导数 15 函数曲线的切线方程、法线方程

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一、求在函数曲线上某点的切线方程

对于函数\(y = f(x)\)，要求在点\((x_0,y_0)\)处的切线方程，首先需要求出函数在该点处的导数\(f^{\prime}(x_0)\)，导数的值就是切线的斜率\(k\)。然后利用点斜式方程\(y - y_0 = k(x - x_0)\)来确定切线方程。

例1：求函数\(y = x^2\)在点\((1,1)\)处的切线方程。

第1步：求导。根据求导公式\((x^n)^\prime = nx^{n - 1}\)，对\(y = x^2\)求导得\(y^\prime = 2x\)。

第2步：求斜率。将\(x = 1\)代入导数\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = 1}=2\times1 = 2\)。

第3步：写切线方程。利用点斜式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，这里\(x_0 = 1,y_0 = 1,k = 2\)，所以切线方程为\(y - 1 = 2(x - 1)\)，化简后得到\(y = 2x - 1\)。

例2：求函数\(y=\sin x\)在点\((\frac{\pi}{6},\frac{1}{2})\)处的切线方程。

第1步：求导。根据求导公式\((\sin x)^\prime=\cos x\)，所以\(y^\prime=\cos x\)。

第2步：求斜率。将\(x = \frac{\pi}{6}\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x=\frac{\pi}{6}}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

第3步：写切线方程。利用点斜式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，这里\(x_0=\frac{\pi}{6},y_0 = \frac{1}{2},k=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，切线方程为\(y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(x - \frac{\pi}{6})\)，化简可得\(y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}\pi}{12}\)。

例3：求函数\(y=\frac{1}{x}\)在点\((2,\frac{1}{2})\)处的切线方程。

第1步：求导。根据求导公式\((\frac{1}{x})^\prime=-\frac{1}{x^2}\)，所以\(y^\prime = -\frac{1}{x^2}\)。

第2步：求斜率。将\(x = 2\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = 2}=-\frac{1}{2^2}=-\frac{1}{4}\)。

第3步：写切线方程。利用点斜式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，这里\(x_0 = 2,y_0=\frac{1}{2},k = -\frac{1}{4}\)，切线方程为\(y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x - 2)\)，化简后得到\(y = -\frac{1}{4}x + 1\)。

例4：求函数\(y = \ln x\)在点\((e,1)\)处的切线方程。

第1步：求导。根据求导公式\((\ln x)^\prime=\frac{1}{x}\)，所以\(y^\prime=\frac{1}{x}\)。

第2步：求斜率。将\(x = e\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = e}=\frac{1}{e}\)。

第3步：写切线方程。利用点斜式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，这里\(x_0 = e,y_0 = 1,k=\frac{1}{e}\)，切线方程为\(y - 1=\frac{1}{e}(x - e)\)，化简可得\(y=\frac{1}{e}x\)。

例5：求函数\(y = e^x\)在点\((0,1)\)处的切线方程。

第1步：求导。因为\((e^x)^\prime = e^x\)，所以\(y^\prime = e^x\)。

第2步：求斜率。将\(x = 0\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = 0}=e^0 = 1\)。

第3步：写切线方程。利用点斜式\(y - y_0 = k(x - x_0)\)，这里\(x_0 = 0,y_0 = 1,k = 1\)，切线方程为\(y - 1 = 1\times(x - 0)\)，即\(y = x + 1\)。

二、求过某点函数曲线的切线方程

第1步. 设切点坐标

设切点坐标为\((x_0,y_0)\)，其中\(y_0\)是函数\(y = f(x)\)在\(x = x_0\)处的函数值，即\(y_0 = f(x_0)\)。

第2步. 求函数导数

对给定的函数\(y = f(x)\)求导，得到导函数\(f^{\prime}(x)\)，该导函数在切点横坐标\(x_0\)处的值\(f^{\prime}(x_0)\)就是切线的斜率\(k\)。

第3步. 根据点斜式写切线方程

利用点斜式\(y - y_1 = k(x - x_1)\)（这里\((x_1,y_1)\)是已知的过曲线外的点，\(k\)是切线斜率）来写出切线方程，再将\(k = f^{\prime}(x_0)\)，\(y_0 = f(x_0)\)代入进行化简整理。

例1：求过点\((2,0)\)且与函数\(y = x^2\)相切的切线方程。

设切点坐标：设切点坐标为\((x_0,x_0^2)\)。

求函数导数：对\(y = x^2\)求导，根据求导公式\((x^n)^\prime = nx^{n - 1}\)可得\(y^\prime = 2x\)，那么切线的斜率\(k = 2x_0\)。

根据点斜式写切线方程并求解：

已知过点\((2,0)\)，切线斜率为\(k = 2x_0\)，由点斜式可得切线方程为\(y - 0 = 2x_0(x - 2)\)，即\(y = 2x_0(x - 2)\)。

又因为切点\((x_0,x_0^2)\)在切线上，所以把\((x_0,x_0^2)\)代入切线方程可得：

\(x_0^2 = 2x_0(x_0 - 2)\)，

展开式子得\(x_0^2 = 2x_0^2 - 4x_0\)，

移项化简得\(x_0^2 - 4x_0 = 0\)，

因式分解得\(x_0(x_0 - 4) = 0\)，

解得\(x_0 = 0\)或\(x_0 = 4\)。

当\(x_0 = 0\)时，\(k = 2\times0 = 0\)，切线方程为\(y = 0\)；

当\(x_0 = 4\)时，\(k = 2\times4 = 8\)，切线方程为\(y - 0 = 8(x - 2)\)，即\(y = 8x - 16\)。

例2：求过点\((1,-1)\)且与函数\(y = \frac{1}{x}\)相切的切线方程。

设切点坐标：设切点坐标为\((x_0,\frac{1}{x_0})\)。

求函数导数：对\(y = \frac{1}{x}\)求导，根据求导公式\((\frac{1}{x})^\prime = -\frac{1}{x^2}\)可得\(y^\prime = -\frac{1}{x^2}\)，切线的斜率\(k = -\frac{1}{x_0^2}\)。

根据点斜式写切线方程并求解：

由点斜式可得切线方程为\(y - (-1) = -\frac{1}{x_0^2}(x - 1)\)，即\(y + 1 = -\frac{1}{x_0^2}(x - 1)\)。

因为切点\((x_0,\frac{1}{x_0})\)在切线上，所以把\((x_0,\frac{1}{x_0})\)代入切线方程可得：

\(\frac{1}{x_0}+1 = -\frac{1}{x_0^2}(x_0 - 1)\)，

通分整理得\(\frac{1 + x_0}{x_0}=-\frac{1}{x_0^2}(x_0 - 1)\)，

两边同乘\(x_0^2\)得\((1 + x_0)x_0 = -(x_0 - 1)\)，

展开式子得\(x_0 + x_0^2 = -x_0 + 1\)，

移项化简得\(x_0^2 + 2x_0 - 1 = 0\)，

根据求根公式\(x_0=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 4}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\)。

当\(x_0 = -1 + \sqrt{2}\)时，\(k = -\frac{1}{(-1 + \sqrt{2})^2}=-(3 - 2\sqrt{2})\)，切线方程为\(y + 1 = -(3 - 2\sqrt{2})(x - 1)\)；

当\(x_0 = -1 - \sqrt{2}\)时，\(k = -\frac{1}{(-1 - \sqrt{2})^2}=-(3 + 2\sqrt{2})\)，切线方程为\(y + 1 = -(3 + 2\sqrt{2})(x - 1)\)。

例3：求过点\((0,3)\)且与函数\(y = e^x\)相切的切线方程。

设切点坐标：设切点坐标为\((x_0,e^{x_0})\)。

求函数导数：因为\((e^x)^\prime = e^x\)，所以切线的斜率\(k = e^{x_0}\)。

根据点斜式写切线方程并求解：

由点斜式可得切线方程为\(y - 3 = e^{x_0}(x - 0)\)，即\(y - 3 = e^{x_0}x\)。

又因为切点\((x_0,e^{x_0})\)在切线上，所以\(e^{x_0}-3 = e^{x_0}x_0\)，

令\(g(x)=e^x - e^x x - 3\)，对其求导得\(g^\prime(x)=e^x - e^x - e^x x=-e^x x\)。

当\(x < 0\)时，\(g^\prime(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增；当\(x > 0\)时，\(g^\prime(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减。

通过试值等方法可发现\(x_0 = \ln 3\)时满足方程，此时\(k = e^{\ln 3}=3\)，切线方程为\(y - 3 = 3x\)，即\(y = 3x + 3\)。

1. 法线的定义

对于函数\(y = f(x)\)，在曲线上某点\((x_0,y_0)\)处的切线的垂线称为该点处的法线。

如果切线的斜率为\(k\)，那么法线的斜率为\(-\frac{1}{k}\)（前提是\(k\neq0\)）。

2. 求法线方程的步骤

首先求出函数\(y = f(x)\)在点\((x_0,y_0)\)处的导数\(f^{\prime}(x_0)\)，它就是切线的斜率\(k\)。

然后求出法线的斜率\(k_{法}=-\frac{1}{f^{\prime}(x_0)}\)（当\(f^{\prime}(x_0)\neq0\)时）。

最后利用点斜式\(y - y_0=k_{法}(x - x_0)\)来写出法线方程。

例1：求函数\(y = x^{2}\)在点\((1,1)\)处的法线方程。

先对\(y = x^{2}\)求导，根据求导公式\((x^{n})^\prime = nx^{n - 1}\)，可得\(y^\prime = 2x\)。

把\(x = 1\)代入导数\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x = 1}=2\times1 = 2\)。

那么法线的斜率\(k_{法}=-\frac{1}{2}\)。

利用点斜式\(y - y_0 = k_{法}(x - x_0)\)，这里\(x_0 = 1,y_0 = 1,k_{法}=-\frac{1}{2}\)，所以法线方程为\(y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1)\)，化简后得到\(y = -\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\)。

例2：求函数\(y=\sin x\)在点\((\frac{\pi}{6},\frac{1}{2})\)处的法线方程。

对\(y=\sin x\)求导，\(y^\prime=\cos x\)。

把\(x = \frac{\pi}{6}\)代入\(y^\prime\)中，得到切线的斜率\(k = y^\prime|_{x=\frac{\pi}{6}}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

法线的斜率\(k_{法}=-\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。

利用点斜式\(y - y_0 = k_{法}(x - x_0)\)，这里\(x_0=\frac{\pi}{6},y_0 = \frac{1}{2},k_{法}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，法线方程为\(y - \frac{1}{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}(x - \frac{\pi}{6})\)，化简可得\(y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}\)。