一、圆的基本定义

在平面内，到定点（圆心，用字母\(O\)表示）的距离等于定长（半径，用字母\(r\)表示）的所有点组成的图形叫做圆，记为\(\odot O\)。定长的2倍称为直径（用字母\(d\)表示），即\(d = 2r\)，直径是圆内最长的弦。

弦：连接圆上任意两点的线段（如\(AB\)），直径是特殊的弦（过圆心的弦）。

弧：圆上任意两点间的部分，分为优弧（大于半圆的弧，记为\(\overset{\frown}{ACB}\)）、劣弧（小于半圆的弧，记为\(\overset{\frown}{AB}\)）和半圆（等于半圆的弧，既不是优弧也不是劣弧）。

圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角（如\(\angle AOB\)），其度数等于所对弧的度数。

圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角（如\(\angle ACB\)），其度数与所对弧的度数相关（见后续定理）。

切线：与圆只有一个公共点的直线（公共点称为切点）；割线：与圆有两个公共点的直线。

同心圆：圆心相同、半径不同的两个圆；等圆：圆心不同、半径相等的两个圆。

二、圆的基本性质

轴对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

推论：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（“垂径定理”的基础）；平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。

中心对称性：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

推论：绕圆心旋转任意角度，圆都能与自身重合（旋转不变性）；因此，等圆心角所对的弦相等、所对的弧相等；等弦所对的圆心角相等（同圆或等圆中）。

同圆或等圆中，半径处处相等，直径处处相等。

圆内任意一点到圆心的距离小于半径；圆外任意一点到圆心的距离大于半径；圆上任意一点到圆心的距离等于半径（点与圆的位置关系判定依据）。

直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为\(d\)，半径为\(r\)，则\(d < r\)（直线与圆相交，有2个公共点）、\(d = r\)（直线与圆相切，有1个公共点）、\(d > r\)（直线与圆相离，无公共点）。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。

符号表示：若\(\odot O\)中，直径\(CD \perp\)弦\(AB\)于点\(E\)，则\(AE = EB\)，\(\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}\)，\(\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BD}\)。

关键条件：“直径”“垂直于弦”，二者缺一不可；若弦为直径，垂直于它的直径仅平分弦（本身），但不一定平分弧（需结合具体情况）。

推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧；平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；反之，相等的弧所对的圆心角相等、所对的弦相等；相等的弦所对的圆心角相等、所对的优弧和劣弧分别相等。

前提条件：“同圆或等圆”，若圆不同，即使圆心角相等，弧和弦也不一定相等（如半径为1的圆中，60°圆心角对弦长为1；半径为2的圆中，60°圆心角对弦长为2）。

圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同一圆内同弧或等弧所对的圆周角相等。

符号表示：若\(\angle ACB\)是\(\odot O\)中\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角，\(\angle AOB\)是\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆心角，则\(\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB\)。

推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；反之，90°的圆周角所对的弦是直径（常用于判定直径或直角三角形）。

推论2：圆内接四边形的对角互补（即对角和为180°）；且任意一个外角等于它的内对角（如圆内接四边形\(ABCD\)，\(\angle DCE = \angle A\)，其中\(\angle DCE\)是\(\angle BCD\)的外角）。

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

符号表示：若直线\(l\)是\(\odot O\)的切线，切点为\(P\)，则\(OP \perp l\)（“切线必垂直半径”，常用于构造直角三角形）。

推论：过圆心且垂直于切线的直线必过切点；过切点且垂直于切线的直线必过圆心（“切线三要素”：圆心、切点、切线，知二推一）。

切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

关键条件：“过半径外端”“垂直于半径”，二者缺一不可（如经过半径内端且垂直于半径的直线，不是圆的切线）。

判定方法：① 定义法（与圆只有一个公共点）；② 距离法（圆心到直线的距离\(d = r\)）；③ 定理法（满足“过外端+垂直”）。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

符号表示：若点\(P\)在\(\odot O\)外，\(PA\)、\(PB\)分别切\(\odot O\)于\(A\)、\(B\)，则\(PA = PB\)，\(OP\)平分\(\angle APB\)，且\(OP\)垂直平分\(AB\)。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

符号表示：若\(\odot O\)内弦\(AB\)、\(CD\)相交于点\(P\)，则\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（即切线长的平方等于割线长与它的圆外部分线段长的积）。

符号表示：若点\(P\)在\(\odot O\)外，\(PA\)切\(\odot O\)于\(A\)，\(PBC\)是\(\odot O\)的割线（\(B\)、\(C\)在圆上），则\(PA^2 = PB \cdot PC\)。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

符号表示：若点\(P\)在\(\odot O\)外，\(PAB\)、\(PCD\)是\(\odot O\)的两条割线（\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)在圆上），则\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)。

圆内接三角形的性质结论：圆内接三角形的三条高的交点（垂心）、外心（圆心）、重心、内心共线（欧拉线），且重心分欧拉线的比为\(2:1\)（重心到垂心的距离是到外心距离的2倍）。

若\(\triangle ABC\)内接于\(\odot O\)，\(O\)为外心，则\(\angle BOC = 2\angle A\)（与圆周角定理一致，可直接用于角度计算）。

圆内接等腰三角形的顶角平分线必过圆心（因顶角平分线平分底边，结合垂径定理推论，平分线过圆心）。

圆内接四边形的结论：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于对角线的乘积（托勒密定理），即若四边形\(ABCD\)内接于圆，则\(AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD\)（常用于边长计算或判定圆内接四边形）。

圆内接四边形的面积公式（布拉美古塔定理）：若四边形\(ABCD\)内接于圆，边长为\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，半周长\(p = \frac{a+b+c+d}{2}\)，则面积\(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\)（类比三角形的海伦公式）。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。即若直线\(l\)切\(\odot O\)于\(A\)，\(AB\)是\(\odot O\)的弦，则\(\angle BAC = \angle ABD\)（\(D\)在\(\overset{\frown}{AB}\)上）。

从圆外一点引圆的两条切线，两切线的夹角与圆心和两切点连线的夹角互补。即点\(P\)引\(\odot O\)切线\(PA\)、\(PB\)，则\(\angle APB + \angle AOB = 180^\circ\)（因\(OA \perp PA\)，\(OB \perp PB\)，四边形\(OAPB\)内角和为\(360^\circ\)）。

半径、弦长、弦心距的计算结论：若圆的半径为\(r\)，弦长为\(2a\)，弦心距为\(d\)（圆心到弦的距离），则三者满足勾股定理：\(r^2 = a^2 + d^2\)（由垂径定理推导，是弦长计算的核心公式）。

三、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系由“点到圆心的距离（记为\(d\)）”与“圆的半径（记为\(r\)）”的大小关系决定，共分为三种情况，是后续复杂位置关系的“基础模型”。

1. 核心定义与判定

点在圆内：若\(d < r\)，则点在圆内部，此时点到圆上任意一点的距离小于\(2r\)（直径），且过该点的弦长度均小于直径。

点在圆上：若\(d = r\)，则点在圆上，此时点是圆的一个“边界点”，仅满足该点到圆心的距离等于半径，是圆上无数点中的一个。

点在圆外：若\(d > r\)，则点在圆外部，此时点到圆上任意一点的距离大于\(d - r\)，且过该点可作圆的两条切线（切线长相等）。

2. 常用结论

平面内，到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合是圆，这是点与圆位置关系的“本质依据”。

若多个点到同一圆心的距离相等，则这些点共圆（即这些点在同一个圆上）。

点在圆内时，过该点的弦中，直径是最长的弦；点在圆外时，从该点到圆的两条切线长相等（切线长定理的基础）。

例题1：判断点与圆的位置关系

已知圆\(O\)的圆心坐标为\((0,0)\)，半径\(r = 5\)，点\(P\)的坐标为\((3,4)\)，判断点\(P\)与圆\(O\)的位置关系。

解析：计算点\(P\)到圆心\(O\)的距离\(d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)。因\(d = r\)，故点\(P\)在圆\(O\)上。

例题2：由位置关系求参数

已知圆\(O\)：\((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\)（圆心\((1,-2)\)，半径\(r = 3\)），点\(Q(2, m)\)在圆\(O\)内，求\(m\)的取值范围。

解析：点\(Q\)到圆心\(O\)的距离\(d = \sqrt{(2 - 1)^2 + (m + 2)^2} = \sqrt{1 + (m + 2)^2}\)。因点\(Q\)在圆内，故\(d < r\)，即\(\sqrt{1 + (m + 2)^2} < 3\)。两边平方得\(1 + (m + 2)^2 < 9\)，即\((m + 2)^2 < 8\)，解得\(-2 - 2\sqrt{2} < m < -2 + 2\sqrt{2}\)。

例题3：共圆问题

已知\(\triangle ABC\)中，\(AB = AC = 5\)，\(BC = 6\)，判断顶点\(A\)、\(B\)、\(C\)是否在以\(BC\)中点\(D\)为圆心的圆上。

解析：取\(BC\)中点\(D\)，则\(BD = DC = 3\)。在\(Rt\triangle ABD\)中（因\(AB = AC\)，\(\triangle ABC\)是等腰三角形，\(AD \perp BC\)），\(AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\)。圆\(D\)的半径为\(BD = 3\)，而\(AD = 4 > 3\)，故点\(A\)在圆\(D\)外，点\(B\)、\(C\)在圆\(D\)上，因此\(A\)、\(B\)、\(C\)不共圆于圆\(D\)。

例题4：点在圆外的切线问题

已知圆\(O\)的半径\(r = 2\)，点\(P\)到圆心\(O\)的距离\(d = 5\)，求从点\(P\)到圆\(O\)的切线长（切线长指点\(P\)到切点的距离）。

解析：设切线切点为\(T\)，则\(OT \perp PT\)（切线性质：切线垂直于过切点的半径）。在\(Rt\triangle OPT\)中，\(PT = \sqrt{OP^2 - OT^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}\)，即切线长为\(\sqrt{21}\)。

例题5：过圆内点的弦长问题

已知圆\(O\)的半径\(r = 5\)，点\(M\)在圆\(O\)内，且\(OM = 3\)，求过点\(M\)的最长弦与最短弦的长度。

解析：过圆内一点的弦中，直径是最长弦，故最长弦长为\(2r = 10\)；与\(OM\)垂直的弦是最短弦，设最短弦为\(AB\)，则\(OM \perp AB\)，\(AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\)，故最短弦长\(AB = 2AM = 8\)。

四、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系由“圆心到直线的距离（记为\(d\)）”与“圆的半径（记为\(r\)）”的大小关系决定，是圆与直线相交、相切、相离的核心判定依据，也是中考和竞赛的高频考点。

1. 核心定义与判定

相离：直线与圆没有公共点，此时\(d > r\)，直线与圆无交点，且直线到圆的距离大于半径。

相切：直线与圆有且只有一个公共点（称为“切点”），此时\(d = r\)，且有“切线垂直于过切点的半径”这一关键性质（逆命题也成立：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。

相交：直线与圆有两个公共点（称为“交点”），此时\(d < r\)，两交点间的线段称为“弦”，且满足“垂径定理”（过圆心垂直于弦的直线平分弦及弦所对的弧）。

2. 常用结论

若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，且切线长（从圆外一点到切点的距离）相等（切线长定理）。

若直线与圆相交，设弦长为\(l\)，则弦长公式为\(l = 2\sqrt{r^2 - d^2}\)（由垂径定理推导，将弦、半径、圆心到直线的距离构成直角三角形）。

过圆上一点有且只有一条切线；过圆外一点有且只有两条切线；过圆内一点无切线。

例题1：判断直线与圆的位置关系

已知圆\(O\)：\(x^2 + y^2 = 16\)（圆心\((0,0)\)，半径\(r = 4\)），直线\(l\)：\(3x + 4y - 20 = 0\)，判断直线\(l\)与圆\(O\)的位置关系。

解析：计算圆心到直线的距离\(d = \frac{|3 \times 0 + 4 \times 0 - 20|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{5} = 4\)。因\(d = r\)，故直线\(l\)与圆\(O\)相切。

例题2：由位置关系求直线参数

已知圆\(O\)：\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 10\)（圆心\((2,3)\)，半径\(r = \sqrt{10}\)），直线\(y = kx + 1\)与圆\(O\)相交，求\(k\)的取值范围。

解析：直线方程化为一般式\(kx - y + 1 = 0\)，圆心到直线的距离\(d = \frac{|2k - 3 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{|2k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}}\)。因直线与圆相交，故\(d < r\)，即\(\frac{|2k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} < \sqrt{10}\)。两边平方得\(4(k - 1)^2 < 10(k^2 + 1)\)，展开整理：\(4k^2 - 8k + 4 < 10k^2 + 10\)，即\(6k^2 + 8k + 6 > 0\)，化简为\(3k^2 + 4k + 3 > 0\)。因判别式\(\Delta = 16 - 36 = -20 < 0\)，故\(k\)取全体实数。

例题3：切线的性质应用

已知\(AB\)是圆\(O\)的切线，切点为\(B\)，\(OA\)交圆\(O\)于点\(C\)，若\(OB = 3\)，\(OA = 5\)，求\(AC\)的长。

解析：因\(AB\)是切线，故\(OB \perp AB\)（切线性质）。在\(Rt\triangle OAB\)中，\(OA = 5\)，\(OB = 3\)，则\(OC = OB = 3\)（均为半径）。故\(AC = OA - OC = 5 - 3 = 2\)。

例题4：相交弦长计算

已知圆\(O\)的半径\(r = 5\)，圆心\(O\)到直线\(l\)的距离\(d = 3\)，求直线\(l\)与圆\(O\)相交所得弦的长度。

解析：由弦长公式\(l = 2\sqrt{r^2 - d^2}\)，代入得\(l = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 8\)，故弦长为\(8\)。

例题5：切线的判定

已知\(AB\)是圆\(O\)的直径，点\(C\)在圆\(O\)上，\(D\)是\(BC\)延长线上一点，且\(\angle BAC = \angle D\)，求证：\(AD\)是圆\(O\)的切线。

证明：因\(AB\)是直径，故\(\angle ACB = 90^\circ\)（直径所对的圆周角是直角），则\(\angle ACD = 90^\circ\)（平角定义）。在\(Rt\triangle ACD\)中，\(\angle D + \angle CAD = 90^\circ\)。又因\(\angle BAC = \angle D\)，故\(\angle BAC + \angle CAD = 90^\circ\)，即\(\angle BAD = 90^\circ\)，即\(AB \perp AD\)。因\(AB\)是半径，且\(AD\)过半径外端\(A\)，故\(AD\)是圆\(O\)的切线（切线判定定理）。

五、两圆的位置关系

两圆的位置关系由“两圆的圆心距（记为\(d\)）”与“两圆半径（记为\(R\)、\(r\)，且\(R \geq r\)）”的大小关系决定，共分为五种情况，需注意“外离”与“内含”、“外切”与“内切”的区别。

1. 核心定义与判定（\(R \geq r\)）

外离：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆外部，此时\(d > R + r\)，两圆无交点，且圆心距大于两半径之和。

外切：两圆有且只有一个公共点（称为“外切点”），且一个圆在另一个圆外部，此时\(d = R + r\)，外切点在两圆心的连线上（连心线过外切点）。

相交：两圆有两个公共点（称为“交点”），此时\(R - r < d < R + r\)，连心线垂直平分两交点的连线（公共弦）。

内切：两圆有且只有一个公共点（称为“内切点”），且一个圆在另一个圆内部，此时\(d = R - r\)，内切点在两圆心的连线上（连心线过内切点）。

内含：两圆没有公共点，且一个圆在另一个圆内部（不含内切情况），此时\(d < R - r\)，两圆无交点，且圆心距小于两半径之差。

2. 常用结论

两圆的连心线（过两圆心的直线）是两圆的对称轴，故若两圆相交，连心线垂直平分公共弦；若两圆相切，连心线过切点。

两圆外离时，两圆上点的最大距离为\(d + R + r\)，最小距离为\(d - (R + r)\)；两圆内含时，最小距离为\((R - r) - d\)。

若两圆半径相等且相交，则连心线与公共弦互相垂直平分，构成菱形。

例题1：判断两圆的位置关系

已知圆\(O_1\)：\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\)（半径\(R = 3\)），圆\(O_2\)：\((x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 16\)（半径\(r = 4\)），求两圆的位置关系。

解析：先算圆心距\(d = \sqrt{(1 + 2)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4.24\)。因\(R + r = 7\)，\(R - r = 1\)，且\(1 < 3\sqrt{2} < 7\)，故两圆相交。

例题2：由位置关系求圆心距

已知两圆半径分别为\(5\)和\(3\)（\(R = 5\)，\(r = 3\)），若两圆外切，求圆心距\(d\)；若两圆内切，求圆心距\(d\)。

解析：外切时，\(d = R + r = 5 + 3 = 8\)；内切时，\(d = R - r = 5 - 3 = 2\)。

例题3：公共弦长计算

已知圆\(O_1\)：\(x^2 + y^2 - 4x + 6y = 0\)，圆\(O_2\)：\(x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0\)，求两圆公共弦的长度。

解析：第一步，求连心线与公共弦方程：两圆方程相减（消去\(x^2\)、\(y^2\)），得公共弦方程：\(-2x + 2y = 0\)，即\(x - y = 0\)。第二步，求圆\(O_1\)的圆心与半径：圆\(O_1\)化为标准式\((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 13\)（圆心\((2,-3)\)，半径\(R = \sqrt{13}\)）。第三步，算圆心\(O_1\)到公共弦的距离\(d = \frac{|2 - (-3)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\)。第四步，由弦长公式，公共弦长\(l = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{13 - \frac{25}{2}} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}\)。

例题4：外离时的最大/最小距离

已知两圆外离，圆心距\(d = 10\)，半径分别为\(R = 4\)，\(r = 2\)，求两圆上各取一点的最大距离与最小距离。

解析：外离时，最大距离为\(d + R + r = 10 + 4 + 2 = 16\)（两圆上点沿连心线延长线方向）；最小距离为\(d - (R + r) = 10 - 6 = 4\)（两圆上点沿连心线方向）。

例题5：内含时的参数范围

已知圆\(O_1\)：\((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 16\)（半径\(R = 4\)），圆\(O_2\)：\((x + 1)^2 + (y - 1)^2 = r^2\)（半径\(r\)），若圆\(O_2\)在圆\(O_1\)内部（内含，不含内切），求\(r\)的取值范围。

解析：先算圆心距\(d = \sqrt{(2 + 1)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3.606\)。因圆\(O_2\)在圆\(O_1\)内部，故需满足\(d < R - r\)（内含），且\(r > 0\)。代入得\(\sqrt{13} < 4 - r\)，解得\(r < 4 - \sqrt{13}\)。又因\(r > 0\)，故\(0 < r < 4 - \sqrt{13}\)。

六、三角形与圆的位置关系

三角形与圆的位置关系主要分为两种：三角形的外接圆（圆过三角形三个顶点，称为“外接圆”，圆心为“外心”）和三角形的内切圆（圆与三角形三边都相切，称为“内切圆”，圆心为“内心”），核心是外心与内心的性质及半径计算。

1. 核心定义与性质

（1）三角形的外接圆（“圆过三角形”）

定义：经过三角形三个顶点的圆称为三角形的外接圆，圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，半径（外接圆半径，记为\(R\)）是外心到任意顶点的距离。

性质：

外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径\(R\)）。

锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点（斜边为外接圆直径，故\(R = \frac{斜边}{2}\)）；钝角三角形的外心在三角形外部。

外接圆半径公式：\(R = \frac{abc}{4S}\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为三角形三边，\(S\)为三角形面积）。

（2）三角形的内切圆（“圆切三角形”）

定义：与三角形三边都相切的圆称为三角形的内切圆，圆心（内心）是三角形三个内角平分线的交点，半径（内切圆半径，记为\(r\)）是内心到任意一边的距离。

性质：

内心到三角形三边的距离相等（均等于内切圆半径\(r\)）。

内心一定在三角形内部（无论三角形形状如何）。

内切圆半径公式：\(r = \frac{S}{p}\)（\(S\)为三角形面积，\(p = \frac{a + b + c}{2}\)为三角形的半周长）。

2. 常用结论

任意三角形都有且只有一个外接圆和一个内切圆（“一外一内，唯一存在”）。

直角三角形的外接圆半径\(R = \frac{斜边}{2}\)，内切圆半径\(r = \frac{a + b - c}{2}\)（\(c\)为斜边，\(a\)、\(b\)为直角边）。

等边三角形的外心与内心重合，且\(R = 2r\)（因等边三角形的高\(h = R + r = 3r\)，故\(R = 2r\)）。

例题1：直角三角形的外接圆半径

已知\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle C = 90^\circ\)，\(AC = 6\)，\(BC = 8\)，求其外接圆半径\(R\)。

解析：直角三角形的外心在斜边中点，先求斜边\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\)，故外接圆半径\(R = \frac{AB}{2} = 5\)。

例题2：三角形的内切圆半径

已知\(\triangle ABC\)中，\(AB = 5\)，\(BC = 6\)，\(AC = 7\)，求其内切圆半径\(r\)。

解析：第一步，算半周长\(p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9\)。第二步，用海伦公式算面积\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{9 \times (9 - 5) \times (9 - 6) \times (9 - 7)} = \sqrt{9 \times 4 \times 3 \times 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\)。第三步，由内切圆半径公式\(r = \frac{S}{p}\)，得\(r = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}\)。

例题3：外心位置判断

已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle A = 120^\circ\)，判断其外心的位置。

解析：钝角三角形的外心在三角形外部。因\(\angle A = 120^\circ\)（钝角），故外心在\(\triangle ABC\)外部。

例题4：等边三角形的外切圆与内切圆半径关系

已知等边三角形的边长为\(6\)，求其外接圆半径\(R\)和内切圆半径\(r\)。

解析：等边三角形的高\(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3}\)。因外心与内心重合，且\(h = R + r\)，又\(R = 2r\)，故\(3r = 3\sqrt{3}\)，解得\(r = \sqrt{3}\)，\(R = 2\sqrt{3}\)。

例题5：内切圆与三角形面积的关系

已知\(\triangle ABC\)的内切圆半径\(r = 2\)，半周长\(p = 10\)，求\(\triangle ABC\)的面积\(S\)。

解析：由内切圆半径公式\(r = \frac{S}{p}\)，得\(S = r \times p = 2 \times 10 = 20\)。

七、四边形与圆的位置关系

四边形与圆的位置关系主要分为两种：圆内接四边形（四边形的四个顶点都在圆上，称为“内接四边形”，圆称为“外接圆”）和圆外切四边形（四边形的四条边都与圆相切，称为“外切四边形”，圆称为“内切圆”），核心是判定定理与性质定理的应用。

1. 核心定义与判定、性质

（1）圆内接四边形（“四边形在圆内”）

定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形称为圆内接四边形，该圆称为四边形的外接圆。

判定定理：

对角互补的四边形是圆内接四边形（即\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)，\(\angle B + \angle D = 180^\circ\)）。

一个外角等于它的内对角的四边形是圆内接四边形（如外角\(\angle ADE = \angle B\)，则\(ABCD\)内接于圆）。

若两个点在一条线段的同侧，且对该线段的张角相等，则这两个点与线段端点共圆（可推广到四边形）。

性质定理：

圆内接四边形的对角互补（判定定理的逆用）。

圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。

圆内接四边形的对角线乘积等于两组对边乘积之和（托勒密定理：\(AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC\)，仅适用于圆内接四边形）。

（2）圆外切四边形（“四边形在圆外”）

定义：四条边都与同一个圆相切的四边形称为圆外切四边形，该圆称为四边形的内切圆。

判定定理：

四边形的两组对边之和相等（即\(AB + CD = AD + BC\)），则该四边形是圆外切四边形（核心判定条件）。

性质定理：

圆外切四边形的两组对边之和相等（判定定理的逆用）。

圆外切四边形的内心到四条边的距离相等（均等于内切圆半径）。

圆外切四边形的面积\(S = r \times p\)（\(r\)为内切圆半径，\(p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2}\)为四边形的半周长）。

2. 常用结论

任意三角形有外接圆，但不是所有四边形都有外接圆（只有满足“对角互补”的四边形才有）；同样，不是所有四边形都有内切圆（只有满足“对边和相等”的四边形才有）。

既是圆内接四边形又是圆外切四边形的四边形称为“双心四边形”（如正方形、菱形（当菱形内接于圆时，即为正方形））。

矩形是圆内接四边形（对角互补），但不是圆外切四边形（除非是正方形，此时对边和相等）；菱形是圆外切四边形（对边和相等），但不是圆内接四边形（除非是正方形，此时对角互补）。

例题1：判断圆内接四边形

已知四边形\(ABCD\)中，\(\angle A = 100^\circ\)，\(\angle B = 80^\circ\)，\(\angle C = 80^\circ\)，判断四边形\(ABCD\)是否为圆内接四边形。

解析：圆内接四边形需满足“对角互补”。计算\(\angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B + \angle C) = 360^\circ - (100^\circ + 80^\circ + 80^\circ) = 100^\circ\)。因\(\angle A + \angle C = 100^\circ + 80^\circ = 180^\circ\)，\(\angle B + \angle D = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ\)，故四边形\(ABCD\)是圆内接四边形。

例题2：圆内接四边形的外角性质

已知四边形\(ABCD\)是圆内接四边形，\(AB\)的延长线交\(DC\)的延长线于点\(E\)，若\(\angle A = 60^\circ\)，求\(\angle BCE\)的度数。

解析：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。\(\angle BCE\)是四边形\(ABCD\)的外角，其对应的内对角是\(\angle A\)，故\(\angle BCE = \angle A = 60^\circ\)。

例题3：圆外切四边形的对边和

已知四边形\(ABCD\)是圆外切四边形，\(AB = 5\)，\(BC = 3\)，\(CD = 4\)，求\(AD\)的长。

解析：圆外切四边形的两组对边之和相等，即\(AB + CD = AD + BC\)。代入得\(5 + 4 = AD + 3\)，解得\(AD = 6\)。

例题4：圆外切四边形的面积

已知四边形\(ABCD\)是圆外切四边形，内切圆半径\(r = 2\)，四边分别为\(AB = 4\)，\(BC = 5\)，\(CD = 6\)，\(DA = 3\)，求四边形\(ABCD\)的面积\(S\)。

解析：第一步，算半周长\(p = \frac{4 + 5 + 6 + 3}{2} = 9\)。第二步，由圆外切四边形面积公式\(S = r \times p\)，得\(S = 2 \times 9 = 18\)。

例题5：托勒密定理的应用

已知正方形\(ABCD\)内接于圆\(O\)，边长为\(2\)，求对角线\(AC\)与\(BD\)的乘积（用托勒密定理验证）。

解析：正方形是圆内接四边形，满足托勒密定理\(AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC\)。因正方形边长均为\(2\)，故\(AB = CD = AD = BC = 2\)，代入得\(AC \times BD = 2 \times 2 + 2 \times 2 = 8\)。又因正方形对角线\(AC = BD = 2\sqrt{2}\)，故\(AC \times BD = 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 8\)，与托勒密定理结果一致。

例题1：垂径定理的应用。已知\(\odot O\)的半径为\(5\)，弦\(AB\)的长为\(8\)，求圆心\(O\)到弦\(AB\)的距离。

解析：过\(O\)作\(OC \perp AB\)于\(C\)，由垂径定理得\(AC = \frac{1}{2}AB = 4\)。在\(Rt\triangle AOC\)中，\(OA = 5\)（半径），\(AC = 4\)，由勾股定理得\(OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\)。故圆心到弦\(AB\)的距离为\(3\)。

例题2：圆周角定理的应用。\(AB\)是\(\odot O\)的直径，\(C\)是圆上一点，若\(\angle BAC = 30^\circ\)，求\(\angle ABC\)的度数。

解析：因\(AB\)是直径，由圆周角定理推论得\(\angle ACB = 90^\circ\)（直径所对圆周角为直角）。在\(\triangle ABC\)中，内角和为\(180^\circ\)，故\(\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ\)。

例题3：切线的判定。已知：\(OA\)是\(\odot O\)的半径，直线\(l\)经过点\(A\)，且\(l \perp OA\)，求证：\(l\)是\(\odot O\)的切线。

解析：根据切线的判定定理，“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”。此处\(OA\)是半径，直线\(l\)经过\(A\)（半径外端），且\(l \perp OA\)（垂直于半径），满足判定定理条件，故\(l\)是\(\odot O\)的切线。

例题4：切线长定理的应用。从圆外一点\(P\)引圆的两条切线\(PA\)、\(PB\)，切点分别为\(A\)、\(B\)，若\(\angle APB = 60^\circ\)，\(PA = 2\)，求圆的半径。

解析：连接\(OA\)、\(OP\)，由切线长定理得\(PA = PB = 2\)，且\(OP\)平分\(\angle APB\)，故\(\angle APO = 30^\circ\)。又因\(OA \perp PA\)（切线性质），在\(Rt\triangle AOP\)中，\(\angle APO = 30^\circ\)，\(PA = 2\)，则\(OA = PA \cdot \tan30^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\)。故圆的半径为\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。

例题5：相交弦定理的应用。圆内两弦\(AB\)、\(CD\)相交于点\(P\)，若\(PA = 3\)，\(PB = 4\)，\(PC = 2\)，求\(PD\)的长。

解析：由相交弦定理“圆内两相交弦，被交点分成的线段积相等”，得\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)。代入数据：\(3 \times 4 = 2 \times PD\)，解得\(PD = 6\)。

例题6：切割线定理的应用。从圆外一点\(P\)引圆的切线\(PA\)（\(A\)为切点）和割线\(PBC\)，若\(PA = 4\)，\(PB = 2\)，求\(BC\)的长。

解析：由切割线定理“切线长的平方等于割线长与圆外部分线段长的积”，得\(PA^2 = PB \cdot PC\)。设\(BC = x\)，则\(PC = PB + BC = 2 + x\)，代入数据：\(4^2 = 2 \times (2 + x)\)，即\(16 = 4 + 2x\)，解得\(x = 6\)。故\(BC = 6\)。

例题7：圆内接四边形的性质。四边形\(ABCD\)内接于\(\odot O\)，若\(\angle A = 100^\circ\)，求\(\angle C\)的度数。

解析：由圆内接四边形的性质“对角互补”，得\(\angle A + \angle C = 180^\circ\)。已知\(\angle A = 100^\circ\)，故\(\angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\)。

例题8：弦长公式的应用。已知圆的方程为\(x^2 + y^2 = 25\)（圆心在原点，半径\(5\)），求直线\(3x + 4y - 15 = 0\)被圆截得的弦长。

解析：先求圆心（原点\((0,0)\)）到直线的距离\(d\)，由点到直线距离公式\(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\)，得\(d = \frac{|0 + 0 - 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{15}{5} = 3\)。设弦长为\(2a\)，由弦长公式\(r^2 = a^2 + d^2\)，得\(25 = a^2 + 9\)，解得\(a = 4\)，故弦长为\(2a = 8\)。

例题9：两圆位置关系的判定。已知两圆的半径分别为\(3\)和\(5\)，圆心距为\(7\)，判断两圆的位置关系。

解析：设两圆半径\(r_1 = 3\)，\(r_2 = 5\)（\(r_2 > r_1\)），圆心距\(d = 7\)。计算\(r_2 - r_1 = 2\)，\(r_1 + r_2 = 8\)。因\(2 < 7 < 8\)（即\(r_2 - r_1 < d < r_1 + r_2\)），故两圆相交。

例题10：弦切角定理的应用。直线\(l\)切\(\odot O\)于\(A\)，弦\(AB\)交\(\odot O\)于\(B\)，若\(\angle lAB = 50^\circ\)，求\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角的度数。

解析：由弦切角定理“弦切角等于所夹弧所对的圆周角”，\(\angle lAB\)是弦切角，夹的弧是\(\overset{\frown}{AB}\)，故\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角等于\(\angle lAB = 50^\circ\)。

例题11：垂径定理与勾股定理结合。已知\(\odot O\)的直径为\(10\)，弦\(AB\)与直径\(CD\)相交于点\(E\)，\(CE = 2\)，\(AB \perp CD\)，求\(AB\)的长。

解析：\(\odot O\)直径为\(10\)，故半径\(OC = OD = 5\)。因\(CE = 2\)，故\(OE = OC - CE = 5 - 2 = 3\)。由垂径定理，\(AB \perp CD\)得\(AE = \frac{1}{2}AB\)。在\(Rt\triangle AOE\)中，\(OA = 5\)，\(OE = 3\)，故\(AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\)，则\(AB = 2AE = 8\)。

例题12：圆周角与圆心角的关系。\(\odot O\)中，\(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}\)，\(\angle AOB = 60^\circ\)，求\(\angle ACB\)的度数。

解析：因\(\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}\)，故\(\angle AOB = \angle BOC = 60^\circ\)（等弧对等圆心角），则\(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 120^\circ\)。\(\angle ACB\)是\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角吗？不，\(\angle ACB\)是\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角吗？实际\(\angle ACB\)是\(\overset{\frown}{AB}\)所对的圆周角？不对，\(\angle ACB\)的顶点在\(C\)，两边交圆于\(A\)、\(B\)，故所对弧是\(\overset{\frown}{AB}\)，圆心角是\(\angle AOB = 60^\circ\)，由圆周角定理得\(\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = 30^\circ\)。

例题13：切线性质与直角三角形。\(PA\)切\(\odot O\)于\(A\)，\(PO\)交\(\odot O\)于\(B\)，若\(PA = 6\)，\(PB = 2\)，求\(\odot O\)的半径。

解析：设\(\odot O\)半径为\(r\)，则\(PO = PB + BO = 2 + r\)。由切线性质，\(OA \perp PA\)，故\(Rt\triangle PAO\)中，\(PA^2 + OA^2 = PO^2\)。代入数据：\(6^2 + r^2 = (2 + r)^2\)，即\(36 + r^2 = 4 + 4r + r^2\)，化简得\(32 = 4r\)，解得\(r = 8\)。

例题14：圆内接三角形与外心。已知\(\triangle ABC\)内接于\(\odot O\)，\(AB = AC = 5\)，\(BC = 6\)，求\(\odot O\)的半径。

解析：过\(A\)作\(AD \perp BC\)于\(D\)，因\(AB = AC\)，故\(BD = \frac{1}{2}BC = 3\)。在\(Rt\triangle ABD\)中，\(AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\)。设\(\odot O\)半径为\(r\)，外心\(O\)在\(AD\)上（等腰三角形外心在对称轴上），则\(OD = AD - OA = 4 - r\)。在\(Rt\triangle BOD\)中，\(OB^2 = BD^2 + OD^2\)，即\(r^2 = 3^2 + (4 - r)^2\)，展开得\(r^2 = 9 + 16 - 8r + r^2\)，化简得\(8r = 25\)，解得\(r = \frac{25}{8}\)。

例题15：割线定理的应用。从圆外一点\(P\)引圆的两条割线\(PAB\)和\(PCD\)，若\(PA = 1\)，\(AB = 2\)，\(PC = 1.5\)，求\(CD\)的长。

解析：由割线定理“\(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)”，\(PB = PA + AB = 1 + 2 = 3\)，设\(CD = x\)，则\(PD = PC + CD = 1.5 + x\)。代入数据：\(1 \times 3 = 1.5 \times (1.5 + x)\)，即\(3 = 2.25 + 1.5x\)，解得\(1.5x = 0.75\)，故\(x = 0.5\)，即\(CD = 0.5\)。

例题16：圆内接四边形与外角。四边形\(ABCD\)内接于\(\odot O\)，\(\angle DCE\)是其外角，若\(\angle DCE = 70^\circ\)，求\(\angle A\)的度数。

解析：由圆内接四边形的性质“外角等于内对角”，\(\angle DCE\)是\(\angle BCD\)的外角，故\(\angle DCE = \angle A\)。已知\(\angle DCE = 70^\circ\)，故\(\angle A = 70^\circ\)。

例题17：切线与等腰三角形。\(AB\)是\(\odot O\)的直径，\(AC\)切\(\odot O\)于\(A\)，\(BC\)交\(\odot O\)于\(D\)，若\(AB = AC = 2\)，求\(AD\)的长。

解析：因\(AC\)切\(\odot O\)于\(A\)，故\(AC \perp AB\)（切线性质），\(\triangle ABC\)是等腰直角三角形，\(\angle B = 45^\circ\)。又因\(AB\)是直径，故\(\angle ADB = 90^\circ\)（直径所对圆周角为直角），\(\triangle ABD\)是等腰直角三角形。\(AB = 2\)，故\(AD = \frac{\sqrt{2}}{2}AB = \sqrt{2}\)。

例题18：垂径定理与角度计算。已知\(\odot O\)中，弦\(AB = CD\)，且\(AB \perp CD\)于点\(E\)，若\(\angle AOE = 60^\circ\)，\(OE = 1\)，求\(\odot O\)的半径。

解析：过\(O\)作\(OF \perp CD\)于\(F\)，因\(AB = CD\)，故\(OE = OF = 1\)（等弦对等弦心距）。又\(AB \perp CD\)，故四边形\(OEOF\)是正方形（\(\angle OEO = \angle OFO = \angle EOF = 90^\circ\)，\(OE = OF\)），则\(EF = OE = 1\)。在\(Rt\triangle AOE\)中，\(\angle AOE = 60^\circ\)，\(OE = 1\)，故\(OA = \frac{OE}{\cos60^\circ} = \frac{1}{0.5} = 2\)，即半径为\(2\)。

例题19：托勒密定理的应用。已知圆内接四边形\(ABCD\)中，\(AB = 3\)，\(BC = 4\)，\(CD = 5\)，\(DA = 6\)，求对角线\(AC\)的长。

解析：由托勒密定理“圆内接四边形对边积之和等于对角线积”，得\(AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD\)。但此处需求\(AC\)，可结合余弦定理：圆内接四边形中\(\angle B + \angle D = 180^\circ\)，故\(\cos B = -\cos D\)。在\(\triangle ABC\)中，\(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B = 9 + 16 - 24\cos B = 25 - 24\cos B\)；在\(\triangle ADC\)中，\(AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD \cos D = 36 + 25 - 60\cos D = 61 - 60\cos D\)。因\(\cos D = -\cos B\)，故\(AC^2 = 61 + 60\cos B\)。联立两式：\(25 - 24\cos B = 61 + 60\cos B\)，解得\(84\cos B = -36\)，\(\cos B = -\frac{3}{7}\)。代入\(AC^2 = 25 - 24 \times (-\frac{3}{7}) = 25 + \frac{72}{7} = \frac{247}{7}\)，故\(AC = \sqrt{\frac{247}{7}} = \frac{\sqrt{1729}}{7}\)（或化简为\(\frac{\sqrt{7 \times 13 \times 19}}{7}\)，此处保留根号形式即可）。

例题20：两圆公切线的计算。已知两圆的圆心距为\(13\)，半径分别为\(5\)和\(12\)，求两圆的外公切线长。

解析：设两圆的圆心为\(O_1\)、\(O_2\)，半径\(r_1 = 5\)，\(r_2 = 12\)，圆心距\(O_1O_2 = 13\)。过\(O_1\)作\(O_1A \perp O_2B\)（\(A\)、\(B\)为外公切线的切点），则\(O_1A = r_1 = 5\)，\(O_2B = r_2 = 12\)，且\(O_1A \parallel O_2B\)，四边形\(O_1ABO_2\)是直角梯形。过\(O_1\)作\(O_1C \perp O_2B\)于\(C\)，则\(O_1C = AB\)（外公切线长），\(O_2C = O_2B - O_1A = 12 - 5 = 7\)，\(O_1O_2 = 13\)。在\(Rt\triangle O_1CO_2\)中，\(O_1C = \sqrt{O_1O_2^2 - O_2C^2} = \sqrt{13^2 - 7^2} = \sqrt{169 - 49} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}\)。故外公切线长为\(2\sqrt{30}\)。

八、与圆有关的角

与圆有关的角主要分为五类：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。它们的定义、顶点位置、边的特征及核心性质各不相同，且均以“弧”为纽带建立角的数量关系。

1. 圆心角：顶点在圆心，两边都与圆相交的角，叫做圆心角。

核心性质（圆心角定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

反之亦成立：在同圆或等圆中，若两个圆心角所对的弧相等（或弦相等、或弦心距相等），则这两个圆心角相等。

数量关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数（如：圆心角∠AOB对弧AB，若弧AB为60°，则∠AOB=60°）。

2. 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角。

核心性质（圆周角定理）：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

由此可推导两个关键推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等（如：弧AB所对的圆周角∠ACB和∠ADB，无论C、D在弧AB同侧还是异侧，只要弧AB相同，∠ACB=∠ADB）；

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径（此推论是证明“直角”或“直径”的常用依据，如：若AB是⊙O直径，则∠ACB=90°）。

数量关系：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半（如：弧AB为60°，则弧AB所对的圆周角为30°）。

3. 圆内角：顶点在圆内，两边都与圆相交的角，叫做圆内角（如：圆内两条弦AB、CD相交于点P，∠APD就是圆内角）。

核心性质：圆内角的度数等于它所对的两条弧（优弧和劣弧）的度数和的一半。

数量关系：若圆内角∠APD所对的弧为弧AD（劣弧）和弧BC（劣弧），则∠APD = 1/2（弧AD的度数 + 弧BC的度数）。

4. 圆外角：顶点在圆外，两边都与圆相交（或一边与圆相交、另一边与圆相切）的角，叫做圆外角（如：圆外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，∠APC就是圆外角；或圆外一点P引圆的切线PA和割线PBC，∠APB也是圆外角）。

核心性质：圆外角的度数等于它所对的两条弧（优弧和劣弧）的度数差的一半。

数量关系：若圆外角∠APC所对的弧为弧AC（劣弧）和弧BD（劣弧），则∠APC = 1/2（弧AC的度数 - 弧BD的度数）；若为切线与割线形成的圆外角（如∠APB），则∠APB = 1/2（弧AB的度数 - 弧AE的度数，其中E是切线PA与圆的切点）。

5.弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角。

核心性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。

弦切角的度数 = 它所夹的弧的度数的一半（“夹的弧” 指切线与弦之间的弧，即相交边和弦所对的弧）。

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角（与圆周角性质呼应，是证明角相等的重要依据）。

与圆有关的角的常用结论

除上述核心性质外，以下结论在解题中高频使用，需熟练掌握：

1. 圆内接四边形的角的性质：圆内接四边形的对角互补（如：四边形ABCD内接于⊙O，则∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°）；且任一外角等于它的内对角（如：∠DCE是四边形ABCD的外角，则∠DCE = ∠A）。

2. 切线与半径的夹角：圆的切线垂直于过切点的半径（如：PA是⊙O的切线，A为切点，则OA⊥PA，即∠OAP = 90°）。

3. 弦切角定理（特殊圆外角）：顶点在圆上，一边与圆相切、另一边与圆相交的角（弦切角），等于它所夹的弧所对的圆周角（如：PA是⊙O切线，A为切点，AB是弦，则∠PAB = ∠ACB，其中C是圆上异于A、B的点，且C与P在AB同侧）。

4. 等角对等弧/等弦：在同圆或等圆中，若两个圆周角（或圆心角）相等，则它们所对的弧相等，所对的弦也相等（此结论是“角→弧→弦”转化的关键）。

5. 直径与直角的双向推导：若一条弦所对的圆周角为90°，则该弦是直径；反之，若一条弦是直径，则它所对的圆周角为90°（常用于证明线段是直径或角为直角）。

例题1：圆心角与圆周角的基础计算

已知⊙O中，弧AB的度数为80°，求弧AB所对的圆心角∠AOB和圆周角∠ACB的度数。

解析：根据圆心角定理，圆心角等于所对弧的度数，故∠AOB = 80°；根据圆周角定理，圆周角等于所对弧度数的一半，故∠ACB = 1/2 × 80° = 40°。

答案：∠AOB=80°，∠ACB=40°。

例题2：直径与直角的应用

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且∠ABC = 35°，求∠BAC的度数。

解析：由“直径所对的圆周角是直角”，得∠ACB = 90°；在△ABC中，内角和为180°，故∠BAC = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 180° - 90° - 35° = 55°。

答案：55°。

例题3：同弧所对圆周角相等

如图，⊙O中，弧AB = 弧CD，∠AOB = 60°，求∠COD和∠CAD的度数。

解析：由“等弧对等圆心角”，得∠COD = ∠AOB = 60°；弧CD的度数为60°，∠CAD是弧CD所对的圆周角，故∠CAD = 1/2 × 60° = 30°。

答案：∠COD=60°，∠CAD=30°。

例题4：圆内接四边形的对角互补

已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A = 110°，求∠C的度数；若∠B的外角为50°，求∠D的度数。

解析：由“圆内接四边形对角互补”，得∠A + ∠C = 180°，故∠C = 180° - 110° = 70°；由“圆内接四边形外角等于内对角”，∠B的外角 = ∠D，故∠D = 50°。

答案：∠C=70°，∠D=50°。

例题5：圆内角的计算

如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，弧AD的度数为40°，弧BC的度数为60°，求∠APD的度数。

解析：根据圆内角性质，圆内角等于所对两弧度数和的一半，故∠APD = 1/2（弧AD的度数 + 弧BC的度数） = 1/2（40° + 60°） = 50°。

答案：50°。

例题6：圆外角（割线与割线）的计算

如图，圆外一点P引⊙O的两条割线PAB、PCD，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，求∠APC的度数。

解析：根据圆外角性质，圆外角等于所对两弧度数差的一半，故∠APC = 1/2（弧AC的度数 - 弧BD的度数） = 1/2（80° - 20°） = 30°。

答案：30°。

例题7：弦切角定理的应用

如图，PA是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的弦，∠PAB = 50°，求弧AB所对的圆周角∠ACB的度数（C与P在AB同侧）。

解析：由弦切角定理，弦切角等于所夹弧所对的圆周角，∠PAB是弦切角，夹弧AB，故∠PAB = ∠ACB，即∠ACB = 50°。

答案：50°。

例题8：切线与半径的垂直关系

如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OA、OB，求证：∠AOB + ∠APB = 180°。

解析：由“切线垂直于过切点的半径”，得OA⊥PA，OB⊥PB，故∠OAP = ∠OBP = 90°；在四边形OAPB中，内角和为360°，故∠AOB + ∠APB + ∠OAP + ∠OBP = 360°，代入得∠AOB + ∠APB + 90° + 90° = 360°，即∠AOB + ∠APB = 180°。

证明完毕。

例题9：综合应用（圆周角+圆内接四边形）

如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD = 130°，求∠ABD的度数。

解析：第一步，由“圆内接四边形对角互补”，∠BCD + ∠BAD = 180°，故∠BAD = 180° - 130° = 50°；第二步，由“直径所对圆周角为直角”，∠ADB = 90°；第三步，在△ABD中，∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠ADB = 180° - 50° - 90° = 40°。

答案：40°。

例题10：综合应用（圆心角+圆周角+弦切角）

如图，⊙O的半径OA⊥OB，弦AC交OB于点D，切线CE（E为切点）交OB的延长线于点E，求证：∠CED = ∠CDE。

解析：第一步，连接OC（半径），由“切线垂直于半径”，得OC⊥CE，故∠OCE = 90°，即∠CED + ∠COD = 90°；第二步，OA⊥OB，故∠AOB = 90°，即∠OAD + ∠ODA = 90°；第三步，OA = OC（同圆半径相等），故∠OAD = ∠OCD（等腰三角形底角相等）；第四步，∠ODA = ∠CDE（对顶角相等），代入第二步得∠OCD + ∠CDE = 90°；第五步，对比第一步（∠CED + ∠COD = 90°）和第四步（∠OCD + ∠CDE = 90°），且OC = OD？不，OC = OA，此处修正：由∠AOB=90°，OA=OC，∠OAC=∠OCA，而∠COD是圆心角，∠CAD是圆周角？重新梳理：

更简洁路径：由弦切角定理，∠ECB = ∠CAB（弦切角∠ECB夹弧CB，圆周角∠CAB夹弧CB）；又OA⊥OB，∠AOB=90°，∠CAB + ∠ADB = 90°（△AOD中，∠OAD + ∠ODA=90°）；由OC⊥CE，∠OCE=90°，∠ECB + ∠OCB = 90°；又OB=OC（半径），∠OCB=∠OBC；而∠ADB=∠CDE（对顶角），∠CAB=∠ECB（弦切角），故∠CDE=90°-∠CAB=90°-∠ECB=∠CED，即∠CED=∠CDE。

九、圆幂定理

圆幂定理是平面几何中关于圆与直线位置关系的核心定理，它统一了相交弦定理、切割线定理、割线定理，揭示了“过平面内一点向圆引直线，直线与圆交点所形成的线段长度之间的固定比例关系”。掌握该定理能快速解决与圆相关的线段长度计算、比例证明等问题。

圆幂定理的核心是“一个点对一个圆的圆幂是定值”，所有细分定理和推论均围绕这一定值展开。解题时需先判断“点与圆的位置关系”，再选择对应的定理（相交弦、切割线、割线），并结合相似三角形、勾股定理等工具，即可高效解决线段计算、四点共圆判定等问题。

过平面内任意一点 \( P \)，向半径为 \( R \) 的圆 \( O \) 引两条直线，分别与圆交于 \( A,B \) 和 \( C,D \)（若直线与圆相切，则两交点重合），则总有：\( \boxed{PA \cdot PB = PC \cdot PD} \)

这个定值称为点 \( P \) 对圆 \( O \) 的圆幂，其大小仅与点 \( P \) 到圆心 \( O \) 的距离 \( d \) 和圆的半径 \( R \) 有关，公式为：\( \boxed{圆幂 = d^2 - R^2} \)

点与圆的位置关系分类

根据点 \( P \) 相对于圆的位置不同，圆幂定理可分解为三个具体定理，核心区别在于直线与圆的交点数量（相交、相切）：

点在圆内：\( d^2 - R^2 < 0 \)，相交弦定理：过 \( P \) 的两条直线均与圆相交，形成两条弦 \( AB,CD \)，\( P \) 是两弦的内分点： \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)

点在圆上：\( d^2 - R^2 = 0 \)，过 \( P \) 的直线与圆交于 \( P \)（重合）和另一点，此时 \( PA=0 \) 或 \( PC=0 \) ：\( PA \cdot PB = 0 = PC \cdot PD \)

点在圆外：\( d^2 - R^2 > 0 \)，切割线定理：一条直线相切（切点为 \( T \)），另一条割线（交圆于 \( A,B \)）：\( PT^2 = PA \cdot PB \)

点在圆外：\( d^2 - R^2 > 0 \)，割线定理：两条直线均为割线（分别交圆于 \( A,B \) 和 \( C,D \)）：\( PA \cdot PB = PC \cdot PD \) 

圆幂的几何意义

点 \( P \) 对圆 \( O \) 的圆幂 \( = d^2 - R^2 \)，其中 \( d = PO \)。

当 \( P \) 在圆内时，圆幂为负，此时 \( PA \cdot PB = R^2 - d^2 \)（可由相交弦定理结合圆心到弦的距离推导）；

当 \( P \) 在圆外时，圆幂为正，此时 \( PA \cdot PB = d^2 - R^2 = PT^2 \)（与切割线定理一致）。

四点共圆的判定

若平面内四点 \( A,B,C,D \) 满足“过某点 \( P \) 有 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)”，则 \( A,B,C,D \) 四点共圆（圆幂定理的逆定理）。

切线长相等定理

从圆外一点 \( P \) 向圆引两条切线，切点分别为 \( T_1,T_2 \)，则 \( PT_1 = PT_2 \)（由切割线定理：\( PT_1^2 = PA \cdot PB \)，\( PT_2^2 = PA \cdot PB \)，故 \( PT_1 = PT_2 \)）。

证明：相交弦定理（点在圆内）

已知：圆 \( O \) 内一点 \( P \)，弦 \( AB \)、\( CD \) 交于 \( P \)。求证：\( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)。

连接 \( AC \)、\( BD \)，根据“同弧所对的圆周角相等”：

\( \angle PAC = \angle PDB \)（同弧 \( BC \) 所对的圆周角）；

\( \angle PCA = \angle PBD \)（同弧 \( AD \) 所对的圆周角）。

因此，\( \triangle PAC \sim \triangle PDB \)（AA 相似判定）。

由相似三角形的对应边成比例：\( \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \)，交叉相乘得 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)。

证明：切割线定理（点在圆外，一条直线相切）

已知：圆 \( O \) 外一点 \( P \)，切线 \( PT \)（\( T \) 为切点），割线 \( PAB \) 交圆于 \( A,B \)。求证：\( PT^2 = PA \cdot PB \)。

连接 \( PT \)、\( TA \)、\( TB \)，根据“切线与半径垂直”：\( OT \perp PT \)，即 \( \angle OTP = 90^\circ \)。

根据“弦切角等于所夹弧所对的圆周角”：\( \angle PTA = \angle PBT \)（弦切角 \( \angle PTA \) 夹弧 \( TA \)，圆周角 \( \angle PBT \) 也夹弧 \( TA \)）。

又因为 \( \angle P = \angle P \)（公共角），所以 \( \triangle PTA \sim \triangle PBT \)（AA 相似判定）。

由相似比：\( \frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT} \)，交叉相乘得 \( PT^2 = PA \cdot PB \)。

证明：割线定理（点在圆外，两条直线均为割线）

已知：圆 \( O \) 外一点 \( P \)，割线 \( PAB \) 交圆于 \( A,B \)，割线 \( PCD \) 交圆于 \( C,D \)。求证：\( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)。

连接 \( AC \)、\( BD \)，根据“圆内接四边形的外角等于内对角”或“同弧所对的圆周角相等”：

\( \angle PAC = \angle PDB \)（同弧 \( BC \) 所对的圆周角）；

\( \angle P = \angle P \)（公共角）。

因此，\( \triangle PAC \sim \triangle PDB \)（AA 相似判定）。

由相似比：\( \frac{PA}{PD} = \frac{PC}{PB} \)，交叉相乘得 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)。

例题1：相交弦定理的基础计算

题目：圆内两弦 \( AB \)、\( CD \) 交于 \( P \)，若 \( PA = 2 \)，\( PB = 6 \)，\( PC = 3 \)，求 \( PD \)。

解析：由相交弦定理 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)，代入得 \( 2 \times 6 = 3 \times PD \)，解得 \( PD = 4 \)。

答案：\( 4 \)

例题2：切割线定理求切线长

题目：从圆外一点 \( P \) 引圆的切线 \( PT \) 和割线 \( PAB \)，若 \( PA = 4 \)，\( AB = 5 \)，求 \( PT \)。

解析：先求 \( PB = PA + AB = 4 + 5 = 9 \)，由切割线定理 \( PT^2 = PA \cdot PB = 4 \times 9 = 36 \)，故 \( PT = 6 \)（切线长为正）。

答案：\( 6 \)

例题3：割线定理的多线段计算

题目：圆外一点 \( P \) 引两条割线 \( PAB \)、\( PCD \)，\( PA = 3 \)，\( PB = 9 \)，\( PC = CD \)，求 \( PC \)。

解析：设 \( PC = x \)，则 \( PD = PC + CD = 2x \)。由割线定理 \( PA \cdot PB = PC \cdot PD \)，代入得 \( 3 \times 9 = x \times 2x \)，即 \( 2x^2 = 27 \)，解得 \( x = \frac{3\sqrt{6}}{2} \)（长度为正）。

答案：\( \frac{3\sqrt{6}}{2} \)

例题4：圆幂定理与相似三角形结合

题目：如图，\( PT \) 是圆 \( O \) 的切线，\( T \) 为切点，\( PAB \) 是割线，\( OT \) 交 \( AB \) 于 \( M \)，且 \( PT = PM \)，求证：\( OM \cdot MT = AM \cdot MB \)。

1. 连接 \( OP \)，由切线性质 \( OT \perp PT \)，故 \( \angle OTP = 90^\circ \)，即 \( \angle OMP + \angle TPM = 90^\circ \)；

2. 因 \( PT = PM \)，故 \( \angle PTM = \angle PMT \)，进而 \( \angle OMP = \angle PTM \)；

3. 由相交弦定理，\( AM \cdot MB = OM \cdot MN \)（\( MN \) 为过 \( M \) 的另一条弦），但更直接的是：由 \( \triangle OPA \sim \triangle OPB \)（或利用圆幂），结合 \( PT^2 = PA \cdot PB \)，最终可证 \( OM \cdot MT = AM \cdot MB \)。

例题5：逆定理判定四点共圆

题目：在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \perp BC \) 于 \( D \)，\( AE \) 是外接圆直径，求证：\( AB \cdot AC = AD \cdot AE \)。

1. 连接 \( BE \)，因 \( AE \) 是直径，故 \( \angle ABE = 90^\circ = \angle ADC \)；

2. 又 \( \angle AEB = \angle ACD \)（同弧 \( AB \) 所对的圆周角），故 \( \triangle ABE \sim \triangle ADC \)；

3. 由相似比 \( \frac{AB}{AD} = \frac{AE}{AC} \)，交叉相乘得 \( AB \cdot AC = AD \cdot AE \)（本质是圆幂定理的逆用：\( A \) 对 \( \triangle ABC \) 外接圆的圆幂为 \( AB \cdot AC = AD \cdot AE \)）。

例题6：切线长与线段和差

题目：从圆外一点 \( P \) 引圆的两条切线，切点为 \( A,B \)，过 \( P \) 引圆的割线 \( PCD \) 交圆于 \( C,D \)，若 \( PA = 6 \)，\( PC = 3 \)，求 \( CD \)。

1. 由切线长定理 \( PA = PB = 6 \)，再由切割线定理 \( PA^2 = PC \cdot PD \)；

2. 代入得 \( 6^2 = 3 \cdot PD \)，解得 \( PD = 12 \)；

3. 因 \( PD = PC + CD \)，故 \( CD = PD - PC = 12 - 3 = 9 \)。

答案：\( 9 \)

例题7：相交弦定理与勾股定理结合

题目：圆 \( O \) 的半径为 \( 5 \)，弦 \( AB \) 与 \( CD \) 交于 \( P \)，\( AB \perp CD \)，\( OP = 3 \)，若 \( PA = 1 \)，求 \( PC \cdot PD \)。

1. 过 \( O \) 作 \( OE \perp AB \) 于 \( E \)，\( OF \perp CD \) 于 \( F \)，则 \( AE = EB = \frac{AB}{2} \)，且 \( OEPF \) 是矩形（\( AB \perp CD \)），故 \( OE = PF \)，\( OF = PE \)；

2. 由勾股定理，\( AE^2 + OE^2 = OA^2 = 25 \)，且 \( PE = |PA - AE| = |1 - AE| \)，\( OP^2 = OE^2 + PE^2 = 9 \)；

3. 设 \( AE = x \)，则 \( OE^2 = 25 - x^2 \)，\( (x - 1)^2 + (25 - x^2) = 9 \)，解得 \( x = 4 \)，故 \( AB = 8 \)，\( PB = AB - PA = 7 \)；

4. 由相交弦定理 \( PC \cdot PD = PA \cdot PB = 1 \times 7 = 7 \)。

答案：\( 7 \)

例题8：割线定理与比例线段

题目：如图，\( AB \) 是圆 \( O \) 的直径，\( C \) 是圆上一点，\( CD \perp AB \) 于 \( D \)，延长 \( CD \) 交圆于 \( E \)，过 \( B \) 作圆的切线交 \( CE \) 的延长线于 \( F \)，求证：\( FD \cdot FE = FC^2 \)。

1. 由切割线定理，\( FB^2 = FE \cdot FC \)（\( FB \) 是切线，\( FEC \) 是割线）；

2. 连接 \( BC \)，因 \( AB \) 是直径，故 \( \angle ACB = 90^\circ \)，又 \( CD \perp AB \)，故 \( \angle BCD = \angle A \)；

3. 因 \( FB \) 是切线，故 \( \angle FBC = \angle A \)（弦切角等于圆周角），故 \( \angle FBC = \angle BCD \)，即 \( FB = FC \)；

4. 代入切割线定理：\( FC^2 = FE \cdot FC \)，整理得 \( FD \cdot FE = FC^2 \)（需补充 \( FD \) 与 \( FC \) 的关系，此处省略细节）。

例题9：圆幂定理的实际应用（测量半径）

题目：某人站在墙外，想测量墙内圆型花园的半径。他从墙外点 \( P \) 引两条直线：一条与花园相切于 \( T \)，另一条与花园交于 \( A,B \)，测得 \( PT = 8 \) 米，\( PA = 4 \) 米，求花园半径 \( R \)（已知 \( P \) 到墙的距离为 \( 5 \) 米，墙过圆心 \( O \)）。

1. 设 \( PO = d \)，因墙过 \( O \) 且 \( P \) 到墙的距离为 \( 5 \) 米，故 \( d > 5 \)，且 \( O \) 在墙内，\( PO \) 与墙垂直时 \( d = 5 + R \)（简化模型）；

2. 由切割线定理 \( PT^2 = PA \cdot PB \)，\( PB = PA + AB \)，但更直接用圆幂公式：\( PT^2 = d^2 - R^2 \)；

3. 因 \( d = 5 + R \)，代入得 \( 8^2 = (5 + R)^2 - R^2 \)，即 \( 64 = 25 + 10R \)，解得 \( R = 3.9 \) 米。

答案：\( 3.9 \) 米

例题10：综合题（多定理结合）

题目：如图，\( \triangle ABC \) 内接于圆 \( O \)，\( AD \) 平分 \( \angle BAC \) 交圆于 \( D \)，过 \( D \) 作圆的切线交 \( AC \) 的延长线于 \( E \)，求证：\( DE^2 = EC \cdot EA \)。

1. 由切割线定理，\( DE^2 = EC \cdot EA \) 是切割线定理的直接形式（\( DE \) 是切线，\( EAC \) 是割线），但需验证 \( EAC \) 是割线；

2. 因 \( D \) 在圆上，\( DE \) 是切线，\( E \) 在 \( AC \) 延长线上，故 \( EA \) 过 \( E,C,A \)，且 \( A,C \) 在圆上，因此 \( EAC \) 是圆 \( O \) 的割线；

3. 直接应用切割线定理：\( DE^2 = EC \cdot EA \)，得证（本题本质是切割线定理的直接应用，需注意“延长线”的割线定义）。

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