空间向量及其运算

空间向量的概念：

空间向量是在空间中具有大小和方向的量，与平面向量类似，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的大小叫做向量的模，记作\(\vert\vec{a}\vert\)。

零向量是模为\(0\)的向量，其方向是任意的，记作\(\vec{0}\)。

单位向量是模为\(1\)的向量。

相等向量是大小相等且方向相同的向量，相反向量是大小相等但方向相反的向量。

空间向量的运算：

加法运算：遵循三角形法则或平行四边形法则。三角形法则是将两个向量首尾相连，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点；平行四边形法则是将两个向量起点重合，以这两个向量为邻边作平行四边形，和向量是从公共起点指向对角顶点。

减法运算：减去一个向量等于加上它的相反向量，可通过三角形法则来实现，差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

数乘运算：实数\(\lambda\)与空间向量\(\vec{a}\)的乘积\(\lambda\vec{a}\)仍是一个向量，其模\(\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\)，当\(\lambda>0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相同；当\(\lambda<0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相反；当\(\lambda = 0\)时，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。

数量积运算：已知两个非零空间向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)，它们的夹角为\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)），则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)。若\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)。

空间向量基本定理

如果三个向量\(\vec{e}_{1}\)，\(\vec{e}_{2}\)，\(\vec{e}_{3}\)不共面，那么对空间任一向量\(\vec{p}\)，存在唯一的有序实数组\((x,y,z)\)，使\(\vec{p}=x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}+z\vec{e}_{3}\)。\(\vec{e}_{1}\)，\(\vec{e}_{2}\)，\(\vec{e}_{3}\)叫做空间的一个基底。

空间向量的坐标表示

在空间直角坐标系\(O - xyz\)中，设\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)，\(\vec{k}\)分别是\(x\)轴，\(y\)轴，\(z\)轴正方向上的单位向量。对于空间任意向量\(\vec{a}\)，若\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)，则有序实数组\((x,y,z)\)叫做向量\(\vec{a}\)在空间直角坐标系中的坐标，记作\(\vec{a}=(x,y,z)\)。

设\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)\)，则向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示如下：

\(\vec{a}+\vec{b}=(x_1 + x_2,y_1 + y_2,z_1 + z_2)\)

\(\vec{a}-\vec{b}=(x_1 - x_2,y_1 - y_2,z_1 - z_2)\)

\(\lambda\vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\)

空间向量的应用

证明平行与垂直问题：

设直线\(l\)，\(m\)的方向向量分别为\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量分别为\(\vec{n}_{1}\)，\(\vec{n}_{2}\)。

若\(l\parallel m\)，则\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，即\(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)（\(\lambda\in R\)）；若\(l\perp m\)，则\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，即\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。

若\(l\parallel\alpha\)，则\(\vec{a}\perp\vec{n}_{1}\)，即\(\vec{a}\cdot\vec{n}_{1}=0\)；若\(l\perp\alpha\)，则\(\vec{a}\parallel\vec{n}_{1}\)，即\(\vec{a}=\lambda\vec{n}_{1}\)（\(\lambda\in R\)）。

若\(\alpha\parallel\beta\)，则\(\vec{n}_{1}\parallel\vec{n}_{2}\)，即\(\vec{n}_{1}=\lambda\vec{n}_{2}\)（\(\lambda\in R\)）；若\(\alpha\perp\beta\)，则\(\vec{n}_{1}\perp\vec{n}_{2}\)，即\(\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}=0\)。

计算夹角问题：

设异面直线\(l\)，\(m\)所成的角为\(\theta\)，其方向向量分别为\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，则\(\cos\theta=\vert\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}\vert\)，注意异面直线所成角的范围是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。

设直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成的角为\(\varphi\)，\(l\)的方向向量为\(\vec{a}\)，平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}\)，则\(\sin\varphi=\vert\frac{\vec{a}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{n}\vert}\vert\)。

设二面角\(\alpha - l - \beta\)的大小为\(\theta\)，平面\(\alpha\)，\(\beta\)的法向量分别为\(\vec{n}_{1}\)，\(\vec{n}_{2}\)，则\(\cos\theta=\frac{\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}}{\vert\vec{n}_{1}\vert\vert\vec{n}_{2}\vert}\)或\(\cos\theta=-\frac{\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}}{\vert\vec{n}_{1}\vert\vert\vec{n}_{2}\vert}\)，具体正负号需根据二面角的实际情况确定，可通过观察法向量的方向来判断。

计算距离问题：

点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离\(d=\frac{\vert\vec{PA}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)，其中\(A\)是平面\(\alpha\)内任意一点，\(\vec{n}\)是平面\(\alpha\)的法向量。

两条异面直线\(l\)，\(m\)之间的距离\(d=\frac{\vert\vec{AB}\cdot\vec{n}\vert}{\vert\vec{n}\vert}\)，其中\(\vec{n}\)是与\(l\)，\(m\)都垂直的向量，\(A\)，\(B\)分别是\(l\)，\(m\)上的任意一点。

空间向量为解决立体几何问题提供了一种新的方法和思路，它将几何问题转化为向量的运算问题，使问题的解决更加简洁、直观和程序化，降低了立体几何问题的难度，在高中数学中具有重要的地位和作用。

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