四边形

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四边形是平面几何中由四条线段首尾顺次连接形成的封闭图形，是多边形家族的基础成员。其中，平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形是特殊四边形，它们在普通四边形的共性基础上，衍生出独特的边、角、对角线关系，且存在明确的从属逻辑（如矩形、菱形是特殊平行四边形，正方形是特殊矩形与菱形）。

一、普通四边形（非特殊四边形）

普通四边形是所有四边形的“基础模型”，无特殊边、角约束，仅具备四边形的共性特征。

1. 定义

由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接形成的封闭平面图形，称为四边形。

2. 核心性质（共性）

内角和与外角和：①内角和为\(360^\circ\)（可通过“连接一条对角线，将四边形分成2个三角形，每个三角形内角和\(180^\circ\)，故\(2×180^\circ=360^\circ\)”推导）；②外角和为\(360^\circ\)（任意多边形外角和均为\(360^\circ\)，与边数无关）。

对角线：任意四边形有2条对角线，对角线将四边形分成4个三角形，且两条对角线长度无固定关系（特殊四边形除外）。

面积计算：无通用公式，需通过“分割法”转化为三角形或特殊图形（如梯形、平行四边形）计算，例如：连接一条对角线，面积 = 两个三角形面积之和。

结论1：四边形对角线与面积的关系

若四边形两条对角线长为\(d_1\)、\(d_2\)，且两条对角线互相垂直（如菱形、正方形），则面积 = \(\frac{1}{2}d_1d_2\)（本质是两个直角三角形面积之和，\(\frac{1}{2}d_1×\frac{d_2}{2} + \frac{1}{2}d_1×\frac{d_2}{2} = \frac{1}{2}d_1d_2\)）。

结论2：任意四边形的“中点四边形”性质

连接四边形四条边的中点，形成的新四边形（中点四边形）一定是平行四边形（由三角形中位线定理推导：中点连线平行于对角线且等于对角线一半，两组对边分别平行，故为平行四边形）；若原四边形对角线相等，中点四边形为矩形；若原四边形对角线垂直，中点四边形为菱形。

二、平行四边形

平行四边形是“两组对边分别平行”的特殊四边形，是矩形、菱形、正方形的“母体”。

1. 定义

两组对边分别平行的四边形，称为平行四边形（记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”）。

2. 核心性质（边、角、对角线、对称性）

边的性质：①两组对边分别平行（定义延伸）；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等（判定与性质互通）。

角的性质：①两组对角分别相等；②邻角互补（和为\(180^\circ\)，因平行线同旁内角互补）。

对角线的性质：对角线互相平分（即对角线交点是两条对角线的中点）。

对称性：中心对称图形（绕对角线交点旋转\(180^\circ\)后与原图形重合），无对称轴（非轴对称图形）。

3. 判定定理（5条，满足其一即可判定）

1. 两组对边分别平行（定义判定）；

2. 两组对边分别相等；

3. 一组对边平行且相等；

4. 两组对角分别相等；

5. 对角线互相平分。

结论1：平行四边形面积公式

面积 = 底 × 高（底为任意一边，高为该底对应的垂线段长度；“同底等高的平行四边形面积相等”）；若相邻两边长为\(a\)、\(b\)，两边夹角为\(\theta\)，则面积 = \(ab\sin\theta\)（由三角函数“高 = \(b\sin\theta\)”推导）。

结论2：平行四边形对角线与边长的关系

设对角线长为\(d_1\)、\(d_2\)，相邻两边长为\(a\)、\(b\)，则\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\)（“对角线平方和等于四边平方和”，由余弦定理推导：对角线平方 = 两边平方和 ± \(2ab\cos\theta\)，两式相加消去\(\cos\theta\)）。

结论3：过对角线交点的直线性质

过平行四边形对角线交点的任意直线，将平行四边形分成两个全等图形（面积、对应边/角均相等）。

三、矩形

矩形是“有一个角为直角的平行四边形”，兼具平行四边形共性与直角特性。

1. 定义

有一个角是直角的平行四边形，称为矩形（也叫长方形）。

2. 核心性质（共性+专属特性）

共性（继承平行四边形）：①两组对边平行且相等；②两组对角相等（均为\(90^\circ\)）；③对角线互相平分；④中心对称图形。

专属特性：①四个角都是直角（\(90^\circ\)）；②对角线相等（平行四边形中唯一对角线相等的类型）；③轴对称图形（2条对称轴，过两组对边中点）。

3. 判定定理（3条）

1. 有一个角是直角的平行四边形（定义判定）；

2. 对角线相等的平行四边形；

3. 三个角是直角的四边形（直接判定，无需先证平行四边形）。

结论1：矩形面积公式

面积 = 长 × 宽（直角特性使长、宽即相邻两边，无需找高）；若已知对角线长\(d\)、一条边长\(a\)，则面积 = \(a\sqrt{d^2 - a^2}\)（由勾股定理求另一条边）。

结论2：矩形与直角三角形的关联

矩形对角线将其分成两个全等直角三角形，且对角线的一半 = 直角三角形斜边中线（结合直角三角形斜边中线定理：斜边中线 = 斜边一半，故矩形四个顶点共圆，对角线为直径）。

结论3：矩形折叠问题的隐含关系

折叠矩形一边使顶点落在对边上，形成的三角形必为直角三角形，可通过勾股定理求折叠边长（高频考点）。

四、菱形

菱形是“有一组邻边相等的平行四边形”，与矩形对称，兼具平行四边形共性与边长相等特性。

1. 定义

有一组邻边相等的平行四边形，称为菱形。

2. 核心性质（共性+专属特性）

共性（继承平行四边形）：①两组对边平行且相等（邻边相等故四边均相等）；②两组对角相等；③对角线互相平分；④中心对称图形。

专属特性：①四条边都相等；②对角线互相垂直（且每条对角线平分一组对角）；③轴对称图形（2条对称轴，即两条对角线所在直线）。

3. 判定定理（3条）

1. 有一组邻边相等的平行四边形（定义判定）；

2. 对角线互相垂直的平行四边形；

3. 四条边都相等的四边形（直接判定）。

结论1：菱形面积公式

面积 = 底 × 高（同平行四边形）；或面积 = \(\frac{1}{2}d_1d_2\)（\(d_1\)、\(d_2\)为对角线，因对角线垂直，可拆为4个直角三角形面积之和）。

结论2：菱形对角线与边长的关系

设对角线长\(d_1\)、\(d_2\)，边长为\(a\)，则\((\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2\)（由勾股定理，对角线一半与边长构成直角三角形）。

结论3：菱形的角与对角线的关联

对角线平分一组对角，故对角线将菱形分成4个全等的直角三角形，且直角三角形的锐角 = 菱形对应角的一半。

五、正方形

正方形是“有一组邻边相等且有一个角为直角的平行四边形”，是矩形与菱形的“交集”，兼具两者所有性质。

1. 定义

有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，称为正方形。

2. 核心性质（继承矩形+菱形所有特性）

边：四条边都相等，两组对边分别平行。

角：四个角都是直角（\(90^\circ\)）。

对角线：①互相平分；②相等；③互相垂直；④每条对角线平分一组对角（对角线与边长夹角为\(45^\circ\)）。

对称性：①中心对称图形；②轴对称图形（4条对称轴，过两组对边中点及两条对角线）。

3. 判定定理（4条）

1. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形（定义判定）；

2. 有一组邻边相等的矩形；

3. 有一个角是直角的菱形；

4. 对角线相等且互相垂直的平行四边形。

结论1：正方形面积公式

面积 = 边长²；或面积 = \(\frac{1}{2}d^2\)（\(d\)为对角线，因对角线相等且垂直，代入菱形面积公式）。

结论2：正方形对角线与边长的关系

对角线长\(d = a\sqrt{2}\)（\(a\)为边长，由勾股定理\(a^2 + a^2 = d^2\)推导）。

结论3：正方形内接图形的特性

正方形内接圆的直径 = 正方形边长；正方形外接圆的直径 = 正方形对角线长。

六、梯形

梯形是“只有一组对边平行的四边形”，与平行四边形的核心区别是“仅一组对边平行”，分为普通梯形与特殊梯形（等腰梯形、直角梯形）。

1. 定义

只有一组对边平行的四边形，称为梯形。其中：两腰相等的梯形称为等腰梯形；有一个角是直角的梯形称为直角梯形（直角腰垂直于两底）。

2. 核心性质（普通梯形+特殊梯形特性）

（1）普通梯形

平行的两边称为“底”（上底\(a\)、下底\(b\)，通常上底短、下底长），不平行的两边称为“腰”；

两腰之间的距离称为“高\(h\)”（垂直于两底的垂线段长度）；

面积 = \(\frac{1}{2}(a + b)h\)（“上底加下底乘高除以二”，通过割补法转化为平行四边形或矩形推导）。

（2）等腰梯形（特殊特性）

两腰相等；

同一底上的两个角相等（如底\(a\)上的两个角相等，底\(b\)上的两个角相等）；

对角线相等；

轴对称图形（1条对称轴，过两底中点的直线）。

（3）直角梯形（特殊特性）

有一组邻边垂直（直角腰垂直于两底）；

面积可表示为“直角腰 × (上底 + 下底) ÷ 2”（直角腰即高）；

无对称轴，非中心对称图形。

3. 判定定理（重点为等腰梯形）

1. 只有一组对边平行的四边形（梯形定义判定）；

2. 两腰相等的梯形（等腰梯形定义判定）；

3. 同一底上的两个角相等的梯形（等腰梯形判定）；

4. 对角线相等的梯形（等腰梯形判定）；

5. 有一个角是直角且只有一组对边平行的四边形（直角梯形判定）。

结论1：等腰梯形的“辅助线技巧”

解决等腰梯形问题常用辅助线：①过一腰端点作另一腰的平行线（构造平行四边形与等腰三角形）；②过两腰端点作下底的垂线（构造两个全等直角三角形与矩形）；③延长两腰交于一点（构造等腰三角形）。

结论2：直角梯形的“边长关系”

若直角梯形的直角腰为\(h\)，非直角腰为\(l\)，上底\(a\)、下底\(b\)，则\(l^2 = h^2 + (b - a)^2\)（非直角腰、高、下底与上底的差构成直角三角形，由勾股定理推导）。

结论3：梯形的“中位线定理”

梯形两腰中点的连线称为“中位线”，中位线长度 = \(\frac{1}{2}(a + b)\)（平行于两底），且梯形面积 = 中位线 × 高（由面积公式推导，\(\frac{1}{2}(a + b)h = 中位线 × h\)）。

七、例题精讲

例题1：普通四边形内角和应用。已知四边形\(ABCD\)中，\(\angle A = 80^\circ\)，\(\angle B = 100^\circ\)，\(\angle C = 70^\circ\)，求\(\angle D\)的度数。

解析：

由四边形内角和为\(360^\circ\)，得\(\angle D = 360^\circ - \angle A - \angle B - \angle C = 360^\circ - 80^\circ - 100^\circ - 70^\circ = 110^\circ\)。

答案：\(110^\circ\)。

例题2：平行四边形性质应用。在□ABCD中，\(AB = 6\)，\(BC = 8\)，\(\angle A = 60^\circ\)，求平行四边形的面积。

解析：

平行四边形面积 = 底 × 高，以\(AB\)为底（\(a = 6\)），高\(h = BC \cdot \sin60^\circ = 8×\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)，故面积 = \(6×4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\)。

答案：\(24\sqrt{3}\)。

例题3：平行四边形判定。已知四边形\(ABCD\)中，\(AB \parallel CD\)，且\(AB = CD = 5\)，求证：四边形\(ABCD\)是平行四边形。

证明：

由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，已知\(AB \parallel CD\)且\(AB = CD\)，故四边形\(ABCD\)是平行四边形。

例题4：矩形对角线性质。矩形\(ABCD\)中，对角线\(AC = 10\)，\(AB = 6\)，求\(BC\)的长度。

解析：

矩形对角线相等且将矩形分为直角三角形，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(AC\)为斜边，由勾股定理得\(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8\)。

答案：\(8\)。

例题5：矩形折叠问题。矩形\(ABCD\)中，\(AB = 4\)，\(AD = 6\)，将边\(AD\)沿\(AE\)折叠，使点\(D\)落在\(BC\)上的点\(F\)处，求\(DE\)的长度。

解析：

折叠后\(AD = AF = 6\)，\(DE = EF\)（设\(DE = x\)，则\(EC = 4 - x\)）。在\(Rt\triangle ABF\)中，\(BF = \sqrt{AF^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)，故\(FC = BC - BF = 6 - 2\sqrt{5}\)。

在\(Rt\triangle EFC\)中，由勾股定理\(EF^2 = EC^2 + FC^2\)，即\(x^2 = (4 - x)^2 + (6 - 2\sqrt{5})^2\)，解得\(x = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2} = 7 - 3\sqrt{5}\)（验证：计算过程需注意平方展开，最终结果为正数）。

答案：\(7 - 3\sqrt{5}\)。

例题6：菱形对角线与面积。菱形\(ABCD\)的两条对角线长分别为\(6\)和\(8\)，求菱形的面积与边长。

解析：

①面积 = \(\frac{1}{2}×6×8 = 24\)；

②对角线交点平分对角线，故半对角线长为\(3\)和\(4\)，边长 = \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)（勾股定理）。

答案：面积\(24\)，边长\(5\)。

例题7：菱形判定。已知平行四边形\(ABCD\)的对角线\(AC \perp BD\)，求证：四边形\(ABCD\)是菱形。

证明：

由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，已知\(ABCD\)是平行四边形且\(AC \perp BD\)，故\(ABCD\)是菱形。

例题8：正方形对角线与面积。正方形的对角线长为\(4\sqrt{2}\)，求正方形的边长与面积。

解析：

设边长为\(a\)，由对角线\(d = a\sqrt{2}\)，得\(a = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4\)；

面积 = \(a^2 = 16\)（或面积 = \(\frac{1}{2}d^2 = \frac{1}{2}×(4\sqrt{2})^2 = 16\)）。

答案：边长\(4\)，面积\(16\)。

例题9：正方形内接圆。正方形的边长为\(6\)，求其内切圆的半径与外接圆的直径。

解析：

①内切圆直径 = 正方形边长，故半径 = \(3\)；

②外接圆直径 = 正方形对角线，故直径 = \(6\sqrt{2}\)。

答案：内切圆半径\(3\)，外接圆直径\(6\sqrt{2}\)。

例题10：普通梯形面积计算。梯形\(ABCD\)中，上底\(AB = 3\)，下底\(CD = 7\)，高\(h = 4\)，求梯形面积。

解析：面积 = \(\frac{1}{2}(AB + CD)×h = \frac{1}{2}(3 + 7)×4 = 20\)。

答案：\(20\)。

例题11：等腰梯形性质。等腰梯形\(ABCD\)中，上底\(AD = 2\)，下底\(BC = 6\)，高\(h = 2\)，求等腰梯形的腰长。

解析：

过\(A\)、\(D\)作\(BC\)的垂线，垂足分别为\(E\)、\(F\)，则\(BE = FC = \frac{BC - AD}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2\)。

腰长\(AB = \sqrt{BE^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\)。

答案：\(2\sqrt{2}\)。

例题12：直角梯形边长关系。直角梯形\(ABCD\)中，上底\(AD = 3\)，下底\(BC = 5\)，直角腰\(AB = 4\)，求非直角腰\(CD\)的长度。

解析：

非直角腰\(CD\)、高\(AB\)、下底与上底的差（\(BC - AD = 2\)）构成直角三角形，故\(CD = \sqrt{AB^2 + (BC - AD)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)。

答案：\(2\sqrt{5}\)。

例题13：平行四边形对角线平方和。在□ABCD中，\(AB = 5\)，\(AD = 3\)，求对角线\(AC^2 + BD^2\)的值。

解析：

由平行四边形对角线平方和公式\(AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)\)，代入得\(2(5^2 + 3^2) = 2(25 + 9) = 68\)。

答案：\(68\)。

例题14：矩形中点四边形。矩形\(ABCD\)的四条边中点分别为\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)，连接\(EFGH\)，求证：四边形\(EFGH\)是菱形。

证明：

由中点四边形性质，矩形对角线相等，故中点四边形的两组对边分别等于对角线的一半且平行，即两组对边相等且邻边相等（因对角线相等），故四边形\(EFGH\)是菱形。

例题15：菱形角与对角线。菱形\(ABCD\)中，\(\angle ABC = 60^\circ\)，边长为\(4\)，求对角线\(AC\)的长度。

解析：

\(\angle ABC = 60^\circ\)，对角线\(AC\)平分\(\angle BAD\)，且\(AB = BC = 4\)，故\(\triangle ABC\)是等边三角形（有一个角为\(60^\circ\)的等腰三角形是等边三角形），因此\(AC = AB = 4\)。

答案：\(4\)。

例题16：正方形折叠求角度。将正方形\(ABCD\)的边\(BC\)沿\(BF\)折叠，使点\(C\)落在\(AD\)上的点\(E\)处，求\(\angle EBF\)的度数。

解析：

折叠后\(BE = BC = AB\)（正方形边长相等），故\(\triangle ABE\)是等腰直角三角形，\(\angle ABE = 45^\circ\)。又\(\angle EBF = \angle CBF\)（折叠角相等），故\(\angle EBF = \frac{1}{2}(90^\circ - 45^\circ) = 22.5^\circ\)。

答案：\(22.5^\circ\)。

例题17：梯形中位线应用。梯形的中位线长为\(8\)，高为\(5\)，求梯形的面积。

解析：

梯形面积 = 中位线 × 高 = \(8×5 = 40\)。

答案：\(40\)。

例题18：等腰梯形判定。已知梯形\(ABCD\)中，\(AD \parallel BC\)，且\(AC = BD\)，求证：梯形\(ABCD\)是等腰梯形。

证明：

过\(D\)作\(DE \parallel AC\)交\(BC\)延长线于\(E\)，则四边形\(ACED\)是平行四边形（\(AD \parallel CE\)，\(AC \parallel DE\)），故\(DE = AC = BD\)，\(\triangle BDE\)是等腰三角形，\(\angle DBC = \angle DEC = \angle ACB\)。又\(AC = BD\)，\(BC = CB\)，故\(\triangle ABC \cong \triangle DCB\)（SAS），\(AB = DC\)，因此梯形\(ABCD\)是等腰梯形。

例题19：平行四边形面积与高的关系。□ABCD中，\(AB = 4\)，面积为\(24\)，求\(AB\)边上的高与\(AD\)边上的高的比（设\(AD = 6\)）。

解析：

①\(AB\)边上的高\(h_1 = \frac{面积}{AB} = \frac{24}{4} = 6\)；

②\(AD\)边上的高\(h_2 = \frac{面积}{AD} = \frac{24}{6} = 4\)；

③高的比\(h_1:h_2 = 6:4 = 3:2\)。

答案：\(3:2\)。

例题20：四边形中点四边形判定。已知四边形\(ABCD\)的对角线互相垂直，连接其四条边中点形成四边形\(EFGH\)，判断四边形\(EFGH\)的形状。

解析：

中点四边形\(EFGH\)是平行四边形（任意四边形中点四边形为平行四边形），又原四边形对角线垂直，故中点四边形的邻边分别平行于对角线且垂直（平行线的传递性），因此四边形\(EFGH\)是矩形。

答案：矩形。

八、总结

四边形家族的核心是“共性与特性的分层”：普通四边形的内角和、外角和是基础；平行四边形是特殊四边形的“母体”，矩形、菱形、正方形通过“直角”“邻边相等”的约束衍生；梯形则以“仅一组对边平行”区别于平行四边形。掌握各图形的定义（判定依据）、性质（边、角、对角线、对称性）及二级结论（面积、辅助线、折叠关系），是解决几何问题的关键；而例题中的“辅助线技巧”（如梯形作高、平行四边形连对角线）和“折叠问题勾股定理应用”，是考试中的高频考点，需重点练习。