平面几何总结：求线段差的最值问题

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求解线段差的最值问题，核心思路是利用几何性质（三角形三边关系、轴对称、圆的性质等）将线段差转化为可直接判断最值的线段，或通过代数方法将其表示为函数求极值。

一、利用三角形三边关系

这是解决线段差最值最基础的方法，核心依据是三角形两边之差小于第三边，当三点共线时取等号，由此可确定线段差的最大值或最小值。

1. 求\(|PA - PB|\)的最大值

原理：对于任意三点\(P\)、\(A\)、\(B\)，在△PAB中，\(|PA - PB| \leq AB\)，当且仅当\(P\)在\(AB\)的延长线或反向延长线上时，等号成立，此时\(|PA - PB|\)的最大值为\(AB\)的长度。

适用场景：动点\(P\)在定直线、定曲线（如圆）上，求到两个定点\(A\)、\(B\)的线段差的绝对值的最大值。

例子：已知定点\(A(1,0)\)、\(B(3,0)\)，动点\(P\)在直线\(y = x + 2\)上，求\(|PA - PB|\)的最大值。连接\(AB\)，\(AB = 2\)，当\(P\)在\(AB\)的延长线与直线\(y = x + 2\)的交点时，\(|PA - PB|\)取最大值\(2\)。

2. 求\(PA - PB\)的最值（非绝对值）

原理：

若求\(PA - PB\)的最大值：当\(P\)在\(AB\)的反向延长线上时，\(PA - PB = AB\)（最大值）；

若求\(PA - PB\)的最小值：当\(P\)在\(BA\)的延长线上时，\(PA - PB = -AB\)（最小值）。

适用场景：需明确线段差的正负，求非绝对值形式的线段差最值。

例子：定点\(A(0,0)\)、\(B(2,0)\)，动点\(P\)在圆\(x^2 + (y - 3)^2 = 1\)上，求\(PA - PB\)的最大值。当\(P\)在\(BA\)的反向延长线与圆的交点时，\(PA - PB\)的最大值为\(AB = 2\)。

二、利用轴对称转化

当动点在定直线上时，通过轴对称将其中一个定点映射到直线另一侧，再结合三点共线确定线段差的最值，适用于“一线两点”型的线段差问题。

1. 求\(|PA - PB|\)的最小值

适用场景：动点在定直线上，求到两定点的线段差的绝对值的最小值。

例子：点\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)在直线\(y = x\)同侧，动点\(P\)在直线\(y = x\)上，求\(|PA - PB|\)的最小值。作\(A\)关于\(y = x\)的对称点\(A'(2,1)\)，当\(P\)为\(A'B\)的垂直平分线与\(y = x\)的交点时，\(PA = PB\)，\(|PA - PB|\)最小值为\(0\)。

2. 求\(PA - PB\)的最值（含符号）

原理：作\(B\)关于定直线\(l\)的对称点\(B'\)，则\(PB = PB'\)，\(PA - PB = PA - PB'\)。结合三角形三边关系，\(PA - PB' \geq -|AB'|\)（最小值），\(PA - PB' \leq |AB'|\)（最大值），当\(P\)在\(AB'\)的延长线或反向延长线与\(l\)的交点时取等号。

适用场景：动点在定直线上，求带符号的线段差最值。

例子：定点\(A(2,3)\)、\(B(4,1)\)，动点\(P\)在直线\(y = 0\)（x轴）上，作\(B\)关于x轴的对称点\(B'(4,-1)\)，则\(PA - PB = PA - PB'\)。当\(P\)在\(B'A\)的反向延长线与x轴的交点时，\(PA - PB'\)取最大值\(|AB'| = \sqrt{(4-2)^2 + (-1-3)^2} = 2\sqrt{5}\)；当\(P\)在\(AB'\)的延长线与x轴的交点时，取最小值\(-2\sqrt{5}\)。

三、利用圆的性质求最值

当动点轨迹为圆时，结合圆的半径、圆心距等性质，将线段差转化为圆上点到定点的距离差，进而求最值。

1. 圆上动点到两定点的线段差最值

原理：设圆\(O\)的半径为\(r\)，圆心为\(O(x_0,y_0)\)，定点\(A\)、\(B\)，圆上动点\(P\)。先根据三角形三边关系确定\(|PA - PB| \leq AB\)（最大值），再结合圆的范围，找到圆上使\(|PA - PB|\)取到最值的点（通常为定点与圆心连线的延长线与圆的交点）。

例子：圆\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\)，定点\(A(3,5)\)、\(B(0,0)\)，求圆上动点\(P\)到\(A\)、\(B\)的\(|PA - PB|\)的最大值。\(AB = \sqrt{(3-0)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{34}\)，当\(P\)在\(AB\)的延长线与圆的交点时，\(|PA - PB|\)取最大值\(\sqrt{34}\)。

2. 圆上动点到定点与到圆心的线段差最值

原理：圆上动点\(P\)到定点\(A\)的距离\(PA\)与到圆心\(O\)的距离\(PO\)（\(PO = r\)，定值）的差，\(PA - PO = PA - r\)，其最值由\(PA\)的最值决定（\(PA\)最大值为\(OA + r\)，最小值为\(|OA - r|\)）。

例子：圆\(x^2 + y^2 = 9\)（半径\(r=3\)，圆心\(O(0,0)\)），定点\(A(5,0)\)，求圆上动点\(P\)的\(PA - PO\)的最值。\(PA\)最大值为\(OA + r = 8\)，最小值为\(OA - r = 2\)，故\(PA - PO\)最大值为\(8 - 3 = 5\)，最小值为\(2 - 3 = -1\)。

四、利用代数方法求最值

将线段差表示为变量的函数，通过函数的单调性、二次函数最值、导数等方法求极值，适用于解析几何中动点在曲线（直线、抛物线、椭圆等）上的场景。

1. 二次函数最值法

原理：若线段差的表达式可转化为二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a≠0\)），根据二次函数的顶点性质，当\(a>0\)时，函数在\(x = -\frac{b}{2a}\)处取最小值；当\(a<0\)时取最大值。

例子：动点\(P(x, x^2)\)在抛物线\(y = x^2\)上，求\(P\)到\(A(0,1)\)与\(B(1,0)\)的线段差\(PA - PB\)的最值。先表示\(PA = \sqrt{x^2 + (x^2 - 1)^2}\)，\(PB = \sqrt{(x - 1)^2 + x^4}\)，令\(f(x) = PA - PB\)，将其平方后转化为二次函数形式（需注意定义域），进而求最值。

2. 导数法

原理：若线段差为连续可导的函数\(f(x)\)，通过求导\(f’(x)\)找到函数的极值点，再结合定义域判断极值点是否为最值点。

适用场景：线段差的表达式为高次函数、分式函数、三角函数等复杂函数时。

例子：动点\(P(x, \ln x)\)在曲线\(y = \ln x\)（\(x>0\)）上，求\(P\)到\(A(1,0)\)与\(B(2,1)\)的\(|PA - PB|\)的最小值。设\(f(x) = |\sqrt{(x - 1)^2 + (\ln x)^2} - \sqrt{(x - 2)^2 + (\ln x - 1)^2}|\)，求导\(f’(x)\)，找到极值点后计算最值。

3. 三角函数最值法

原理：利用参数方程将动点坐标表示为三角函数形式，将线段差转化为三角函数的表达式，借助\(|\sin\theta| \leq 1\)、\(|\cos\theta| \leq 1\)的有界性求最值。

例子：圆\(x^2 + y^2 = 1\)上动点\(P(\cos\theta, \sin\theta)\)，求\(P\)到\(A(2,0)\)与\(B(0,2)\)的\(PA - PB\)的最值。\(PA = \sqrt{(\cos\theta - 2)^2 + \sin^2\theta} = \sqrt{5 - 4\cos\theta}\)，\(PB = \sqrt{\cos^2\theta + (\sin\theta - 2)^2} = \sqrt{5 - 4\sin\theta}\)，则\(PA - PB = \sqrt{5 - 4\cos\theta} - \sqrt{5 - 4\sin\theta}\)，利用三角函数的和差公式化简后求最值。

五、利用圆锥曲线的性质求最值

当动点轨迹为椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，结合其定义和性质求线段差的最值。

1. 双曲线的定义应用

原理：双曲线\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)的定义为\(||PF_1| - |PF_2|| = 2a\)（\(F_1\)、\(F_2\)为焦点），据此可求与焦点相关的线段差最值。

例子：已知双曲线\(\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1\)的左、右焦点为\(F_1\)、\(F_2\)，动点\(P\)在双曲线上，求\(|PF_1 - 3|\)的最值。由双曲线定义，\(|PF_1 - PF_2| = 4\)，\(PF_2 \geq c - a = 3 - 2 = 1\)，进而可推导\(PF_1\)的范围，求出\(|PF_1 - 3|\)的最值。