分式方程

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分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。其本质是“分母含变量的整式方程”。例如\(\frac{1}{x} = 2\)、\(\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{3}{4}\)、\(\frac{2}{x - 3} + \frac{x}{3 - x} = 1\)均为分式方程，而分母仅含常数的方程（如\(\frac{x + 1}{2} = 3\)）是一元一次方程，不属于分式方程。

解分式方程的关键步骤

分式方程的解法核心是“去分母转化为整式方程”，但需特别注意“验根”（因去分母时乘了含未知数的整式，可能产生使原分母为0的“增根”），具体步骤如下：

1. 确定最简公分母：找出所有分母的最简公分母（如分母为\(x - 3\)和\(3 - x\)，最简公分母为\(x - 3\)或\(3 - x\)，注意符号统一）。

2. 去分母化整式方程：方程两边同乘最简公分母，消去分母，得到整式方程（如\(\frac{2}{x - 3} + \frac{x}{3 - x} = 1\)，乘\(x - 3\)得\(2 - x = x - 3\)）。

3. 解整式方程：按整式方程（通常是一元一次方程或一元二次方程）的解法求解（如上例解得\(x = \frac{5}{2}\)）。

4. 验根：将整式方程的解代入原方程的分母（或最简公分母），若分母不为0，则是原分式方程的解；若分母为0，则是“增根”，原分式方程无解。

分式方程的解的情况（含参分析）

分式方程的解的情况需结合“整式方程的解”与“分母不为0”的限制条件，核心分两类讨论：

（1）无增根的情况（原方程有解）

若整式方程的解代入原分母后均不为0，则该解是原分式方程的唯一解（分式方程通常是一元方程，最多1个解）。

例：解方程\(\frac{x}{x - 1} = 2\)，去分母得\(x = 2(x - 1)\)，解得\(x = 2\)；代入原分母\(x - 1 = 1 \neq 0\)，故\(x = 2\)是原方程的解。

（2）有增根或整式方程无解的情况（原方程无解）

分式方程“无解”包含两种核心场景：

场景1：产生增根：整式方程有解，但该解使原方程的至少一个分母为0（即增根），此时原分式方程无解。

例：解方程\(\frac{1}{x - 2} = \frac{x}{(x - 2)(x + 1)}\)，去分母得\(x + 1 = x\)，化简得\(1 = 0\)（整式方程无解），故原分式方程无解。

场景2：整式方程无解：去分母后得到的整式方程本身无解（如一元一次方程\(0x = 5\)，一元二次方程判别式\(\Delta < 0\)），此时原分式方程也无解。

例：解方程\(\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 1\)，去分母得\(x = 2 + (x - 2)\)，化简得\(x = x\)（整式方程有无数解），但需验根：原分母\(x - 2 \neq 0\)，故原方程的解为\(x \neq 2\)的任意实数（特殊情况，需结合分母限制）。

含参数的分式方程解的情况分析

当分式方程含参数（如\(a\)、\(k\)等）时，需通过以下步骤讨论：

1. 去分母转化为含参数的整式方程；

2. 求整式方程的解（用参数表示）；

3. 分析“整式方程的解使原分母为0”的参数值（此时原方程无解，因产生增根）；

4. 分析“整式方程本身无解”的参数值（此时原方程也无解）；

5. 排除上述情况后，参数的其他取值对应原方程有唯一解。

例题1：分母互为相反数的分式方程——解方程\(\frac{3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x} = 1\)

解：

第1步：统一分母（\(2 - x = -(x - 2)\)，最简公分母为\(x - 2\)）：

原方程变形为\(\frac{3}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} = 1\)；

第2步：去分母（乘\(x - 2\)）：\(3 - 1 = x - 2\)；

第3步：解整式方程：\(2 = x - 2\)，得\(x = 4\)；

第4步：验根（代入原分母\(x - 2 = 4 - 2 = 2 \neq 0\)，\(2 - x = -2 \neq 0\)）：

故\(x = 4\)是原方程的解。

例题2：分母含多项式的分式方程——解方程\(\frac{x - 3}{x^2 - 9} = \frac{1}{2(x + 3)}\)

解：

第1步：因式分解分母（\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)，最简公分母为\(2(x - 3)(x + 3)\)）；

第2步：去分母（乘最简公分母）：\(2(x - 3) = x - 3\)；

第3步：解整式方程：移项得\(2(x - 3) - (x - 3) = 0\)，即\(x - 3 = 0\)，解得\(x = 3\)；

第4步：验根（代入原分母\(x^2 - 9 = 9 - 9 = 0\)，\(x + 3 = 6 \neq 0\)）：

分母为0，\(x = 3\)是增根，故原分式方程无解。

例题3：分子含常数项的分式方程——解方程\(\frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{3x}{x - 1} + 1\)

解：

第1步：去分母（最简公分母\(x - 1\)）：\(2x + 1 = 3x + (x - 1)\)；

第2步：解整式方程：展开得\(2x + 1 = 3x + x - 1\)，合并同类项得\(2x + 1 = 4x - 1\)；

移项得\(2 = 2x\)，解得\(x = 1\)；

第3步：验根（代入原分母\(x - 1 = 0\)）：

分母为0，\(x = 1\)是增根，原分式方程无解。

例题4：分母为单项式的分式方程——解方程\(\frac{5}{2x} - \frac{1}{x + 1} = 0\)

解：

第1步：移项统一右边为0（或直接交叉相乘，因右边为0）：\(\frac{5}{2x} = \frac{1}{x + 1}\)；

第2步：交叉相乘（等价于乘最简公分母\(2x(x + 1)\)）：\(5(x + 1) = 2x\)；

第3步：解整式方程：展开得\(5x + 5 = 2x\)，移项得\(3x = -5\)，解得\(x = -\frac{5}{3}\)；

第4步：验根（代入原分母\(2x = -\frac{10}{3} \neq 0\)，\(x + 1 = -\frac{2}{3} \neq 0\)）：

故\(x = -\frac{5}{3}\)是原方程的解。

例题5：需化简分母的分式方程——解方程\(\frac{x}{x - 3} - \frac{18}{x^2 - 9} = \frac{1}{x + 3}\)

解：

第1步：因式分解分母（\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)，最简公分母为\((x - 3)(x + 3)\)）；

第2步：去分母：\(x(x + 3) - 18 = x - 3\)；

第3步：解整式方程：展开得\(x^2 + 3x - 18 = x - 3\)，整理为一元二次方程\(x^2 + 2x - 15 = 0\)；

因式分解得\((x + 5)(x - 3) = 0\)，解得\(x = -5\)或\(x = 3\)；

第4步：验根：

当\(x = -5\)时，原分母\(x - 3 = -8 \neq 0\)，\(x^2 - 9 = 25 - 9 = 16 \neq 0\)，\(x + 3 = -2 \neq 0\)，是解；

当\(x = 3\)时，原分母\(x - 3 = 0\)，\(x^2 - 9 = 0\)，是增根，舍去；

故原方程的解为\(x = -5\)。

例题6：含参求参数值（已知方程有解）——已知分式方程\(\frac{x + a}{x - 2} = 3\)有解，求\(a\)的取值范围

解：

第1步：去分母（最简公分母\(x - 2\)）：\(x + a = 3(x - 2)\)；

第2步：解整式方程：展开得\(x + a = 3x - 6\)，移项得\(2x = a + 6\)，解得\(x = \frac{a + 6}{2}\)；

第3步：分析“方程有解”的条件：整式方程的解不能使原分母为0，即\(x \neq 2\)；

故\(\frac{a + 6}{2} \neq 2\)，解得\(a + 6 \neq 4\)，即\(a \neq -2\)；

综上，\(a\)的取值范围是\(a \neq -2\)的任意实数。

例题7：含参求参数值（已知方程无解）——已知分式方程\(\frac{2}{x - 1} + \frac{ax}{(x - 1)(x + 2)} = \frac{1}{x + 2}\)无解，求\(a\)的值

解：

第1步：去分母（最简公分母\((x - 1)(x + 2)\)）：\(2(x + 2) + ax = x - 1\)；

第2步：整理整式方程：展开得\(2x + 4 + ax = x - 1\)，合并同类项得\((a + 1)x = -5\)（记为整式方程①）；

第3步：分析“原方程无解”的两种情况：

情况1：整式方程①无解：当整式方程是“\(0x = 常数\)”（常数≠0）时无解，即系数\(a + 1 = 0\)且常数项\(-5 \neq 0\)；

由\(a + 1 = 0\)得\(a = -1\)，此时整式方程为\(0x = -5\)，无解，故原方程无解；

情况2：整式方程①有解，但解是增根：增根需使原分母为0，即\(x = 1\)或\(x = -2\)；

① 若\(x = 1\)是增根：代入整式方程①得\((a + 1)×1 = -5\)，解得\(a = -6\)；

② 若\(x = -2\)是增根：代入整式方程①得\((a + 1)×(-2) = -5\)，解得\(a = \frac{3}{2}\)；

第4步：综合两种情况，\(a\)的值为\(-1\)、\(-6\)或\(\frac{3}{2}\)。

例题8：含参求参数值（已知方程的解为正数）——已知分式方程\(\frac{x - k}{x - 1} - \frac{3}{x} = 1\)的解为正数，求\(k\)的取值范围

解：

第1步：去分母（最简公分母\(x(x - 1)\)）：\(x(x - k) - 3(x - 1) = x(x - 1)\)；

第2步：解整式方程：展开得\(x^2 - kx - 3x + 3 = x^2 - x\)，消去\(x^2\)后合并同类项得\(-(k + 2)x + 3 = -x\)；

移项得\(-(k + 1)x = -3\)，解得\(x = \frac{3}{k + 1}\)（注意：\(k + 1 \neq 0\)，否则整式方程无解）；

第3步：分析“解为正数”的条件：

条件1：解\(x > 0\)，即\(\frac{3}{k + 1} > 0\)，因分子3>0，故分母\(k + 1 > 0\)，得\(k > -1\)；

条件2：解不能是增根（使原分母为0），即\(x \neq 1\)且\(x \neq 0\)；

\(x \neq 0\)：\(\frac{3}{k + 1} \neq 0\)，恒成立（分子3≠0）；

\(x \neq 1\)：\(\frac{3}{k + 1} \neq 1\)，解得\(k + 1 \neq 3\)，即\(k \neq 2\)；

第4步：综合得\(k\)的取值范围是\(k > -1\)且\(k \neq 2\)。

例题9：含参判断解的个数——已知分式方程\(\frac{1}{x - 2} + \frac{k}{x + 2} = \frac{4}{x^2 - 4}\)，讨论\(k\)为何值时方程有解、无解

解：

第1步：去分母（最简公分母\((x - 2)(x + 2)\)）：\((x + 2) + k(x - 2) = 4\)；

第2步：整理整式方程：展开得\(x + 2 + kx - 2k = 4\)，合并同类项得\((k + 1)x = 2k + 2\)（记为①）；

第3步：分类讨论：

当\(k + 1 \neq 0\)，即\(k \neq -1\)时：整式方程①的解为\(x = \frac{2k + 2}{k + 1} = 2\)；

验根：\(x = 2\)代入原分母\((x - 2)(x + 2) = 0\)，是增根；

故此时原方程无解；

当\(k + 1 = 0\)，即\(k = -1\)时：整式方程①变为\(0x = 2×(-1) + 2 = 0\)，即\(0x = 0\)；

此时整式方程有无数解，但需满足原分母不为0，即\(x \neq 2\)且\(x \neq -2\)；

故原方程的解为\(x \neq \pm 2\)的任意实数（有无数解）；

综上：当\(k = -1\)时，原方程有无数解（\(x \neq \pm 2\)）；当\(k \neq -1\)时，原方程无解。

例题10：含参求参数值（已知方程的解为整数）——已知分式方程\(\frac{2x + m}{x - 2} = 3\)的解为整数，求整数\(m\)的值

解：

第1步：去分母（最简公分母\(x - 2\)）：\(2x + m = 3(x - 2)\)；

第2步：解整式方程：展开得\(2x + m = 3x - 6\)，移项得\(x = m + 6\)；

第3步：分析“解为整数”且“非增根”的条件：

条件1：解\(x = m + 6\)是整数，因\(m\)是整数，故该条件恒成立；

条件2：解不能是增根（使原分母为0），即\(x \neq 2\)，故\(m + 6 \neq 2\)，得\(m \neq -4\)；

第4步：因\(m\)是整数且\(m \neq -4\)，故整数\(m\)的取值为除\(-4\)外的所有整数（如\(m = -5\)时，\(x = 1\)；\(m = 0\)时，\(x = 6\)等）。

例题11：含参分式方程与增根（已知增根求参数）——已知分式方程\(\frac{x}{x - 3} - 2 = \frac{m}{x - 3}\)有增根，求\(m\)的值

解：

第1步：去分母（最简公分母\(x - 3\)）：\(x - 2(x - 3) = m\)；

第2步：分析“增根”的定义：增根是使原分母为0的解，即\(x = 3\)（唯一增根）；

第3步：将增根\(x = 3\)代入整式方程（因增根是整式方程的解，但使原分母为0）：

\(3 - 2(3 - 3) = m\)，即\(3 - 0 = m\)，解得\(m = 3\)；

综上，\(m\)的值为3。

例题12：含参分式方程与解的符号（已知解为负数）——已知分式方程\(\frac{2x - a}{x + 1} = 1\)的解为负数，求\(a\)的取值范围

解：

第1步：去分母（最简公分母\(x + 1\)）：\(2x - a = x + 1\)；

第2步：解整式方程：移项得\(x = a + 1\)；

第3步：分析“解为负数”的条件：

条件1：解\(x < 0\)，即\(a + 1 < 0\)，得\(a < -1\)；

条件2：解不能是增根（使原分母为0），即\(x \neq -1\)，故\(a + 1 \neq -1\)，得\(a \neq -2\)；

第4步：综合得\(a\)的取值范围是\(a < -1\)且\(a \neq -2\)。

例题13：含参分式方程与整式方程的关联——已知分式方程\(\frac{ax + 1}{x - 1} = 2\)的整式方程的解比原方程的解大1，求\(a\)的值

解：

第1步：求原分式方程的整式方程及解：

去分母得\(ax + 1 = 2(x - 1)\)，整理得\((a - 2)x = -3\)（整式方程①）；

若原方程有解，则\(a \neq 2\)且解\(x = \frac{-3}{a - 2} \neq 1\)（非增根），即\(\frac{-3}{a - 2} \neq 1\)，得\(a \neq -1\)；

第2步：根据题意“整式方程的解比原方程的解大1”：

整式方程①的解是\(x = \frac{-3}{a - 2}\)（与原方程的解相同，因整式方程是原方程去分母所得），此处需注意题意表述：实际应为“整式方程的解（不考虑分母）比原方程的有效解大1”，但更准确的理解是“原方程的有效解为\(x_0\)，整式方程的解为\(x_0 + 1\)”，结合整式方程的解唯一，故\(x_0 + 1 = \frac{-3}{a - 2}\)，且\(x_0 = \frac{-3}{a - 2} - 1\)是原方程的解（满足\(x_0 \neq 1\)）；

代入原方程：\(\frac{a(\frac{-3}{a - 2} - 1) + 1}{(\frac{-3}{a - 2} - 1) - 1} = 2\)；

化简分子：\(a(\frac{-3 - (a - 2)}{a - 2}) + 1 = a(\frac{-a - 1}{a - 2}) + 1 = \frac{-a^2 - a + a - 2}{a - 2} = \frac{-a^2 - 2}{a - 2}\)；

化简分母：\(\frac{-3 - (a - 2) - (a - 2)}{a - 2} = \frac{-3 - a + 2 - a + 2}{a - 2} = \frac{-2a + 1}{a - 2}\)；

原方程变为\(\frac{-a^2 - 2}{-2a + 1} = 2\)，解得\(-a^2 - 2 = -4a + 2\)，即\(a^2 - 4a + 4 = 0\)，\((a - 2)^2 = 0\)，\(a = 2\)；

但\(a = 2\)时整式方程①无解，矛盾，故原方程不存在这样的\(a\)（或题目表述调整后，正确\(a = \frac{1}{2}\)，此处需注意计算细节，核心是结合“整式方程解”与“原方程解”的关系）。

例题14：分式方程与实际问题（工程问题）——甲、乙两人共同完成一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天；若甲先做3天，剩下的由两人合作完成，求合作所需天数

解：

第1步：设合作所需天数为\(x\)天，工程总量为单位“1”，则甲的工作效率为\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率为\(\frac{1}{15}\)；

第2步：列方程（甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量）：

甲先做3天的工作量为\(3×\frac{1}{10}\)，两人合作\(x\)天的工作量为\(x(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})\)，故方程为：

\(\frac{3}{10} + x(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}) = 1\)；

第3步：解分式方程（先化简括号内的效率和）：

\(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\)，方程变为\(\frac{3}{10} + \frac{x}{6} = 1\)；

去分母（最简公分母30）：\(9 + 5x = 30\)，解得\(x = \frac{21}{5} = 4.2\)；

第4步：验证（天数为正数，符合实际意义）：

故合作所需天数为4.2天（或\(\frac{21}{5}\)天）。

例题15：分式方程与实际问题（行程问题）——一辆汽车从A地到B地，原计划每小时行60千米，实际每小时多行15千米，结果提前1小时到达，求A、B两地的距离

解：

第1步：设A、B两地的距离为\(x\)千米，原计划时间为\(\frac{x}{60}\)小时，实际时间为\(\frac{x}{60 + 15} = \frac{x}{75}\)小时；

第2步：列方程（原计划时间 - 实际时间 = 1小时）：

\(\frac{x}{60} - \frac{x}{75} = 1\)；

第3步：解分式方程（最简公分母300）：

去分母得\(5x - 4x = 300\)，解得\(x = 300\)；

第4步：验证（距离为正数，实际时间\(\frac{300}{75} = 4\)小时，原计划时间\(\frac{300}{60} = 5\)小时，提前1小时，符合题意）：

故A、B两地的距离为300千米。

例题16：分式方程与实际问题（利润问题）——某商店销售一种商品，进价为每件40元，原售价为每件60元，每周可卖出300件；若售价每降低1元，每周可多卖出20件，现要求每周利润达到6080元，且售价不低于55元，求每件商品的降价金额

解：

第1步：设每件商品降价\(x\)元，则售价为\((60 - x)\)元，每件利润为\((60 - x - 40) = (20 - x)\)元，每周销量为\((300 + 20x)\)件；

第2步：列方程（利润 = 每件利润×销量）：

\((20 - x)(300 + 20x) = 6080\)；

第3步：化简方程（先展开再整理）：

展开得\(6000 + 400x - 300x - 20x^2 = 6080\)，整理得\(-20x^2 + 100x - 80 = 0\)，两边除以\(-20\)得\(x^2 - 5x + 4 = 0\)；

因式分解得\((x - 1)(x - 4) = 0\)，解得\(x = 1\)或\(x = 4\)；

第4步：结合“售价不低于55元”的限制：

当\(x = 1\)时，售价为\(60 - 1 = 59\)元≥55元，符合；

当\(x = 4\)时，售价为\(60 - 4 = 56\)元≥55元，符合；

第五步：验证（利润计算：\(x = 1\)时，利润\((19)(320) = 6080\)元；\(x = 4\)时，利润\((16)(380) = 6080\)元，均符合）：

故每件商品的降价金额为1元或4元。

例题17：分式方程与绝对值（含绝对值的分式方程）——解方程\(\frac{|x| - 2}{x - 2} = 1\)

解：

第1步：分析分母不为0的条件：\(x - 2 \neq 0\)，即\(x \neq 2\)；

第2步：去分母（乘\(x - 2\)）：\(|x| - 2 = x - 2\)，化简得\(|x| = x\)；

第3步：解绝对值方程\(|x| = x\)：绝对值等于自身的数是非负数，即\(x \geq 0\)；

第4步：结合分母限制\(x \neq 2\)，验根（所有\(x \geq 0\)且\(x \neq 2\)代入原方程）：

例：\(x = 1\)时，左边\(\frac{1 - 2}{1 - 2} = \frac{-1}{-1} = 1\)，等于右边；\(x = 3\)时，左边\(\frac{3 - 2}{3 - 2} = 1\)，等于右边；\(x = 2\)时，分母为0，舍去；

故原方程的解为\(x \geq 0\)且\(x \neq 2\)的任意实数。

例题18：分式方程与不等式（解满足不等式）——已知分式方程\(\frac{2x - 1}{x + 3} = 1\)的解满足不等式\(2x + a > 0\)，求\(a\)的取值范围

解：

第1步：解分式方程：

去分母得\(2x - 1 = x + 3\)，解得\(x = 4\)；

验根：\(x = 4\)代入原分母\(x + 3 = 7 \neq 0\)，是原方程的解；

第2步：将\(x = 4\)代入不等式\(2x + a > 0\)：

\(2×4 + a > 0\)，即\(8 + a > 0\)，解得\(a > -8\)；

故\(a\)的取值范围是\(a > -8\)。

例题19：分式方程与恒成立问题（方程对任意非增根的x恒成立）——已知\(\frac{ax + b}{x - 1} = 2x + 3\)对任意\(x \neq 1\)恒成立，求\(a\)、\(b\)的值

解：

第1步：去分母（乘\(x - 1\)，因\(x \neq 1\)）：\(ax + b = (2x + 3)(x - 1)\)；

第2步：展开右边并整理：\(ax + b = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x - 3\)；

第3步：“恒成立”意味着两边同类项的系数相等（左边是一次多项式，右边是二次多项式，需二次项系数为0，一次项系数相等，常数项相等）：

二次项系数：右边为2，左边为0，故\(2 = 0\)？矛盾，说明题目需调整（若右边为一次多项式，如\(\frac{ax + b}{x - 1} = 2x + 3\)改为\(\frac{ax + b}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}\)）；

调整后题目：\(\frac{ax + b}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}\)对任意\(x \neq 1\)恒成立，求\(a\)、\(b\)；

去分母得\(ax + b = 2(x - 1) + 3 = 2x + 1\)；

同类项系数相等：\(a = 2\)，\(b = 1\)；

故调整后\(a = 2\)，\(b = 1\)（原题目需注意多项式次数匹配，恒成立的核心是系数对应相等）。

例题20：分式方程与多解问题（含一元二次方程的分式方程有两个不同解）——解方程\(\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 1\)，并判断解的个数

解：

第1步：因式分解分母（\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)），注意\(x \neq 2\)；

第2步：去分母（乘\(x - 2\)）：\((x - 2)(x + 2) = (x + 1)(x - 2)\)；

第3步：整理方程（移项得\((x - 2)(x + 2) - (x + 1)(x - 2) = 0\)，提取公因式\(x - 2\)）：

\((x - 2)[(x + 2) - (x + 1)] = 0\)，即\((x - 2)(1) = 0\)，解得\(x = 2\)；

第4步：验根（\(x = 2\)使原分母为0，是增根）：

故原方程无解；

若改为方程\(\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = x - 1\)，去分母得\((x - 2)(x - 3) = (x - 1)(x - 2)\)，解得\(x = 2\)（增根）或\(x = 3\)（验根后是解），故有1个解；

分式方程最多1个解，若去分母后得一元二次方程，最多2个整式解，但至少1个是增根，故分式方程最多1个解。

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