代入消元法（如线性方程组中某变量系数为1）。

2. 系数成倍数关系：优先加减消元法（减少计算量）。

3. 线性方程组且未知数少：行列式消元法（适合计算机编程或理论分析）。

4. 对称式或可分组结构：整体消元法（利用代数公式简化运算）。

5. 含比例、参数或轨迹问题：参数消元法（通过中间变量建立联系）。

消元法的核心是“化繁为简”，需根据方程组特点灵活选择方法，有时也可结合多种消元技巧（如先整体代换再加减消元），以提高解题效率。

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