小学数学：换元法

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一、换元法的核心思想

换元法是通过引入新变量（元）将复杂问题转化为简单问题的数学方法，其本质是映射与转化，核心目标是简化表达式结构、凸显问题本质。常见换元法可分为代数换元、三角换元、整体换元、分式换元、对称换元等类型，以下逐一详解。

二、常见换元方法及实例

（一）代数换元法（直接换元）

用新变量直接替换表达式中的某部分（如根式、高次项等），将复杂式子转化为整式或简单分式。

适用：含根号（如\(\sqrt{ax+b}\)）、指数式（如\(2^x\)）、多项式高次项等。

实例1：根式换元

问题：求函数\(y = x + \sqrt{1-x}\)的值域。

换元：设\(t = \sqrt{1-x}\)（\(t \geq 0\)），则\(x = 1 - t^2\)。

转化：\(y = 1 - t^2 + t = -t^2 + t + 1\)，化为二次函数求值域。

解：二次函数对称轴为\(t = \frac{1}{2}\)，最大值为\(\frac{5}{4}\)，值域为\((-\infty, \frac{5}{4}]\)。

实例2：指数换元

问题：解方程\(4^x + 2^x - 6 = 0\)。

换元：设\(t = 2^x\)（\(t > 0\)），则\(4^x = t^2\)。

转化：\(t^2 + t - 6 = 0\)，解得\(t = 2\)或\(t = -3\)（舍去）。

解：\(2^x = 2 \Rightarrow x = 1\)。

实例3：高次项换元

问题：因式分解\((x^2 + 3x + 2)(x^2 + 3x - 4) - 72\)。

换元：设\(t = x^2 + 3x\)，则原式\(=(t+2)(t-4) - 72\)。

转化：\(t^2 - 2t - 8 - 72 = t^2 - 2t - 80 = (t-10)(t+8)\)。

回代：\((x^2 + 3x - 10)(x^2 + 3x + 8) = (x-2)(x+5)(x^2 + 3x + 8)\)。

实例4：分式换元（单变量）

问题：求函数\(y = \frac{x}{x^2 + 1}\)的最大值。

换元：当\(x = 0\)时，\(y = 0\)；当\(x \neq 0\)时，设\(t = x + \frac{1}{x}\)（\(t \geq 2\)或\(t \leq -2\)）。

转化：\(y = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} = \frac{1}{t}\)，最大值为\(\frac{1}{2}\)（当\(x = 1\)时取得）。

实例5：复合根式换元

问题：化简\(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\)。

换元：设\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)（\(a > b > 0\)），两边平方得\(2 + \sqrt{3} = a + b + 2\sqrt{ab}\)。

转化：列方程组\(\begin{cases}a + b = 2 \\ 2\sqrt{ab} = \sqrt{3}\end{cases}\)，解得\(a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}\)。

解：\(\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\)。

（二）三角换元法

利用三角函数的性质，将代数表达式转化为三角表达式，适用于含\(\sqrt{a^2 - x^2}\)、\(\sqrt{x^2 + a^2}\)、\(\sqrt{x^2 - a^2}\)等结构。

实例1：圆方程换元

问题：已知\(x^2 + y^2 = 4\)，求\(3x + 4y\)的最大值。

换元：设\(x = 2\cos\theta\)，\(y = 2\sin\theta\)（\(\theta \in [0, 2\pi)\)）。

转化：\(3x + 4y = 6\cos\theta + 8\sin\theta = 10\sin(\theta + \varphi)\)，最大值为\(10\)。

实例2：椭圆方程换元

问题：求\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)上一点到点\((1, 0)\)的距离最小值。

换元：设\(x = 3\cos\theta\)，\(y = 2\sin\theta\)，距离平方为\((3\cos\theta - 1)^2 + (2\sin\theta)^2\)。

转化：\(9\cos^2\theta - 6\cos\theta + 1 + 4\sin^2\theta = 5\cos^2\theta - 6\cos\theta + 5\)。

解：设\(t = \cos\theta\)（\(t \in [-1, 1]\)），二次函数\(5t^2 - 6t + 5\)最小值在\(t = \frac{3}{5}\)时取得，最小值为\(\frac{16}{5}\)，距离为\(\frac{4\sqrt{5}}{5}\)。

实例3：双曲函数换元（类三角）

问题：化简\(\sqrt{x^2 - 1}\)（\(x \geq 1\)）。

换元：设\(x = \sec\theta\)（\(\theta \in [0, \frac{\pi}{2})\)），则\(\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta\)。

实例4：分式三角换元

问题：求函数\(y = \frac{\sin x}{2 + \cos x}\)的值域。

转化：\(y\)可视为点\((-\cos x, -\sin x)\)与点\((-2, 0)\)连线的斜率，点在单位圆上。

换元：设单位圆上点为\((\cos\alpha, \sin\alpha)\)，斜率\(k = \frac{\sin\alpha}{2 + \cos\alpha}\)，即\(\sin\alpha - k\cos\alpha = 2k\)。

解：左边绝对值\(\leq \sqrt{1 + k^2}\)，故\(|2k| \leq \sqrt{1 + k^2}\)，解得\(k \in [-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]\)。

实例5：三角恒等式换元

问题：已知\(a, b > 0\)，\(a + b = 1\)，求证\((a + \frac{1}{a})(b + \frac{1}{b}) \geq \frac{25}{4}\)。

换元：设\(a = \sin^2\theta\)，\(b = \cos^2\theta\)（\(\theta \in (0, \frac{\pi}{2})\)）。

转化：左边\(= (\sin^2\theta + \csc^2\theta)(\cos^2\theta + \sec^2\theta)\)，展开后利用\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)及均值不等式证明（过程略）。

（三）整体换元法（变量代换）

将表达式中的某部分（如多项式、分式、指数式等）视为整体，用新变量替换，简化运算。

实例1：多项式整体换元

问题：解方程\((x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12\)。

换元：设\(t = x^2 + x + 1\)，则方程化为\(t(t + 1) = 12 \Rightarrow t^2 + t - 12 = 0\)。

解：\(t = 3\)或\(t = -4\)，回代：

\(x^2 + x + 1 = 3 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1\)或\(x = -2\)；

\(x^2 + x + 1 = -4\)无实根。

实例2：分式整体换元

问题：解方程\(\frac{x^2 + 1}{x} + \frac{2x}{x^2 + 1} = 3\)。

换元：设\(t = \frac{x^2 + 1}{x}\)（\(t \neq 0\)），则方程化为\(t + \frac{2}{t} = 3 \Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0\)。

解：\(t = 1\)或\(t = 2\)，回代：

\(\frac{x^2 + 1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0\)无实根；

\(\frac{x^2 + 1}{x} = 2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)。

实例3：指数整体换元（方程组）

问题：解方程组\(\begin{cases}2^x + 3^y = 13 \\ 2^{x+1} - 3^{y+1} = 5\end{cases}\)。

换元：设\(a = 2^x\)，\(b = 3^y\)（\(a, b > 0\)），则方程组化为\(\begin{cases}a + b = 13 \\ 2a - 3b = 5\end{cases}\)。

解：解得\(a = 8\)，\(b = 5\)，即\(2^x = 8 \Rightarrow x = 3\)，\(3^y = 5 \Rightarrow y = \log_3 5\)。

实例4：递推数列整体换元

问题：已知\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = 2a_n + 3^n\)，求通项公式。

换元：两边除以\(3^{n+1}\)得\(\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}\)，设\(b_n = \frac{a_n}{3^n}\)，则\(b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n + \frac{1}{3}\)。

转化：线性递推数列，解得\(b_n = 1 - (\frac{2}{3})^n\)，故\(a_n = 3^n - 2^n\)。

实例5：积分中的整体换元（微积分）

问题：计算\(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^4}} dx\)。

换元：设\(t = x^2\)，则\(dt = 2x dx\)，原式\(= \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} dt\)。

解：\(= \frac{1}{2} \arcsin t + C = \frac{1}{2} \arcsin(x^2) + C\)。

（四）分式换元法（倒数换元）

对分式中的变量取倒数，或用新变量表示分式整体，适用于分母复杂、分子简单的分式问题。

实例1：倒数换元化简分式

问题：化简\(\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}\)（\(x \neq 0\)）。

换元：设\(t = x + \frac{1}{x}\)，则\(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2\)，原式\(= \frac{1}{x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{t^2 - 1}\)。

实例2：分式方程换元

问题：解方程\(\frac{3x}{x^2 - 1} + \frac{x^2 - 1}{3x} = \frac{5}{2}\)。

换元：设\(t = \frac{3x}{x^2 - 1}\)，方程化为\(t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2t^2 - 5t + 2 = 0\)。

解：\(t = 2\)或\(t = \frac{1}{2}\)，回代得\(x = 2, -1, \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)（注意验根）。

实例3：分式函数值域换元

问题：求\(y = \frac{2x + 1}{x - 3}\)的值域（\(x \neq 3\)）。

换元：设\(t = x - 3\)（\(t \neq 0\)），则\(x = t + 3\)，代入得\(y = \frac{2(t + 3) + 1}{t} = 2 + \frac{7}{t}\)。

解：\(\frac{7}{t} \neq 0\)，故值域为\((-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)。

实例4：分式不等式换元

问题：解不等式\(\frac{x}{x^2 - 4x + 4} > 1\)（\(x \neq 2\)）。

换元：设\(t = x - 2\)（\(t \neq 0\)），则\(x = t + 2\)，不等式化为\(\frac{t + 2}{t^2} > 1\)。

转化：\(\frac{t + 2 - t^2}{t^2} > 0 \Rightarrow -t^2 + t + 2 > 0 \Rightarrow t^2 - t - 2 < 0\)，解得\(t \in (-1, 2)\)且\(t \neq 0\)，回代得\(x \in (1, 2) \cup (2, 4)\)。

实例5：分式数列换元

问题：已知\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}\)，求通项公式。

换元：对递推式取倒数得\(\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{a_n}\)，设\(b_n = \frac{1}{a_n}\)，则\(b_{n+1} - b_n = \frac{1}{2}\)，等差数列。

解：\(b_n = b_1 + (n-1)\cdot\frac{1}{2} = 1 + \frac{n-1}{2} = \frac{n+1}{2}\)，故\(a_n = \frac{2}{n+1}\)。

（五）对称换元法（均值换元）

利用对称式性质，设新变量为对称式的均值，适用于含\(x + y\)、\(xy\)等对称结构的问题。

实例1：对称式方程换元

问题：已知\(x + y = 4\)，\(xy = 3\)，求\(x^3 + y^3\)的值。

换元：设\(x = 2 + t\)，\(y = 2 - t\)（均值为2），则\(xy = (2 + t)(2 - t) = 4 - t^2 = 3 \Rightarrow t^2 = 1\)。

解：\(x^3 + y^3 = (2 + t)^3 + (2 - t)^3 = 2(8 + 6t^2) = 2(8 + 6) = 28\)。

实例2：对称不等式换元

问题：设\(a, b > 0\)，\(a + b = 1\)，求证\(a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}\)。

换元：设\(a = \frac{1}{2} + t\)，\(b = \frac{1}{2} - t\)（\(t \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\)），则\(a^2 + b^2 = (\frac{1}{2} + t)^2 + (\frac{1}{2} - t)^2 = \frac{1}{2} + 2t^2 \geq \frac{1}{2}\)。