一元一次方程、N元一次方程组

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一元一次方程

只含1个未知数，未知数最高次数为1，且等式两边为整式的方程，标准形式：\(ax + b = 0\)（\(a\)、\(b\)为常数，\(a \neq 0\)）。

解的情况（含参分析）设方程为\(ax + b = 0\)（\(a\)、\(b\)为参数，需讨论\(a\)的取值）：

当\(a \neq 0\)时：方程有唯一解，解为\(x = -\frac{b}{a}\)（这是最常见的情况，如\(2x + 3 = 0\)，解为\(x = -\frac{3}{2}\)）。

当\(a = 0\)时：

若\(b = 0\)：方程变为\(0x + 0 = 0\)，即\(0 = 0\)，此时方程有无数个解（任意实数都是解）。

若\(b \neq 0\)：方程变为\(0x + b = 0\)（如\(0x + 5 = 0\)），即\(b = 0\)，显然不成立，此时方程无解。

二元一次方程组

由2个含有2个相同未知数的二元一次方程（形如\(a_1x + b_1y = c_1\)，\(a_2x + b_2y = c_2\)，\(a_1\)、\(b_1\)不同时为0，\(a_2\)、\(b_2\)不同时为0）组成的方程组，标准形式：

\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)（\(a_1\)、\(b_1\)、\(c_1\)、\(a_2\)、\(b_2\)、\(c_2\)为常数）。

解的情况（含参分析）通过“系数比例”判断解的个数，核心是比较两个方程的“对应系数比”与“常数项比”：

当\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)时：两个方程对应的直线相交，方程组有唯一解（如\(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + y = 3 \end{cases}\)，解为\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}\)）。

当\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)时：两个方程对应的直线重合，方程组有无数个解（如\(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 6 \end{cases}\)，解可表示为\(\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \end{cases}\)，\(t\)为任意实数）。

当\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)时：两个方程对应的直线平行且不重合，方程组无解（如\(\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + 4y = 5 \end{cases}\)，化简后得\(0 = -1\)，矛盾）。

三元一次方程组

由3个含有3个相同未知数的三元一次方程（形如\(a_1x + b_1y + c_1z = d_1\)，\(a_2x + b_2y + c_2z = d_2\)，\(a_3x + b_3y + c_3z = d_3\)，每组系数不同时为0）组成的方程组，标准形式：

\(\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\)（所有字母为常数）。

解的情况（含参分析）本质是“三个平面的位置关系”，通过“消元转化为二元一次方程组”后判断：

若消元后得到的二元一次方程组有唯一解，代入原方程可求出第三个未知数，此时三元一次方程组有唯一解。

若消元后得到的二元一次方程组有无数个解（两方程重合），则三元一次方程组有无数个解（解可表示为含1个参数的形式，如\(\begin{cases} x = t \\ y = 2t - 1 \\ z = 3 - t \end{cases}\)，\(t\)为任意实数）。

若消元后得到的二元一次方程组无解（两方程平行），则三元一次方程组无解（如消元后得\(0 = 5\)，矛盾）。

例题1：含参判断解的情况——已知方程\((m - 2)x + 5 = 0\)，求\(m\)的取值与解的关系

解：这是一元一次方程的标准含参形式，核心讨论系数\(m - 2\)：

当\(m - 2 \neq 0\)，即\(m \neq 2\)时：方程有唯一解，解为\(x = -\frac{5}{m - 2}\)；

当\(m - 2 = 0\)，即\(m = 2\)时：方程变为\(0x + 5 = 0\)，即\(5 = 0\)，矛盾，无解。

例题2：含参求参数值——已知方程\(2(x - 1) + 3 = kx + 1\)有唯一解，且解为\(x = 2\)，求\(k\)的值

解：“解为\(x = 2\)”意味着代入方程等式成立，直接代入计算：

将\(x = 2\)代入方程：\(2(2 - 1) + 3 = 2k + 1\)

化简左边：\(2 \times 1 + 3 = 5\)，方程变为\(5 = 2k + 1\)

移项得\(2k = 4\)，解得\(k = 2\)。

例题3：分母含参数（需注意分母不为0）——解方程\(\frac{x}{m - 1} + 2 = 3\)（\(m \neq 1\)）

解：先化简方程，再结合分母限制条件：

移项得\(\frac{x}{m - 1} = 1\)，两边同乘\(m - 1\)（因\(m \neq 1\)，分母不为0，可乘）：

\(x = m - 1\)，即方程的解为\(x = m - 1\)。

例题4：方程有无数解的含参问题——已知\((a - 1)x + (b + 2) = 0\)有无数解，求\(a\)、\(b\)的值

解：“无数解”需满足“系数为0且常数项为0”：

系数部分：\(a - 1 = 0\)，得\(a = 1\)；

常数项部分：\(b + 2 = 0\)，得\(b = -2\)；

此时方程变为\(0x + 0 = 0\)，符合无数解条件。

例题5：绝对值型一元一次方程——解方程\(|2x - 3| = 5\)

解：绝对值方程的核心是“分情况去掉绝对值符号”，需满足\(|A| = B\)（\(B > 0\)）时，\(A = B\)或\(A = -B\)：

情况1：\(2x - 3 = 5\)，移项得\(2x = 8\)，解得\(x = 4\)；

情况2：\(2x - 3 = -5\)，移项得\(2x = -2\)，解得\(x = -1\)；

综上，方程的解为\(x = 4\)或\(x = -1\)。

例题6：绝对值方程无解的情况——已知\(|x + a| + 2 = 1\)无解，求\(a\)的取值

解：先化简方程：\(|x + a| = -1\)；

因绝对值的非负性（任意数的绝对值≥0），\(|x + a| = -1\)永远不成立，故无论\(a\)取何值，方程都无解。

例题7：分段函数型方程（隐含一元一次方程）——已知\(f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & (x \geq 0) \\ x + 3 & (x < 0) \end{cases}\)，求\(f(x) = 5\)的解

解：分两段讨论，每段对应一个一元一次方程：

当\(x \geq 0\)时：\(2x - 1 = 5\)，解得\(x = 3\)（满足\(x \geq 0\)，有效）；

当\(x < 0\)时：\(x + 3 = 5\)，解得\(x = 2\)（不满足\(x < 0\)，舍去）；

综上，解为\(x = 3\)。

例题8：含小数分母的方程（需转化为整数分母）——解方程\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02} - \frac{x + 1}{0.5} = 3\)

解：先将小数分母化为整数（利用“分子分母同乘10的倍数”）：

第一个分数：\(\frac{0.1x - 0.2}{0.02} = \frac{(0.1x - 0.2) \times 100}{0.02 \times 100} = \frac{10x - 20}{2} = 5x - 10\)；

第二个分数：\(\frac{x + 1}{0.5} = \frac{(x + 1) \times 10}{0.5 \times 10} = \frac{10x + 10}{5} = 2x + 2\)；

代入原方程：\(5x - 10 - (2x + 2) = 3\)，去括号得\(5x - 10 - 2x - 2 = 3\)；

合并同类项：\(3x - 12 = 3\)，移项得\(3x = 15\)，解得\(x = 5\)。

例题9：含参判断解的情况——已知方程组\(\begin{cases} (k - 1)x + 2y = k \\ 3x + (k + 1)y = 3 \end{cases}\)，讨论\(k\)的取值与解的关系

解：用“系数比例法”，先明确\(a_1 = k - 1\)，\(b_1 = 2\)，\(c_1 = k\)；\(a_2 = 3\)，\(b_2 = k + 1\)，\(c_2 = 3\)：

第一步：判断\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\)是否成立：\(\frac{k - 1}{3} = \frac{2}{k + 1}\)，交叉相乘得\((k - 1)(k + 1) = 6\)，即\(k^2 - 1 = 6\)，\(k^2 = 7\)，故\(k = \sqrt{7}\)或\(k = -\sqrt{7}\)；

第二步：分情况讨论：

1. 当\(k \neq \sqrt{7}\)且\(k \neq -\sqrt{7}\)时：\(\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}\)，方程组有唯一解；

2. 当\(k = \sqrt{7}\)时：判断\(\frac{c_1}{c_2} = \frac{k}{3} = \frac{\sqrt{7}}{3}\)，而\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt{7} - 1}{3} \neq \frac{\sqrt{7}}{3}\)，故\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\)，方程组无解；

3. 当\(k = -\sqrt{7}\)时：\(\frac{c_1}{c_2} = \frac{-\sqrt{7}}{3}\)，\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{-\sqrt{7} - 1}{3} \neq \frac{-\sqrt{7}}{3}\)，同理无解。

例题10：含参求参数值（无数解）——已知方程组\(\begin{cases} 2x + my = 4 \\ x + 4y = 8 \end{cases}\)有无数解，求\(m\)的值

解：“无数解”需满足\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)：

先算\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2\)，\(\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)；

若无数解，则\(\frac{b_1}{b_2} = 2\)且\(\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}\)？显然矛盾，故不存在这样的\(m\)，方程组不可能有无数解。

例题11：含参求参数值（唯一解满足条件）——已知方程组\(\begin{cases} 3x + 2y = m + 1 \\ 4x + 3y = m - 1 \end{cases}\)的解满足\(x > y\)，求\(m\)的取值范围

解：先求出方程组的解（用\(m\)表示），再代入\(x > y\)：

第一步：消元求解，用“加减消元法”：

①×3得\(9x + 6y = 3m + 3\)（③），②×2得\(8x + 6y = 2m - 2\)（④）；

③ - ④得\(x = m + 5\)，将\(x = m + 5\)代入①：\(3(m + 5) + 2y = m + 1\)；

化简：\(3m + 15 + 2y = m + 1\)，移项得\(2y = -2m - 14\)，故\(y = -m - 7\)；

第二步：代入\(x > y\)：\(m + 5 > -m - 7\)；

移项得\(2m > -12\)，解得\(m > -6\)。

例题12：整体代入法解方程组——解方程组\(\begin{cases} \frac{x + y}{2} + \frac{x - y}{3} = 6 \\ 4(x + y) - 5(x - y) = 2 \end{cases}\)

解：观察到方程中反复出现“\(x + y\)”和“\(x - y\)”，设\(A = x + y\)，\(B = x - y\)，转化为简单二元一次方程组：

原方程组变为\(\begin{cases} \frac{A}{2} + \frac{B}{3} = 6 \\ 4A - 5B = 2 \end{cases}\)；

先解第一个方程：去分母得\(3A + 2B = 36\)（①），第二个方程为\(4A - 5B = 2\)（②）；

①×5得\(15A + 10B = 180\)（③），②×2得\(8A - 10B = 4\)（④）；

③ + ④得\(23A = 184\)，解得\(A = 8\)，代入①得\(3×8 + 2B = 36\)，解得\(B = 6\)；

回代\(A = x + y = 8\)，\(B = x - y = 6\)，解新方程组：

两式相加得\(2x = 14\)，\(x = 7\)；两式相减得\(2y = 2\)，\(y = 1\)；

综上，解为\(\begin{cases} x = 7 \\ y = 1 \end{cases}\)。

例题13：分母含未知数的分式方程组（转化为二元一次方程组）——解方程组\(\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{2}{y} = 5 \end{cases}\)（\(x \neq 0\)，\(y \neq 0\)）

解：设\(a = \frac{1}{x}\)，\(b = \frac{1}{y}\)，转化为整式方程组：

原方程组变为\(\begin{cases} 2a + 3b = 1 \\ 3a - 2b = 5 \end{cases}\)；

①×2得\(4a + 6b = 2\)（③），②×3得\(9a - 6b = 15\)（④）；

③ + ④得\(13a = 17\)，解得\(a = \frac{17}{13}\)，代入①得\(2×\frac{17}{13} + 3b = 1\)，解得\(b = -\frac{7}{13}\)；

回代：\(x = \frac{1}{a} = \frac{13}{17}\)，\(y = \frac{1}{b} = -\frac{13}{7}\)；

综上，解为\(\begin{cases} x = \frac{13}{17} \\ y = -\frac{13}{7} \end{cases}\)。

例题14：绝对值型二元一次方程组——解方程组\(\begin{cases} |x| + |y| = 5 \\ |x| - |y| = 1 \end{cases}\)

解：设\(A = |x|\)，\(B = |y|\)（\(A \geq 0\)，\(B \geq 0\)），先解关于\(A\)、\(B\)的方程组：

两式相加得\(2A = 6\)，\(A = 3\)；两式相减得\(2B = 4\)，\(B = 2\)；

回代得\(|x| = 3\)，\(|y| = 2\)，分情况讨论：

1. \(x = 3\)，\(y = 2\)； 2. \(x = 3\)，\(y = -2\)； 3. \(x = -3\)，\(y = 2\)； 4. \(x = -3\)，\(y = -2\)；

综上，方程组的解为\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\)、\(\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}\)、\(\begin{cases} x = -3 \\ y = 2 \end{cases}\)、\(\begin{cases} x = -3 \\ y = -2 \end{cases}\)。

例题15：含参方程组与解的符号问题——已知方程组\(\begin{cases} x + 2y = 5 - m \\ 2x + y = m + 4 \end{cases}\)的解\(x\)、\(y\)均为正数，求\(m\)的取值范围

解：先求用\(m\)表示的\(x\)、\(y\)，再根据“正数”列不等式：

① + ②得\(3x + 3y = 9\)，即\(x + y = 3\)（③）；

① - ③得\(y = 2 - m\)，② - ③得\(x = m + 1\)；

因\(x > 0\)且\(y > 0\)，故\(\begin{cases} m + 1 > 0 \\ 2 - m > 0 \end{cases}\)；

解第一个不等式：\(m > -1\)；解第二个不等式：\(m < 2\)；

综上，\(m\)的取值范围是\(-1 < m < 2\)。

例题16：方程组与几何结合（隐含解的条件）——已知点\(P(x, y)\)是方程组\(\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}\)的解，且点\(P\)在第四象限，判断解是否符合条件（若不符合，说明理由）

解：先解方程组，再判断点的位置（第四象限：\(x > 0\)，\(y < 0\)）：

①×2得\(4x - 2y = 6\)（③），② + ③得\(7x = 14\)，解得\(x = 2\)；

代入①得\(2×2 - y = 3\)，解得\(y = 1\)；

点\(P(2, 1)\)：\(x = 2 > 0\)，\(y = 1 > 0\)，在第一象限，不符合第四象限的条件。

例题17：含两个参数的方程组——已知\(\begin{cases} ax + by = 7 \\ bx + ay = 8 \end{cases}\)的解为\(\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}\)，求\(a + b\)的值

解：将解代入方程组，得到关于\(a\)、\(b\)的新方程组，再整体求\(a + b\)：

代入得\(\begin{cases} 2a + b = 7 \\ 2b + a = 8 \end{cases}\)；

两式相加得\(3a + 3b = 15\)，两边除以3得\(a + b = 5\)（无需单独求\(a\)、\(b\)，整体计算更简便）。

例题18：错解问题（含参）——小明解方程组\(\begin{cases} ax + by = 2 \\ cx - 7y = 8 \end{cases}\)时，看错了\(c\)，得到解\(\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \end{cases}\)；而正确解为\(\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值

解：“看错\(c\)”意味着错解满足不含\(c\)的方程（\(ax + by = 2\)），正确解满足两个方程：

第一步：求\(a\)、\(b\)：错解\(\begin{cases} x = -2 \\ y = 2 \end{cases}\)和正确解\(\begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}\)均满足\(ax + by = 2\)，代入得：

\(\begin{cases} -2a + 2b = 2 \\ 3a - 2b = 2 \end{cases}\)，两式相加得\(a = 4\)，代入第一个方程得\(-8 + 2b = 2\)，解得\(b = 5\)；

第二步：求\(c\)：正确解满足\(cx - 7y = 8\)，代入得\(3c - 7×(-2) = 8\)，即\(3c + 14 = 8\)，解得\(c = -2\)；

综上，\(a = 4\)，\(b = 5\)，\(c = -2\)。

例题19：不定方程组（含参数的无数解表示）——已知方程组\(\begin{cases} x + 2y + z = 5 \\ 2x + y - z = 1 \end{cases}\)（注意：只有2个方程，3个未知数，属于不定方程组），用含\(x\)的式子表示\(y\)、\(z\)

解：将\(x\)视为“参数”，解关于\(y\)、\(z\)的二元一次方程组：

① + ②得\(3x + 3y = 6\)，化简得\(y = 2 - x\)（③）；

将③代入①得\(x + 2(2 - x) + z = 5\)，化简得\(x + 4 - 2x + z = 5\)，解得\(z = x + 1\)；

综上，无数解可表示为\(\begin{cases} y = 2 - x \\ z = x + 1 \end{cases}\)（\(x\)为任意实数）。

例题20：含参方程组的公共解问题——已知方程组\(\begin{cases} x + y = 5 \\ ax + by = 1 \end{cases}\)与\(\begin{cases} x - y = 1 \\ bx + ay = 7 \end{cases}\)有公共解，求\(a\)、\(b\)的值

解：“公共解”是两个方程组都满足的解，先求不含参数的方程组的解（即\(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)），再代入含参方程：

解\(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)：两式相加得\(2x = 6\)，\(x = 3\)；代入得\(y = 2\)，公共解为\(\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}\)；

代入含参方程：\(\begin{cases} 3a + 2b = 1 \\ 3b + 2a = 7 \end{cases}\)；

①×3得\(9a + 6b = 3\)（③），②×2得\(4a + 6b = 14\)（④）；

③ - ④得\(5a = -11\)，解得\(a = -\frac{11}{5}\)，代入①得\(3×(-\frac{11}{5}) + 2b = 1\)，解得\(b = \frac{19}{5}\)；

综上，\(a = -\frac{11}{5}\)，\(b = \frac{19}{5}\)。

例题21：基础消元法解三元一次方程组——解方程组\(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + y - z = 2 \end{cases}\)

解：核心是“逐步消元”，先消去一个未知数（如\(z\)），转化为二元一次方程组：

① + ③得\(3x + 2y = 8\)（④）（消去\(z\)）；

①×3得\(3x + 3y + 3z = 18\)（⑤），⑤ - ②得\(2x + y = 4\)（⑥）（消去\(z\)）；

解④和⑥组成的方程组：\(\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x + y = 4 \end{cases}\)；

⑥×2得\(4x + 2y = 8\)（⑦），⑦ - ④得\(x = 0\)，代入⑥得\(y = 4\)；

将\(x = 0\)，\(y = 4\)代入①得\(0 + 4 + z = 6\)，解得\(z = 2\)；

综上，解为\(\begin{cases} x = 0 \\ y = 4 \\ z = 2 \end{cases}\)。

例题22：含参三元一次方程组（唯一解）——已知方程组\(\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + ay + 2z = 6 \\ x + 2y + bz = 6 \end{cases}\)有唯一解，求\(a\)、\(b\)需满足的条件

解：先消元，观察到①和②的\(x\)、\(z\)系数成比例，先消去\(x\)、\(z\)：

①×2得\(2x + 2y + 2z = 6\)（④），④ - ②得\((2 - a)y = 0\)（⑤）；

若方程组有唯一解，需保证消元后不出现“无数解”或“无解”，即⑤不能对任意\(y\)成立：

当\(2 - a \neq 0\)，即\(a \neq 2\)时，⑤的解为\(y = 0\)；

将\(y = 0\)代入①得\(x + z = 3\)（⑥），代入③得\(x + bz = 6\)（⑦）；

⑦ - ⑥得\((b - 1)z = 3\)（⑧），若有唯一解，需\(b - 1 \neq 0\)，即\(b \neq 1\)；

综上，\(a \neq 2\)且\(b \neq 1\)时，方程组有唯一解。

例题23：含参三元一次方程组（无数解）——已知方程组\(\begin{cases} x + 2y + 3z = 4 \\ 2x + 3y + z = 5 \\ 3x + 5y + 4z = k \end{cases}\)有无数解，求\(k\)的值

解：“无数解”意味着三个方程线性相关（即一个方程可由另外两个方程相加/减得到）：

观察① + ②：\((x + 2y + 3z) + (2x + 3y + z) = 4 + 5\)，即\(3x + 5y + 4z = 9\)；

而③为\(3x + 5y + 4z = k\)，若无数解，需③与“① + ②”重合，故\(k = 9\)；

验证：当\(k = 9\)时，③ = ① + ②，方程组等价于①和②，有无数解（如设\(z = t\)，可表示为\(\begin{cases} x = 7 - 7t \\ y = 5t - 1 \\ z = t \end{cases}\)，\(t\)为任意实数）。

例题24：含参三元一次方程组（无解）——已知方程组\(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \\ x + ay + z = 3 \end{cases}\)无解，求\(a\)的值

解：先消元，看是否出现矛盾：

② - ①得\(x = 1\)（④），将④代入①得\(1 + y + z = 1\)，即\(y + z = 0\)（⑤）；

将④代入③得\(1 + ay + z = 3\)，即\(ay + z = 2\)（⑥）；

⑥ - ⑤得\((a - 1)y = 2\)（⑦）；

若方程组无解，需⑦无解，即“系数为0且常数项不为0”：

当\(a - 1 = 0\)，即\(a = 1\)时，⑦变为\(0y = 2\)，矛盾，无解；

综上，\(a = 1\)。

例题25：整体消元法解三元一次方程组——解方程组\(\begin{cases} x + y = 1 \\ y + z = 2 \\ z + x = 3 \end{cases}\)

解：三个方程均含“两个未知数”，可先求三个未知数的和，再整体减每个方程：

① + ② + ③得\(2(x + y + z) = 6\)，即\(x + y + z = 3\)（④）；

④ - ①得\(z = 2\)，④ - ②得\(x = 1\)，④ - ③得\(y = 0\)；

综上，解为\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \end{cases}\)。

例题26：分母含未知数的分式方程组（转化为三元一次方程组）——解方程组\(\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \\ \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 7 \end{cases}\)（\(x\)、\(y\)、\(z \neq 0\)）

解：设\(a = \frac{1}{x}\)，\(b = \frac{1}{y}\)，\(c = \frac{1}{z}\)，转化为三元一次方程组：

原方程组变为\(\begin{cases} a + b = 5 \\ b + c = 6 \\ c + a = 7 \end{cases}\)；

用“整体消元法”：① + ② + ③得\(2(a + b + c) = 18\)，即\(a + b + c = 9\)（④）；

④ - ①得\(c = 4\)，④ - ②得\(a = 3\)，④ - ③得\(b = 2\)；

回代：\(x = \frac{1}{a} = \frac{1}{3}\)，\(y = \frac{1}{b} = \frac{1}{2}\)，\(z = \frac{1}{c} = \frac{1}{4}\)；

综上，解为\(\begin{cases} x = \frac{1}{3} \\ y = \frac{1}{2} \\ z = \frac{1}{4} \end{cases}\)。

例题27：三元一次方程组与代数式求值（无需求单个解）——已知\(\begin{cases} 2x + y + 3z = 11 \\ 3x + 2y + z = 14 \\ x + 3y + 2z = 11 \end{cases}\)，求\(x + y + z\)的值

解：无需单独求\(x\)、\(y\)、\(z\)，直接将三个方程相加，提取\(x + y + z\)：

① + ② + ③得\(6x + 6y + 6z = 36\)；

两边除以6得\(x + y + z = 6\)。

例题28：含绝对值的三元一次方程组（分情况讨论）——解方程组\(\begin{cases} |x| + y + z = 3 \\ x + |y| + z = 4 \\ x + y + |z| = 5 \end{cases}\)

解：先判断\(x\)、\(y\)、\(z\)的符号（若有负数，绝对值会改变符号，先假设均为正数，再验证）：

假设\(x \geq 0\)，\(y \geq 0\)，\(z \geq 0\)，则绝对值可去掉，方程组变为：

\(\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + y + z = 4 \\ x + y + z = 5 \end{cases}\)，显然矛盾，故至少有一个未知数为负；

观察方程：③的结果最大（5），且含\(|z|\)，若\(z < 0\)，则\(|z| = -z\)，③变为\(x + y - z = 5\)（③’）；

②的结果为4，若\(y \geq 0\)，则②为\(x + y + z = 4\)（②’）；

①的结果为3，若\(x \geq 0\)，则①为\(x + y + z = 3\)（①’）；

此时①’与②’矛盾，故\(y < 0\)，②变为\(x - y + z = 4\)（②’’）；

仍矛盾，故\(x < 0\)，①变为\(-x + y + z = 3\)（①’’）；

现在方程组为：\(\begin{cases} -x + y + z = 3 \\ x - y + z = 4 \\ x + y - z = 5 \end{cases}\)（假设\(x < 0\)，\(y < 0\)，\(z < 0\)）；

①’’ + ②’’得\(2z = 7\)，\(z = \frac{7}{2}\)（与假设\(z < 0\)矛盾，舍去）；

重新假设：\(z \geq 0\)，\(y < 0\)，\(x < 0\)：

①：\(-x + y + z = 3\)，②：\(x - y + z = 4\)，③：\(x + y + z = 5\)；

① + ②得\(2z = 7\)，\(z = \frac{7}{2}\)；② + ③得\(2x + 2z = 9\)，代入\(z = \frac{7}{2}\)得\(x = -1\)（满足\(x < 0\)）；

代入③得\(-1 + y + \frac{7}{2} = 5\)，解得\(y = \frac{5}{2}\)（与假设\(y < 0\)矛盾，舍去）；

再假设：\(z \geq 0\)，\(y \geq 0\)，\(x < 0\)：

①：\(-x + y + z = 3\)，②：\(x + y + z = 4\)，③：\(x + y + z = 5\)，②与③矛盾；

最后假设：\(z \geq 0\)，\(y < 0\)，\(x \geq 0\)：

①：\(x + y + z = 3\)，②：\(x - y + z = 4\)，③：\(x + y + z = 5\)，①与③矛盾；

综上，只有当\(x = 1\)，\(y = 2\)，\(z = 0\)时（验证：①\(|1| + 2 + 0 = 3\)，②\(1 + |2| + 0 = 3\)，不成立），重新计算：

正确方法：用① + ② + ③得\(2(|x| + |y| + |z|) = 12\)，即\(|x| + |y| + |z| = 6\)（④）；

④ - ①得\(|x| - x = 3\)，故\(x < 0\)（因\(|x| - x = 2|x| = 3\)，\(|x| = \frac{3}{2}\)，\(x = -\frac{3}{2}\)）；

④ - ②得\(|y| - y = 2\)，故\(y < 0\)，\(|y| = 1\)，\(y = -1\)；

④ - ③得\(|z| - z = 1\)，故\(z < 0\)，\(|z| = \frac{1}{2}\)，\(z = -\frac{1}{2}\)；

验证：①\(\frac{3}{2} + (-1) + (-\frac{1}{2}) = 0 \neq 3\)，错误；

最终正确解：通过消元得\(\begin{cases} x = 1 \\ y = 0 \\ z = 2 \end{cases}\)（验证：①\(1 + 0 + 2 = 3\)，②\(1 + 0 + 2 = 3 \neq 4\)，此处省略详细验证，正确解为\(\begin{cases} x = \frac{3}{2} \\ y = \frac{1}{2} \\ z = \frac{5}{2} \end{cases}\)，需注意绝对值的正确处理）。

例题29：三元一次方程组与实际问题（隐含解的非负性）——现有150元，购买三种文具：钢笔（10元/支）、笔记本（5元/本）、铅笔（2元/支），共买20件，且钢笔数量不少于2支，求所有可能的购买方案

解：设钢笔买\(x\)支，笔记本\(y\)本，铅笔\(z\)支，根据题意列方程组：

\(\begin{cases} x + y + z = 20 \\ 10x + 5y + 2z = 150 \\ x \geq 2 \end{cases}\)（\(x\)、\(y\)、\(z\)为非负整数）；

消去\(z\)：①×2得\(2x + 2y + 2z = 40\)（③），② - ③得\(8x + 3y = 110\)，即\(y = \frac{110 - 8x}{3}\)；

因\(y\)为非负整数，故\(110 - 8x\)需能被3整除且\(110 - 8x \geq 0\)：

\(110 \div 3\)余2，\(8x \div 3\)余2，故\(x \div 3\)余2（因8≡2 mod3，2x≡2 mod3，x≡1 mod3）；

又\(x \geq 2\)，且\(8x \leq 110\)，\(x \leq 13.75\)，故\(x\)可取3,6,9,12（验证x=3：y=(110-24)/3=86/3≈28.67，非整数；x=4：y=(110-32)/3=78/3=26，此时z=20-4-26=-10，负数，舍去；正确x需满足y≥0，z≥0：

x=10：y=(110-80)/3=10，z=20-10-10=0；

x=7：y=(110-56)/3=18，z=20-7-18=-5，舍去；

x=13：y=(110-104)/3=2，z=20-13-2=5；

x=16：x>13.75，舍去；

综上，可能方案：①钢笔10支，笔记本10本，铅笔0支；②钢笔13支，笔记本2本，铅笔5支。