高等数学：微分方程的基本概念

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、微分方程

微分方程是指含有未知函数及其导数（或微分）的方程。

例如，\(y' + 2y = 0\)，\(y'' - 3y' + 2y = e^x\)，\(xdy + ydx = 0\)等都是微分方程。这里\(y\)是未知函数，\(y'\)、\(y''\)分别是\(y\)的一阶导数和二阶导数。

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

例如，\(y' + 2y = 0\)是一阶微分方程，因为方程中出现的最高阶导数是一阶导数\(y'\)；\(y'' - 3y' + 2y = e^x\)是二阶微分方程，因为最高阶导数是二阶导数\(y''\)。

通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。

例如，对于一阶微分方程\(y' = 2x\)，其通解为\(y = x^2 + C\)（\(C\)为任意常数）。对于二阶微分方程\(y'' + y = 0\)，其通解为\(y = C_1\cos x + C_2\sin x\)（\(C_1\)、\(C_2\)为任意常数）。

特解：在通解中确定了任意常数的特定值后得到的解，称为微分方程的特解。

例如，对于上述一阶微分方程\(y' = 2x\)的通解\(y = x^2 + C\)，若给定条件\(y(0)=1\)，将\(x = 0\)，\(y = 1\)代入通解可得\(1 = 0 + C\)，即\(C = 1\)，此时\(y = x^2 + 1\)就是满足给定条件的特解。

用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件。对于一阶微分方程，通常是给出\(y(x_0)=y_0\)的条件，其中\(x_0\)和\(y_0\)是给定的值；对于二阶微分方程，通常是给出\(y(x_0)=y_0\)和\(y'(x_0)=y_0'\)的条件，即同时给定函数在某一点的值和它的一阶导数在该点的值。

例如，对于二阶微分方程\(y'' - 3y' + 2y = 0\)，初始条件可以是\(y(0)=1\)，\(y'(0)=2\)。

微分方程的解\(y = y(x)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中的图形称为该微分方程的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线，而特解的图形是其中的一条特定的积分曲线。

例如，对于微分方程\(y' = x\)，通解为\(y=\frac{1}{2}x^2 + C\)，这表示一族抛物线，每给定一个\(C\)值就确定一条具体的抛物线，也就是一条积分曲线。

可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程是一种一阶微分方程，它可以写成\(g(y)dy = f(x)dx\)的形式。其中\(g(y)\)是关于\(y\)的函数，\(f(x)\)是关于\(x\)的函数。这种方程的特点是，通过适当的变形，可以将\(y\)和\(x\)分别放在等式的两边，使得变量分离。

例如，方程\(\frac{dy}{dx}= \frac{x}{y}\)是可分离变量的微分方程，将其变形为\(ydy = xdx\)。

求解方法

分离变量：把方程化为\(g(y)dy = f(x)dx\)的形式。

例如，对于方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)，可变形为\(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)。

两边积分：对分离后的式子两边分别积分，得到\(\int g(y)dy=\int f(x)dx + C\)，其中\(C\)为积分常数。

例如，对于前面变形后的方程\(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)，两边积分得\(\int\frac{1}{y}dy=\int\frac{1}{x}dx + C\)，即\(\ln|y|=\ln|x|+C\)。

化简求解：对积分后的式子进行化简，求出\(y\)关于\(x\)的表达式。对于\(\ln|y|=\ln|x|+C\)，根据对数的性质可进一步化简为\(|y| = e^{\ln|x| + C}=e^C|x|\)，令\(k = e^C\)（\(k\neq0\)），则\(y = kx\)。又因为当\(k = 0\)时，\(y = 0\)也是原方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\)的解，所以原方程的通解为\(y = kx\)（\(k\)为任意常数）。

在分离变量的过程中，要注意分母不能为零。

例如，对于方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y - 1}\)，当\(y = 1\)时，方程右边的表达式无意义。在求解过程中，需要单独考虑\(y = 1\)是否为方程的解。通过代入原方程可以发现，\(y = 1\)是原方程的一个特解，而在分离变量积分得到的通解中可能没有包含这个特解，所以最后要把这种可能遗漏的特解补上。

积分时要正确计算积分，并且对于积分结果要合理地进行化简和处理。

例如，在对一些复杂函数积分时，可能需要使用换元法、分部积分法等积分技巧。同时，对于对数函数等，要注意绝对值的处理，如\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)，不能遗漏绝对值符号，除非根据具体的定义域等情况可以确定\(x\)的正负。

齐次微分方程

一阶微分方程\(\frac{dy}{dx}=F(x,y)\)称为齐次微分方程，如果函数\(F(x,y)\)可化为\(\frac{y}{x}\)的函数，即\(F(x,y) = \varphi(\frac{y}{x})\)。

例如，方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y + x}{x}\)是齐次微分方程，因为它可以化为\(\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}\)，这里\(F(x,y)=1 + \frac{y}{x}\)是\(\frac{y}{x}\)的函数。

变量代换法：令\(u = \frac{y}{x}\)，则\(y = ux\)，对\(y = ux\)求导，根据乘积的求导法则\(y^\prime=(ux)^\prime = u + x\frac{du}{dx}\)。

代入原方程：将\(y = ux\)和\(y^\prime = u + x\frac{du}{dx}\)代入原齐次微分方程\(\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})\)，得到\(u + x\frac{du}{dx}=\varphi(u)\)，这是一个可分离变量的微分方程。

分离变量并积分：将上式变形为\(x\frac{du}{dx}=\varphi(u)-u\)，进而得到\(\frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x}\)，然后两边积分\(\int\frac{du}{\varphi(u)-u}=\int\frac{dx}{x}+C\)，其中\(C\)为积分常数。

回代求解：求出积分后，将\(u = \frac{y}{x}\)回代，得到原方程的通解。

示例：求解方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{xy - x^2}\)。

首先判断方程为齐次方程，因为\(\frac{dy}{dx}=\frac{(\frac{y}{x})^2}{\frac{y}{x}-1}\)，令\(u = \frac{y}{x}\)，则\(y = ux\)，\(y^\prime = u + x\frac{du}{dx}\)。

代入原方程可得\(u + x\frac{du}{dx}=\frac{u^2}{u - 1}\)，移项得到\(x\frac{du}{dx}=\frac{u^2}{u - 1}-u=\frac{u}{u - 1}\)。

分离变量得\(\frac{u - 1}{u}du=\frac{dx}{x}\)，即\((1-\frac{1}{u})du=\frac{dx}{x}\)。

两边积分\(\int(1 - \frac{1}{u})du=\int\frac{dx}{x}+C\)，得到\(u - \ln|u|=\ln|x|+C\)。

把\(u = \frac{y}{x}\)回代，得到\(\frac{y}{x}-\ln|\frac{y}{x}|=\ln|x|+C\)，进一步化简为\(y = x(\ln|y| - \ln|x| + C)\)，这就是原方程的通解。

齐次微分方程与可分离变量的微分方程有一定联系。齐次微分方程通过变量代换后可以转化为可分离变量的微分方程进行求解。但它们也有区别，可分离变量的微分方程形式是\(g(y)dy = f(x)dx\)，直接通过分离变量就可以积分求解；而齐次微分方程需要先进行变量代换，将其转化为可分离变量的形式后才能求解。同时，要注意与非齐次微分方程的区别，例如一阶线性非齐次微分方程\(y^\prime + p(x)y = q(x)\)（\(q(x)\neq0\)）就不能用齐次微分方程的方法求解。

一阶线性微分方程

定义：一阶线性微分方程是指未知函数\(y\)及其一阶导数\(y'\)都是一次的微分方程。

形式：它的标准形式为\(y'+p(x)y = q(x)\)，其中\(p(x)\)和\(q(x)\)是已知的关于\(x\)的函数。

例如，\(y' + 2xy = x\)就是一阶线性微分方程，这里\(p(x)=2x\)，\(q(x)=x\)。

求解方法 - 常数变易法

先求对应的齐次方程的通解：对应的齐次方程为\(y'+p(x)y = 0\)，这是一个可分离变量的微分方程。将其变形为\(\frac{dy}{y}=-p(x)dx\)，两边积分可得\(\ln|y|=-\int p(x)dx + C_1\)，则齐次方程的通解为\(y = Ce^{-\int p(x)dx}\)（其中\(C = e^{C_1}\)）。

常数变易法求非齐次方程的通解：设非齐次方程\(y'+p(x)y = q(x)\)的解为\(y = C(x)e^{-\int p(x)dx}\)，将其代入非齐次方程求\(C(x)\)。对\(y = C(x)e^{-\int p(x)dx}\)求导，根据乘积的求导法则和复合函数求导法则可得\(y'=C'(x)e^{-\int p(x)dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}\)。

将\(y\)和\(y'\)代入非齐次方程\(y'+p(x)y = q(x)\)，得到\(C'(x)e^{-\int p(x)dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)\)，化简可得\(C'(x)e^{-\int p(x)dx}=q(x)\)，即\(C'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}\)。

两边积分可得\(C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C\)（其中\(C\)为积分常数），所以原非齐次方程的通解为\(y = e^{-\int p(x)dx}(\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx + C)\)。

二阶线性微分方程

定义和形式：二阶线性微分方程的一般形式为\(y'' + p(x)y'+q(x)y = f(x)\)，其中\(p(x)\)、\(q(x)\)、\(f(x)\)是已知的关于\(x\)的函数。当\(f(x)=0\)时，方程\(y'' + p(x)y'+q(x)y = 0\)称为二阶线性齐次微分方程；当\(f(x)\neq0\)时，称为二阶线性非齐次微分方程。

解的结构：

对于二阶线性齐次微分方程\(y'' + p(x)y'+q(x)y = 0\)，如果\(y_1(x)\)和\(y_2(x)\)是它的两个线性无关的解（即\(\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\)不是常数），那么它的通解为\(y = C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\)（其中\(C_1\)、\(C_2\)为任意常数）。

对于二阶线性非齐次微分方程\(y'' + p(x)y'+q(x)y = f(x)\)，它的通解等于对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解。即如果\(Y(x)\)是齐次方程的通解，\(y^*(x)\)是非齐次方程的一个特解，那么非齐次方程的通解为\(y = Y(x)+y^*(x)\)。

可降阶的高阶微分方程

1、\(y^{(n)} = f(x)\)型的微分方程

解法：这种类型的方程是最简单的可降阶的高阶微分方程。通过逐次积分来求解，对\(y^{(n)} = f(x)\)两边同时积分一次，得到\(y^{(n - 1)}=\int f(x)dx + C_1\)，这就将方程的阶数降低了一阶。然后再对\(y^{(n - 1)}=\int f(x)dx + C_1\)进行积分，得到\(y^{(n - 2)}=\int\left(\int f(x)dx + C_1\right)dx + C_2\)，如此继续积分\(n\)次，就可以得到含有\(n\)个任意常数的通解。

示例：例如，对于方程\(y''' = x^2 + 1\)，第一次积分得\(y''=\frac{1}{3}x^3 + x + C_1\)，第二次积分得\(y'=\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{2}x^2 + C_1x + C_2\)，第三次积分得\(y=\frac{1}{60}x^5+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}C_1x^2 + C_2x + C_3\)，这就是原方程的通解。

2、\(y'' = f(x,y')\)型的微分方程

解法：令\(y' = p\)，则\(y''=\frac{dp}{dx}\)，原方程就变为\(\frac{dp}{dx}=f(x,p)\)，这是一个一阶微分方程。如果能够求出这个一阶微分方程的通解\(p = \varphi(x,C_1)\)，因为\(p = y'\)，所以再对\(y'=\varphi(x,C_1)\)积分，就可以得到原方程的通解\(y=\int\varphi(x,C_1)dx + C_2\)。

示例：例如，对于方程\(y'' = \frac{1 + y'^2}{x}\)，令\(y' = p\)，则\(y''=\frac{dp}{dx}\)，原方程变为\(\frac{dp}{dx}=\frac{1 + p^2}{x}\)，这是一个可分离变量的微分方程。分离变量得\(\frac{dp}{1 + p^2}=\frac{dx}{x}\)，两边积分得\(\arctan p=\ln|x| + C_1\)，即\(p = \tan(\ln|x| + C_1)\)。因为\(p = y'\)，所以再积分得\(y=\int\tan(\ln|x| + C_1)dx + C_2\)，这里\(\int\tan(\ln|x| + C_1)dx\)可以通过换元法等进一步计算。

3、\(y'' = f(y,y')\)型的微分方程

解法：令\(y' = p\)，则\(y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\)，原方程就变为\(p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\)，这是一个一阶微分方程。如果能够求出这个一阶微分方程的通解\(p = \varphi(y,C_1)\)，因为\(p = y'\)，所以可以得到\(\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C_1)\)，这是一个可分离变量的微分方程，分离变量并积分就可以得到原方程的通解。

示例：例如，对于方程\(y'' = 2y y'\)，令\(y' = p\)，则\(y'' = p\frac{dp}{dy}\)，原方程变为\(p\frac{dp}{dy}=2yp\)。当\(p\neq0\)时，两边同时除以\(p\)得\(\frac{dp}{dy}=2y\)，积分得\(p = y^2 + C_1\)，即\(y' = y^2 + C_1\)。这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得\(\frac{dy}{y^2 + C_1}=dx\)，再积分就可以得到原方程的通解。当\(p = 0\)时，\(y' = 0\)，\(y = C\)也是原方程的解，需要把这种情况也考虑进去。

高阶线性微分方程

\(n\)阶线性齐次微分方程：其一般形式为\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = 0\)，其中\(p_{1}(x),p_{2}(x),\cdots,p_{n}(x)\)是\(x\)的函数。

例如，二阶线性齐次微分方程\(y'' + p(x)y'+q(x)y = 0\)。

\(n\)阶线性非齐次微分方程：一般形式为\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = f(x)\)，其中\(f(x)\)是\(x\)的函数，且\(f(x)\neq0\)。

例如，二阶线性非齐次微分方程\(y'' + p(x)y'+q(x)y = f(x)\)。

齐次方程解的结构

设\(y_{1}(x),y_{2}(x),\cdots,y_{n}(x)\)是\(n\)阶线性齐次微分方程\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = 0\)的\(n\)个线性无关的解（即\(W[y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}](x)\neq0\)，\(W\)为朗斯基行列式），那么该齐次方程的通解为\(y = C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+\cdots + C_{n}y_{n}(x)\)，其中\(C_{1},C_{2},\cdots,C_{n}\)是任意常数。

例如，对于二阶线性齐次微分方程\(y'' + y = 0\)，\(y_{1}=\cos x\)和\(y_{2}=\sin x\)是两个线性无关的解，其通解为\(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)。

非齐次方程解的结构

设\(y^{*}(x)\)是\(n\)阶线性非齐次微分方程\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = f(x)\)的一个特解，\(Y(x)\)是对应的齐次方程\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = 0\)的通解，那么非齐次方程的通解为\(y = Y(x)+y^{*}(x)\)。

例如，对于方程\(y'' + y = \sin x\)，齐次方程\(y'' + y = 0\)的通解为\(Y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)，一个特解\(y^{*}=-\frac{1}{2}x\cos x\)，则非齐次方程的通解为\(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x-\frac{1}{2}x\cos x\)。

常系数高阶线性齐次微分方程

对于\(n\)阶常系数线性齐次微分方程\(y^{(n)} + a_{1}y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}y'+a_{n}y = 0\)（其中\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)为常数），设\(y = e^{rx}\)，代入方程可得特征方程\(r^{n}+a_{1}r^{n - 1}+\cdots + a_{n - 1}r + a_{n}=0\)。

若特征方程有\(n\)个互不相同的实根\(r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}\)，则通解为\(y = C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}+\cdots + C_{n}e^{r_{n}x}\)。

若特征方程有重根，例如\(r\)是\(k\)重根，则对应的通解部分为\((C_{1}+C_{2}x+\cdots + C_{k}x^{k - 1})e^{rx}\)。

若特征方程有一对共轭复根\(\alpha\pm i\beta\)，则对应的通解部分为\(e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x + C_{2}\sin\beta x)\)。

常系数高阶线性非齐次微分方程的求解方法（特解的求法）

类型一：\(f(x)=P_{m}(x)e^{\lambda x}\)，其中\(P_{m}(x)\)是\(m\)次多项式

设特解为\(y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}\)，其中\(Q_{m}(x)\)是与\(P_{m}(x)\)同次的待定多项式。当\(\lambda\)不是特征方程的根时，\(k = 0\)；当\(\lambda\)是单根时，\(k = 1\)；当\(\lambda\)是重根时，\(k\)等于重数。

类型二：\(f(x)=e^{\alpha x}[P_{l}(x)\cos\beta x + Q_{m}(x)\sin\beta x]\)，其中\(P_{l}(x)\)和\(Q_{m}(x)\)分别是\(l\)次和\(m\)次多项式

设特解为\(y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R_{n}(x)\cos\beta x + S_{n}(x)\sin\beta x]\)，其中\(n=\max\{l,m\}\)，\(R_{n}(x)\)和\(S_{n}(x)\)是\(n\)次待定多项式。当\(\alpha\pm i\beta\)不是特征方程的根时，\(k = 0\)；当\(\alpha\pm i\beta\)是单根时，\(k = 1\)。

二阶常系数齐次线性微分方程

形式：二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式为\(y'' + ay' + by = 0\)，其中\(a\)、\(b\)为常数。

解法 - 特征方程法：设\(y = e^{rx}\)，将其代入方程\(y'' + ay' + by = 0\)，可得\(r^{2}e^{rx}+are^{rx}+be^{rx}=0\)，因为\(e^{rx}\neq0\)，所以得到特征方程\(r^{2}+ar + b = 0\)。

若特征方程有两个不同的实根\(r_{1}\)和\(r_{2}\)，则原方程的通解为\(y = C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}\)。

例如，对于方程\(y'' - 3y' + 2y = 0\)，特征方程为\(r^{2}-3r + 2 = 0\)，解得\(r_{1}=1\)，\(r_{2}=2\)，通解为\(y = C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}\)。

若特征方程有两个相等的实根\(r = r_{1}=r_{2}\)，此时通解为\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}\)。

例如，对于方程\(y'' - 2y' + y = 0\)，特征方程为\(r^{2}-2r + 1 = 0\)，解得\(r = 1\)（二重根），通解为\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}\)。

若特征方程有一对共轭复根\(r_{1}=\alpha + i\beta\)，\(r_{2}=\alpha - i\beta\)，则通解为\(y = e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x + C_{2}\sin\beta x)\)。

例如，对于方程\(y'' + y = 0\)，特征方程为\(r^{2}+1 = 0\)，解得\(r_{1}=i\)，\(r_{2}=-i\)，通解为\(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)。

\(n\)阶常系数齐次线性微分方程

形式：\(n\)阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为\(y^{(n)}+a_{1}y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}y'+a_{n}y = 0\)，其中\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)是常数。

解法 - 特征方程法：设\(y = e^{rx}\)，代入方程可得特征方程\(r^{n}+a_{1}r^{n - 1}+\cdots + a_{n - 1}r + a_{n}=0\)。

若特征方程有\(n\)个互不相同的实根\(r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}\)，则通解为\(y = C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}+\cdots + C_{n}e^{r_{n}x}\)。

若特征方程有\(k\)重实根\(r\)，则对应的通解部分为\((C_{1}+C_{2}x+\cdots + C_{k}x^{k - 1})e^{rx}\)。

例如，对于一个三阶方程，若特征方程为\((r - 1)^{3}=0\)，即\(r = 1\)是三重根，通解的对应部分为\((C_{1}+C_{2}x + C_{3}x^{2})e^{x}\)。

若特征方程有一对共轭复根\(\alpha\pm i\beta\)，则对应的通解部分为\(e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x + C_{2}\sin\beta x)\)，与二阶方程类似。若有\(m\)对共轭复根，就会有\(m\)个这样的部分相加到通解中。

二阶常系数非齐次线性微分方程

形式：二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为\(y'' + ay' + by = f(x)\)，其中\(a\)、\(b\)为常数，\(f(x)\neq0\)。

解的结构：其通解\(y = Y(x)+y^{*}(x)\)，其中\(Y(x)\)是对应的齐次方程\(y'' + ay' + by = 0\)的通解，\(y^{*}(x)\)是原非齐次方程的一个特解。

例如，对于方程\(y'' - 3y' + 2y = 3x + 1\)，先求齐次方程\(y'' - 3y' + 2y = 0\)的通解\(Y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}\)，再求一个特解\(y^{*}(x)\)，最后得到通解\(y = C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+y^{*}(x)\)。

特解\(y^{*}(x)\)的求法（\(f(x)=P_{m}(x)e^{\lambda x}\)型）

当\(f(x)=P_{m}(x)e^{\lambda x}\)，其中\(P_{m}(x)\)是\(m\)次多项式，设特解\(y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}\)，这里\(Q_{m}(x)\)是与\(P_{m}(x)\)同次的待定多项式。

当\(\lambda\)不是特征方程\(r^{2}+ar + b = 0\)的根时，\(k = 0\)。

例如，对于方程\(y'' - 2y' - 3y = 2x + 1\)，特征方程为\(r^{2}-2r - 3 = 0\)，解得\(r_{1}=3\)，\(r_{2}=-1\)，\(\lambda = 0\)不是特征根，设\(y^{*}=Ax + B\)，代入原方程可求出\(A\)和\(B\)的值。

当\(\lambda\)是单根时，\(k = 1\)。

例如，对于方程\(y'' - 3y' + 2y = e^{x}\)，特征方程为\(r^{2}-3r + 2 = 0\)，解得\(r_{1}=1\)，\(r_{2}=2\)，\(\lambda = 1\)是单根，设\(y^{*}=x(Ax + B)e^{x}\)，代入原方程求解。

当\(\lambda\)是重根时，\(k = 2\)。

例如，对于方程\(y'' - 2y' + y = x^{2}e^{x}\)，特征方程为\(r^{2}-2r + 1 = 0\)，\(r = 1\)是二重根，设\(y^{*}=x^{2}(Ax^{2}+Bx + C)e^{x}\)，代入原方程确定系数。

特解\(y^{*}(x)\)的求法（\(f(x)=e^{\alpha x}[P_{l}(x)\cos\beta x + Q_{m}(x)\sin\beta x]\)型）

当\(f(x)=e^{\alpha x}[P_{l}(x)\cos\beta x + Q_{m}(x)\sin\beta x]\)，设特解\(y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R_{n}(x)\cos\beta x + S_{n}(x)\sin\beta x]\)，其中\(n = \max\{l,m\}\)，\(R_{n}(x)\)和\(S_{n}(x)\)是\(n\)次待定多项式。

当\(\alpha\pm i\beta\)不是特征方程的根时，\(k = 0\)。

例如，对于方程\(y'' + y = \sin x\)，特征方程为\(r^{2}+1 = 0\)，\(\alpha = 0\)，\(\beta = 1\)，\(\alpha\pm i\beta=\pm i\)是特征根，设\(y^{*}=A\cos x + B\sin x\)，代入原方程求系数。

当\(\alpha\pm i\beta\)是单根时，\(k = 1\)。

例如，对于方程\(y'' - 2y'+2y = e^{x}\sin x\)，特征方程为\(r^{2}-2r + 2 = 0\)，解得\(r = 1\pm i\)，\(\alpha = 1\)，\(\beta = 1\)，\(\alpha\pm i\beta = 1\pm i\)是特征根，设\(y^{*}=xe^{x}(A\cos x + B\sin x)\)，代入原方程确定系数。

\(n\)阶常系数非齐次线性微分方程的求解思路

同样遵循通解\(y = Y(x)+y^{*}(x)\)的结构，先求对应的\(n\)阶常系数齐次线性微分方程\(y^{(n)}+a_{1}y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}y'+a_{n}y = 0\)的通解\(Y(x)\)，利用特征方程\(r^{n}+a_{1}r^{n - 1}+\cdots + a_{n - 1}r + a_{n}=0\)求解。然后根据\(f(x)\)的形式求特解\(y^{*}(x)\)，方法与二阶类似，只是特征根的情况可能更复杂，最后得到原\(n\)阶非齐次方程的通解。