多项式：因式分解

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1. 因式分解的定义

把一个多项式表示成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解（也叫分解因式）。例如：\(x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)\)，\(3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\)。

2. 因式分解的基本要求（分解彻底性，分到不能再分）

每个因式都是整式；

每个因式在指定数域（初中阶段通常为有理数域）内不能再分解；

相同因式需写成幂的形式，如\((x - 1)(x - 1) = (x - 1)^2\)。

方法1. 提公因式法（最基础，优先使用）

原理

若多项式各项都含公共的因式（公因式），则把公因式提到括号外，将多项式化为“公因式×（剩余项的和）”的形式。

公因式的确定：① 系数取各项系数的最大公约数；② 字母取各项都含有的相同字母；③ 字母的指数取各项中该字母的最低次数。

步骤

1. 找公因式（系数→字母→指数）；

2. 用多项式每一项除以公因式，得剩余项；

3. 写成“公因式×（剩余项的和）”。

易错点

漏提系数的负号（如\(-2x^2 + 4x\)，公因式为\(-2x\)，分解为\(-2x(x - 2)\)，而非\(2x(-x + 2)\)）；

漏提单独的常数项（如\(3x + 3\)，公因式为3，分解为\(3(x + 1)\)，而非\(3x + 3\)）。

示例

\(6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy\)：公因式为\(3xy\)，分解为\(3xy(2x^2 - 3xy + 1)\)；

\(-4a^2b + 6ab^2 - 2ab\)：公因式为\(-2ab\)，分解为\(-2ab(2a - 3b + 1)\)。

方法2. 公式法（利用乘法公式逆用，针对特殊结构）

1. 平方差公式：\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

2. 完全平方和公式：\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)

3. 完全平方差公式：\(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\)

4. 立方和公式：\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

5. 立方差公式：\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

6. 完全立方和公式：\(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3\)

7. 完全立方差公式：\(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3\)

8. \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)^2\)

9. \(a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2bc + 2ac = (a - b + c)^2\)

步骤

1. 观察多项式结构，判断是否符合公式；

2. 将多项式变形为公式左边的标准形式（如\(4x^2 - 9y^2 = (2x)^2 - (3y)^2\)）；

3. 套用公式分解。

易错点

混淆完全平方公式的符号（如\(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\)，而非\((x + 2)^2\)）；

误将“平方和”分解（如\(x^2 + 4\)在有理数域内不能分解，切勿写成\((x + 2)^2\)）；

立方公式漏写中间项（如\(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\)，而非\((x - 2)(x^2 + 4)\)）。

示例

\(16a^2 - 25b^2 = (4a)^2 - (5b)^2 = (4a + 5b)(4a - 5b)\)；

\(9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x)^2 + 2×3x×2y + (2y)^2 = (3x + 2y)^2\)；

\(8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)\)。

方法3. 十字相乘法（针对二次三项式\(ax^2 + bx + c\)，核心方法）

原理

对于二次三项式\(ax^2 + bx + c\)（\(a ≠ 0\)），若能找到两个数\(m\)、\(n\)（或两组数\(m_1, m_2\)与\(n_1, n_2\)），满足：

当\(a = 1\)时：\(m + n = b\)，\(mn = c\)，则\(x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)\)；

当\(a ≠ 1\)时：\(m_1m_2 = a\)，\(n_1n_2 = c\)，\(m_1n_2 + m_2n_1 = b\)，则\(ax^2 + bx + c = (m_1x + n_1)(m_2x + n_2)\)。

步骤（以\(a ≠ 1\)为例）

1. 分解二次项系数\(a\)为\(m_1×m_2\)（写在十字左边）；

2. 分解常数项\(c\)为\(n_1×n_2\)（写在十字右边）；

3. 交叉相乘再相加：\(m_1n_2 + m_2n_1\)，若等于一次项系数\(b\)，则成功；

4. 写成\((m_1x + n_1)(m_2x + n_2)\)。

易错点

常数项为正时，忽略“两数同号”（如\(x^2 + 5x + 6\)，需找同正的2和3，而非异号）；

常数项为负时，忽略“两数异号，绝对值大的与一次项同号”（如\(x^2 - 2x - 3\)，需找-3和+1，而非3和-1）；

\(a ≠ 1\)时漏试系数组合（如\(6x^2 + 5x - 6\)，需试\(2×3\)和\(-2×3\)，交叉得\(2×3 + 3×(-2) = 0\)，不行；再试\(2×3\)和\(3×(-2)\)，交叉得\(2×(-2) + 3×3 = 5\)，成功，分解为\((2x + 3)(3x - 2)\)）。

示例

\(x^2 + 7x + 12\)：找3和4（3+4=7，3×4=12），分解为\((x + 3)(x + 4)\)；

\(2x^2 - 5x + 2\)：分解\(a=2=1×2\)，\(c=2=(-1)×(-2)\)，交叉\(1×(-2) + 2×(-1) = -4≠-5\)；再试\(c=2=(-2)×(-1)\)，交叉\(1×(-1) + 2×(-2) = -5\)，分解为\((x - 2)(2x - 1)\)。

方法4. 分组分解法（针对四项及以上多项式，通过分组创造可分解结构）

原理

将多项式的项分成若干组，每组分别用提公因式法或公式法分解，再对整体提公因式（或套公式），最终分解彻底。核心是“分组后每组有公因式，或组间有公因式”。

常见分组方式

二二分组：适用于四项式，两组分别有公因式，且组间有相同公因式。

示例：\(ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)\)；

一三分组：适用于四项式，其中三项可构成完全平方，与第四项构成平方差。

示例：\(x^2 - 2xy + y^2 - z^2 = (x^2 - 2xy + y^2) - z^2 = (x - y)^2 - z^2 = (x - y + z)(x - y - z)\)；

三一分组（同一三分组）：如\(a^2 - b^2 + 2a + 1 = (a^2 + 2a + 1) - b^2 = (a + 1)^2 - b^2 = (a + 1 + b)(a + 1 - b)\)。

步骤

1. 根据多项式项数和结构，确定分组方式（二二、一三）；

2. 每组分别分解；

3. 提取组间的公因式（或套公式）；

4. 检查是否分解彻底。

易错点

分组无目标，导致组间无公因式（如\(x^3 + x^2 + x + 1\)，若分成\((x^3 + x^2 + x) + 1\)，无法继续；

需分成\((x^3 + x^2) + (x + 1) = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)\)）；

分组后漏提组间公因式（如上述示例中，分组后得\(a(x + y) + b(x + y)\)，需继续提\((x + y)\)，而非停留在分组阶段）。

方法5. 拆项与补项法（针对无法直接分组或十字相乘的多项式，通过变形创造结构）

原理

拆项：将多项式的某一项拆成两项（或多项），使拆分后的多项式能分组或十字相乘；

补项：在多项式中添加“+某数 - 某数”（或“+某式 - 某式”），不改变多项式值，但能构成完全平方、平方差等结构。

步骤（以拆项为例）

1. 观察多项式结构，确定需拆分的项（通常是一次项或二次项）；

2. 合理拆分该项，使多项式能分组（或十字相乘）；

3. 按分组分解法或公式法继续分解。

示例

分解\(x^3 - 3x + 2\)（拆项）：

方法1：拆常数项\(2 = -1 + 3\)，得\(x^3 - 3x - 1 + 3 = (x^3 - 1) - (3x - 3) = (x - 1)(x^2 + x + 1) - 3(x - 1) \)

\(= (x - 1)(x^2 + x + 1 - 3) = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)^2(x + 2)\)；

方法2：拆一次项\(-3x = -x - 2x\)，得\(x^3 - x - 2x + 2 = (x^3 - x) - (2x - 2) = x(x^2 - 1) - 2(x - 1) \)

\(= x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x(x + 1) - 2) = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)^2(x + 2)\)；

分解\(x^4 + 4\)（补项）：

补项\(+4x^2 - 4x^2\)，得\(x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2 + 2x)(x^2 + 2 - 2x) \)

\(= (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)\)（“配方法分解四次项”经典题型）。

易错点

拆项/补项不合理，无法创造可分解结构（如分解\(x^2 + 5x + 6\)，无需拆项；分解\(x^2 + 4x - 5\)，拆一次项为\(5x - x\)，得\(x^2 + 5x - x - 5 = x(x + 5) - 1(x + 5) = (x - 1)(x + 5)\)，合理）；

补项后漏减补的项（如\(x^4 + 4\)补\(4x^2\)后，需同时减\(4x^2\)，否则多项式值改变）。

方法6. 换元法（针对含重复复杂式子的多项式，通过换元简化结构）

原理

将多项式中重复出现的“复杂部分”（如\(x^2 + x\)、\(2x - 3\)等）设为新的未知数（如\(t\)），将原多项式转化为关于\(t\)的简单多项式（如二次式），分解后再代回原未知数，最终分解彻底。

步骤

1. 观察多项式，确定重复的复杂式子（设为\(t\)）；

2. 用\(t\)替换原多项式中的复杂式子，得到关于\(t\)的多项式；

3. 分解关于\(t\)的多项式；

4. 代回\(t\)的原表达式，继续分解（若需）；

5. 检查是否分解彻底。

示例

分解\((x^2 + x)^2 - 4(x^2 + x) - 12\)：

设\(t = x^2 + x\)，则原多项式变为\(t^2 - 4t - 12\)，十字相乘得\((t - 6)(t + 2)\)；代回\(t\)，得\((x^2 + x - 6)(x^2 + x + 2)\)；继续分解\(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\)，最终分解为\((x + 3)(x - 2)(x^2 + x + 2)\)；

分解\((x^2 + 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) - 120\)：

先分解括号内式子：\((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 120\)；

分组配对（使每组含\(x^2 + 5x\)）：\([(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 120 = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 120\)；

设\(t = x^2 + 5x + 5\)（中间值，简化计算），则\((t - 1)(t + 1) - 120 = t^2 - 1 - 120 = t^2 - 121 = (t - 11)(t + 11)\)；

代回得\((x^2 + 5x + 5 - 11)(x^2 + 5x + 5 + 11) = (x^2 + 5x - 6)(x^2 + 5x + 16) = (x + 6)(x - 1)(x^2 + 5x + 16)\)。

易错点

换元后忘记代回原未知数（如上述示例中，分解为\((t - 6)(t + 2)\)后，需继续代回\(t = x^2 + x\)，不能停留在\(t\)的表达式）；

换元选择不当，未简化结构（如分解\((x^2 - 2x)^2 - 11(x^2 - 2x) + 24\)，应设\(t = x^2 - 2x\)，而非设\(t = x^2\)）。

方法7. 配方法（针对二次三项式或高次式，通过配方转化为平方差）

原理

类似“补项法”，将多项式通过配方转化为“完全平方 - 平方项”的形式，再用平方差公式分解。常用于二次三项式（十字相乘法的补充）或高次式（如四次项）。

步骤（以二次三项式\(ax^2 + bx + c\)为例）

1. 提取二次项系数：\(a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c\)；

2. 括号内配方：\(x^2 + \frac{b}{a}x = (x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2\)；

3. 代入原多项式：\(a[(x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2] + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c\)；

4. 整理常数项，若为平方差，则用公式分解。

示例

分解\(2x^2 - 4x - 6\)（配方法）：

步骤1：提系数\(2\)：\(2(x^2 - 2x) - 6\)；

步骤2：配方：\(x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1\)；

步骤3：代入：\(2[(x - 1)^2 - 1] - 6 = 2(x - 1)^2 - 2 - 6 = 2(x - 1)^2 - 8 = 2[(x - 1)^2 - 4]\)；

步骤4：平方差分解：\(2[(x - 1) + 2][(x - 1) - 2] = 2(x + 1)(x - 3)\)；

分解\(x^4 + 2x^2 + 1 - x^2\)（先配方再平方差）：

步骤1：配方：\(x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2\)；

步骤2：平方差：\((x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + 1 + x)(x^2 + 1 - x) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)\)。

易错点

配方时漏乘二次项系数（如\(2x^2 - 4x\)配方，需提2后再配，而非直接配\(2(x^2 - 2x + 1) - 2\)，不能写成\((\sqrt{2}x - \sqrt{2})^2\)）；

配方后常数项计算错误（如\(x^2 + 3x\)配方，应为\((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\)，而非\((x + \frac{3}{2})^2 - 9\)）。

第一组：提公因式与公式法综合（1-10题）

1. 分解\(8x^3y^2 - 12x^2y^3 + 4x^2y^2\)

解：

先提公因式\(4x^2y^2\)，得\(4x^2y^2(2x - 3y + 1)\)（注意常数项1不能漏）。

2. 分解\(-16a^4 + 81b^4\)

解：

先提负号：\(-(16a^4 - 81b^4)\)；

再用平方差：\(16a^4 - 81b^4 = (4a^2)^2 - (9b^2)^2 = (4a^2 + 9b^2)(4a^2 - 9b^2)\)；

继续分解\(4a^2 - 9b^2 = (2a + 3b)(2a - 3b)\)；最终得\(-(4a^2 + 9b^2)(2a + 3b)(2a - 3b)\)。

3. 分解\((x + y)^2 - 4(x + y - 1)\)

解：

整理常数项：\((x + y)^2 - 4(x + y) + 4\)；用完全平方公式：\((x + y - 2)^2\)。

4. 分解\(x^3 - 6x^2 + 9x\)

解：

先提公因式\(x\)：\(x(x^2 - 6x + 9)\)；再用完全平方：\(x(x - 3)^2\)。

5. 分解\(a^2b^2 - 2ab + 1\)

解：

将\(ab\)看作整体，用完全平方：\((ab - 1)^2\)。

6. 分解\(27x^3 - \frac{1}{8}y^3\)

解：

用立方差公式：\((3x)^3 - (\frac{1}{2}y)^3 = (3x - \frac{1}{2}y)(9x^2 + \frac{3}{2}xy + \frac{1}{4}y^2)\)（注意系数计算）。

7. 分解\((a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2\)

解：

用平方差：\((a^2 + b^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - 2ab)\)；

再用完全平方：\((a + b)^2(a - b)^2\)（可写成\([(a + b)(a - b)]^2 = (a^2 - b^2)^2\)）。

8. 分解\(3x^2y - 12xy + 12y\)

解：

先提公因式\(3y\)：\(3y(x^2 - 4x + 4)\)；再用完全平方：\(3y(x - 2)^2\)。

9. 分解\(x^4 - 2x^2 + 1\)

解：

用完全平方：\((x^2 - 1)^2\)；再用平方差：\([(x + 1)(x - 1)]^2 = (x + 1)^2(x - 1)^2\)。

10. 分解\(a^3 + a^2 - a - 1\)

解：

先提公因式（分组）：\((a^3 + a^2) - (a + 1) = a^2(a + 1) - 1(a + 1) = (a^2 - 1)(a + 1)\)；

再用平方差：\((a + 1)(a - 1)(a + 1) = (a + 1)^2(a - 1)\)。

第二组：十字相乘法进阶（11-30题）

11. 分解\(x^2 - 11x + 28\)

解：

找两数（-4和-7），和为-11，积为28；得\((x - 4)(x - 7)\)。

12. 分解\(x^2 + 2x - 15\)

解：

找两数（5和-3），和为2，积为-15；得\((x + 5)(x - 3)\)。

13. 分解\(2x^2 + 7x + 3\)

解：

\(a=2=1×2\)，\(c=3=1×3\)；交叉\(1×3 + 2×1=5≠7\)；再试\(c=3=3×1\)，交叉\(1×1 + 2×3=7\)；得\((x + 3)(2x + 1)\)。

14. 分解\(3x^2 - 10x + 8\)

解：

\(a=3=1×3\)，\(c=8=(-2)×(-4)\)；交叉\(1×(-4) + 3×(-2)=-10\)；得\((x - 2)(3x - 4)\)。

15. 分解\(6x^2 - 13x - 5\)

解：

\(a=6=2×3\)，\(c=-5=(-5)×1\)；交叉\(2×1 + 3×(-5)=-13\)；得\((2x - 5)(3x + 1)\)。

16. 分解\(4x^2 + 4x - 3\)

解：

\(a=4=2×2\)，\(c=-3=(-1)×3\)；交叉\(2×3 + 2×(-1)=4\)；得\((2x - 1)(2x + 3)\)。

17. 分解\(5x^2 + 7xy - 6y^2\)

解：

将\(y\)看作常数，十字相乘：\(a=5=1×5\)，\(c=-6y^2=(-2y)×3y\)；交叉\(1×3y + 5×(-2y)=-7y≠7y\)；

再试\(c=-6y^2=(3y)×(-2y)\)，交叉\(1×(-2y) + 5×3y=13y≠7y\)；

调整\(a=5=5×1\)，\(c=-6y^2=(2y)×(-3y)\)，交叉\(5×(-3y) + 1×2y=-13y≠7y\)；

再试\(c=-6y^2=(-3y)×2y\)，交叉\(5×2y + 1×(-3y)=7y\)；得\((5x - 3y)(x + 2y)\)。

18. 分解\(x^2 - (a + b)x + ab\)

解：

找两数（-a和-b），和为\(-(a + b)\)，积为\(ab\)；得\((x - a)(x - b)\)（“关于字母的十字相乘”经典题型）。

19. 分解\((x^2 + x)^2 - 2(x^2 + x) - 15\)

解：

设\(t=x^2 + x\)，则\(t^2 - 2t - 15=(t - 5)(t + 3)\)；

代回得\((x^2 + x - 5)(x^2 + x + 3)\)（\(x^2 + x - 5\)在有理数域内不能分解，停止）。

20. 分解\(2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6\)

解：

先分解二次项\(2x^2 - 5xy - 3y^2=(2x + y)(x - 3y)\)；设原式\(=(2x + y + m)(x - 3y + n)\)（\(m,n\)为常数）；

展开右边：\(2x^2 - 5xy - 3y^2 + (2n + m)x + (-3m + n)y + mn\)；对比系数：

\(\begin{cases}2n + m = 1 \\ -3m + n = 11 \\ mn = -6\end{cases}\)

解得\(m=-3\)，\(n=2\)；得\((2x + y - 3)(x - 3y + 2)\)（“二元二次六项式十字相乘”难点题型）。

21. 分解\(x^2 + 3xy + 2y^2 + 4x + 5y + 3\)

解：

二次项分解\(x^2 + 3xy + 2y^2=(x + y)(x + 2y)\)；设原式\(=(x + y + m)(x + 2y + n)\)；展开对比系数：

\(\begin{cases}m + n = 4 \\ 2m + n = 5 \\ mn = 3\end{cases}\)

解得\(m=1\)，\(n=3\)；得\((x + y + 1)(x + 2y + 3)\)。

22. 分解\(3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + 3y + 2\)

解：

二次项分解\(3x^2 + 4xy + y^2=(3x + y)(x + y)\)；设原式\(=(3x + y + m)(x + y + n)\)；展开对比：

\(\begin{cases}m + 3n = 7 \\ m + n = 3 \\ mn = 2\end{cases}\)

解得\(m=1\)，\(n=2\)；得\((3x + y + 1)(x + y + 2)\)。

23. 分解\(x^2 - 2xy - 3y^2 + 3x - 5y + 2\)

解：

二次项分解\(x^2 - 2xy - 3y^2=(x - 3y)(x + y)\)；设原式\(=(x - 3y + m)(x + y + n)\)；

展开对比：\(\begin{cases}m + n = 3 \\ m - 3n = -5 \\ mn = 2\end{cases}\)

解得\(m=1\)，\(n=2\)；得\((x - 3y + 1)(x + y + 2)\)。

24. 分解\(4x^2 + 4xy + y^2 - 4x - 2y - 3\)

解：

二次项分解\(4x^2 + 4xy + y^2=(2x + y)^2\)；设原式\(=(2x + y + m)(2x + y + n)\)；展开对比：

\(\begin{cases}2m + 2n = -4 \\ mn = -3\end{cases}\)

解得\(m=1\)，\(n=-3\)；得\((2x + y + 1)(2x + y - 3)\)。

25. 分解\(x^4 - 5x^2 + 4\)

解：

看作二次项\(t=x^2\)，则\(t^2 - 5t + 4=(t - 1)(t - 4)\)；代回得\((x^2 - 1)(x^2 - 4)=(x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)\)。

26. 分解\(x^4 + 5x^2 + 4\)

解：

十字相乘\(t^2 + 5t + 4=(t + 1)(t + 4)\)；代回得\((x^2 + 1)(x^2 + 4)\)（均不能再分解）。

27. 分解\(x^4 - 13x^2 + 36\)

解：

十字相乘\(t^2 - 13t + 36=(t - 4)(t - 9)\)；代回得\((x^2 - 4)(x^2 - 9)=(x + 2)(x - 2)(x + 3)(x - 3)\)。

28. 分解\(2x^4 + x^2 - 1\)

解：

十字相乘\(2t^2 + t - 1=(2t - 1)(t + 1)\)；代回得\((2x^2 - 1)(x^2 + 1)\)（\(2x^2 - 1\)在有理数域内不能分解）。

29. 分解\(3x^4 - 7x^2 + 2\)

解：

十字相乘\(3t^2 - 7t + 2=(3t - 1)(t - 2)\)；代回得\((3x^2 - 1)(x^2 - 2)\)（均不能再分解）。

30. 分解\(x^4 + 2x^2y^2 + 9y^4\)

解：

拆项\(2x^2y^2=6x^2y^2 - 4x^2y^2\)，得\(x^4 + 6x^2y^2 + 9y^4 - 4x^2y^2=(x^2 + 3y^2)^2 - (2xy)^2\)

\(=(x^2 + 3y^2 + 2xy)(x^2 + 3y^2 - 2xy)=(x^2 + 2xy + 3y^2)(x^2 - 2xy + 3y^2)\)。

第三组：分组分解法难点（31-50题）

31. 分解\(ax - bx + ay - by\)

解：

二二分组：\((ax - bx) + (ay - by)=x(a - b) + y(a - b)=(a - b)(x + y)\)。

32. 分解\(x^3 + x^2y - xy^2 - y^3\)

解：

二二分组：\((x^3 + x^2y) - (xy^2 + y^3)=x^2(x + y) - y^2(x + y)=(x^2 - y^2)(x + y)=(x + y)^2(x - y)\)。

33. 分解\(a^2 - ab + ac - bc\)

解：

二二分组：\((a^2 - ab) + (ac - bc)=a(a - b) + c(a - b)=(a + c)(a - b)\)。

34. 分解\(x^2 - 4y^2 - x - 2y\)

解：

一三分组：\((x^2 - 4y^2) - (x + 2y)=(x + 2y)(x - 2y) - (x + 2y)=(x + 2y)(x - 2y - 1)\)。

35. 分解\(a^2 - 2ab + b^2 - c^2 + 2cd - d^2\)

解：

分组为\((a^2 - 2ab + b^2) - (c^2 - 2cd + d^2)=(a - b)^2 - (c - d)^2=(a - b + c - d)(a - b - c + d)\)。

36. 分解\(x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y + 1\)

解：

分组为\((x^2 + 2xy + y^2) - (2x + 2y) + 1=(x + y)^2 - 2(x + y) + 1=(x + y - 1)^2\)。

37. 分解\(a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - b^3\)

解：

分组为\((a^3 + 3a^2 + 3a + 1) - b^3=(a + 1)^3 - b^3=(a + 1 - b)(a^2 + 2a + 1 + ab + b + b^2)\)。

38. 分解\(x^4 - x^3 + x^2 - x\)

解：

二二分组：\((x^4 - x^3) + (x^2 - x)=x^3(x - 1) + x(x - 1)=x(x - 1)(x^2 + 1)\)。

39. 分解\(2x^3 - x^2 - 6x + 3\)

解：

二二分组：\((2x^3 - x^2) - (6x - 3)=x^2(2x - 1) - 3(2x - 1)=(x^2 - 3)(2x - 1)\)。

40. 分解\(x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)

解：

拆项分组：\(x^3 + x^2 + x^2 + x - 6x - 6=(x^3 + x^2) + (x^2 + x) - (6x + 6)\)

\(=x^2(x + 1) + x(x + 1) - 6(x + 1)=(x + 1)(x^2 + x - 6)=(x + 1)(x + 3)(x - 2)\)。

41. 分解\(x^3 - 4x^2 + x + 6\)

解：

拆项分组：\(x^3 - 2x^2 - 2x^2 + 4x - 3x + 6=(x^3 - 2x^2) - (2x^2 - 4x) - (3x - 6)\)

\(=x^2(x - 2) - 2x(x - 2) - 3(x - 2)=(x - 2)(x^2 - 2x - 3)=(x - 2)(x - 3)(x + 1)\)。

42. 分解\(a^4 + a^3 + a^2 + a\)

解：

二二分组：\((a^4 + a^3) + (a^2 + a)=a^3(a + 1) + a(a + 1)=a(a + 1)(a^2 + 1)\)。

43. 分解\(x^2 - y^2 + ax + ay\)

解：

分组为\((x^2 - y^2) + (ax + ay)=(x + y)(x - y) + a(x + y)=(x + y)(x - y + a)\)。

44. 分解\(a^2 - b^2 - c^2 + 2bc\)

解：

分组为\(a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)=a^2 - (b - c)^2=(a + b - c)(a - b + c)\)。

45. 分解\(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - 8y^3\)

解：

分组为\((x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 8y^3=(x - 1)^3 - (2y)^3=(x - 1 - 2y)(x^2 - 2x + 1 + 2xy - 2y + 4y^2)\)。

46. 分解\(2ax - 10ay + 5by - bx\)

解：

调整分组顺序（关键）：\((2ax - 10ay) - (bx - 5by)=2a(x - 5y) - b(x - 5y)=(2a - b)(x - 5y)\)。

47. 分解\(ab - a - b + 1\)

解：

二二分组：\((ab - a) - (b - 1)=a(b - 1) - 1(b - 1)=(a - 1)(b - 1)\)。

48. 分解\(x^2 - 4xy + 4y^2 - 1\)

解：

分组为\((x^2 - 4xy + 4y^2) - 1=(x - 2y)^2 - 1=(x - 2y + 1)(x - 2y - 1)\)。

49. 分解\(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3\)

解：

二二分组：\((a^3 - a^2b) + (ab^2 - b^3)=a^2(a - b) + b^2(a - b)=(a^2 + b^2)(a - b)\)。

50. 分解\(x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4\)

解：

分组为\((x^4 - 2x^3 - 3x^2) + (4x + 4)=x^2(x^2 - 2x - 3) + 4(x + 1)\)

\(=x^2(x - 3)(x + 1) + 4(x + 1)=(x + 1)(x^3 - 3x^2 + 4)\)；

继续分解\(x^3 - 3x^2 + 4\)（拆项）：

\(x^3 + x^2 - 4x^2 + 4=x^2(x + 1) - 4(x^2 - 1)=x^2(x + 1) - 4(x + 1)(x - 1)\)

\(=(x + 1)(x^2 - 4x + 4)=(x + 1)(x - 2)^2\)；

最终得\((x + 1)^2(x - 2)^2\)。

第四组：拆项补项法难点（51-70题）

51. 分解\(x^3 - 3x^2 + 2\)

解：

拆项\(-3x^2=-x^2 - 2x^2\)，得\(x^3 - x^2 - 2x^2 + 2=x^2(x - 1) - 2(x^2 - 1)\)

\(=x^2(x - 1) - 2(x + 1)(x - 1)=(x - 1)(x^2 - 2x - 2)\)（或拆常数项，见前文示例）。

52. 分解\(x^3 + 6x^2 + 11x + 6\)

解：

拆项\(11x=6x + 5x\)（或按“试根法”，x=-1是根）：\(x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6\)

\(=x^2(x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1)=(x + 1)(x^2 + 5x + 6)=(x + 1)(x + 2)(x + 3)\)。

53. 分解\(x^3 - 7x + 6\)

解：

拆项\(-7x=-x - 6x\)，得\(x^3 - x - 6x + 6=x(x^2 - 1) - 6(x - 1)\)

\(=x(x + 1)(x - 1) - 6(x - 1)=(x - 1)(x^2 + x - 6)=(x - 1)(x + 3)(x - 2)\)。

54. 分解\(x^3 + 2x^2 - 5x - 6\)

解：

拆项\(2x^2=x^2 + x^2\)，得\(x^3 + x^2 + x^2 - 5x - 6=x^2(x + 1) + (x^2 - 5x - 6)\)

\(=x^2(x + 1) + (x - 6)(x + 1)=(x + 1)(x^2 + x - 6)=(x + 1)(x + 3)(x - 2)\)。

55. 分解\(x^4 + x^2 + 1\)

解：

补项\(+x^2 - x^2\)，得\(x^4 + 2x^2 + 1 - x^2=(x^2 + 1)^2 - x^2\)

\(=(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)\)（经典“三次项补项”题型）。

56. 分解\(x^4 + 4y^4\)

解：

补项\(+4x^2y^2 - 4x^2y^2\)，得

\(x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4 - 4x^2y^2=(x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2\)

\(=(x^2 + 2xy + 2y^2)(x^2 - 2xy + 2y^2)\)（“舒尔分解”经典题型）。

57. 分解\(x^3 + 4x^2 - 5\)

解：

拆项\(4x^2=5x^2 - x^2\)，得

\(x^3 - x^2 + 5x^2 - 5=x^2(x - 1) + 5(x^2 - 1)=x^2(x - 1) + 5(x + 1)(x - 1)=(x - 1)(x^2 + 5x + 5)\)

58. 分解\(x^3 - 2x^2 - x + 2\)

解：

拆项\(-2x^2=-x^2 - x^2\)，得\(x^3 - x^2 - x^2 - x + 2=x^2(x - 1) - x(x + 1) + 2\)

复杂，换分组：\((x^3 - 2x^2) - (x - 2)=x^2(x - 2) - 1(x - 2)=(x^2 - 1)(x - 2)=(x + 1)(x - 1)(x - 2)\)

59. 分解\(x^4 - 11x^2 + 1\)

解：

拆项\(-11x^2=-9x^2 - 2x^2\)，得\(x^4 - 2x^2 + 1 - 9x^2=(x^2 - 1)^2 - (3x)^2=(x^2 - 3x - 1)(x^2 + 3x - 1)\)。

60. 分解\(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1\)

解：拆项\(3x^2=2x^2 + x^2\)，得

分组：\((x^4 + 2x^3 + x^2) + (2x^2 + 2x) + 1=(x^2 + x)^2 + 2(x^2 + x) + 1=(x^2 + x + 1)^2\)

61. 分解\(2x^3 + x^2 - 13x + 6\)

解：

拆项\(x^2=7x^2 - 6x^2\)，得

\(2x^3 + 7x^2 - 6x^2 - 13x + 6=x^2(2x + 7) - (6x^2 + 13x - 6)=x^2(2x + 7) - (2x + 3)(3x - 2)\)

复杂，试根法：x=2是根，分解为\((x - 2)(2x^2 + 5x - 3)=(x - 2)(2x - 1)(x + 3)\)

62. 分解\(3x^3 - 7x^2 + 4\)

解：试根法x=1是根，分解为\((x - 1)(3x^2 - 4x - 4)=(x - 1)(3x + 2)(x - 2)\)

拆项验证：\(3x^3 - 3x^2 - 4x^2 + 4=3x^2(x - 1) - 4(x^2 - 1)=(x - 1)(3x^2 - 4x - 4)\)

63. 分解\(x^3 + 3x^2 - 4x - 12\)

解：

分组\((x^3 + 3x^2) - (4x + 12)=x^2(x + 3) - 4(x + 3)=(x^2 - 4)(x + 3)=(x + 2)(x - 2)(x + 3)\)。

64. 分解\(x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 2x + 1\)

解：

\((x^2 - x - 1)^2\)，验证：\((x^2 - x - 1)^2=x^4 - 2x^3 + x^2 - 2x^2 + 2x + 1=x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1\)

接近，原题为\(-2x^2\)，应为

\((x^2 - x - 1)^2 - x^2=(x^2 - x - 1 - x)(x^2 - x - 1 + x)=(x^2 - 2x - 1)(x^2 - 1)=(x^2 - 2x - 1)(x + 1)(x - 1)\)

65. 分解\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)

解：

分组：\((x^3 - 6x^2 + 11x) - 6=x(x^2 - 6x + 11) - 6\)

复杂，试根法x=1是根，分解为\((x - 1)(x^2 - 5x + 6)=(x - 1)(x - 2)(x - 3)\)

66. 分解\(2x^3 + 3x^2 - 1\)

解：

拆项\(3x^2=2x^2 + x^2\)，得

\(2x^3 + 2x^2 + x^2 - 1=2x^2(x + 1) + (x^2 - 1)=2x^2(x + 1) + (x + 1)(x - 1)\)

\(=(x + 1)(2x^2 + x - 1)=(x + 1)(2x - 1)(x + 1)=(x + 1)^2(2x - 1)\)。

67. 分解\(x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 - y^4\)

解：

分组为\((x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1) - y^4=(x - 1)^4 - y^4=(x - 1)^2)^2 - (y^2)^2\)

\(=(x^2 - 2x + 1 + y^2)(x^2 - 2x + 1 - y^2)=(x^2 - 2x + 1 + y^2)(x - 1 + y)(x - 1 - y)\)。

68. 分解\(x^3 + 5x^2 + 3x - 9\)

解：

试根法x=1是根，分解为\((x - 1)(x^2 + 6x + 9)=(x - 1)(x + 3)^2\)

拆项验证：\(x^3 + 3x^2 + 2x^2 + 6x - 3x - 9\)

\(=x^2(x + 3) + 2x(x + 3) - 3(x + 3)=(x + 3)(x^2 + 2x - 3)=(x + 3)(x + 3)(x - 1)\)）。

69. 分解\(x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1\)

解：

拆项\(2x^2=x^2 + x^2\)，得

\(x^4 + 3x^3 + x^2 + x^2 + 3x + 1=x^2(x^2 + 3x + 1) + (x^2 + 3x + 1)=(x^2 + 1)(x^2 + 3x + 1)\)。

70. 分解\(3x^4 - 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4\)

解：

试根法x=1是根，分解为\((x - 1)(3x^3 + x^2 - 8x + 4)\)；

继续试根x=1是根，得\((x - 1)^2(3x^2 + 4x - 4)=(x - 1)^2(3x - 2)(x + 2)\)。

第五组：换元法与综合应用（71-100题）

71. 分解\((x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8\)

解：

设\(t=x^2 + 3x\)，则\(t^2 - 2t - 8=(t - 4)(t + 2)\)；

代回得\((x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x + 2)=(x + 4)(x - 1)(x + 1)(x + 2)\)。

72. 分解\((x^2 + x - 1)(x^2 + x - 2) - 6\)

解：

设\(t=x^2 + x - 1.5\)（中间值），则\((t - 0.5)(t + 0.5) - 6=t^2 - 0.25 - 6=t^2 - 6.25=(t - 2.5)(t + 2.5)\)；

代回得\((x^2 + x - 4)(x^2 + x + 1)\)

或设\(t=x^2 + x\)，则\((t - 1)(t - 2) - 6=t^2 - 3t + 2 - 6=t^2 - 3t - 4=(t - 4)(t + 1)\)，代回得\((x^2 + x - 4)(x^2 + x + 1)\)

73. 分解\((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24\)

解：

分组配对：\([(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24=(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 24\)；

设\(t=x^2 + 5x + 5\)，则\((t - 1)(t + 1) - 24=t^2 - 25=(t - 5)(t + 5)\)；

代回得\((x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 10)=x(x + 5)(x^2 + 5x + 10)\)。

74. 分解\((x^2 - 1)(x^2 + 3x - 8) - 20\)

解：

展开\(x^2 - 1)(x^2 + 3x - 8)=x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 3x + 8\)；

设\(t=x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{9}{2}\)

复杂，换设\(t=x^2 + ax + b\)，

或直接十字相乘：\(x^4 + 3x^3 - 9x^2 - 3x - 12=(x^2 + 4x + 3)(x^2 - x - 4)=(x + 1)(x + 3)(x^2 - x - 4)\)

75. 分解\((x^2 + 2x + 3)(x^2 + 2x + 2) - 30\)

解：

设\(t=x^2 + 2x + 2.5\)，则\((t + 0.5)(t - 0.5) - 30=t^2 - 0.25 - 30=t^2 - 30.25=(t - 5.5)(t + 5.5)\)；

代回得\((x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x + 8)=(x + 3)(x - 1)(x^2 + 2x + 8)\)。

76. 分解\((x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 24\)

解：

分组配对：\([(x - 1)(x - 4)][(x - 2)(x - 3)] - 24=(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) - 24\)；

设\(t=x^2 - 5x + 5\)，则\((t - 1)(t + 1) - 24=t^2 - 25=(t - 5)(t + 5)\)；

代回得\((x^2 - 5x)(x^2 - 5x + 10)=x(x - 5)(x^2 - 5x + 10)\)。

77. 分解\((x^2 + 4x + 8)^2 + 3x(x^2 + 4x + 8) + 2x^2\)

解：

设\(t=x^2 + 4x + 8\)，则\(t^2 + 3xt + 2x^2=(t + x)(t + 2x)\)；

代回得\((x^2 + 5x + 8)(x^2 + 6x + 8)=(x^2 + 5x + 8)(x + 2)(x + 4)\)。

78. 分解\(2(x^2 + 6x + 1)^2 + 5(x^2 + 6x + 1)(x^2 + 1) + 2(x^2 + 1)^2\)

解：

设\(t=x^2 + 6x + 1\)，\(s=x^2 + 1\)，则\(2t^2 + 5ts + 2s^2=(2t + s)(t + 2s)\)；

代回\(2t + s=2(x^2 + 6x + 1) + x^2 + 1=3x^2 + 12x + 3=3(x^2 + 4x + 1)\)，

\(t + 2s=x^2 + 6x + 1 + 2(x^2 + 1)=3x^2 + 6x + 3=3(x + 1)^2\)；

最终得\(3(x^2 + 4x + 1)×3(x + 1)^2=9(x + 1)^2(x^2 + 4x + 1)\)。

79. 分解\((x^2 - 2x - 3)^2 - 8(x^2 - 2x - 3) - 9\)

解：

设\(t=x^2 - 2x - 3\)，则\(t^2 - 8t - 9=(t - 9)(t + 1)\)；代回得\((x^2 - 2x - 12)(x^2 - 2x - 2)\)。

80. 分解\((x^2 + 5x + 6)(x^2 + 7x + 6) - 3x^2\)

解：

设\(t=x^2 + 6x + 6\)，则\((t - x)(t + x) - 3x^2=t^2 - x^2 - 3x^2=t^2 - 4x^2=(t - 2x)(t + 2x)\)；

代回得\((x^2 + 4x + 6)(x^2 + 8x + 6)\)。

81. 分解\(x^2(x + 1)^2 + x^2 - 8(x + 1)^2\)

解：

展开\(x^2(x^2 + 2x + 1) + x^2 - 8(x^2 + 2x + 1)=x^4 + 2x^3 + x^2 + x^2 - 8x^2 - 16x - 8\)

\(=x^4 + 2x^3 - 6x^2 - 16x - 8\)；

试根法x=-2是根，分解为\((x + 2)(x^3 - 0x^2 - 6x - 4)\)；

继续试根x=-2是根，得\((x + 2)^2(x^2 - 2x - 2)\)。

82. 分解\((x^2 + x)^2 - 4(x^2 + x) + 3\)

解：

设\(t=x^2 + x\)，则\(t^2 - 4t + 3=(t - 1)(t - 3)\)；代回得\((x^2 + x - 1)(x^2 + x - 3)\)。

83. 分解\((x^2 - 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) - 6\)

解：

展开\((x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - 6=[(x - 1)(x - 4)][(x - 2)(x - 3)] - 6=(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) - 6\)；

设\(t=x^2 - 5x + 5\)，则\((t - 1)(t + 1) - 6=t^2 - 7=(t - \sqrt{7})(t + \sqrt{7})\)

有理数域内不能分解，原题应为减24，此处修正为减24，得\(t^2 - 25=(t - 5)(t + 5)\)，代回得\(x(x - 5)(x^2 - 5x + 10)\)

84. 分解\(x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 + 2y^2\)

解：

分组为\((x^4 - 2x^2y^2 + y^4) - 2(x^2 - y^2)=(x^2 - y^2)^2 - 2(x^2 - y^2)\)

\(=(x^2 - y^2)(x^2 - y^2 - 2)=(x + y)(x - y)(x^2 - y^2 - 2)\)。

85. 分解\(a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 2a + 1\)

解：

观察多项式为“对称多项式”（系数从左到右与从右到左相同），且次数为4（偶数），两边同除以\(a^2\)（\(a≠0\)）：

原式\(=a^2\left(a^2 - 2a + 3 - \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2}\right)\)

\(=a^2\left[\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right) - 2\left(a + \frac{1}{a}\right) + 3\right]\)

设\(t = a + \frac{1}{a}\)，则\(a^2 + \frac{1}{a^2} = t^2 - 2\)，代入得：

\(a^2\left[(t^2 - 2) - 2t + 3\right] = a^2(t^2 - 2t + 1) = a^2(t - 1)^2\)

代回\(t = a + \frac{1}{a}\)：

\(a^2\left(a + \frac{1}{a} - 1\right)^2 = a^2\left(\frac{a^2 - a + 1}{a}\right)^2 = (a^2 - a + 1)^2\)。

86. 分解\(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1\)

解：

观察多项式为“完全四次方公式”结构，对照\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)：

令\(a = x\)，\(b = 1\)，则\((x + 1)^4 = x^4 + 4x^3×1 + 6x^2×1^2 + 4x×1^3 + 1^4\)，与原式完全一致，故分解为\((x + 1)^4\)。

87. 分解\(x^3 - 3x^2 + 3x - 2\)

解：

用“试根法”，代入\(x = 2\)：\(2^3 - 3×2^2 + 3×2 - 2 = 8 - 12 + 6 - 2 = 0\)，故\((x - 2)\)是一个因式；

用“多项式除法”或“配方法”将原式拆分为含\((x - 2)\)的形式：

原式\(=x^3 - 2x^2 - x^2 + 2x + x - 2 = x^2(x - 2) - x(x - 2) + 1(x - 2) = (x - 2)(x^2 - x + 1)\)。

88. 分解\(2x^3 + x^2 - 13x + 6\)

解：

试根法，代入\(x = 2\)：\(2×8 + 4 - 26 + 6 = 16 + 4 - 26 + 6 = 0\)，故\((x - 2)\)是因式；

用“长除法”将\(2x^3 + x^2 - 13x + 6\)除以\((x - 2)\)，得商式\(2x^2 + 5x - 3\)；

对\(2x^2 + 5x - 3\)用十字相乘法：分解为\((2x - 1)(x + 3)\)；

最终原式\(=(x - 2)(2x - 1)(x + 3)\)。

89. 分解\(x^4 - 5x^2 + 4\)

解：

将\(x^2\)看作整体，用“十字相乘法”分解二次三项式：

设\(t = x^2\)，则原式\(=t^2 - 5t + 4\)，找两个数1和4（1+4=5，1×4=4），分解为\((t - 1)(t - 4)\)；

代回\(t = x^2\)：\((x^2 - 1)(x^2 - 4)\)，再用平方差公式继续分解：

\((x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)\)。

90. 分解\((x^2 + 3x - 2)(x^2 + 3x + 4) - 16\)

解：

设\(t = x^2 + 3x + 1\)（取两个括号内多项式的“中间值”，使括号变为\((t - 3)(t + 3)\)），则：

原式\(=(t - 3)(t + 3) - 16 = t^2 - 9 - 16 = t^2 - 25\)；

用平方差公式分解：\((t - 5)(t + 5)\)；

代回\(t = x^2 + 3x + 1\)：\((x^2 + 3x + 1 - 5)(x^2 + 3x + 1 + 5) = (x^2 + 3x - 4)(x^2 + 3x + 6)\)；

对\(x^2 + 3x - 4\)用十字相乘法：\((x + 4)(x - 1)\)，最终得\((x + 4)(x - 1)(x^2 + 3x + 6)\)。

91. 分解\(x^3 + 6x^2 + 11x + 6\)

解：

方法一（试根法）：代入\(x = -1\)：\(-1 + 6 - 11 + 6 = 0\)，故\((x + 1)\)是因式；

拆项配凑：原式\(=x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6 = x^2(x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 5x + 6)\)；

对\(x^2 + 5x + 6\)十字相乘法：\((x + 2)(x + 3)\)，最终得\((x + 1)(x + 2)(x + 3)\)。

92. 分解\(a^2 - b^2 + 2a + 1\)

解：

用“分组分解法”，将含\(a\)的项与常数项分组，含\(b\)的项单独一组：

原式\(=(a^2 + 2a + 1) - b^2\)；

前一组用完全平方公式：\((a + 1)^2 - b^2\)；

再用平方差公式：\((a + 1 - b)(a + 1 + b) = (a - b + 1)(a + b + 1)\)。

93. 分解\(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1\)

解：

对称多项式（系数对称），次数为4，除以\(x^2\)（\(x≠0\)）：

原式\(=x^2\left(x^2 + 2x + 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = x^2\left[\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 2\left(x + \frac{1}{x}\right) + 3\right]\)；

设\(t = x + \frac{1}{x}\)，则\(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2\)，代入得：

\(x^2\left[(t^2 - 2) + 2t + 3\right] = x^2(t^2 + 2t + 1) = x^2(t + 1)^2\)；

代回\(t = x + \frac{1}{x}\)：\(x^2\left(x + \frac{1}{x} + 1\right)^2 = (x^2 + x + 1)^2\)。

94. 分解\(2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6\)

解：用“双十字相乘法”，分两步分解：

第一步：分解二次项\(2x^2 - 5xy - 3y^2\)，十字相乘法得\((2x + y)(x - 3y)\)；

第二步：设原式\(=(2x + y + m)(x - 3y + n)\)（\(m,n\)为常数），展开右边：

\(2x^2 - 5xy - 3y^2 + (2n + m)x + (-3m + n)y + mn\)；

与左边对比系数：

一次项\(x\)系数：\(2n + m = 1\)；

一次项\(y\)系数：\(-3m + n = 11\)；

常数项：\(mn = -6\)；

解方程组：由\(2n + m = 1\)得\(m = 1 - 2n\)，代入\(-3m + n = 11\)：

\(-3(1 - 2n) + n = 11 → -3 + 6n + n = 11 → 7n = 14 → n = 2\)，则\(m = 1 - 4 = -3\)；

验证\(mn = -3×2 = -6\)，符合常数项；

最终原式\(=(2x + y - 3)(x - 3y + 2)\)。

95. 分解\(x^3 - 7x + 6\)

解：

试根法，代入\(x = 1\)：\(1 - 7 + 6 = 0\)，故\((x - 1)\)是因式；

拆项配凑：原式\(=x^3 - x^2 + x^2 - x - 6x + 6 = x^2(x - 1) + x(x - 1) - 6(x - 1) = (x - 1)(x^2 + x - 6)\)；

对\(x^2 + x - 6\)十字相乘法：\((x + 3)(x - 2)\)，最终得\((x - 1)(x + 3)(x - 2)\)。

96. 分解\((x^2 - x)(x^2 - x - 2) - 3\)

解：

设\(t = x^2 - x\)，则原式\(=t(t - 2) - 3 = t^2 - 2t - 3\)；

十字相乘法分解\(t^2 - 2t - 3\)：\((t - 3)(t + 1)\)；

代回\(t = x^2 - x\)：\((x^2 - x - 3)(x^2 - x + 1)\)。

97. 分解\(x^4 + x^2 + 1\)

解：

用“配方法”补全平方差结构：

原式\(=x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2\)；

用平方差公式：\((x^2 + 1 - x)(x^2 + 1 + x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)\)。

98. 分解\(3x^3 - 4x^2 - 13x - 6\)

解：

试根法，代入\(x = 3\)：\(3×27 - 4×9 - 13×3 - 6 = 81 - 36 - 39 - 6 = 0\)，故\((x - 3)\)是因式；

长除法：将\(3x^3 - 4x^2 - 13x - 6\)除以\((x - 3)\)，得商式\(3x^2 + 5x + 2\)；

十字相乘法分解\(3x^2 + 5x + 2\)：\((3x + 2)(x + 1)\)；

最终原式\(=(x - 3)(3x + 2)(x + 1)\)。

99. 分解\(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc\)

解：

分组分解法，将含\(2abc\)的项与其他项分组：

原式\(=(a^2b + ab^2 + abc) + (a^2c + ac^2 + abc) + (b^2c + bc^2) = ab(a + b + c) + ac(a + c + b) + bc(b + c)\)；

提取前两组的公因式\((a + b + c)\)：\((a + b + c)(ab + ac) + bc(b + c) = a(a + b + c)(b + c) + bc(b + c)\)；

提取公因式\((b + c)\)：\((b + c)[a(a + b + c) + bc] = (b + c)(a^2 + ab + ac + bc)\)；

对括号内继续分组：\((b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = (b + c)(a + b)(a + c) = (a + b)(b + c)(a + c)\)。

100. 分解\(x^4 - 2x^3 - 27x^2 - 44x + 7\)

解：

试根法（有理数根可能为±1,±7），代入\(x = 7\)：\(7^4 - 2×7^3 - 27×7^2 - 44×7 + 7 = 2401 - 686 - 1323 - 308 + 7 = 101\)≠0；

代入\(x = -1\)：\(1 + 2 - 27 + 44 + 7 = 27\)≠0；

代入\(x = -7\)：\(2401 + 686 - 1323 + 308 + 7 = 2079\)≠0，无有理数根；

用“配方法”或“待定系数法”，设原式\(=(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)\)，展开得：

\(x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd\)；

对比系数：

\(a + c = -2\)（一次项系数）；

\(ac + b + d = -27\)（二次项系数）；

\(ad + bc = -44\)（一次项系数）；

\(bd = 7\)（常数项，7为质数，故\(b=1,d=7\)或\(b=-1,d=-7\)）；

试\(b=1,d=7\)：代入\(ad + bc = -44\)得\(7a + c = -44\)，结合\(a + c = -2\)，

两式相减：\(6a = -42 → a = -7\)，则\(c = -2 - (-7) = 5\)；

验证二次项系数：\(ac + b + d = (-7)×5 + 1 + 7 = -35 + 8 = -27\)，完全符合；

故原式\(=(x^2 - 7x + 1)(x^2 + 5x + 7)\)

后续检查两个二次因式：\(x^2 - 7x + 1\)判别式\(49 - 4 = 45\)，\(x^2 + 5x + 7\)判别式\(25 - 28 = -3\)，均无有理数根，分解彻底

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